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圆锥曲线离心率(取值范围)的求法(教师版、学生版)


圆锥曲线离心率(取值范围)的求法(教师版)
知识储备: 离心率: e ?

c ;椭圆的离心率 0 ? e ? 1 ,双曲线的离心率 e ? 1 ,抛物线的离心率 e ? 1 . a

一、离心率的求法 方法一:直接求出 a 、 c ,求解 e
已知圆锥曲线的标准方程或 a 、 c 易求时,可利用率心率公式 e ? 例

1:若椭圆经过原点,且焦点为 F1 ?1,0? 、 F2 ?3,0? ,则其离心率为( A.

c 来解决。 a


3 2 1 1 B. C. D. 4 3 2 4 解: 由 F1 ?1,0? 、F2 ?3,0? 知 2c ? 3 ? 1 , ∴c ? 1, 又∵椭圆过原点, ∴ a ? c ? 1 ,a ? c ? 3 , c 1 ∴ a ? 2 , c ? 1 ,所以离心率 e ? ? .故选 C. a 2
变式练习1:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( A. )

3 2

B.

6 2

C.

3 2

D 2

解:由题设 a ? 2 , 2c ? 6 ,则 c ? 3 , e ?

c 3 ? ,因此选 C a 2

方法二:构造 a 、 c 的齐次式,解出 e 根据题设条件,借助 a 、 b 、 c 之间的关系,构造 a 、 c 的关系(特别 是齐二次式),进而得到关于 e 的一元方程,从而解得离心率 e 。 x2 y2 例 2:已知 F1 、 F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两焦点, a b 以线段 F1 F2 为边作正三角形 MF1 F2 , 若边 MF1 的中点在双曲线上, 则
双曲线的离心率是( D ) A. 4 ? 2 3 B.

3 ?1

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1

变式练习 1:设双曲线

x2 y2 ? ? 1( 0 ? a ? b )的半焦距为 c ,直线 a2 b2 3 c ,则双曲线的离心率为( L 过 ?a,0? , ?0, b ? 两点.已知原点到直线的距离为 4
A. 2 B.

) D.

3

C.

2

解:由已知,直线 L 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,由点到直线的距离公式,得

2 3 3

ab a2 ? b2
整理得 3e ∴e ?
2
4

?

c2 a2

3 c ,又 c 2 ? a 2 ? b 2 , ∴ 4ab ? 3c 2 ,两边平方,得16a 2 ?c 2 ? a 2 ? ? 3c 4 , 4 4 ? 16e 2 ? 16 ? 0 ,得 e 2 ? 4 或 e 2 ? ,又 0 ? a ? b , 3 2 2 2 a ?b b ? ? 1 ? 2 ? 2 ,∴ e 2 ? 4 ,∴ e ? 2 ,故选 A 2 a a

第 1 页 共 8 页

变式练习 2:双曲线虚轴的一个端点为 M ,两个焦点为 F1 、 F2 ,

?F1 MF2 ? 1200 ,则双曲线的离心率为(
A



6 6 3 C D 2 3 3 解:如图所示,不妨设 M ?0, b? , F1 ?? c,0?, F2 ?c,0? ,则

3

B

MF1 ? MF2 ? c 2 ? b 2 ,又 F1 F2 ? 2c ,
在 ?F1 MF2 中, 由余弦定理,得 cos?F1 MF2 ? 即?

MF1 ? MF2 ? F1 F2 2 MF1 ? MF2

2

2

2

,

b2 ? c2 1 1 c 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 4c 2 ?? , ,∴ ? 2 2 2 2 2 b ?c 2 2 c ?b

?

? ? ?

?

?

∵ b ? c ? a ,∴
2 2 2

3 ? a2 1 6 ? ? ,∴ 3a 2 ? 2c 2 ,∴ e 2 ? ,∴ e ? ,故选 B 2 2 2 2 2 2c ? a

方法三:采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例 3: 设椭圆的两个焦点分别为 F1 、F2 , 过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P , 若 ?F1 PF2
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。 解: e ?

c 2c 2c 2c 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 a 2a PF1 ? PF2 2 2c ? 2c 2 ?1

变式训练 1:如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的 a2 b2 两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与该双曲线左
支的两个交点, 且 ?F2 AB 是等边三角形, 则双曲线的离心率为 ( A D )

5 D 3 ?1 2 x2 y2 变式训练 2:设 F1 、 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A , a b 0 使 ?F1 AF2 ? 90 ,且 AF 1 ? 3 AF 2 ,则双曲线离心率为( B )

3

B

5

C

A

5 2

B

10 2

C

15 2

D

5

二、离心率的取值范围求法
唐生指点:求离心率的取值范围,事实上就是一个构造 a,c 的齐次不等式的问题,所以掌 握基本的构造不等式的方式至关重要!

