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江西省赣州市龙南县实验中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年江西省赣州市龙南县实验中学高二(上)期末数学试卷(理科)

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4﹣3i|,则 z 的虚部为( A.﹣4 B.﹣ C.4 D. )

2.命题“a,b 是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是( A.a+b 不是偶数,则

a,b 都不是偶数 B.a+b 不是偶数,则 a,b 不都是偶数 C.a+b 不是偶数,则 a,b 都是偶数 D.a,b 都不是偶数,则 a+b 不是偶数

)

3.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( )

A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

4.已知 a、b 是异面直线,P 是空间一定点,下列命题中正确的个数为( ①过 P 点总可以作一条直线与 a、b 都垂直 ②过 P 点总可以作一条直线与 a、b 都垂直相交 ③过 P 点总可以作一条直线与 a、b 之一垂直与另一条平行 ④过 P 点总可以作一个平面与 a、b 同时垂直 ⑤过 P 点总可以作一个平面与 a、b 之一垂直与另一条平行.

)

A.0 B.1 C.2 D.3

5.已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组 的解的情况是( )

A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解

6.已知双曲线

的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线右支一的

任意一点,若 A. (0,+∞) B. (1,2] C. D. (1,3]

的最小值为 8a,则双曲线离心率的取值范围是(

)

7.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1F2,且两条曲线在第一 象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率 分别为 e1,e2,则 e1?e2 的取值范围是( A. (0, ) B. C. )

D.

8.若在曲线 f(x,y)=0(或 y=f(x) )上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f (x,y)=0 或 y=f(x)的“自公切线”.下列方程: ①x ﹣y =1; ②y=x ﹣|x|; ③y=3sinx+4cosx; ④|x|+1= 对应的曲线中存在“自公切线”的有( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ )
2 2 2

9.已知 A(1,0) ,曲线 C:y=e 恒过点 B,若 P 是曲线 C 上的动点,且 则 a= ( A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1 )

ax

?

的最小值为 2,

10.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,若 对任意的 x,y∈R,等式 f(y﹣3)+f( A. B. C. D. )=0 恒成立,则 的取值范围是( )

二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 11.定积分 (2x+e )dx__________.
x

12.函数 f(x)=xsinx+cosx+x ,则不等式 f(lnx)<f(1)的解集为__________.

2

13.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式: 2 =1+3 2 =3+5
3 2

3 =1+3+5 3 =7+9+11
3

2

4 =1+3+5+7? 4 =13+15+17+19?
2 3 3

2

根据上述分解规律,若 m =1+3+5+?+11,p 分解中最小正整数是 21,则 m+p=__________.

14.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动 点,现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC, 在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足, 设 AK=t,则 t 的取值范围是__________.

15.若实数 x,y 满足 x +y =4,则

2

2

的取值范围是__________.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.设命题 p:函数 f(x)=x ﹣ax﹣1 在区间上单调递减;命题 q:函数 y=ln(x +ax+1)的 值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 a 的取值范围.
3 2

17.已知圆 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)求 m 的取值范围. (2)当 m=4 时,若圆 C 与直线 x+ay﹣4=0 交于 M,N 两点,且 ⊥ ,求 a 的值.

2

2

18. 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, CE⊥AC, EF∥AC, AB= (Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A﹣BE﹣D 的大小.

, CE=EF=1.

19.已知函数 f(x)=e (x +mx ﹣2x+2) . (Ⅰ)假设 m=﹣2,求 f(x)的极大值与极小值; (Ⅱ)是否存在实数 m,使 f(x)在上单调递增?如果存在,求 m 的取值范围;如果不存在, 请说明理由.

x

3

2

20. (13 分)已知椭圆 C: 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

=1(a>b>0)的焦距为 4,其长轴长和短轴长之比为



(Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为 0 的任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ,求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当 最小时,求点 T 的坐标.

