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导函数大专题-文科


导函数
1.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? a (Ⅰ)求 f ?x ? 的单调递减区间 (Ⅱ)求 f ?x ? 在区间 ?? 2,2?上的最值

2.已知 f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b, x ? ?? 1,2? 的最大值为 3 , 最小值为 ? 29 , 求 a, b 的值

3.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值
3 2

(Ⅰ)讨论 f ?1? 和 f ?? 1? 的极大值还是极小值 (Ⅱ)求在点 M ?1, f ?1?? 处切线方程 (Ⅲ)过点 A?0,16? 作曲线 y ? f ?x ? 的切线,求此切线方程

2 3 2 4. 已 知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 和 g ( x) ? bx ? 3x ? 2 , 若 y ? f ?x ? 在 点

x ? ?1 处有极值,且曲线
y ? f ?x ? 和 y ? g ? x ?在交点 ?0, 2? 处有公切线
(Ⅰ)求 a, b, c 的值

1

(Ⅱ)求 f ?x ? 的极大值和极小值

5.函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 过点 P?0,2? 且在点 M ?? 1, f ?? 1?? 处的切线方 程为 6 x ? y ? 7 ? 0 (Ⅰ)求 f ?x ? 的解析式 (Ⅱ)求 f ?x ? 的单调区间

6. 已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像过点 p?0,1? 且在点 x ? 1 处的切线方程为
4 2

y ? x?2
(Ⅰ)求 f ?x ? 的解析式 (Ⅱ)求 f ?x ? 的单调递增区间

7.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16
3

(Ⅰ)求 a, b 的值 (Ⅱ)若 f ( x) 有极大值 28 ,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的值域

2

8. 已知直线 l1 为曲线 y ? x 2 ? x ? 2在点?1,0? 处的切线, l 2 为该曲线的另一切 线,且 l1 ? l2 (Ⅰ)求直线 l 2 的方程 (Ⅱ)求直线 l1 、 l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积

三次函数问题
3 2 1.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? bx (其中常数 a, b ? R , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇

函数. (Ⅰ)求 f ( x) 的表达式 (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 ? 1 , 2? 上的值域

2.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3(a ? 1) x ? 6ax ? 8, 其中 a ? R
3 2

(Ⅰ)若 f ?x ? 在 x ? 3 处取得极值,求常数 a 的值 (Ⅱ)若 f ?x ? 在 ?? ? ,0 ? 上为增函数,求 a 的取值范围

3

3. 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的 图 像 在与 x 轴 交 点 处 的切 线 方程 是

y ? 5 x ? 10
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式 (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围 3

以及函数 g ( x) 取得极值时 对应的自变量 x 的值

4.已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R (Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线的斜率 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间

5.已知函数 f ?x ? ? e x ? ax ? a ,其中 a 是常数.
x 2

?

?

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程 (Ⅱ)求 f ?x ? 在区间 ?0,??? 上的最小值

4

6.已知函数 f ?x ? ? mx2 ? ?2m ? 8?x ? 8 ln x ,求函数单调区间

7.已知函数 f ?x ? ? x 3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (Ⅰ)设 a ? 2 ,求 f ?x ? 的单调区间 (Ⅱ)设 f ?x ? 在区间 ?2, 3? 中有且只有一个极值点,求 a 的取值范围

8.已知函数 f ?x? ? x 3 ? ?1 ? a?x 2 ? a?a ? 2?x ? b 在 ?? 1,1? 不单调,求 a 的取值 范围

9.已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ( a ? 0 ), g ( x) ? x ? bx .
2 3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x ) 在它们的交点 ?1 ,c? 处具有公共切线, 求 a, b 的值 (Ⅱ)当 a ? 3, b ? ?9 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [k , 2] 上的最大值为 28 ,求

k 的取值范围

5

10.已知函数 f ( x) = ax3 ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a ? 0 2

(Ⅰ)若 a ? 1 求曲线 f ?x ? 在 x ? 2 处的切线方程 (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围 ? 2 2? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax . 3 2 2 (Ⅰ)若 f ( x) 在 ( ,??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围 3 16 (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1, 4 ] 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上 3
11.设 f ( x ) ? ? 的最大值

(0 ? x ? 2?) 12.设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ? 1 ,求函数 f ? x ? 的单调区间
与极值

6

? ? 13.设 f ( x) ? x ? ax ? bx ??的导数 f '( x) 满足 f '(?) ? ?a, f '(?) ? ?b ,其中

常数 a, b ? R (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程 (Ⅱ)设 g ( x) ? f '( x)e
?x

,求函数 g ( x) 的极值

分类讨论
1、最高次系数 2、 ? 的判断及讨论(因式分解) 3、极值点位置关系讨论 4、 极值点是否在定义域讨论 1.求函数 f ? x ? ?

1 2 x ? a ln x?a ? R ? 的单调区间 2

2.已知函数 f ?x? ? ln?x ? 1? ? x ?

k 2 x 2

(Ⅰ)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1处的切线方程 (Ⅱ)求 f ?x ? 的单调区间

7

3.设函数 f ? x ? ? ?2 ? a ? ln x ?

