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1999年第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题


第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题
全卷共六题,总分为 140 分。
一、 (20 分) 一汽缸的初始体积为V0 , 其中盛有 2 mol 的空气和少量的水 (水的体积可以忽略) 。 平衡时气体的总压强是 3.0 atm ,经做等温膨胀后使其体积加倍,在膨胀结束时,其中的水刚 好全部消失,此时的总压强为 2.0 atm 。若让其继续作等温膨胀,使体积再次加倍。

试计算此 时: 1.汽缸中气体的温度; 2.汽缸中水蒸气的摩尔数; 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。

二、 (25 分)两个焦距分别是 f1 和 f 2 的薄透镜 L1 和 L2 ,相距为 d ,被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行,问该入射光线应满足什么条件? 2. 根据所得结果,分别画出各种可能条件下的光路示意图。

三、 (25 分)用直径为 1 mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为 5 cm 的圆环。圆环处于超 导状态,环内电流为 100 A 。经过一年,经检测发现,圆环内电流的变化量小于 10-6 A 。试 估算该超导材料电阻率数量级的上限。 提示:半径为 r 的圆环中通以电流 I 后,圆环中心的磁感应强度为 B ?

?0 I
2r

,式中 B 、 I 、

r 各量均用国际单位, ?0 ? 4? ?10-7 N ? A-2 。

四、 (20 分)经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它 们的研究,使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个 星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很 远,可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是 M ,两者 相距 L 。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期 T计算 。

T 1 ) 2. 若实验上观测到的运动周期为 T观测 , T观测 : 计算 ?: N ( N 1 ? 且

。 为了解释 T观测 与

T计算 的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。
作为一种简化模型,我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质,而 不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

五、 (25 分)六个相同的电阻(阻值均为 R )连成一个电阻环,六个接点依次为 1、2、3、4、 5 和 6,如图复 16-5-1 所示。现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为 D1 、D2 、┅ D5 。 现将 D2 的 1、3、5 三点分别与 D1 的 2、4、6 三点用导线连接,如图复 16-5-2 所示。然 后将 D3 的 1、3、5 三点分别与 D2 的 2、4、6 三点用导线连接,┅ 依此类推。最后将 D5 的 1、 3、5 三点分别连接到 D4 的 2、4、6 三点上。 1.证明全部接好后,在 D1 上的 1、3 两点间的等效电阻为

724 R。 627

2.求全部接好后,在 D5 上的 1、3 两点间的等效电阻。

六、 (25 分)如图复 16-6 所示, z 轴竖直向上, xy 平 面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在 A( x0 ,0,0) 处放一 带电量为 ?q (q ? 0) 的小物块, 该物块与一细线相连, 细 线的另一端 B 穿过位于坐标原点 O 的光滑小孔,可通过 它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场,场强方向垂 直与 x 轴,与 z 轴夹角为 ? (如图复 16-6 所示) 。设小 物块和绝缘平面间的摩擦系数为 ? ? tan ? ,且静摩擦系 数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来 牵引小物块,使之移动。在牵引过程中,我们约定:细 线的 B 端只准沿 z 轴向下缓慢移动,不得沿 z 轴向上移 动;小物块的移动非常缓慢,在任何时刻,都可近似认 为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是 一条二次曲线,试求出此轨迹方程。

第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、参考解答 1 只要有液态水存在,平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之 和:

p总0 ? p空0 ? p饱 ? 3.0 atm
第一次膨胀后

(1)

V1 ? 2V0
p总1 ? p空1 ? p饱 ? 2.0 atm
(2)

由于第一次膨胀是等温过程,所以

p空0V0 ? p空1V1 ? 2 p空1V0
解(1)、(2)、(3)三式,得

(3)

p饱 ? 1.0 atm p空0 ? 2.0 atm p空1 ? 1.0 atm
由于 p ? 1.0 atm ,可知汽缸中气体的温度 饱

(4) (5) (6)