21. (14 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a 为常数) ,曲线 y=f(x)在与 y 轴的交点 A 处的 切线斜率为﹣1. (Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当 x>0 时,e >x +1;
x 2

x

(Ⅲ)证明:当 n∈N 时,

*



2014-2015 学年江西省赣州市龙南县实验中学高二(上)期末数学试卷(理科)

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4﹣3i|,则 z 的虚部为( A.﹣4 B.﹣ C.4 D. 考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:求出复数的模,然后利用复数的乘除运算法则化简求解即可. 解答: 解:复数 z 满足(3﹣4i)z=|4﹣3i|, z= = = , )

则 z 的虚部为: . 故选:D. 点评:本题考查复数的乘除运算法则的应用,复数的基本概念,是基础题.

2.命题“a,b 是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是( A.a+b 不是偶数,则 a,b 都不是偶数 B.a+b 不是偶数,则 a,b 不都是偶数 C.a+b 不是偶数,则 a,b 都是偶数 D.a,b 都不是偶数,则 a+b 不是偶数

)

考点:四种命题间的逆否关系. 专题:规律型. 分析:根据命题的逆否命题和命题之间的关系确定结论即可. 解答: 解:否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定, 则命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题为:若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都 是偶数. 故选:B. 点评:本题主要考查四种命题之间的关系,比较基础.

3.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( )

A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 考点:棱锥的结构特征. 专题:探究型. 分析:做该题,需要空间模拟一个四棱锥,将 4 个选项一一对应于四棱锥,就可以排除选项, 得到答案. 解答: 解:因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等, 所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等, 故 A,C 正确, 且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等, 故 D 正确,B 不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立. 故选 B 点评:本题考查学生的空间想象能力,对棱锥的结构认识,是基础题.

4.已知 a、b 是异面直线,P 是空间一定点,下列命题中正确的个数为( ①过 P 点总可以作一条直线与 a、b 都垂直 ②过 P 点总可以作一条直线与 a、b 都垂直相交

)

③过 P 点总可以作一条直线与 a、b 之一垂直与另一条平行 ④过 P 点总可以作一个平面与 a、b 同时垂直 ⑤过 P 点总可以作一个平面与 a、b 之一垂直与另一条平行. A.0 B.1 C.2 D.3 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;简易逻辑. 分析:根据异面直线的定义,对各选项进行判断,即可得出结论. 解答: 解:①若此点与直线 a 确定一平面 β ,所有与 β 平面垂直的直线都分别与 a、b 垂 直,故正确; ②若此点与直线 a 确定一平面 β 恰好与直线 b 平行,过 P 点不可以作一条直线与 a、b 都垂 直相交,故错误; ③异面直线所成角不是 90°时,过 P 点不可以作一条直线与 a、b 之一垂直与另一条平行,故 错误; ④过 P 点作一个平面与 a、b 同时垂直,则 a,b 平行,故错误; ⑤异面直线所成角不是 90°时,过 P 点不可以作一个平面与 a、b 之一垂直与另一条平行,故 错误. 故选:B. 点评:本题考查的知识点是平面的基本性质及推论,熟练掌握空间直线与直线,直线与平面位 置关系的定义和几何特征是解答本题的关键.

5.已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组 的解的情况是( )

A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解

考点:一次函数的性质与图象. 专题:函数的性质及应用;直线与圆. 分析:判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出 a1,b1,P2,a2,b2 的关系,然后求解方 程组的解即可. 解答: 解:P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,直线 y=kx+1 的斜率存在, ∴k= ,即 a1≠a2,并且 b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1

, ①×b2﹣②×b1 得: (a1b2﹣a2b1)x=b2﹣b1, 即(a1﹣a2)x=b2﹣b1. ∴方程组有唯一解. 故选:B. 点评:本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解额指数的应用.

6.已知双曲线

的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线右支一的

任意一点,若 A. (0,+∞) B. (1,2] C. D. (1,3]

的最小值为 8a,则双曲线离心率的取值范围是(

)

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:由定义知:|PF1|﹣|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|, = = ,当且仅当 ,即

|PF2|=2a 时取得等号.再利用三线段长的关系,可求得双曲线的离心率的取值范围.