1 ? 2ax x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ?x ? 的极值 (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ?x ? 的单调区间

4.已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? 1 ? a ln x, a ? 0, x

21 世 纪教 育网

(Ⅰ)设 a ? 3 ,求 f ( x) 在区间 1, e 2 上值域 (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性

? ?

5.设函数 f ? x ? ? ?

1 3 x ? x2 ? m2 ?1 x 3

?

?

(Ⅰ)当 m ? 1时,曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1 处的切线方程 (Ⅱ)求函数的单调区间

6.设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax ,求 f ( x) 的单调区间
2 2

8

7.设 a ? 0 ,讨论函数 f ?x? ? ln x ? a?1 ? a?x 2 ? 2?1 ? a?x 的单调性

8.定义在 R 上的二次函数 R?x ? ? ax ? bx ? c 满足 2
2

R ?? x ?

? 2 R ? x ? ? 0 ,且 R?x?

的最小值为 0 , 函数 h? x ? ? ln x ,又函数 f ? x ? ? h? x ? ? R? x ? (Ⅰ)求 f ?x ? 的单调区间 (Ⅱ)当 a ?

1 时,若 x 0 ? ?1,3?,求 f ?x0 ? 的最小值 2

9.已知函数 f ? x ? ? x ln x (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的极值点 (Ⅱ)若直线 l 过点 ?0,?1? ,并且与曲线 y ? f ?x ? 相切,求直线 l 的方程 (Ⅲ)设函数 g ?x ? ? f ?x ? ? a?x ? 1? ,其中 a ? R ,求函数 g ?x ? 在 ? 1, e? 上的最 小值

9

恒成立问题 1(分离参数)
一.已知 y ? f ?x ? 值域为 ?a, b? ,则 (1)当 m ? f ?x ? 恒成立时, m 取值范围是 (2)当 m ? f ?x ? 恒成立时, m 取值范围是 1.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1
3

(Ⅰ) f ?x ? 在 ?? 2,1? 单调递减,求 a 的范围 (Ⅱ) f ?x ? 在 ?? 2,1? 单调递增,求 a 的范围

2 2. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? a ln x .若函数 f ? x ? 在区间 ? 0 ,1? 上恒为单调函

数,求实数 a 的取值范围

3.已知函数 f ?x ? ?

1 3 k ?1 2 ? ? ? 上为增函数,求 k 的取值范围 x ? x 在 ?2, 3 2

10

4.函数 f ( x) ? ax ? ln x ,函数 g ( x) 的导函数 g ?( x ) ? e ,且 g(0) g?(1) ? e
x

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值 (Ⅱ)若 ?x ? (0, ??) ,使得不等式 g ( x) ? 范围 (Ⅲ) 当 a ? 0 时,对于 ?x ? (0, ??) ,求证: f ( x) ? g ( x) ? 2 .

x?m?3 成立,试求实数 m 的取值 x

5.已知函数 f ( x) ? x +a ln x.
2

(Ⅰ)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间 (Ⅱ)若函数 g ? x ? ? f ( x) ?

2 +? ? 上单调增函数,求实数 a 的取值范围 在 ?1, x

6.已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2ax2 ? 3x . 3

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (3, f (3)) 的切线方程 (Ⅱ)对一切 x ? ?0,?? ? , af ?( x) ? 4a2 x ? ln x ? 3a ?1 恒成立,求实数 a 的取值 范围 (Ⅲ)当 a ? 0 时,试讨论 f ( x) 在 (?1,1) 内的极值点的个数.

11

7.已知函数 f ( x ) ? ax ?

a ? 3ln x x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的最小值 (Ⅱ)若 f ( x ) 在 [2, e] 上单调递增,求实数 a 的取值范围

8.已知函数 f ?x ? ?

1 ? ln x x

(Ⅰ) 若 a ? 0 且函数 f ?x ? 在区间 ? a, a ? (Ⅱ)如果当 x ? 1时,不等式 f ?x ? ?

? ?

1? ? 上存在极值,求实数 a 的取值范围 2?

k 恒成立,求实数 k 的取值范围 x ?1

9.设函数 f ?x ? ? x e ? 1 ? ax
x

?

?

2

(Ⅰ)若 a ?

