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重庆市第一中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 文


重庆市第一中学 2015-2016 学年高二数学 4 月月考试题 文
A 啊第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求) 1.设集合 A ? ?1,2,3,4? ,B= x ? R |1 ? x ? 4? ,则 A ? B =( ) A.{1,2,3,4} B.{2

,4} C. {2,3,4} ) D.第四象限 ) D. { x |1 ? x ? 4 }

?

2.复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则复数 z 在复平面内对应的点在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

2 3.设命题 p : 任意 x ? 0 ,都有 x ? x ? 0 ,则非 p 为 (

A.存在 x ? 0 ,使得 x 2 ? x ? 0 C.任意 x ? 0 ,都有 x 2 ? x ? 0

B. 存在 x ? 0 ,使得 x 2 ? x ? 0 D. 任意 x ? 0 ,都有 x 2 ? x ? 0 )

4. 若点 P 的直角坐标为 (1, 3) ,则它的极坐标可以是(

A. (2, ?

?
3

)

B. ( 2,

4? ) 3

C. (2,

?
3

)

D. ( 2,?

4? ) 3

5. 已知向量 m ? (a, ?2), n ? (a ? 3,1) ,且 m // n ,则实数 a =( A. 1 B. 6 C. 2 或 1

??

?

?? ?

). D. 2

6. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内 任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6
A

D C E

7.( 原 创 ) 如 图 , AB 是 圆 的 直 径 , ABCD 是 圆 内 接 四 边 形 , BD ? CE ,

B

?AEC ? 40? ,则 ?BCD ? (
? A. 160 ? B. 150

).
? C. 140 ? D. 130

8.设等比数列 {a n } 的公比 q ? A.5 B.7

S3 1 ?( ,前 n 项和为 S n ,则 2 a3
C.8 ) D.55 D.15

)

9. 阅读右面的程序框图,则输出的 S =( A.14 B. 20 C. 30

1

10.函数 f ( x) ? sin(?x ? 间( A. [? )

?
3

)(? ? 0) 相邻两个对称轴的距离为

? ,以下哪个区间是函数 f ( x) 的单调减区 2

?
3

,0]

B.[

7? ] 12 12 ,

?

C. [0,

?
3

]

D. [

? 5?
2 , 6

]

11.已知点 P 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为 4
) B.

A, B, 则 PA ? PB (
A. ?

??? ? ??? ?

12 25

12 25

C. ?

24 25

D. ?

4 5

me x 1 2. (原创)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 m 的取值 x ? x ?1
范围为( A. [ ) B. (

13 7 , ] e3 e 2

13 7 , ] e3 e 2

C. [

7 3 , ] e2 e

D. (

7 3 , ] e2 e

第Ⅱ卷(非选择 题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (原创)若 tan ? ?

1 ? ,则 tan(? ? ) ? 2 4

14. (原创)若实数 x 满足不等式 x ? 3 ? 1,则 x 的取值范围为 15. (原创)若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 垂直平分圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2ay ? 0 的一条弦,则 a = 16.若数列 ?an ? 满足 an ?

1 3 5 2 n ? n ? 3 ? m ,若数列的最小项为1 ,则 m 的值为 3 4

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分). 已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , {an } 的前 n 项和为 Sn (Ⅰ)求 an 和 Sn ; (Ⅱ)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ? n ?

18. (原创) (本小题满分 12 分) 在一次数学考试中,第 22、23、24 题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中选做一题.按照以往考 试的统计,考生甲,乙的选做各题的概率如下表所示, 第22 题 第23 题 第24 题

2



1 6

1 2 2 3

1 3 1 3



(Ⅰ)求甲,乙两人都选做第 23 题的概率; (Ⅱ)求甲,乙两人选做不同试题的概率.

19. (原创) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对边分别是 a, b, c ,且满足 (2c ? b) cos A ? a sin( (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,且 ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

?
2

? B) .

20. (原创) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?c, 0) , 其上顶点为 B(0, b) , 直线 BF 与椭圆的交点为 A , a 2 b2

点 A 关于 x 的对称点为 C (Ⅰ)若点 C 的坐标为 (?

3 2 , ) ,且 c ? 1 ,求椭圆的方程. 2 2

(Ⅱ)设点 O 为原点,若直线 OC 恰好平分线段 AB ,求椭圆的离心率. 21. (原创) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lnx ?

a( x ? 1) ,a ? R . x ?1

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 [1, ??) ,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号。 (22)(原创) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明 选讲 如图,设 D 是弦 AB 延长线上一点,且 AB ? 2 BD ,过 D 作圆的 切线于 E E , 若 C 为 线 段 AB 的 中 点 , 连 结 EC 交 圆 于 点 F , 若 D . BC? 3 CF (Ⅰ)求证: EC ? ED (Ⅱ)求证: AE ? ED (23)(本小题满分 10 分)选修 4 —4:坐标系与参数方程
3

C F

B

A

在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1? t (t 为参数),以该直角坐标系的原点 O 为极点, x ?y ? 2 ? t

轴的非负半轴为极 轴的极坐标系下,圆 C 2 的方程为 ? ? ?2 cos? ? 2 3 sin ? . (Ⅰ)求直线 C1 、圆 C 2 的普通方程; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C 2 的交点为 A 、 B ,求弦 AB 的长.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2 x ? m | ? x ?1 的解集为 [1,5] . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若实数 a , b 满足 a ? b ? m ,求 a 2 ? b 2 的最小值.

4

数 学 答 案(文科) 一.选择题: CABCD 二.填空题:13. 3

CDBCB AD
14. x ? 4, x ? 2 15. 1 16.