解答: 解:∵双曲线 支一的任意一点 ∴|PF1|﹣|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|, ∴ = =

的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线右



当且仅当 ∴|PF1|=2a+|PF2|=4a

,即|PF2|=2a 时取得等号

∵|PF1|﹣|PF2|=2a<2c,|PF1|+|PF2|=6a≥2c, ∴e∈(1,3] 故选 D. 点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,注意基本不等式的合理运用.

7.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1F2,且两条曲线在第一 象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率 分别为 e1,e2,则 e1?e2 的取值范围是( A. (0, ) B. C. D. 考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题:计算题. 分析:设椭圆与双曲线的半焦距为 c,PF1=r1,PF2=r2.利用三角形中边之间的关系得出 c 的取 值范围,再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率,最后依据 c 的范围即可求出 e1?e2 的 取值范围,即可得答案. 解答: 解:设椭圆与双曲线的半焦距为 c,PF1=r1,PF2=r2. 由题意知 r1=10,r2=2c,且 r1>r2,2r2>r1, )

∴2c<10,2c+2c>10, ? <c<5.? ,



=



=







故选 C.

点评:本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性 质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

8.若在曲线 f(x,y)=0(或 y=f(x) )上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f (x,y)=0 或 y=f(x)的“自公切线”.下列方程: ①x ﹣y =1; ②y=x ﹣|x|; ③y=3sinx+4cosx; ④|x|+1= 对应的曲线中存在“自公切线”的有( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考点:命题的真假判断与应用. )
2 2 2

专题:新定义. 分析:化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线. 解答: 解:①、x ﹣y =1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;
2 2

②、y=x ﹣|x|=

2

,在 x=

和 x=﹣

处的切线都是 y=﹣ ,故②有自公

切线. ③、y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ ) ,cosφ = ,sinφ = , 此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线. ④、由于|x|+1= 故答案为 C. 点评: 本题考查函数的自公切线的定义, 函数图象的特征, 准确判断一个函数是否有自公切线, 是解题的难点. ,即 x +2|x|+y ﹣3=0,结合图象可得,此曲线没有自公切线.
2 2

9.已知 A(1,0) ,曲线 C:y=e 恒过点 B,若 P 是曲线 C 上的动点,且 则 a=( A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1 考点:指数函数的图像与性质;平面向量数量积的运算. 专题:函数的性质及应用;平面向量及应用. 分析:由题意可得 B(0,1) , 1)处的切线与与 ? )

ax

?

的最小值为 2,

取得最小时,P,B 重合,可得曲线 C:y=e 在点 B(0,

ax

垂直,即 y′|x=0=1,由此求得 a 的值
0

解答: 解:因为 e =1 所以 B(0,1) . 考察 ∴ ? 在 的几何意义,因为 上的投影长应是 ,所以 ? 取得最小时,

,所以 P,B 重合.

这说明曲线 C:y=e 在点 B(0,1)处的切线与 所以 y′|x=0=1,即 a?e =1,∴a=1, 故选:D
0

ax

垂直,

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义, 函数在某一点的导数的几何意义, 属于基础题.

10.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,若 对任意的 x,y∈R,等式 f(y﹣3)+f( A. B. C. D. 考点:函数单调性的性质. 专题:计算题;数形结合;函数的性质及应用;直线与圆. 分析:由平移规律,可得 y=f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)为奇函数,即有 f(﹣x) =﹣f(x) ,结合函数的单调性等式可化为 y﹣3=﹣ 3)为圆心,1 为半径的下半圆,再由直线的斜率公式, = ,平方即可得到 y 为以(2, 可看作是半圆上的点与原点的 )=0 恒成立,则 的取值范围是( )