方法一:利用圆与圆锥曲线的位置关系构造不等式 x2 y2 例 1:设椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左右焦点为 F1 , F2, 若椭圆上存在点 P ,使∠ a b
F1PF2=90°,则椭圆的离心率 e 的取值范围为 [ 2 ,1)
2



方法二:利用焦半径的取值范围构造不等式
第 2 页 共 8 页

例 2:已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线右支 a2 b2
(1,3] 。

上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率 e 的取值范围为:

方法三:利用题设中的已知条件构造不等式 x2 y2 例 3:已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 1, b ? 0 ) 焦距为 2c, 直线 l 过 ? a, 0? , ? 0, b? 点, 且点 (1,0) a b 4c 到直线 l 的距离与(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ ,则双曲线的离心率的取值范围为: 5 ? 5 ? , 5? 。 ? ? 2 ?

方法四:利用直线与圆锥曲线的位置关系构造不等式 x2 y2 0 例 4: 已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的右焦点为 F , 若过点 F 且倾斜角为 60 的 a b
直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( C ) A ?1,2? B ?1,2? C ?2,??? D ?2,???

方法五:利用函数的值域造不等式 x2 y2 例 5:设 a ? 1 ,则双曲线 2 ? ? 1离心率的取值范围 a (a ? 1)2

? 2, 5 ? ? ?



巩固练习: 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.



1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( ) 2 3 a b 5 4 3 5 A B C D 3 3 2 4 2 2 x y 3.双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 a b 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为___________。
2.已知双曲线 4.设 点 P 在 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 右 支 上 , 双 曲 线 两 焦 点 a2 b2




,则双曲线离心率的取值范围为
第 3 页 共 8 页

5.已知椭圆的方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是椭圆左右两个焦点,P 是椭圆上的一点 a 2 b2


若 PF 1 ? PF 2 ,则椭圆离心率的取值范围为 6.已知椭圆的方程 若 ?F1 PF2 ?

?
3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一点 a 2 b2


,则椭圆离心率的取值范围为

7. 已 知 F1,F2 是 椭 圆

uuur uuuu r MF1 ? MF2 ? 0 的点总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围为
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 , P 是 椭 圆 上 的 一 点 若 满 足 a 2 b2


8.已知斜率为 2 的直线 l 经过双曲线
2 2

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,并与双曲线的左 2 a b


右支分别相交,则双曲线离心率 e 的范围为 9.已知椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是椭圆左右两个焦点,P 是椭圆的任一点 2 a b ? 若 ?F1 PF2 ? ,则椭圆离心率的取值范围为 。 2 x2 y 2 10.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是椭圆左右两个焦点,以 F1F2 为边做正三角形, a b
若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆离心率为
2 2



11.椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,斜率为 1,且过椭圆右焦点 F 直线交椭圆于 A,B 两点, 2 a b uur uur r 。 OA ? OB 与 a ? (3,1) 共线,则椭圆离心率为 x2 y 2 a2 ? ? 1( a ? b ? 0) l : x ? 的两焦点为 F (-c,0) F (c,0),P 是直线 上的一点, 1 , 2 a 2 b2 c 。 F1 P 的垂直平分线恰过 F2 点,则椭圆离心率的取值范围为 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线的夹角为 60°,则双曲线离心率 a 2 b2

12.已知椭圆

13.已知双曲线

为 。 14.椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若存在过椭圆左焦点的直线 L 交椭圆于 P、Q 两点, 使得 OP⊥OQ,则椭圆离心率的取值范围为 。

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 45o 的直线与椭圆交 2 a b uur 2 于 A、B 两点且 F 分 BA 的比为 ,则椭圆的离心率为 。 3
15.椭圆

第 4 页 共 8 页

圆锥曲线离心率(取值范围)的求法(学生版)
知识储备: 离心率: ; 椭圆的离心率 , 双曲线的离心率 , 抛物线的离心率 .

一、离心率的求法 方法一:直接求出 a 、 c ,求解 e
已知圆锥曲线的标准方程或 a 、 c 易求时,可利用率心率公式 e ? 例 1:若椭圆经过原点,且焦点为 F1 ?1,0? 、 F2 ?3,0? ,则其离心率为( A.

c 来解决。 a
) D.

3 4

B.

2 3
C.

C.

1 2
D 2

1 4

变式练习1:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( A.



3 2

B.

6 2

3 2

方法二:构造 a 、 c 的齐次式,解出 e 根据题设条件,借助 a 、 b 、 c 之间的关系,构造 a 、 c 的关系(特别 是齐二次式),进而得到关于 e 的一元方程,从而解得离心率 e 。 x2 y2 例 2:已知 F1 、 F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两焦点, a b 以线段 F1 F2 为边作正三角形 MF1 F2 , 若边 MF1 的中点在双曲线上, 则
双曲线的离心率是( A. 4 ? 2 3 B. )

3 ?1

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1

x2 y2 变式练习 1:设双曲线 2 ? 2 ? 1( 0 ? a ? b )的半焦距为 c ,直线 a b 3 c ,则双曲线的离心率为( L 过 ?a,0? , ?0, b ? 两点.已知原点到直线的距离为 4
A. 2 B.

