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微分方程模型


第 5 章 微分方程模型
5.1 某人每天由饮食获取 10467 焦热量,其中 5038 焦用于新陈代谢,此外每公斤体重 需支付 69 焦热量作为运动消耗,其余热量则转化为脂肪,已知以脂肪形式贮存的热量利用 率为 100%,每公斤脂肪含热量 41868 焦,问此人的体重如何随时间而变化? 5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从 Malthus 增长模型

dp (t ) = 0.003 p (t ) dt 其中 t 以分钟计。在 t = 0 时一群鲨鱼来到此水域定居,开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速
率是 0.001 p 2 (t ) ,其中 p (t ) 是 t 时刻鲑鱼总数。此外,由于在它们周围出现意外情况,平 均每分钟有 0.002 条鲑鱼离开此水域。 (1)考虑到两种因素,试修正 Malthus 模型。 (2)假设在 t = 0 是存在 100 万条鲑鱼,试求鲑鱼总数

p (t ) ,并问 t → ∞ 时会发生什么情况?
5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律, 放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子 数成正比,比例系数成为衰变系数,试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物 质经时间 T1 2 放射物质的原子下降至原来的一半( T1 2 称为该物质的半衰期)试决定其衰变 系数。 5.4 用具有放射性的 C 14 测量古生物年代的原理是:宇宙线轰击大气层产生中子,中子 与氮结合产生 C 14 。植物吸收二氧化碳时吸收了 C 14 ,动物食用植物从植物中得到 C 14 。在 活组织中 C 14 的吸收速率恰好与 C 14 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡,它就停止吸收

C 14 ,于是 C 14 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数,既动物刚
死亡时 C 14 的衰变速率与现在取的活组织样本(刚死亡)的衰变速率是相同的。若测得古生 物标本现在 C 14 的衰变速率,由于 C 14 的衰变系数已知,即可决定古生物的死亡时间。试建 立用 C 14 测古生物年代的模型( C 14 的半衰期为 5568 年) 。 5.5 试用上题建立的数学模型,确定下述古迹的年代: (1) 1950 年从法国 Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为 0.97 计数 g min ) ( , 而活树木样本测得的计数为 6.68 计数( g min ) ,试确定该洞中绘画的年代; (2) 1950 年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为 4.09 计数 g min ) ( , ,试估计该建筑的年代。 活数标本为 6.68 计数( g min )

5.6 一容器用一薄膜分成容积为 V A 和 VB 的两部分,分别 装入同一物质不同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散, 扩散速度与两部分浓度差成正比, 比例系数称为扩散系数。 试建立描述容器中溶液浓度变化 的数学模型。设 V A = VB = (l ) ,每隔 100s 测量其中一部分溶液的浓度共 10 次,具体数据 为 454,499,535,565,590,610,626,650,659,单位为 mol / m 。试建立扩散系数, 并决定 2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。 5.7 建立耐用消费品市场销售量的模型。 如果已知了过去若干时期销售量的情况, 如何 确定模型的参数。 5.8 根据经验当一种新产品投入市场后, 随着人们对它拥有量的增加, 其销售量 s (t ) 的 下降速度与 s (t ) 成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度,它与广告费 a (t ) 成正比, 。 但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分 (设饱和量为 M )建立销量 s (t ) 的模型。 若广告宣传只进行有限时间 τ ,且广告费为常数 a ,问 s (t ) 如何变化? 5.9 对于技术革新的推广,在下列几种情况下分别建立模型 (1) 推广工作通过已经采用新技术的人进行, 推广速度与已采用新技术的人数成正比, 推广是无限的。 (2)总人数有限,因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。 (3)在(2)的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。 5.10 某种细菌的增长率不知道,但假设它是常数,试验开始时估计大约有 11500 个细 菌,一时后有 2000 个,问四时后大约有多少细菌? 5.11 假设某生物种群的增长率不是常数,它以某种的方式依赖于环境的温度。如果已 知温度是时间的函数,试给出初始为 N 0 的生物种群的增长模型。证明种群以指数增长系数
3

RE (t ) 而增长或衰减,即 N (t ) ∝ e RE ( t )t ,这个增长系数等于时间依赖增长的平均值。
5.12 只考虑人口的自然增长,不考虑人口的迁移和其它因素,纽约人口满足方程

dN 1 1 = N N2 dt 25 25 10 6
若每年迁入人口 6000 人,而每年约有 4000 人被谋杀,试求出纽约的未来人口数,并讨论长 时间后纽约的人口状况。 5.13 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存极限数为 5 × 10 8 , 当群体中生物很少时,每 40mm 增加一倍。若开始时动物分别为 10 7 和 10 8 ,求 2h 后群体中 动物的总数。 5.14 某地有一池塘,其水面面积约为 100 × 100 m 2 ,用来养殖某种鱼类。在如下的假 设下,设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。