连线的斜率,通过图象观察,过 O 的直线 OA,OB 的斜率即为最值,求出它们即可. 解答: 解:函数 y=f(x)的图象可由 y=f(x﹣1)的图象向左平移 1 个单位得到, 由于 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称, 则 y=f(x)的图象关于原点对称, 则 f(x)为奇函数,即有 f(﹣x)=﹣f(x) , 则等式 f(y﹣3)+f( f(y﹣3)=﹣f( )=0 恒成立即为 )=f(﹣ ) , ,

又 f(x)是定义在 R 上的增函数,则有 y﹣3=﹣ 两边平方可得, (x﹣2) +(y﹣3) =1, 即有 y=3﹣
2 2

为以(2,3)为圆心,1 为半径的下半圆,

则 = 如图,kOA=

可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率, =3,取得最大,过 O 作切线 OB,设 OB:y=kx,

则由 d=r 得,

=1,解得,k=2



由于切点在下半圆,则取 k=2﹣ 则 的取值范围是. 故选 C.

,即为最小值.

点评:本题考查函数的单调性和奇偶性的运用,考查直线的斜率和直线和圆的位置关系,考查 数形结合的思想方法,考查运算能力,属于中档题和易错题.

二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 11.定积分 (2x+e )dxe.
x

考点:定积分. 专题:导数的综合应用. 分析:直接利用定积分运算法则求解即可. 解答: 解: 故答案为:e. 点评:本题考查定积分的运算法则的应用,考查计算能力. (2x+e )dx=(x +e )
x 2 x

=1+e﹣1=e.

12.函数 f(x)=xsinx+cosx+x ,则不等式 f(lnx)<f(1)的解集为( ,e) .

2

考点:其他不等式的解法. 专题:计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:求出函数的导数,求出单调增区间,再判断函数的奇偶性,则不等式 f(lnx)<f(1) 即为 F|lnx|)<f(1) , 则|lnx|<1,运用对数函数的单调性,即可得到解集. 解答: 解:函数 f(x)=xsinx+cosx+x 的导数为 f′(x)=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x(2+cosx) , 则 x>0 时,f′(x)>0,f(x)递增, 且 f(﹣x)=xsinx+cos(﹣x)+(﹣x) =f(x) , 则为偶函数,即有 f(x)=f(|x|) , 则不等式 f(lnx)<f(1)即为 F|lnx|)<f(1) , 则|lnx|<1,即﹣1<lnx<1,解得, <x<e. 故答案为: ( ,e) . 点评:本题考查函数的单调性和奇偶性的运用:解不等式,考查导数的运用:判断单调性,考 查对数不等式的解法,属于中档题和易错题.
2 2

13.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式: 2 =1+3 2 =3+5
3 2

3 =1+3+5 3 =7+9+11
3

2

4 =1+3+5+7? 4 =13+15+17+19?
2 3 3

2

根据上述分解规律,若 m =1+3+5+?+11,p 分解中最小正整数是 21,则 m+p=11.

考点:归纳推理. 专题:规律型. 分析:根据 m =1+3+5+?+11,p 的分解中最小的正整数是 21,利用所给的分解规律,求出 m、 p,即可求得 m+p 的值. 解答: 解:∵m =1+3+5+?+11= ∴m=6 ∵2 =3+5,3 =7+9+11,
3 3 2 2 3

=36,

4 =13+15+17+19, ∴5 =21+23+25+27+29, ∵p 的分解中最小的数是 21, ∴p =5 ,p=5 ∴m+p=6+5=11 故答案为:11 点评:本题考查归纳推理,考查学生的阅读能力,确定 m、p 的值是解题的关键.
3 3 3 3

3

14.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动 点,现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC, 在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足, 设 AK=t,则 t 的取值范围是( ,1) .