)

3

C.

2

D.

2 3 3

变式练习 2:双曲线虚轴的一个端点为 M ,两个焦点为 F1 、 F2 ,

?F1 MF2 ? 1200 ,则双曲线的离心率为(
A



3

B

6 2

C

6 3

D

3 3

方法三:采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例 3: 设椭圆的两个焦点分别为 F1 、F2 , 过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P , 若 ?F1 PF2
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。

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变式训练 1:如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的 a2 b2 两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与该双曲线左
支的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为( A )

5 D 3 ?1 2 x2 y2 变式训练 2:设 F1 、 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A , a b 0 使 ?F1 AF2 ? 90 ,且 AF ) 1 ? 3 AF 2 ,则双曲线离心率为(

3

B

5

C

A

5 2

B

10 2

C

15 2

D

5

二、离心率的取值范围求法
唐生指点:求离心率的取值范围,事实上就是一个构造 a,c 的齐次不等式的问题,所以掌 握基本的构造不等式的方式至关重要!

方法一:利用圆与圆锥曲线的位置关系构造不等式 x2 y2 例 1:设椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左右焦点为 F1 , F2, 若椭圆上存在点 P ,使∠ a b
F1PF2=90°,则椭圆的离心率 e 的取值范围为 。

方法二:利用焦半径的取值范围构造不等式 x2 y2 例 2:已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线右支 a b
上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率 e 的取值范围为: 。

方法三:利用题设中的已知条件构造不等式 x2 y2 例 3:已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 1, b ? 0 ) 焦距为 2c, 直线 l 过 ? a, 0? , ? 0, b? 点, 且点 (1,0) a b 4c 到直线 l 的距离与(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ ,则双曲线的离心率的取值范围为: 5


方法四:利用直线与圆锥曲线的位置关系构造不等式 x2 y2 0 例 4: 已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的右焦点为 F , 若过点 F 且倾斜角为 60 的 a b
直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A ?1,2? B ?1,2? C ?2,??? D ?2,??? )

方法五:利用函数的值域造不等式
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例 5:设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1离心率的取值范围 a 2 (a ? 1)2



巩固练习: 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.



1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( ) 2 3 a b 5 4 3 5 A B C D 3 3 2 4 2 2 x y 3.双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 a b 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为___________。
2.已知双曲线 5.设 点 P 在 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 右 支 上 , 双 曲 线 两 焦 点 a2 b2




,则双曲线离心率的取值范围为 5.已知椭圆的方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是椭圆左右两个焦点,P 是椭圆上的一点 a 2 b2


若 PF 1 ? PF 2 ,则椭圆离心率的取值范围为

x2 y 2 6.已知椭圆的方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一点 a b ? 若 ?F1 PF2 ? ,则椭圆离心率的取值范围为 。 3 x2 y 2 7.已 知 F1,F2 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 , P 是 椭 圆 上 的 一 点 若 满 足 a b uuur uuuu r 。 MF1 ? MF2 ? 0 的点总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围为
8.已知斜率为 2 的直线 l 经过双曲线
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,并与双曲线的左 a 2 b2


右支分别相交,则双曲线离心率 e 的范围为 9.已知椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是椭圆左右两个焦点,P 是椭圆的任一点 2 a b
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若 ?F1 PF2 ?

?
2

,则椭圆离心率的取值范围为



x2 y 2 10.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是椭圆左右两个焦点,以 F1F2 为边做正三角形, a b
若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆离心率为 11.椭圆 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,斜率为 1,且过椭圆右焦点 F 直线交椭圆于 A,B 两点, a 2 b2 uur uur r 。 OA ? OB 与 a ? (3,1) 共线,则椭圆离心率为 x2 y 2 a2 ? ? 1( a ? b ? 0) l : x ? 的两焦点为 F (-c,0) F (c,0),P 是直线 上的一点, 1 , 2 a 2 b2 c 。 F1 P 的垂直平分线恰过 F2 点,则椭圆离心率的取值范围为 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线的夹角为 60°,则双曲线离心率 a 2 b2


12.已知椭圆

13.已知双曲线 为

14.椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若存在过椭圆左焦点的直线 L 交椭圆于 P、Q 两点, 使得 OP⊥OQ,则椭圆离心率的取值范围为 。

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 45o 的直线与椭圆交 2 a b uur 2 于 A、B 两点且 F 分 BA 的比为 ,则椭圆的离心率为 。 3
15.椭圆

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