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山西省忻州市2013届高三上学期第一次联考数学文试题


忻州市 2013 届高三上学期第一次联考 数学文试题
注意事项: 1.答题前,考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写 在试题和试卷上。 2.请把所有答案做在试卷上,交卷时只交试卷,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小

题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. 若集合 A={

x

-2< x <1},B={

x

0< x <2},则集合 A∩B= C.{ x|-2< x <2} D.{

A.{x|-1< x <1}

B.{ x|-2< x <1}

x

0< x <1}

1+2i 2. 设 a, b 为实数,若复数 =1+i,则 a+bi

3 1 a ? ,b ? 2 2 B. a ? 3, b ? 1 A.

1 3 a ? ,b ? 2 2 C.

D. a ? 1, b ? 3

3.设 l,m,n 表示三条直线,α,β,γ 表示三个平面,给出下列四个命题: ① l⊥ 若 α,m⊥ α,则 l∥ m; ② m?β,n 是 l 在 β 内的射影,m⊥ 若 l,则 m⊥ n; ③ m?α,m∥ 若 n,则 n∥ α;④ α⊥ 若 γ,β⊥ γ,则 α∥ β. 其中真命题为 A.① ② B.① ③ C.① ③ ② ② ④ D.③ ④ 4.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=1,则实数 a 的值为 1 A. 4 B.- 1 4 C.4 D.-4

y?2 5.若点 P(x, y)在以 A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界),则 x ? 1
的取值范围是

1 [ ,1] A. 2
sin ? ?
6.已知

1 ( ,1) B. 2

1 [ ,1] C. 4

1 ( ,1) D. 4

4 , sin ? ? cos ? ? 1 5 ,则 sin2?=

?
A.

24 25

12 B. 25 ?

4 C. 5 ?
·1·

24 D. 25

→ → → → → → → → 7.已知非零向量 a , b ,若 a +2 b 与 a -2 b 互相垂直,则| a | : | b |为 1 A. 2 B.2 1 C. 4 D.4

8.下列命题错误的是 A.命题“若 m > 0,则方程 x2+x-m=0 有实数根”的逆否命题为:“若方程 x2+x-m=0 无 实数根,则 m≤0”. B.“x =1”是“x2-3x + 2=0”的充分不必要条件. C.若 p ? q 为假命题,则 p ,q 均为假命题.
2 2 D.对于命题 p: ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ≥ 0.

? 2 2 9.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 a b 的最
小值为 A.1 B.5 C.3+ 4 2 D. 3 ? 2 2

1

2

10.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ?

31 A. 64

31 B. 32

15 C. 32

15 D. 16

11.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? m 的最大值为 4,

?

最小值为 0,最小正周期为 2 直线

,

x?

?
3 是其图象
[来源: .Com]

的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为
·2·

y ? 2 sin( 4 x ?
A.

?
6

)?2

y ? 2 sin( 2 x ?
B.

?
3

)?2

y ? 2 sin( 4 x ?
C.

?
3

)?2

y ? 4 sin( 4 x ?
D.

?
6

)?2

1 1 12.给出定义:若 m- <x≤m+ (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 {x} ,即 2 2

{x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题:
1 1 ① y ? f ( x) 的定义域是 R ,值域是(- , ]; 2 2 ② (k , 0)(k ? Z )是y ? f ( x) 的图像的对称中心; 点 ③ 函数 y ? f ( x) 的最小正周期为 1; 1 3 ④ 函数 y ? f ( x) 在(- , ]上是增函数; 2 2 则其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.一个空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则该几何体的体积为 cm3. 14.某中学为了解学生的数学学习 情况,在 3000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的 某次数学考试成绩,得到了样本 的频率分布直方图.根据频率分 布直方图,推测这 3000 名学生 在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是_____________. 1 1 15.15.已知函数 f (x)= lnx- , 3 x 则 f ?(3)=_________.

16.某老师在校阅试题时发现一个题目: “从 60?角的顶点开始,在一边上截取 9 厘米的线段,在另 一边截取 a 厘米的线段,求所得两个端点之间的距离. ”其中 a 厘米在排版时比原稿上多了 1.虽然
·3·

如此,答案却不必改动,即题目与答案仍符合,则 a=________. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在 答卷纸的相应位置上) 17. (本题满分 12 分) 在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,且 a5=9,S3=9. (Ⅰ )求数列{an}的通项 an; 1 2012 (Ⅱ )若数列{ }的前 n 项和为 Tn,求 2Tn≥ 的最小正整数 n 的值. anan+1 2013

18. (本题满分 12 分) 甲?乙两名运动员在一次射击预选赛中,分别射击了 4 次,成绩如下表(单位:环) : 甲 乙 6 6 7 8 9 8 10 10

(Ⅰ)从甲?乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (Ⅱ)现要从中选派一人参加正式比赛,你认为选派哪位运动员参加比较合适?请说明理由.