考点:平面与平面垂直的性质;棱锥的结构特征. 专题:空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 分析:此题的破解可采用二个极端位置法,即对于 F 位于 DC 的中点时与随着 F 点到 C 点时, 分别求出此两个位置的 t 值即可得到所求的答案 解答: 解:此题的破解可采用二个极端位置法,即对于 F 位于 DC 的中点时,可得 t=1, 随着 F 点到 C 点时,当 C 与 F 无限接近,不妨令二者重合,此时有 CD=2 因 CB⊥AB,CB⊥DK, ∴CB⊥平面 ADB,即有 CB⊥BD, 对于 CD=2,BC=1,在直角三角形 CBD 中,得 BD= ,

又 AD=1,AB=2,再由勾股定理可得∠BDA 是直角,因此有 AD⊥BD 再由 DK⊥AB,可得三角形 ADB 和三角形 AKD 相似,可得 t= , 因此 t 的取值的范围是( ,1) 故答案为( ,1)

点评: 考查空间图形的想象能力, 及根据相关的定理对图形中的位置关系进行精准判断的能力.

15.若实数 x,y 满足 x +y =4,则

2

2

的取值范围是



考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用;三角函数的求值. 分析:实数 x,y 满足 x +y =4,可设 x=2cosθ ,y=2sinθ ,θ ∈上单调递减;命题 q:函数 y=ln(x +ax+1)的值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 a 的取值范围.
2 2 2

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题. 分析:由 p 为真命题,能够推导出 a≥3.再由 q 为真命题,能够推导出 a≤﹣2 或 a≥2.由题 意 P 和 q 有且只有一个是真命题,所以 p 真 q 假? ?a∈?,p 假 q 真

?

?a≤﹣2 或 2≤a<3.由此能够得到 a 的取值范围.
2 2

解答: 解:p 为真命题?f'(x)=3x ﹣a≤0 在上恒成立?a≥3x 在上恒成立?a≥3 q 为真命题?△=a ﹣4≥0 恒成立?a≤﹣2 或 a≥2 由题意 P 和 q 有且只有一个是真命题 p 真 q 假? ?a∈?,p 假 q 真
2

?

?a≤﹣2 或 2≤a<3

综上所述:a∈(﹣∞,﹣2]∪上单调递增?如果存在,求 m 的取值范围;如果不存在,请说 明理由.

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)将 m=﹣2 带入 f(x) ,求 f′(x) ,根据极值的定义去判断极值点,并求出极值. (Ⅱ)先假设存在 m,根据函数导数与函数单调性的关系,若 f(x)在上单调递增,则 f′(x) 在上满足:f′(x)≥0,所以要求出 f′(x) ,并变成 f′(x)=xe .∵xe <0,∴只要 x +
x x 2

(m+3)x+2m﹣2≤0.∵是在上单调递增,∴只要满足 f′(﹣2)≤0,且 f′(﹣1)≤0,这 样就能求 m 的范围了. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=e (x ﹣2x ﹣2x+2) ; ∴f′(x)=xe (x﹣2) (x+3) ; ∴x∈(﹣∞,﹣3)时,f′(x)<0;x∈(﹣3,0)时,f′(x)>0,∴x=﹣3 时,f(x) 取到极小值 f(﹣3)=﹣37e ; x∈(0,2)时,f′(x)<0,∴x=0 时,f(x)取到极大值 f(0)=2; x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,∴x=2 时,f(x)取到极小值 f(2)=﹣2e . (Ⅱ)f′(x)=xe ; ∴要使 f(x)在上单调递增,则:f′(x)≥0,∵xe <0; 只要 x +(m+3)x+2m﹣2≤0; ∴ ;
2 x x 2 ﹣3 x x 3 2

解得 m≤4,∴m 的取值范围是(﹣∞,4]. 点评:考查极值的定义以及求解极值的过程,和导数与函数单调性的关系.解决本题的一个关 键是:当得出在上 x +(m+3)x+2m﹣2≤0 时,只要
2



20. (13 分)已知椭圆 C: 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

=1(a>b>0)的焦距为 4,其长轴长和短轴长之比为



(Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为 0 的任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ,求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当 最小时,求点 T 的坐标.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (Ⅰ)由已知可得

