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3.4基本不等式课件(人教A版必修5)


这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个 风车,代表中国人民热情好客。

思考:这会标中含有 怎样的几何图形? 思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?

D

探究1:
1、正方形ABCD的

a ?b
2

2

b
G F C H E

a ?b 面积S=_____
2 2

2、四个直角三角形的 面积和S’ =__ 2 ab 3、S与S’有什么

A

a

样的不等关系?
B

S___>__S′

问:那么它们有相等的情况吗?

D
a ?b
2 2

D

b G A H

F
E

a a C A E(FGH) b C

B

B

重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2

a ? b ? 2ab

当且仅当a=b时,等号成立。

思考:你能给出不等式 a 2 ? b 2 ≥ 2 ab 的证明吗?

证明:(作差法) a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )
2 2

2

当 a ? b时
当 a ? b时
2

(a ? b)
(a ? b)

2

? 0
? 0

2

所 以 (a ? b) ≥0
所 以 a ? b ≥ 2 ab .
2 2

结论:一般地,对于任意实数a、b,总有

a ? b ≥ 2 ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立
适用范围: a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如 果 a ? 0, b ? 0, 我 们 用 可得到什么结论? a, b分 别 代 替 a, b,

如 果 a ? 0, b ? 0, 我 们 用 可得到什么结论?

a,

b分 别 代 替 a, b,

替换后得到: ( a ) ? ( b ) ≥ 2 a ? b
2 2

即: a ? b≥ 2 a b

即:

a?b 2



ab

(a ? 0, b ? 0)

你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

证明不等式:
a?b

a?b 2



a b (a ? 0, b ? 0)

证明:要证



ab

2

a ? b≥ _______ 只要证 a ? b≥ 2 a b a ? b ? _____ ≥ 0

分 析 法

① ② ③

要证①,只要证 a ? b ? 2 ab ? 0 要证②,只要证 ? a ? b ? 2 ? 0

显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则 a ? b≥ 2 a b 2 ab a ? b _____ 通常我们把上式写作:
ab≤ a?b 2 (a ? 0, b ? 0)

当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0
a ?b

在数学中,我们把

2

叫做正数a,b的算术平均数,

ab 叫做正数a,b的几何平均数;

文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

填表比较:

a ? b ≥ 2 ab
2 2

a?b 2

≥ ab

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

a>0,b>0

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a=b

a=b

注意从不同角度认识基本不等式

例1 已知x、y都是正数,求证:
(1)
y x ? x y

≥2

(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3

分析:在运用定理时,注意条件a、b均为正数,结合 不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形

(1)∵x,y都是正数 ∴
x y ? y x ? 2 x y
xy >0
x y
3
2 2


? y x

y x

>0,
y x ?

x y
x y

>0 ≥2

? 2即

(2) x+y≥2 x2+y2≥2

>0
3

x3+y3≥2

x y>0

∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3) ≥2
xy ·2
x y
2 2

· 2 x 3 y 3 =8x3y3

即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

例1:(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 A D 短的篱笆是多少?

解:如图设BC=x ,CD=y , 若x、y皆为正数, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.
由基本不等式知 xy ? 则当xy的值是常数P时,
2 x? y

y
B

x

C

2( x ? y ) ? 4 当且仅当x=y时, 从而有

xy ? 40

x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时,等号成立 此时x=y=10.
x ? ?yx y 2 1 0 0 ? 2 P ? x ? 1 0 ≥ ? xy 因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆 解? ,可得 ? 最短,最短的篱笆是40m. 1 0 x ? y y ?

?

?

例1:(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少? A D

解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则 2(x + y)= 36 , x + y =18 若x、y皆为正数,
B
x

y

C

则当x+y的值是常数S时, 矩形菜园的面积为xy m2 当且仅当x=y时, x ? y ? 9 从而有 xy ≤ 81 xy 由基本不等式知 1 ? 2 2 S xy有最大值_______; 4 当且仅当x=y时,等号成立 即x=y=9
2 因此,这个矩形的长、宽都为9m时, xy≤ ? ? x y≤ S 4 2 2 菜园面积最大,最大面积是81m2

x ? y

S

1

已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号 ). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号 4 ).

利用基本不等式求最值时,要注意
①各项皆为正数; ②和或积为定值; ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”

变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则篱笆的长为 x +2y= 24 矩形花园的面积为xy
? x ? 2y 2 ≥
2 xy

A

D
y

m2
≥ 2 xy 2

B

x

C

?

24

得 144≥2xy

即 xy ≤ 72

当且仅当 x=2y 时,等号成立 即x=12,y=6
? x ? 2 y ? 24 ? x ? 12 因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时, 解? ,可得 ? 花园面积最大,最大面积是72m2 ? x ? 2y ? y ?6

变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
分析:设AB=x ,BC=24-2x ,
A
x

D

B

24 ? 2 x

C

变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
解:设AB=x ,BC=24-2x ,
矩形花园的面积为x(24-2x) m2 1 x ( 2 4 ? 2 x ) ? ? 2 x ( 2 4 ? 2 x ) (其中2x+(24-2x)=24 是定值)
2 ≤ 1 2 ?( 2 x ? 24 ? 2 x 2 ) ? 72
2

当且仅当2x=24-2x,即x=6时,等号成立 因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时, 花园面积最大,最大面积是72m2

小结:
1. 两个重要的不等式
(1) a , b ? R , 那 么 a ? b ≥ 2 ab , 当 且 仅 当 a ? b时 , 等 号 成 立
2 2

(2) ab≤

a?b 2

( a > 0 , b > 0 ) , 当 且 仅 当 a ? b时 , 等 号 成 立 。

2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号 ). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号 4 ).

求最值时注意把握 “一正,二定,三相等”

作 业
课本P100 习题3.4 A组 第1,2题

思考题
1 1. 求函数 f(x)=x+ x+1 (x> -1) 的最小值. 2. 若 0<x< 1 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值. 2

1 1. 求函数 f(x)=x+ x+1 (x> -1) 的最小值. 解: ∵ x>-1, ∴x+1>0. 1 1 f(x)=x+ x+1 =(x+1)+ x+1 -1 ∴
≥2

1 (x+1)? x+1 -1 =1,

1 当且仅当 x+1= x+1, 即 x=0 时, 取“=”号. ∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.

2. 若 0<x< 1 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值. 2 分析: 2 x+(1-2x) 不是 常数. =1为 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ?2x?(1-2x) 1 ?[2x+(1-2x) ]2 1 ≤ = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号 . ∴当 x = 1 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 1 . 8 4
配凑系数



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