1 ,求 f ?x ? 的单调区间 2

(Ⅱ)若当 x ? 0 时 f ?x ? ? 0 ,求 a 的取值范围

12

10. 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0
(Ⅰ)求 a , b 的值 (Ⅱ)已知 x ? 0 , x ? 1 ,证明:当 k ? 0 f ( x ) ?

ln x k ? x ?1 x

x2 ? a , ?x ? R ? 11.函数 f ?x ? ? ex
(Ⅰ)当 a ? ?15时,求 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [ , e] 上是增函数,求实数 a 的取值范围

1 e

12. 函数 f ( x) ? 处的切线相同

1 2 x ? 2ex 与 g ( x) ? 3e 2 ln x ? b 的图像有公共点 , 且在该点 2

(Ⅰ)求实数 b 的值 (Ⅱ) 当 x ? ?1, e? 时, 2( f ( x) ? 2ex ) ?

a (2 g ( x) ? e 2 ) ? (a ? 2) x 恒成立, 求 2 6e

a 的取值范围

13

恒成立问题 2(构造函数)
f ?x ? ? g ?x ? 在 ?a, b? 恒成立( g ? x ? 图像恒在 f ?x ? 上方)的等价证明条件是

h? x ? ? g ? x ? ? f ? x ?

1.证明下列不等式: (1) sin x ? x, x ? ?0, ? ?

x (2) e ? x ? 1

(3) ln x ?1 ? x

(4) x ? 0 时, ln?1 ? x ? ? x ?

1 2 x 2

(5) x ? 1时, x ? ln x ?
2

1 2

2 3 1 x ? 3 6

2.当 x ? 0 时 ln?x ? 1? ?

2x x?2

14

2 3.设函数 f ?x ? ? x ? ax ? b ln x ,曲线 y ? f ?x ? 过 P?1,0? ,且在 P 点处的切线

斜率为 2 (Ⅰ)求 a, b 的值 (Ⅱ)证明: f ?x ? ? 2 x ? 2

4.函数 f ? x ? ? 1 ? e ,证明:当 x>-1 时, f ? x ? ?
?x

x x ?1

5.设 a 为实数,函数 f ?x? ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值 (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1 且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1
x 2

6.设 f ?x ? ? ln x, g ?x ? ? f ?x ? ? f ' ?x ? (Ⅰ)求 g ?x ? 的单调区间和最小值 (Ⅱ)证明: g ?x ? ? g ?

?1? ? 在 x ? 1时恒成立 ? x?

(Ⅲ)求 a 的取值范围,使得 g ?a ? ? g ?x ? ?

1 对任意 x ? 0 成立 a

15

7.设函数 f ?x ? ? x ? b ln?x ? 1?
2

(Ⅰ)若函数 y ? f ?x ? 在定义域上是单调函数,求 b 的取值范围 (Ⅱ)若 b ? ?1 ,证明对于任意的 n ? N ? ,不等式 f ? ? ?

?1? ?n?

1 n3

8.已知 f ?x ? ?

x ? e x ? aea ,求证:当 a ? ?2 时,函数 f ?x ? 在 ?a,??? 单调递增 x?a

9. 已 知 f ( x) ? ax ?

b ? 2 ? 2a (a ? 0) 的 图 像 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 与 直 线 x

y ? 2 x ? 1 平行
(Ⅰ)求 a, b 满足的关系式 (Ⅱ)若 f ( x) ? 2ln x在[1,+?) 上恒成立,求 a 的取值范围

10.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a) x (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性 (Ⅱ)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 时, a

?1 ? f ? ? x? ? ?a ?

?1 ? f ? ? x? ?a ?

16

11.已知函数 f ? x ? ?

2a 2 2 ? x ? a ln x ,函数 g ?x ? ? ? 1 x x

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性 (Ⅱ)当 a ? 1 时,求证不等式 f ?x ? ? g ?x ?

12.已知函数 f ?x ? ? ax ? bx ? ln x
2

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 f ( x) 的单调性 (Ⅱ)设 a ? 0 ,对于任意 x ? 0, f ?x ? ? f ?1? ,试比较 ln a 与 ? 2b 的大小

13.函数 f ( x) ?

ax ? b 在点 (?1, f (?1)) 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . x2 ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式 (Ⅱ)设 g ( x) ? ln x ,求证: g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成立

17

14. 函 数 f ( x) ? ax2 ? 1nx(a ? R) , 在 公 共 定 义 域 D 上 的 函 数

g ?x ? , f1 ( x), f 2 ( x) 满足 f1 ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ,就称 g ?x ? 为 f1 ( x)、f 2 ( x) 的
“活动函数”,函数 f1 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 )1nx , f 2 ? x ? ?

1 2

1 2 x ? 2ax , 2

若在区间 (1,??) 上,函数 f ( x) 是 f1 ( x)、f 2 ( x) 的“活动函数”,求实数 a 的 取范围

2015 高考数学专题复习:恒成立问题 3(等价证明)
(1) ?x1 , ?x2 , f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则有 (2) ?x1 , ?x2 , f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则有 (3) ?x1 , ?x2 , f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则有 (4) ?x1 , ?x 2 , f ?x1 ? ? g ?x 2 ? ,则有 1. 已 知 f ? x ? ? x ? ln x, g ? x ? ?

ln x 1 ? , 求 证 对 任 意 x1 ? (0, 2) , 任 意 x 2

x 2 ? ?0,3? ,使 f ?x1 ? ? g ?x2 ?恒成立

18

2.设函数 f ? x ? ? ln x ? ax ?