T0 ? 373 K
根据题意,经两次膨胀,气体温度未改变。

(7)

2 设水蒸气为 ? 水 mol .经第一次膨胀,水全部变成水蒸气,水蒸气的压强仍为 p饱 ,这 时对于水蒸气和空气分别有

p饱V1 ? ? 水 RT0 p空1V1 ? ? 空RT0 ? 2RT0
由此二式及(5)(6)式可得 、

(8) (9)

?水 ? 2 m o l
3. 在第二次膨胀过程中,混合气体可按理想气体处理,有

(10)

p总2V2 ? p总1V1
由题意知, V2 ? 4V0 , V1 ? 2V0 ,再将(2)式代入,得

(11)

p总2 ? 1.0 atm

(12)

二、参考解答 l.在所示的光路图(图复解16-2-1)中,人射光 AB 经透镜 L1 折射后沿 BC 射向 L2 ,经

L2 折射后沿 CD 出射. AB 、 BC 、 CD 与透镜主轴的交点分别为 P 、 P? 和 P ?? ,如果 P 为物
点, 因由 P 沿主轴射向 O1 的光线方向不变, 由透镜性质可知,P ? 为 P 经过 L1 所成的像,P ?? 为
P ? 经 L2 所成的像,因而图中所示的 u1 、 v1 、 u2 、 v 2 之间有下列关系:

1 1 1 ? ? u1 v1 f1

(1)

1 1 1 ? ? u2 v2 f 2

(2)

d ? u2 ? v1

(3)

当入射光线 PB 与出射光线平行时,图中的 ? ? ? ? ,利用相似三角形关系可求得

h ? v2 ? , h u1
从而求得

h? u2 ? h v1
(4)

v2 u2 ? u1 v1

联立方程(1)、(2)、(3)、(4),消去 v1 、 u2 和 v 2 ,可得

u1 ?

f1d d ? ( f1 ? f 2 )

(5)

由于 d 、 f1 、 f 2 均已给定,所以 u1 为一确定值,这表明:如果入射光线与出射光线平行, 则此入射光线必须通过主轴上一确定的点, 它在 L1 的左方与 L1 相距 u1 ?

f1d 处, 又由 d ? ( f1 ? f 2 )

于 u1 与 ? 无关,凡是通过该点射向 L1 的入射光线都和对应的出射光线相互平行. 2.由所得结果(5)式可以看出,当 d ? f1 ? f 2 时, u1 ? 0 ,此情况下的光路图就是图复 解16-2-1. 当 d ? f1 ? f 2 时, u1 ? ? ,? ? 0 ,此时入射光线和出射光线均平行于主轴,光路如图复 解16-2-2.

当 d ? f1 ? f 2 时, u1 ? 0 ,这表明 P 点在 L1 的右方,对 L1 来说,它是虚物.由(1)式可 知,此时 v1 ? 0 ,由 u2 ? 图如图复解16-2-3.

f2 u v v1 可知, u2 ? 0 ,又由 2 ? 1 ? 0 可知, v2 ? 0 ,所以此时的光路 f1 v2 u2

三、参考解答 根据题中所给的条件,当圆环内通过电流 I 时,圆环中心的磁感应强度

B?

?0 1
2 r

穿过圆环的磁通量可近似为

? ? BS ?

?0
2

? Ir

(1)

根据法拉第电磁感应定律,电流变化产生的感生电动势的大小

E?
圆环的电阻

?? ?0 ?I ? ?r ?t 2 ?t E ? ? r ?I R? ? 0 I 2I ?t

(2) (3)

根 据题设 条件

r ? 0.05 m , ?0 ? 4? ?10-7 N ? A-2 , I ? 100 A ,

?I ? 10-6 A/s ? 3 ?10-14 A/s ,代入(3)式得 ?t
R ? 3 ?10-23 ?
(4)

由电阻与电阻率 ? 、导线截面积 S 、长度 L 的关系

L S 及已知导线的直径 d ? 1 mm ,环半径 r ? 5 cm ,得电阻率 R??