1 3
n . n ?1

17.解:(Ⅰ) an ? 2n ? 1, Sn ? n2 ? 2n ;(Ⅱ) Tn ? 18.解: (Ⅰ)甲乙都选做第 23 题的概率为

1 2 1 ? ? ,……6 分 2 3 3 1 2 1 1 1 1 (Ⅱ)甲乙都选做第 23 题的概率为: ? ? ;甲乙都选做第 24 题的概率为: ? ? ;则甲,乙选 2 3 3 3 3 9 4 5 做同一道的概率为 ,甲,乙选做不同试题的概率为 …12 分 9 9
19.解: (Ⅰ) (2c ? b) cos A ? a sin(

?

2

? B) ? 2sin C cos A ? sin B cos A ? sin A cos B 1 ,∵ 0 ? A ? ? 2
∴A?

? 2sin C cos A ? sin( A ? B) ,∴ cos A ?
(Ⅱ) ∵S ?

?
3



1 2 2 2 2 2 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 ①, 利用余弦定理得:a ? b ? c ? 2bc cos A , 即 8 ? b ? c ②, 2

联立①②,解得: b ? c ? 2 . 20.解:(Ⅰ)(法一): 2a ?

3 2 3 2 (? ? 1)2 ? ( )2 ? (? ? 1)2 ? ( )2 ? 2 3 ? a ? 3 2 2 2 2

1 ? 9 9 1 ? 2 ? 2 ?1 (法二): ? 4a ? ? 2 ? 1 ? 4b4 ? 7b2 ? 2 ? 0 ? b ? 2 2b 2 4(b ? 1) 2b 2 2 ? ? a ?b ?1
椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 3 2 x 2 ( x ? c) 2 b x ? b ,代入椭圆可得: 2 ? ?1? c a c2 2a 2 c b3 y ? ? ,从而可得 2 ,则点 C 为 a2 ? c2 a2 ? c2

(Ⅱ)(法一)直线 BF 的方程为: y ?

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? ?

(?

2a 2 c b3 b3 a2 c bc 2 OC AB ) ( ? , ) ,则 , y ? ? x ,则直线 的方程为 ,线段 的中点为 a2 ? c2 a2 ? c2 a2 ? c2 a 2 ? c 2 2a 2 c
bc 2 b3 a2 c 3 ? ? ? b2 ? 2c 2 ? a 2 ? 3c2 ? e ? 2 2 2 2 2 a ?c 2a c a ? c 3



5

(法二):设点 A( x0 , y0 ) ,则 y0 ?

y b x0 ? b ,点 C ( x0 , ? y0 ) ,则直线 OC 的方程为 y ? ? 0 x , c x0

线段 AB 的中点为 (

x0 b ? y0 b ? y0 y x b 3 , ) ,则有 ? ? 0 ? 0 ? y0 ? ? ? x0 ? ? c , 2 2 2 x0 2 2 2

点 A(?

b 3 9c 2 1 3 , ? c) 代入椭圆方程可得 2 ? ? 1 ? e ? 2 2 4 3 4a

21.解: 易知: f ?( x) ?

1 2a x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x2 ? 2 x ? 1 ( x ? 1)2 ? ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时,取等号 x( x ? 1)2 x( x ? 1)2

(Ⅰ) a ? 2 ? f ?( x) ?

则 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数; (Ⅱ) f ?( x) ?

x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 , x ? 0 ,注意到 f (1) ? 0 x( x ? 1)2

x2 ? 2(1 ? a) x ? 1 (1)当 a ? 1 时,则 f ?( x) ? ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数;显然适合题意题意; x( x ? 1)2
2 (2) 当 1 ? a ? 2 时, 则 ? ? 4(a ? 2a) ? 0 , 则 f ?( x ) ?

x2 ? 2 1 ( ?) a x 1? 当且仅当 a ? 2, x ? 1 时, ? 0 , x( x ?1 ) 2

取等号,则 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数;显然适合题意.
2 ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 则 ? ? 4(a ? 2a) ? 0 , 则 f ?( x )?

x2 ? 2 ( ? 1 a ? ) x 1 有 两 个 实 根 ? 0 2 x( x ? 1 )

x1 ? a ? 1 ? a 2 ? 2a , x2 ? a ? 1 ? a 2 ? 2a , 且 0 ? x1 ? a ? 1 ? x2 ,(a ? 1 ? 1) , 则 f ( x) 在

(0, x1 ],[ x2 , ??) 上为增函数,在 ( x1 , x2 ) 上是减函数; 1 ? ( x1 , x2 ), f (1) ? 0 ,显然不适合题意. 综上:
a?2
22.证明: (Ⅰ)设 BC ? x ,则 AC ? BD ? BC ? x , CF ?

3 x ,易得: 3

DE 2 ? BD ? AD ? 3x2 ? DE ? 3x ; EC ? CF ? BC ? AC ? x2 ?
EC ? 3 x ? BC ? AC ? x 2 ? EC ? 3x ? DE ? EC 3

(Ⅱ) DE ? EC ,点 B 为中点 ? EB ? BD ? EA 为直径, ED 为切线 ? AE ? ED
6

23.解:(Ⅰ) C1 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心 C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ; (Ⅱ)圆心为 (?1, 3) 到直线的距离为

?1 ? 3 ? 1 2

?

6 ? AB ? 10 . 2

24. 解:(Ⅰ) | 2 x ? m | ? x ? 1 ?

?m ? 1 ? 3 m ?1 ? x ? m ? 1 ,则 ? ? m ? 4, 3 ?m ? 1 ? 5

(Ⅱ) a 2 ? b 2 ?

(a ? b) 2 16 ? ,当且仅当 a ? b 时, 取等号, a 2 ? b 2 的最小值为 8 2 2

7


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