19. (本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧面 ABB1A1,ACC1A1 均为正方 形,∠BAC=90?,AB=2,点 D1、D 分别是棱 B1C1、BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1D1⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)求证:AB1∥平面 CA1D1; (Ⅲ)求多面体 A1B1D1?CAD 的体积.

20. (本题满分 12 分) 3 1 已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点(1, ),离心率为 . 2 2 (Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 x+y+1=0 与椭圆 E 相交于 A、B(B 在 A 上方)两点,问是否存在直线 l,使 l 与椭圆相交 于 C、D(C 在 D 上方)两点且 ABCD 为平行四边形,若存在,求直线 l 的方程与平行四边形 ABCD 的 面积;若不存在,请说明理由.

·4·

21. (本题满分 12 分) 1 1 1 已知函数 f (x)=- ax3+ x2+(a-1)x- (x>0),(a?R). 3 2 6 1 (Ⅰ 0<a< 时,讨论 f (x)的单调性; )当 2 (Ⅱ f (x)在区间(a, a+1)上不具有单调性,求正实数 a 的取值范围. )若 选做题: 请考生从给出的 3 道题中任选一题做答, 并在答题卡上把所选题目的题号用 2B 铅笔涂黑. 注 意所做题目的题号必须与所涂的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做 的第一题计分. 22. (本题满分 10 分)选修 4?1:几何证明选讲 如图,已知 C、F 是以 AB 为直径的半圆 O 上的两点,且 CF=CB,过 C 作 CD?AF 交 AF 的延长线与点 D. (Ⅰ)证明:CD 为圆 O 的切线; (Ⅱ)若 AD=3,AB=4,求 AC 的长.

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 π 在极坐标系中,已知两点 O(0,0),B(2 2, ). 4 (Ⅰ)求以 OB 为直径的圆 C 的极坐标方程,然后化成 直角坐标方程; (Ⅱ)以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立

? x=t , ? y=1+2t , (t 为参数) 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? .若直
线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点,圆 C 的圆心为 C,求?MNC 的面积.

(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=| x-a | + | x + 2 |(a 为常数,且 a∈ R). (Ⅰ )若函数 f (x)的最小值为 2,求 a 的值; (Ⅱ )当 a=2 时,解不等式 f (x)≤6.

·5·

忻州市 2012-2013 学年高三第一次联考 数学(文科)参考答案及评分标准 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) DAABDA BCDDAC 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

8 13. 3

14.600

2 15. 9

16.4

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

?a1 ? 4d ? 9, ? ? 2a1 ? 2d ? 3 ? 9, ? ? 2 17.解:(Ⅰ )由已知得
解得 a1=1,d=2, ∴an=2n-1. ??4 分 ??6 分

??2 分

2n 2012 由 2Tn= ≥ ,∴n≥1006. 2n+1 2013

??12 分

18.解:(Ⅰ )记甲被抽到的成绩为 x,乙被抽到成绩为 y,用数对(x, y)表示基本事件从甲、乙两人的 成绩中各随机抽取一个,则共有(6,6),(6,8),(6,8),(6,10),(7,6),(7,8),(7,8),(7,10),(9,6),(9,8), (9,8),(9,10),(10,6),(10,8),(10,8),(10,10)共 16 种结果.3 分 记 A ? {甲的成绩比乙高},则 A 包含(7,6),(9,6),(9,8),(9,8),(10,6),(10,8),(10,8)共 7 种结果, 7 ∴P(A)= . 16 ??6 分

6+7+9+10 6+8+8+10 (Ⅱ )甲的成绩平均数x1= ? =8,乙的成绩平均数x2= ? =8, 4 4 2 (6-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(10-8)2 甲的成绩方差 S1= =2.5, 4 2 (6-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(10-8)2 乙的成绩方差 S = =2.0. 2 4 ∵x1=x2, ? ?
2 S12 S 2