??R

S d2 ?R ? 7.5 ? 10-29 ? ? m L 8r

(5)

四、参考解答 1.双星均绕它们的连线的中点做圆周运动,设运动速率为 v ,向心加速度满足下面的方 程:

M

v2 GM 2 ? 2 L/2 L

(1)

v?
周期

GM 2L

(2)

T计算=

2? ( L / 2) 2L ?? L v GM

(3)

2.根据观测结果,星体的运动周期 1 T观察= T ? T计算 N 计算

(4)

这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力,故它一定还受到其他指向中心的作用力, 按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与 一质量等于球内暗物质的总质量 M ? 位于中点处的质量点相同.考虑暗物质作用后双星的速度 即为观察到的速度 v ,则有

2 v观

M

L/2

?

GM 2 MM ? ?G 2 L ( L / 2)2

(5)

v观=

G ( M ? 4M ?) 2L

(6)

因为在轨道一定时,周期和速度成反比,由(4)式得

1 1 1 = v观 N v
把(2)、(6)式代入(7)式得

(7)

N ?1 M 4 设所求暗物质的密度为 ? ,则有 M? ?
4 ? L? N ?1 ?? ? ?? M 3 ?2? 4

3

(8)

??

3( N ? 1)M 2? L3

(9)

五、参考解答 解法一: 1.(1)电阻图变形. 此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示. 现将电阻环改画成三角形,1、3、5三 点为顶点,2、4、6三点为三边中点,如图 预解1—5-2与图预解16-5-3所示.整个连好 的线路相当于把 Dn 的三个顶点 分别接到

Dn?1 的三个中
点上,图预解 16-5-1 变 为 图 预解16-5-4. 这 样 第 1问 归 结 为求图预解 16-5-4 中 最 外 层三角环任意 两顶点间的等 效电阻。

(2)递推公式. 为使图形简化, 讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。 由六个阻值为 r 的电阻 构成一个三角环,将其顶点接在另一由六个阻值为 R 的电阻构成的三角环的中点上(如图预 解16-5-5所示)。 图预解16-5-6是由六个阻值为 R ? 的电阻构成的三角环。若图预解16-5-5顶点1、3间的电 阻与图预解16-5-6顶点l、 3间的电阻阻值相等, 我们称图预解16-5-6中的 R ? 为等效单环电阻.

用符号“//”表示电阻的并联,如

RA // RB ?

1 (1/ RA ) ? (1/ RB )

由图预解16-5-5中的对称性可知l、3两顶点间的电阻 R 1, 3 等于图 预解16-5-7中1、0间的电阻 R1, 0 的2倍,即

R 1, = 2 R 1, 0 3 ? 2{[ R // r //(2r )] ? R}// R 1 ? ? ? R? ? 2? 1 1 1 // R ? ? ? ? ? R r 2r ? 2 4rR ? 3R ?2 // R 2r ? 3R 1 4r ? 3R ? R 3 r?R

1 ? R ? r // R 3
同理,图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻 R 1, 3 为

(1)

4 R1, 3 ? 2[(2R?) // R?] ? R? 3
由(1)、(2)式得等效单环电阻 R ? 为

(2)

3 1 R? ? R ? r // R 4 4
2. 第一问

(3)

现在考虑把 D1 、D2 、D3 、 D4 、D5 按相反的次序, 由内向外依次连接的情况. 首先将 D4 接在 D5 外面,求双环 D4 ? D5 的等效单环电阻 R (2) 〔即(3)式中的 R ? 〕.这时 r ? R .由(3)

式得到 R (2) 为

3 1 7 R (2) ? R ? R // R ? R 4 4 8
其次, 在双环 D4 ? D5 外面接上 D3 , 这时 r ? R (2) . 三环 D3 ? D4 ? D5 的等效单环电阻 R (3) 为

R (3) ?