(1)鱼的存活空间为 1kg / m ; (2)每 1kg 鱼每需要的饲料为 0.05kg ,市场上鱼饲料的价格为 0.2元 / kg ; (3)鱼苗的价格忽略不计,每 1kg 鱼苗大约有 500 条鱼; (4)鱼可四季生长,每天的生长重量与鱼的自重成正比,365 天长成为鱼,成鱼的重 量为 2kg ; (5)池内鱼的繁殖与死亡均忽略;

2

0元 / kg  q < 0.2 6元 / kg  2 ≤ q < 0.75 0. (6)若 q 为鱼重,则此种鱼的售价为 Q = 0. 8元 / kg  75 ≤ q < 1.5 10元 / kg   ≤ q ≤ 2 1. 5
(7)该池内只能投放鱼苗。 5.15 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置,它通过一层薄膜与需要带走废物的 血管相通.如下图,人工肾中通以某种液体,其流动方向与血液在血管中的流动方向相反, 血液中的废物透过薄膜进入人工肾. 设血液和人工肾中液体的流速均为常数,废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的 浓度差成正比。人工肾总长 l .建立单 位时间内人工肾带走废物数量的模型.

血管

血液流动方向

薄膜 人工肾 液体流动方向

5.16 在鱼塘中投放 n 0 尾负苗,随着时间的增长,尾数将减少而每尾的重量将增加. (1)设尾数 n(t ) 的(相对)减少率为常数;由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表 面积成正比, 由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比. 分别建立尾数和每尾 鱼重的微分方程,并求解. (2)用控制网眼的办法不捕小鱼,到时刻 T 才开始捕捞,捕捞能力用尾数的相对减少

量 n n 表示,记作 E,即单位时间捕获量是 En (t ) .问如何选择 T 和 E,使从 T 开始的捕获
量最大. 5.17 建立肿瘤生长模型.通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有以下现象:1)当肿 11 瘤细胞数目超过 10 时才是临床可观察的;2)在肿瘤生长初期,几乎每经过一定时间肿瘤细 胞就增加一倍;3)由于各种生理条件限制,在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值.

(1)比较 Logistic 模型与 Gompertz 模型: 极限值, λ 是参数.

dn n = λn ln ,其中 n(t ) 是细胞数,N 是 dt N

dn λn n = (1 ( )α ) 的特例. dt α N dx 5.18 药物动力学中的 Michaelis-Menton 模型为 = dt kx ( k , a > 0 ) x(t ) 表示人体内药物在时刻 t 的浓度.研究这个方程的解的性质. , a+x
(2)说明上述两个模型是 Usher 模型: (1)对于很多药物(如可卡因), a 比 x(t ) 大得多,Michadis-Menton 方程及其解如何

简化. (2)对于另一些药物(如酒精), x(t ) 比 a 大得多,Michaeli-Menton 方程及其解如何 简化. 不变, 5.19 考虑一个受某种物质污染的湖水, 假设这个湖的湖水体积 V (以立方米计) 且污染物质均匀地混合于湖水中。以 x(t ) 记在任一时刻 t 每立方米湖水所含污染物的克数, 这是污染程度的一种合适量度,习惯称它为污染浓度 污染浓度。令 r 记每天流出的湖水立方米数,由 污染浓度 假设,这也等于每天流入湖里的水量。我们的问题是:如果某时刻污染物质突然停止进入湖 水,那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的 5%? 5.20 两棵不同类别的植物种在一起,按比例吸取养料,试建立它们的生长模型。 5.21 构造一个在接种疫苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如麻疹的模型。麻疹 的潜伏期为 0.5 周, 在这段时间内一个被感染的孩子表面上看来是正常的, 但却会传染给别 人。 过了这段时间后, 患病的孩子一直隔离到病愈为止。 病愈后的孩子是免疫的。 粗略地说, 麻疹流行隔年更为严重。 (1)构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型:容易感染的、传染的以及被隔 离(或痊愈) 。也适用于由于出生而大量增加易感染者的情况。假设每个感染者随机地与居 民接触,并以概率 P 传染给被感染者。 (2)证明你的模型有某种周期性质。如果它不是,就加以修改,因为麻疹流行肯定是 趋于周期式地出现的。 (3)估计你的模型中的参数以拟合 0.5 周期的潜伏期及 2 年的周期流行的观察结果。 估计出的参数值是否实际? 5.22 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下:由受试者吸入含有某种放射性 同位素的气体,然后将探测器置于受试者头部某固定处,定时测量该处的放射性记数率(简 称记数率)同时测量他呼出气的记数率。 由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑, 使脑部同位素增加, 而脑血流量又将同 位素带离, 使同位素减少。 实验证明脑血流引起局部地区记数率下降的速度与当时该处的记 数率成正比。其比例系数反映该处的脑血流量,被称为血流量系数。只要确定该系数即可推 算出脑血流量。 动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与当时呼出的记 数率成正比。 若某受试者的测试数据如下:
时间(分) 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00