,由此能求出椭圆 C 的标准方程.
2

(Ⅱ) (ⅰ)设直线 PQ 的方程为 x=my+2.将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得(m +3) y +4my﹣2=0,由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能求出 t=3. (ⅱ)T 点的坐标为(3,﹣m) . 最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,﹣1) . 解答: 解: (Ⅰ)由已知可得 解得 a =6,b =2. 所以椭圆 C 的标准方程是 .
2 2 2

,|PQ|=

.由此能求出当



(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)可得,F 点的坐标为(2,0) . 由题意知直线 PQ 的斜率存在且不为 0, 设直线 PQ 的方程为 x=my+2. 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,



消去 x,得(m +3)y +4my﹣2=0,

2

2

其判别式△=16m +8(m +3)>0. 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 , .

2

2

于是



设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为



因为 TF⊥PQ,所以直线 FT 的斜率为﹣m,其方程为 y=﹣m(x﹣2) . 当 x=t 时,y=﹣m(t﹣2) ,所以点 T 的坐标为(t,﹣m(t﹣2) ) , 此时直线 OT 的斜率为 ,其方程为 .

将 M 点的坐标为

代入





.解得 t=3.

(ⅱ)由(ⅰ)知 T 点的坐标为(3,﹣m) . 于是 ,

=

=

=

=



所以

=

=

. 当且仅当 此时 故当 取得最小值 ,即 m=±1 时,等号成立, .

最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,﹣1) .

点评:本题考查椭圆 C 的标准方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,查满足条件的点的 坐标的求法,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合 理运用.

21. (14 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a 为常数) ,曲线 y=f(x)在与 y 轴的交点 A 处的 切线斜率为﹣1. (Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当 x>0 时,e >x +1; (Ⅲ)证明:当 n∈N 时,
* x 2

x



考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;数学归纳法. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出函数的 f′(x)=e ﹣a.通过 f′(x)=e ﹣2>0,即可求解函数 f(x)在 区间(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增. (Ⅱ)求出 f(x)的最小值,化简 f(x)≥1﹣ln4.构造 g(x)=e ﹣x ﹣1,通过 g′(x) >0.判断 g(x)在(0,+∞)上单调递增,得到 g(x)>g(0) ,推出结果. (Ⅲ) 首先证明: 当 x>0 时, 恒有 . 令 , 则 h′ (x) =e ﹣x . 推
x 2 x 2 x x

出 h(x)在(0,+∞)上单调递增,得到 x+ln3>3lnx.利用累加法推出 . 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=e ﹣ax﹣1,得 f′(x)=e ﹣a. 又 f′(0)=1﹣a=﹣1,所以 a=2.所以 f(x)=e ﹣2x﹣1,f′(x)=e ﹣2. 由 f'(x)=e ﹣2>0,得 x>ln2. 所以函数 f(x)在区间(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.? (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 所以 f(x)≥1﹣ln4,即 e ﹣2x﹣1≥1﹣ln4,e ﹣2x≥2﹣ln4>0. 令 g(x)=e ﹣x ﹣1,则 g'(x)=e ﹣2x>0. 所以 g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 g(x)=e ﹣x ﹣1>g(0)=0,即 e >x +1.? (Ⅲ)首先证明:当 x>0 时,恒有 证明如下:令 .
x 2 x 2 x 2 x 2 x x x x x x x x



,则 h'(x)=e ﹣x .

由(Ⅱ)知,当 x>0 时,e >x ,所以 h(x)>0,所以 h(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以 h(x)>h(0)=1>0,所以 所以 依次取 ,? 以上各式相加,有 所以 , ,即 x+ln3>3lnx. ,代入上式,则 . , .

x

2

所以 分) 另解:用数学归纳法证明(略)

,即

.?(14

点评:本题考查函数的导数的应用,构造法以及累加法的应用,函数的导数的最值的应用,考 查分析问题解决问题的能力.是难题.


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