1? a ?1 x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1处的切线方程 (Ⅱ)当 a ?

1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间 3
5 ,若对于 12

( Ⅲ ) 在 ( Ⅱ ) 的 条 件 下 , 设 函 数 g ?x ? ? x 2 ? 2bx ?

?x1 ? ?1,2?, ?x 2 ? ?0,1?,使 f ?x1 ? ? g ?x 2 ?
成立,求实数 b 的取值范围

3.已知函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? ?2a ? 1?x ? 2 ln x, ?a ? R ? . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值 (Ⅱ)求 f ?x ? 的单调区间
2 ( Ⅲ ) 设 g ? x ? ? x ? 2 x , 若 对 任 意 x1 ? ?0,2? , 均 存 在 x 2 ? ?0,2? , 使 得

f ?x1 ? ? g ?x 2 ? ,求 a 的取值范围

19

4.已知函数 f ?x ? ? ax ? ln x.?a ? R ? (Ⅰ)求 f ?x ? 的单调区间
2 ( Ⅱ ) 若 a ? 0 , 设 g ?x ? ? x ? 2 x ? 2 , 若 对 任 意 x1 ? ?0, ? ?? , 均 存 在

x2 ? ?0, 1? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x 2 ? ,
求 a 取值范围

5.设 f ? x ? ?

a ? ln x, g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? 3 x

(Ⅰ)求函数 y ? f ?x ? 的单调区间 (Ⅱ)如果存在 x1 , x 2 ? ?0,2? ,使 m?x ? ? g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? M 成立,求满足上述 条件的最大整数 M (Ⅲ)如果存在任意的 s, t ? ? ,2? ,都有 f ?s ? ? g ?t ? 成立,求实数 a 的取值范 2 围

?1 ? ? ?

6.已知 f ( x) ? 1 ? x ln x ? x, g ? x ? ? ?x ? 2ax. ? a ? 0?
2

(Ⅰ)求函数 y ? f ?x ? 的单调区间 (Ⅱ)若对任意 x2 ? ?0,1? ,均存在 x1 ? ? 0, ?? ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,求 a 的 取值范围.

20

恒成立证明
1.已知函数 f ?x ? ? x ? a ln x 在 ?1,2? 是增函数, g ?x ? ? x ? a x 在 ?0,1? 为减函
2

数 (Ⅰ)求 f ? x ?, g ? x ? 的表达式 (Ⅱ)求证:当 x ? 0 时,方程 f ?x ? ? g ?x ? ? 2 有唯一解 (Ⅲ)当 b ? ?1 时,若 f ?x ? ? 2bx ?

1 在 x ? ?0,1? 内恒成立,求 b 取值范围 x2

2.设函数 f ( x) ? a 2 ln x ? x 2 ? ax (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)求所有正实数 a ,使 e ? 1 ? f ( x) ? e 对 x ? [1, e] 恒成立.
2

ax3 3.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2x . 3
(Ⅰ)若 f ( x) 在 R 上单调递减,求实数 a 的最大值
x 2 (Ⅱ)若 a ? 2 , g ( x) ? e ? f '( x) 若函数 g ( x) ? m ? m ? 2 在区间 [0,1] 上恒成

立,求实数 m 的取值范围.

21

4. 已 知 函 数 f ?x? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? b 的 图 像 在 x ? 0 处 的 切 线 方 程 为 3

y ? 3x ? 2
(Ⅰ)求实数 a, b 的值 (Ⅱ)设 g ?x ? ? f ?x ? ?

m 是 ?2,??? 上的增函数,求实数 m 的最大值 x ?1

5.设 f ( x) ? ln x ? x ? 1 ,证明: (Ⅰ)当 x ? 1时, f ?x ? ?

3 ?x ? 1? 2

(Ⅱ)(放缩法)当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ?

9( x ? 1) x?5

6.设函数 f ? x ? ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx 2

1 时,求 f ?x ? 的最大值 2 1 2 a ( Ⅱ ) 令 F ? x ? ? f ? x ? ? ax ? bx ? , 0 ? x ? 3 , 其 图 象 上 任 意 一 点 2 x 1 P?x0 , y 0 ? 处切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的取值范围 2
2 (Ⅲ)当 a ? 0, b ? ?1 ,方程 2m ? f ?x ? ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.

22

7.已知函数 f (x)=x ? ln (x +a) 的最小值为 0 ,其中 a>0 . (Ⅰ)求 a 的值 (Ⅱ)若对任意的 x ? [0,+? ) ,有 f (x) ? kx 成立,求实数 k 的最小值
2

8.已知函数 f ( x) ? ln x ? a ( x ? 1) , a ? R (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性 (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ?x ? ?

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x ?1

9.已知函数 f ?x ? ? lg? x ?

? ?

a ? ? 2 ? ,其中 a 是大于 0 的常数 x ?