??10 分 ??12 分

>

,∴选派乙运动员参加决赛比较合适.
·6·

19. (I)证明:由已知得 AA1?平面 A1B1C1,

∴侧面 BCC1B1?平面 A1B1C1, 又 A1B1=A1C1,∴A1D1?B1C1. ∴A1D1⊥平面 BB1C1C. ??4 分 (Ⅱ)解:∵D1、D 分别是棱 B1C1、BC 的中点, ∴B1D∥CD1,∴CD1∥平面 AB1D. 又 ADD1A1 为矩形,∴A1D1∥AD,∴A1D1∥平面 AB1D. ∵AD∩DB1=D,∴平面 CA1D1∥平面 ADB1. 又 AB1?平面 AB1D,∴AB1∥平面 CA1D1. ??8 分 1 (Ⅲ)解:三棱柱 ABC?A1B1C1 的体积 V1= ×2×2×2=4, 2 1 1 2 三棱锥 C?A1C1D1 与三棱锥 B1?ABD 的体积均为 V2= × × 2× 2×2= , 3 2 3 4 8 ∴多面体 A1B1D1?CAD 的体积 V=V1-2V2=4- = . 3 3 20.解:(Ⅰ )设椭圆的方程为 x2 y2 + =1(a>b>0),由题意可得 a2 b2 ??12 分

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? ? 2 2 ?a ? b ? 1 , ? a2 4 解得 a2=4,b2=3. ?
x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 ??4 分

? x+y-1 ? 0 , ? 2 ?x y2 ? ? 1, ? 3 联立 ? 4 得 7x2-8x-8=0.
8 8 设 C(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2=- . 7 7 |CD|= 1+k2? (x1+x2)2-4x1x2= 2? ??9 分

8 8 24 ( )2-4×(- )= . 7 7 7 ??12 分

24 24 故平行四边形 ABCD 的面积 S= × 2= 2. 7 7 21.解:(Ⅰ f (x)的定义域为 )

? ? 0, ? ? .
??2 分

f ? ? x ? ? ?ax 2 ? x ? a ? 1

1 =-a(x-1)[x-( -1)]. a
·7·

1 1 当 0<a< 时, -1>1, 2 a 1 1 ∴f (x)在(0,1),( -1,+?)递减;在(1, -1)递增; a a (Ⅱ) f (x)在区间 ??4 分

? a, a ? 1? 上不具有单调性等价于 f (x)在区间 ? a, a ? 1? 内至少有一个极值点.

??5 分 1 1 ? 0, ?? ? 上递减,不合题意; ?7 分 ①当 a= 时,f ?(x)=- (x-1)2≤0?f (x)在 2 2 1 x , x ? ? a, a ? 1? ②当 a≥1 时, ?(x)=0 的两根为 x1=1,x2= -1, 1 2 f ∵ , 故不合题意; ③当 0 ? a ? 1 , a 1 ? a, a ? 1? 上不具有单调性等价于: 且 a≠ 时,f (x)在区间 2

a ? 1 ? a ?1或

a?

5 ?1 1 ? 1 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1或 2 ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? a ?1 a
2 ??11 分 ??12 分
D

? 0 ? a ? 1 ,且 a≠1.

1 1 综上可知,所求 a 的取值范围是(0, )∪( ,1). 2 2 22. (Ⅰ)证明:∵ CF ? CB ,??CAF ? ?CAB . ∵ OA ? OC ,??CAO ? ?ACO , 则 ?CAF ? ?ACO ,? AF ∥ OC . ∵ CD ? AF ,? CD ? OC .则 CD 为圆 O 的切线. ??5 分 (Ⅱ)解:连接 BC ,由(Ⅰ)知 ?CAD ? ?CAB . 又 ?CDA ? ?ACB ? 90? ,??ADC ∽ ?ACB .

F

C

A

O

B

?

AD AC ? AC AB .则 AC 2 ? AD ? AB ? 12 ,所以 AC ? 2 3 .

??10 分

π 23.解: (Ⅰ P(?,?)为圆上任意一点,则|OP|=?,?POx=?- , )设 4 π π ? 在 Rt?POB 中,cos(?- )= ,即?=2 2cos(?- ). 4 2 2 4 ∴?2=2 2? cos?? 2 2 +2 2? sin?? , 2 2
·8·

∴圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

??5 分

2 5 (Ⅱ )作 CD?MN 于 D,C 到直线 l 的距离为 d= , 5 2 30 在 Rt?CDA 中,|MN|=2 2-d2= , 5 1 2 30 2 5 2 6 ∴S= × × = . 2 5 5 5 ??10 分

24.解: )f (x)=|x-a|+|x+2|=| a-x |+|x+2| (Ⅰ ≥|a-x+x+2|=|a+2|, 由|a+2|=2,解得 a=0 或 a=-4. ??5 分 (Ⅱ (x)= |x-2|+|x+2|. )f 当 x<-2 时,不等式为 2-x-x-2≤6,其解为-3≤x<-2; 当-2≤x<2 时,不等式为 2-x+x+2≤6 恒成立,其解为-2≤x<2; 当 x≥2 时,不等式为 x-2+x+2≤6,其解为 2≤x≤3; 所以不等式 f (x)≤6 的解集为[-3,3]. ??10 分 如有其它解法,相应给分.

·9·


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