3 1 3 1 ? 7 ? 13 R ? R // R (2) ? R ? R // ? R ? ? R 4 4 4 4 ? 8 ? 15

由此可得一般公式, ( s ? 1) 环的等效单环电阻 R ( s ?1) 可由 R (s ) 求出

3 1 R (s?1) ? R ? R // R (s) 4 4
于是

(4)

R ( 4) ?

3 1 3 1 13 97 R ? R // R (3) ? R+ R // ? R ? ? R ? ? 4 4 4 4 ? 15 ? 112 3 1 3 1 97 ? 181 R ? R // R ( 4) ? R+ R // ? R? ? R ? 4 4 4 4 ? 112 ? 209

R (5) ?

R 由 ( 2 ) 式 R1 , 3? ( 4 / 3 )? 得 出 由 一 个 环 ( D5 ) 、 两 个 环 ( D5 ? D4 ) 直 至 五 个 环
( D5 ? D4 ? D3 ? D2 ? D1 )构成的线路1、3点间的电阻为

4 4 (1) R 1, 3 ? R ' ? R 3 3
4?7? 7 (2) R 1, 3 ? ? ? R ? R 3?8? 6 4 ? 13 ? 52 (3) R 1, 3 ? ? ? R ? R 3 ? 15 ? 45 4 ? 97 ? 97 (4) R 1, 3 ? ? R ?R ? 3 ? 112 ? 84 4 ? 181 ? 724 (5) R 1, 3 ? ? R ?R ? 3 ? 209 ? 627
答:所求的五个环的1与3间的等效电阻确为

724 R .证毕。 627

3. 第二问 根据五个 D 组成的圆柱形网络的对称性, D5 的l、3两点等价于 D1 的2、4两点.等价线 路如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示.设二图等价,求图预解16-5-9中的 R ?? 即可.

图复解 16-5-8

图复解 16-5-9

R?? ? (2 R) //(2 R (4) ) ?
所以

1 194 ? R 1 56 209 ? 2 R 97 R

2 388 (5) R 2, 4 ? R?? // 2R?? ? R?? ? R 3 627 388 答:所求值为 R。 627
解法二: 第一问 图预解16-5-3可看做 D5 的接线图,其一半如图预解16-5-10所示,竖直粗线为一短路
(1) (1) 线. 一个环 D5 ) ( 构成线路的1与0点间的阻值用 R1, 0 表示, 根据对称性, R 1, 0 ?

1 (1) 2 R 1, 3 ? R 。 2 3

当 D5 接入 D4 后,由两个环(类似图预解16-5-5)构成线路图的一半如图预解16-5-11所 示.三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形( 2 ? 0 '? 0 )中的2与 0 ' 间的阻值就是图预解 16-5-10中1与0间的阻值 R1, 0 。其等效电路如图预解16-5-12所示.图预解16-5-11(或图预解 16-5-12)中的l与0点间的阻值用 R1, 0 表示.有
(1) (1)

?? ? 2 ? 7 (2) (1) R 1, 0 ? [( R // R 1, 0 ) ? R]// R ? ?? R // R ? ? R ? // R ? R 3 ? 12 ?? ?
再将双环 D5 ? D4 接入 D3 ,其一半如图预解16-5-13所示, 三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻,其2
(2) 与 0 ' 间的阻值就对应为 R1, 0 ,参看图预解16-5-12的等效电路,


(3) (2) R 1, 0 ? [( R // R 1, 0 ? R)]// R

?? ? 7 ? ? ?? R // R ? ? R ? // R 12 ? ?? ? 26 ? R 45
同理,得

?? ? 26 ? 97 (4) (3) R 1, 0 ? [( R // R 1, 0 ? R)]// R ? ?? R // R ? ? R ? // R ? R 45 ? 168 ?? ?