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的定义域 (Ⅱ)当 a ? ?1,4 ? 时,求函数 f ?x ? 在 ?2,??? 上的最小值 (Ⅲ)若对任意 x ? ?2,?? ? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试确定 a 的取值范围

23

10.已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 ? ax , x ? ?0,?? ? x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ?x ? 的最小值 (Ⅱ)若 f ?x ? 在 ?2,??? 上是单调函数, 求 a 的取值范围.

11.已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x

(Ⅰ) 若曲线 y ? f ? x ?在点 P?2, f ?2 ?? 处的切线方程为 y ? 3 x ? 1 , 求函数 f ?x? 的解析式 (Ⅱ)讨论函数 f ?x ? 的单调性 (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ? x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的 4 2 取值范围.

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

12.设 f ?x ? ? (Ⅰ)当 a ?

ex ,其中 a 为正实数. 1 ? ax2

4 时,求 f ?x ? 的极值点 3
?1 3? ? ?

(Ⅱ)若 f ?x ? 为 ? , ? 上的单调函数,求 a 的取值范围 2 2

24

13.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程 (Ⅱ)当 a ? 0 时,函数 f ?x ? 在区间 ? 1, e? 上的最小值为 ? 2 ,求 a 的取值范围 (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,且 f ( x1 )+2x1 ? f ( x2 )+2x2 恒成立, 求 a 的取值范围.

14.已知函数 f ( x) ?

ex ? a , g ( x) ? a ln x ? a x

(Ⅰ) a ? 1 时,求 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间 (Ⅱ)若 x ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象总在函数 y ? g ( x ) 的图像的上方,求 实数 a 的取值范围.

1 2 ax ? ?2a ? 1?x ? 2 ln x.?a ? R ? 2 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值
15.已知函数 f ? x ? ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间 ( Ⅲ ) 设 g ( x) ? x ? 2 x , 若 对 任 意 x1 ? (0, 2] , 均 存 在 x2 ? (0, 2] , 使 得
2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

25

16.设函数 f ?x ? ?

1 3 x ?x 3

(Ⅰ)若 f ? x ? ? k ? 2005在 ?? 2,3? 恒成立,求最小正整数 k (Ⅱ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? 轴形成面积最小值

1 2 ax ? x, ?a ? 2? ,则 g ?x? 在 ?1, g ?1?? 处切线与两坐标 2

17.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? ln x, a ? R .
2

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在?1 , 2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围 (Ⅱ)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? ? 0, e? 时,函数 g ? x ?
2

的最小值是 3.若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

图像交点问题
1.(1)直线 y ? a 与函数 f ?x ? ? x ? 3x ? 1 的图像有三个公共点,求 a 的取值
3

范围 (2)若方程 f ?x ? ? x3 ?

9 2 x ? 6 x ? a 有且仅有一个零点,求 a 的取值范围 2

2.函数 f ?x? ? 4 x ? 3x ?18x ? a ? 5 在区间 ?? 1,2? 有 2 个零点,求 a 的取值范
3 2



26

3? 上有三个零点,求实数的取值范围 3.函数 f ?x? ? ln x ? ax 在区间 ?0,

4.已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x2 ?10x 的一个极值点. (Ⅰ)求 a (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间 (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围.

5.已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a 3 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ) a ? 0, 若函数 f ( x) 在区间 (?2,0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围

6.已知函数 f ( x) ?

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数

y ? f ( x) 的单调区间
(Ⅱ)若对于任意 x ? ?0,?? ? ,都有 f ( x ) ? 2( a ? 1) 成立,试求 a 的取值范围
?1 (Ⅲ) 记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b (b ? R) .当 a ? 1 时, 函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上

有两零点,求实数 b 取值范围

27

7.(2013 青岛期中)已知函数 f ? x ? ? e ?
x

1 2 x ? ax.?a ? R ? 2

(Ⅰ)若函数在 R 上是增函数,求 a 的取值范围 (Ⅱ)如果函数 g ?x ? ? f ?x ? ? ? a ? 值范围

? ?

1? 2 ? x 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,求 a 的取 2?

8. 已知函数 f ? x ? ?

1 3 k ?1 2 1 x ? x , g ?x ? ? ? kx .?k ? 1? 的图像有三个不同的交 3 2 3

点,求实数 k 的取值范围

9.已知函数 f ?x? ? x ? 2 ln x, g ?x? ? x ? x ? a
2 2

(Ⅰ)求 f ?x ? 的极值 (Ⅱ) 若函数 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? 在区间 ?1,3? 上恰有两个不同的零点, 求实数 a 的 取值范围

28

10.已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 2
2

(Ⅰ)判断曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与曲线 y ? g ( x) 的公共点个数 (Ⅱ)当 x ? ? , e ? 时,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个零点,求 a 的取值范围. e

?1 ?

? ?

11.已知函数 f ?x ? ? x 2 ? ax ? a ln?x ? 1? (Ⅰ) a ? 1 时,求 f ?x ? 最值 (Ⅱ)求 f ?x ? 单调区间 (Ⅲ)是否存在 a ?a ? 1? 使求 y ? f ?x ? 的图像与 y ?

