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2015《基本不等式的应用》


一、选择题(每题4分,共16分) 1.下列函数中最小值为4的是( (A)y=x+ 4 (B)y=sinx+ 4 (0<x<π ) (C)y=3x+4×3-x
sinx x

)

(D)y=lgx+4logx10

4 4 【解析】选C.A中无最小值,∵x+

≥4或x+ ≤-4,B中等号 x x

不成立,D中不能保证lgx>0.

2.(2014·临沂模拟)设x,y为正实数,且x+2y=1,则 的最小值为( )

1 1 + x y

(A)2+2 2 (B)3+2 2 (C )2 (D )3 【解题提示】用1的代换转化成可利用基本不等式.

【解析】选B.∵x>0,y>0,且x+2y=1, ∴ 1 + 1 =( + )(x+2y)
x y =1+ 2y + x +2 x y =3+ 2y + x ≥3+2 2y ?x =3+2 2. x y x y 当且仅当 2y = x , 即x= 2 y时取“=”. x y 1 1 x y

3.(2014·绵阳高二检测)若x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最 小值是( )

(A)18 3

(B )4 6

(C )6 3

(D)10

【解析】选A.由3x+3y≥ 2 3x ? 3y =2 3x+y =2 35 =18 3 当且仅当3x=3y,即x=y时取等号.

故3x+3y的最小值是18 3.

4.函数 y=log 1 (x+

(A)-2

2

(B ) 2

1 +1) (x>1)的最大值是( x-1

)

(C)-3

(D )3

【解析】

二、填空题(每题4分,共8分) 5.(2010·沈阳高二检测)函数y=loga(x+3)-1(a>0 且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其 中m,n>0,则
1 2 + 的最小值为____. m n

【解题提示】先求出A点坐标,再确定m、n的关系.利用1 代换,再用基本不等式求解.

【解析】∵函数y=loga(x+3)-1恒过(-2,-1)点. ∴-2m-n+1=0, ∴2m+n=1.
1 2 2m+n 4m+2n + = + m n m n n 4m =4+ + m n n 4m ? 4+2 ? =8. m n 当且仅当 n = 4m , 即n=2m时取等号. m n 1 2 ∴ + 的最小值为8. m n



答案:8

6.(2010·开封高二检测)某校要建造一个容积为8 m3,深为

2 m的长方体无盖水池.池底和池壁的造价每平方米分别为240
元和160元,那么水池的最低总造价为____元.

【解析】设水池的底的宽为x m,水池的总造价为y元.由已 知得水池的长为
8 4 = . 2x x 4 +4x)〓160 x

所以y=4〓240+(2〓2〓 =960+(16 +4x)〓160 ≥960+160〓2 16 ? 4x =3 520 当且仅当
x
x

答案:3 520

16 =4x,即x=2时取等号. x

三、解答题(每题8分,共16分)

7.已知正常数a,b和正变数x,y,满足a+b=10,a + b =1,x+y的最
小值是18,求a,b的值.
x y

【解析】x+y=(x+y)( a + b )=a+b+
x y

bx ay + y x

≥a+b+2 ab=( a + b)2 , ∴( a + b )2=18. 又∵a+b=10, ∴a=2,b=8或a=8,b=2.

9.(10分)设一动直线l与曲线C:(x-1)2+(y-1)2=1相切,此直
线和x轴、y轴的交点分别为A、B,且OA=a,OB=b(a>2,b>2). (1) a、b之间满足什么关系? (2)求△OAB的面积的最小值.

【解析】

2 , b=2〒 2. b-2 ∵b>2,∴b=2+ 2.

此时b-2=

∴△OAB面积的最小值为3+2 2.


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