头部记数率 1534 1528 1468 1378 1272 1162 1052 947 呼出气记率 2231 1534 1054 724 498 342 235 162

348 111

时间(分) 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00 5.25 头部记数率 757 呼出记数率 76 674 52 599 36 531 25 471 17 417 12 369 8 326 6 288 4

时间(分) 5.50 5075 6.00 6.25 6.25 6.75 7.00 7.25 7.50 头部记数率 255 呼出气记率 3 255 2 199 1 175 1 155 1 137 1 121 1 107 1 94 1

时间(分) 7.75 8.00 8.25 8.25 8.75 9.00 9.25 9.50 9.75 头部记数率 83 呼出气记率 0 73 0 65 0 57 0 50 0 50 0 39 0 35 0 31 0

试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。 5.23 给狗一次快速静脉注射常咯啉 20 mg / kg ,测得血药浓度的动态数据如下:

时间 t / h 浓度 g

0

0.25

0.5 2.68

1 2.38

2 1.99

4

6

/ ml

12.23 3.53

1.20 0.78

利用这些数据估计有关二室模型的参数。 5.24 多数药物是口服或静脉注射的,并且被血液吸收需要时间。同时药物将由肾排除 出。给出这种情况的药物动力学模型。下列是一些关于药物动态的数据。第一种药物是磺胺 嘧啶,第二种药物是水扬酸钠。用 O 表示口服,I 表示静脉注射,第 2 列中的“克”表示原 服用量, 其余的表示用药后各时刻的血药浓度。 检验你的模型拟合的程度?对于不一致的现 象你能怎样解释? 药物动态数据
用法 O O I I O I I 克 4.0 40. 1.8 1.8 10 10 201 1时 2.3 1.8 3.8 3.7 5.0 39.4 56.7 2时 2.7 2.8 3.4 3.3 — — — 4时 3.6 3.9 2.6 2.7 — — — 6时 3.0 3.5 2.1 2.3 14.4 31.4 43.0 8时 — 2.6 — — — — — 10 时 2.0 2.2 — — — — — 12 时 — — — — 15.7 24.2 35.2 24 时 — — — — 12.5 16.2 26.6

5.25 本世纪初,在伦敦观察到一种现象,大约每两年发生一次麻疹病流行,生物学家 H.F.Soper 试图解释这一现象,他认为,易感人数有新成员不断地补充,根据这一假设,试 建立数学模型并解释这一现象。

5.26 在北美的五大湖中,安大略湖处于伊利湖的下游,但安大略湖不仅接受伊利湖来 的水,还要接受非伊利湖流入的水。试建模描述这两个湖的污染情况。如果流入安大略的水 有 5/6 是伊利湖流出的,对它们的污染情况给出进一步的分析。 假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外, 流入伊利湖和安大略湖的所有污染都 暂时被停止了。试计算把安大略净化到 50%以及 5%所需要的时间。 5.27 下表给出了五大湖中四个湖的观测数据,使用这些数据建模对其中的一个或两个 湖的污染给出进一步的分析。 北美五大洲的观测数据:
特 长度/km 宽度/nm 面积/km 水 总 面 和
2



苏比利尔湖 560 256 82367 124838 207200 406 148

密执安湖 490 188 58015 117845 175860 281 84 4871 787 5012640 34.8

伊利湖 385 91 2566 58793 84459 60 17 158 863 5550720 2.6

安大略湖 309 85 19684 70448 90132 244 86 1636 863 6626880 7.8

流域陆地 最大深度/m 平均深度/m 水的体积/km
3

12221 736 2067360 189

平均年降雨/mm 平均流量/(升/秒) 水的平均保存时间/年

5.28 一家环境保护示范餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料,餐厅每天将剩余的食物 制成浆状并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料, 加入真菌菌种后放入容器内。 真菌消化这些 混合原料,变成肥料。由于原料充足,肥料需求旺盛,餐厅希望增加肥料产量。由于无力添 加新设备, 餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产。 试通过分析以前肥料生产记录 (表) ,建立反映肥料生成机理的数学模型,提出改善肥料生成的建议。
食物浆 86 112 71 203 79 105 121 蔬菜下脚 31 79 21 82 28 52 15 碎纸 0 0 0 0 0 0 0 投料日期 90,7,13 90,7,17 90,7,24 90,7,27 90,8,10 90,8,13 90,8,20 产出日期 90,8,10 90,8,13 90,8,20 90,8,22 90,9,12 90,9,18 90,9,24

110 82 57 77 52

32 44 60 51 38

0 0 0 0 0

90,8,22 91,4,30 91,5,2 91,5,7 91,5,10

90,10,8 91,6,18 91,6,20 91,6,25 91,6,28



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