3 ? ln 2 无公共点 4

2 12.已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? x ? 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)若 a ? 0 ,求 f ( x) 在区间 (0, a] 上的最大值 (Ⅲ) 设函数 g ?x? ? x ? ?1 ? 2e?x ? ?m ? 1?x ? 2 , 讨论函数 f ( x) 与 g ( x) 图像
3 2

交点的个数.

29

13. f ( x) ? ln(e x ? a) ( a 为常数)是 R 上的奇函数,函数 g ( x) ? ? x ? cos x 在

, ? ] 上是减函数。 3 3 (Ⅰ)求 a 的值与 ? 的范围
区间 [ (Ⅱ)若对(Ⅰ)中所得的任意实数 ? 都有 g ( x) ? ? t ? 1在 x ? [ 立,求实数 t 的取值范围 (Ⅲ)若 m ? 0 ,试讨论关于 x 的方程

? 2

? 2

, ? ] 上恒成 3 3

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数 f ( x)

最值及其应用
1.已知函数 f ?x ? ? ?x ? k ? ? e (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上的最小值
x

2.已知 f ?x? ? 2ax ? 9ax ? b, x ? ??1,2? 的最大值为 27 ,最小值为 ? 13 ,求函
3 2

数解析式

30

1 3 1 2 x ? x ? 2ax . 3 2 2 (Ⅰ)若 f ( x) 在 ( ,??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围 3 16 (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1, 4 ] 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上 3
3.设 f ( x ) ? ? 的最大值.

4.设函数 f ?x ? ? x ? a ln?x ? 1? 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2
2

(Ⅰ)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性 (Ⅱ)证明: f ?x 2 ? ?

1 ? 2 ln 2 4

5.函数 f ( x) ? ?

?? x3 ? x 2 ? bx ? c ( x ? 1) ? a ln x ( x ? 1)

的图像过点 (?1,2) ,且在 x ?

2 处取 3

得极值. (Ⅰ)求实数 b, c 的值 (Ⅱ)求 f ( x) 在 [?1, e] 上的最大值.

31

6.已知 f ( x) ? 2ax ? (Ⅰ)求 a , b 的值

b 1 ? ln x 在 x ? 1 与 x ? 处都取得极值 x 2

(Ⅱ)若对 x ?[ ,1] 时, f ( x ) ? c 恒成立,求实数 c 的取值范围

1 4

7.设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(Ⅰ) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值 (Ⅱ)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性 (Ⅲ) 若对任意 a ? (2,3) 及任意 x1 , x2 ? [1, 2] , 恒有 ma ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 m 的取值范围.

8.设 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

ex x2 ? a

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间 ( Ⅱ ) 当 x?

1 时 , 函 数 f ( x) 取 得 极 值 , 证 明 : 对 于 任 意 的 2

1 3 3?e x1 , x2 ? [ , ], ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? e 2 2 3

32

9.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a ) x 2 ? 4ax ? 24 a 3

(Ⅰ)讨论 f ?x ? 的单调性 (Ⅱ)若当 a ? 1 且 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围

教育网

10.已知函数 f ?x ? ? (Ⅰ)求 k 的值

ln x ? k ,曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1处的切线与 x 轴平行 ex

(Ⅱ)求 f ?x ? 的单调区间 (Ⅲ)设 h?x ? ? x ? f ' ?x ? ,证明:对任意 x ? 0, h?x ? ? 1 ? e
?2

11.已知函数 f ?x? ?

x , g?x? ? a ln x, a ? R.

(Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ? 与 y ? g ? x ? 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及 该切线的方程 (Ⅱ)设函数 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 h?x? 存在最小之时,求其最小值 ? ?a ? 的解 析式 (Ⅲ) (构造换元)对(Ⅱ)中的 ? ?a ? ,证明:当 a ? ?0,?? ? 时, ? ?a ? ? 1

33

换元构造函数
1.已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性 (Ⅱ)证明:若 1 ? a ? 5,则对任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 x1 ? x2

2.已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性 ( Ⅱ ) 设

a ? ?1 , 如 果 对 任 意

x1 , x 2 ? (0,??)



x1 ? x2 , f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?4?x1 ? x2 ? ,求 a 的取值范围
(Ⅲ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x 2 ? (0,??) , f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 4 x1 ? x2

34

1? x ? ? ? 上是增函数 ? ln x 在 ?1, ax (Ⅰ)求实数 a 的取值范围
3.函数 f ?x ? ?

a?b a?b ? ln b b a?b 1 (Ⅲ)设 b ? 0, a ? 1 ,求证: ln ? b a?b
(Ⅱ)设 b ? 0, a ? 1 ,求证:

4.设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)若 b ? ?12 ,求 f ( x ) 在 [1,3] 的最小值 (Ⅱ)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围 (Ⅲ)对于任意正整数 n ,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

5.已知 f ?x ? ? x ln x, 求 (Ⅰ)函数 f ?x ? 的单调区间 (Ⅱ)不等式 f ?x ? ? kx ?