?? ? 97 ? 362 (5) (4) R 1, 0 ? [( R // R 1, 0 ? R)]// R ? ?? R // R ? ? R ? // R ? R 168 ? 627 ?? ?
由此得
(5) (5) R1, 3 ? 2R1, 0 ?

724 R 627

第二问 五个电阻环构成线路后,最外层环( D1 )上2点与4点间的等效电阻可借用图预解16-5-12 求得,将图中 R 2, 0' 换成 R 2, 0' ,五个环构成的线路中2与4间阻值可如下求得: 因
(5) (4) R 2, 0' ? 2R // R1, 0 // R ? 2R //

(1)

(4)

97 194 R // R ? R 168 627


(5) (5) R 2, 4 ? 2R 2, 0' ?

388 R 627

六、参考解答 设 所 加 匀 强电 场 的 场强 为 E , 它 在 y 方 向 和 z 方 向 的 分 量 分 别为 E y ? ? E sin? ,

Ez ? E cos? 。
由于物块带负电,电场作用于物块的电力的两个分量分别为

Fy ? ?qEy ? qE sin?

(1)

Fz ? ?qEz ? ?qE cos?

(2)

Fy 在 xy 平面内,方向沿 y 轴正方向. Fz 垂直于 xy 平面,被绝缘平面的支持力所平衡,
故物块对绝缘平面的正压力的大小 N 和 Fz 的大小相等,即

N ? qE cos?
绝缘平面作用于物块的摩擦力

f ? ? N ? qE tan? cos? ? qE sin? ? Fy

(3)

f 的方向决定于物块移动的方向. 根据题意,物块在 xy 平面内的运动可看做是一种在力平衡下的缓慢移动.作用于物块的
三个力 Fy 、 f 和线的拉力 T 都在 xy 平面内.物块在任一位置达到平衡时的受力情况如图预 解16-6所示。 ? 为细线与 x 轴的夹角。把 T 沿 x 和 y 方向分解得

Tx ? ?T cos? , Ty ? ?T sin ?
用 f x 和 f y 表示 f 的两个分量,物块平衡时, 有

Fy ? T s i n ? f y ? 0 ?
?T c o ? ? f x ? 0 s
由(4)(5)式得 、

(4) (5)

(Fy ? T sin ? )2 ? T 2 cos2 ? ? f 2
注意到(3)式,得

T (T ? 2Fy sin ? ) ? 0

T ? 0 或 T ? 2Fy sin ?

(6)

因要小物块 缓慢移动 ,需要 细线牵引 , T ? 0 不符合题意, 应舍去. 因 0 ? ? ? ? ,

T ? 2Fy sin ? ? 0 ,将 T 代入(4)、(5)式,


f y ? T sin ? ? Fy ? ?Fy cos2 ?

f x ? T cos? ? Fy sin 2?
摩擦力方向的斜率

k?

fy fx

? ? cot ?

(7)

k 是摩擦力方向与 x 轴夹角的正切,即摩擦力方向的斜率,因摩擦力始终沿轨道的切线方

向,故 k 也就是轨道切线的斜率.下面,通过对(7)式的分析来寻找轨道方程. 当中一0,k-co即在起点A时,轨道的切线与x轴垂直 当 ? ? 0 , k ? ? ,即在起点 A 时,轨道的切线与 x 轴垂直。 当? ?

?
2

, k ? ? ,一种情况是小物块运动到 y 轴上后,沿 y 轴做直线运动到 O 点,但这

与题设轨迹移动是一条二次曲线不符,因而它一定表示轨道在 O 点的切线与 x 轴垂直. 在二次曲线中,曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆.又因为 A 、 O 两点的切线与 它们的连线相垂直,这连线应为曲线的轴线,且在 Ox 轴上,另一轴在它的垂直平分线上且与

y 轴平行。曲线与此轴线的交点的切线的斜率为0.代入(7)式得 ? ?
方程为

?
4

,故该曲线为圆,其

x ? x2 ? x ? 0 ? ? y2 ? 0 ? 2? 4 ?

2

(8)


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