1 恒成立,求 k 的取值范围 2
x

(Ⅲ)求证: a ? 3 时, f ?a ? x ? ? f ?a ? ? e 恒成立

35

6. 函 数 f ( x) ? axn (1 ? x) ? b( x ? 0) , n 为 正 整 数 , a, b 为 常 数 , y ? f ( x) 在

(1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 .
(Ⅰ)求 a, b 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值 (Ⅲ)证明: f ( x) ?

1 . ne

7.已知函数 f ?x ? ? a ln x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间

2a 2 ? x, ?a ? 0? . x

(Ⅱ)若对 a ? ? ??,0? ,记函数 f ( x) 的最小值为 g ?a ? ,求证: g ? a ? ?

1 2 e 2

8.求证:当 x ? 1 时,不等式

x e x ?1

1

? x x ?1 ? e 恒成立

36

导函数习题
(14 理)设函数 f ? x ? ?

ex ?2 ? ? k ? ? ln x ? ,其中 k 为常函数 2 x ?x ?

(Ⅰ)若 k ? 0 ,求函数 y ? f ?x ? 的单调性

2? 内存在两个极值点,求 k 的取值范围 (Ⅱ)若函数 y ? f ?x ? 在 ?0,

(14 文)设函数 f ? x ? ? a ln x ?

x ?1 ,其中 a 为常函数 x ?1

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1 处的切线方程 (Ⅱ)讨论函数 y ? f ?x ? 的单调性

(13 理)设函数 f ?x ? ?

x ?c e2x

(Ⅰ)求 f ?x ? 的单调区间和最大值 (Ⅱ)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ?x ? 根的个数

(13 文)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x (a, b ? R)
2

(Ⅰ)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,比较 ln a 与 ?2b 的大小

37

(12 文理) 已知函数 f ?x ? ? 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值

ln x ? k , 曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与 x ex

(Ⅱ)求 y ? f ?x ? 的单调区间 (Ⅲ)设 g ?x ? ? x ? x f
2

?

? ?x? ,其中 f '( x) 为 y ? f ?x? 的导函数,证明:对任意
'

x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e ?2 (理)

(10 文理)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x
(文科)

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 (Ⅱ)当 a ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性 文理 2 1 2 (Ⅲ) g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2? , 4
使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 b 取值范围

38

(09 文)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 , (a ? 0) 3

(Ⅰ)当 a, b 满足什么条件时, f ?x ? 取得极值 (Ⅱ) 已知 a ? 0 , 且 f ?x ? 在区间 ?0,1? 上单调递增, 试用 a 表示 b 的取值范围.

(08 理)已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1) ,其中 x ? N ? , a 为常数. (1 ? x) n

(Ⅰ)当 n ? 2 时,求函数 f ( x) 的极值 (Ⅱ)当 a ? 1 时,证明:对任意的正整数 n ,当 x ? 2 时,有 f ? x ? ? x ? 1

(08 文)设函数 f ( x) ? x e 点 (Ⅰ)求 a 和 b 的值 (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性 (Ⅲ)设 g ( x) ?

2 x ?1

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值

2 3 2 x ? x ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小 3

(07 理)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) , 其中 b ? 0 .
2

(Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值点
39

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( ? 1) ?

1 n

1 1 ? 都成立. n 2 n3

(07 文) 设函数 f ( x) ? ax ? b ln x , 其中 ab ? 0 . 证明: 当 ab ? 0 时, 函数 f ( x)
2

没有极值点; 当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极值点,并求出极值.

(06 理)设函数 f ?x ? ? ax ? ?a ? 1?ln?x ? 1?,其中 a ? ?1 ,求 f ?x ? 的单调区 间

(06 文)函数 f ?x ? ? 2 x 3 ? 3?a ? 1?x 2 ? 1,其中 a ? 1 (Ⅰ)求 f ?x ? 的单调区间 (Ⅱ) 讨论 f ?x ? 的极值

(05)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1的一个极值点
3 2

40

(Ⅰ)求 m 与 n 的关系表达式 (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间 (Ⅲ) 当 x ? ? ?1,1? 时, 函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点的切线斜率恒大于 3m , 求 m 的取值范围

(04)已知 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围.

导函数
1.设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x 的单调性.

2.已知 a, b 为常数,且 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x, f ?e? ? 2 (Ⅰ)求实数 b 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间 ( Ⅲ ) 当 a ? 1 时 , 是 否 同 时 存 在 实 数 m 和 M ?m ? M ? , 使 得 对 每 .一 .个 .

? ?1 ? ? t ? ?m, M ? ,直线 y ? t 与曲线 y ? f ( x), ? ? x ? ? e , e? ? ? 都有公共点?若存 ? ?? ?
在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M ;若不存在,说明理由

41

3.设函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x(a ? R ). x

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性 (Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点 x1和x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线 的斜率为 k ,问:是否存在 a ,使得 k ? 2 ? a ? 若存在,求出 a 的值,若 不存在,请说明理由.

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) . 2 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值
4.已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间

5.设 f ?x ? ?

1 3 x ? mx2 ? nx . 3

(Ⅰ)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ?x ? 的解析式 (Ⅱ)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ?x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试 求 m 和 n 的值.

42

6.已知 a, b 为常数,且 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x, f ?e? ? 2 (Ⅰ)求实数 b 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间

7.已知函数 f ? x ? ?

ln x a ? ? 1, ?a ? R ? x x

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的图像在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程
2 (Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 在区间 0, e 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

?

?

8.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R)
3 2

2? (Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0 处的切线过点 ?2,
43

(Ⅱ)若 f ?x ? 在区间 ?1,3? 内取得极小值,求 a 的取值范围

9. 设 函 数 f ( x) 定 义 在 (0, ??) 上 , f (1) ? 0 , 导 函 数 f ?( x) ?

1 , x

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) .
(Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值 (Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系

1 x

10.已知 函数 f ( x) ?

2 1 x ? , h( x) ? x . 3 2

(Ⅰ)设函数 F? x ? ? f ? x ? ? h?x ? ,求 F ?x ? 的单调区间与极值

3 3 (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程 log4 [ f ( x ? 1) ? ] ? log2 h(a ? x) ? log2 h(4 ? x) 2 4

44

11.定义在 R 上的函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx a, b为常数 , 在 x ? ?1 处取极值, 且 f ? x ? 的图像在

?

?

P ?1, f ?1? ? 处的切线平行直线 y ? 8x .
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式及极值 (Ⅱ)求不等式 f ? x ? ? kx 的解集

12.已知函数 f ( x) ?

ex x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)若 k ? 0 ,解不等式 f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0

13.已 知函数 f ? x ? ?

x ?1 ? ln ? x ? 1? , 其中实数 a ? 1 x?a

(Ⅰ)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0 ? 处的切线方程 (Ⅱ)若 f ? x ? 在 x ? 1处取得极值,试讨论 f ? x ? 的单调性

?

?

45

14. 设 函 数

f ? x ? ? x3 ? 3bx 2 ? 3cx 在 两 个 极 值 点 x1、x2 , 且

x1 ? [?1, 0], x2 ? [1, 2].
(Ⅰ)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的 点 ? b, c ? 的区域 (Ⅱ) (线性规划)证明: ?10 ? f ? x2 ? ? ?

1 2

15.已知函数 f ?x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 ?e, f ?e ?? 处的切线斜率为 3 (Ⅰ)求实数 a 的值 (Ⅱ)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1恒成立,求 k 的最大值 x ?1

16.函数 f ?x ? ? ln x ? ax . (Ⅰ)讨论函数 f ?x ? 的单调区间和极值 ( Ⅱ ) 已 知 x1 ? 明: x 2 ? e
3 2

e 和 x 2 是 函 数 f ?x ? 的 两 个 不 同 的 零 点 , 求 a 的 值 并 证

46

17.已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x , x ?[?2, t ](t ? ?2). (Ⅰ)当 t ? 1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间 (Ⅱ)设 f (?2) ? m, f (t ) ? n, 求证 m ? n (Ⅲ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? 2)e x , 求 g ?x ? 的单调区间

18.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数) .
2

(Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求函数 f ( x) 的极值 (Ⅱ)若 a ? b ? ?2 ,讨论函数 f ( x) 的单调性.

19.函数 f ( x) ?

x2 ? a (a ? R). x ?1
1 x ? b ,求实数 a, b 的值 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ?

(Ⅱ)若 f ( x)在x ? 1 处取得极值,求函数 f ( x) 的单调区间 (Ⅲ)求函数 f ( x) 的单调区间

47

20. (Ⅰ) 讨论函数 f ( x) ?

ln x ?1 ( x ? [e , e] )的图像与直线 y ? k 的交点个数. x2 ln1 ln 2 ln 3 ln n 1 (Ⅱ) 求证:对任意的 n ? N * ,不等式 4 ? 4 ? 4 ? ??? ? 4 ? 总成 1 2 3 n 2e



21.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图像在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线的斜率为 1 ,问: m 在什 么范围取值时,对于 任意的 t ? [1,2] ,函数 g ( x) ? x ? x [
3 2

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在 2 p ? 2e ? 3 ,若在区间 [1, e] 上至 x

极值? (Ⅲ)当 a ? 2 时,设函数 h( x) ? ( p ? 2) x ?

少存在一个 x0 ,使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.

22. 已知 a, b 是实数,函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx,
3 2

f ?( x) 和 g ?( x) 是

f ( x ), g ( x ) 的导函数,若

f ?( x ) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性一致.
48

(Ⅰ) 设a ? 0, 若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [ ?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的 取值范围 (Ⅱ)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a , b 为端点的开区间上单 调性一致,求 a ? b 的最大值.

49



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