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浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷(理科)


浙江省五校联考 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. (5 分)命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2
x

≤0”的否定是() B. 存在 x0∈R,2 ≥0
x

>0

/>C. 对任意的 x∈R,2 ≤0

D.对任意的 x∈R,2 >0

2. (5 分)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 3. (5 分)为得到函数 f(x)=cosx﹣ A.向左平移 B.向右平移 sinx,只需将函数 y= C.向左平移 sinx() D.向右平移

4. (5 分)已知 A、B、C 为直线 l 上不同的三点,点 O?直线 l,实数 x 满足关系式 x
2

= ,有下列结论中正确的个数有() ≥0; <0;

① ②

③x 的值有且只有一个; ④x 的值有两个; ⑤点 B 是线段 AC 的中点. A.1 个 B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

5. (5 分)已知映射 .设点 A(1,3) , B(2,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到 点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为() A. B. C. D.

6. (5 分)如图,已知椭圆 C1:

+y =1,双曲线 C2:

2



=1(a>0,b>0) ,若以 C1

的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、B 两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为()

A.

B. 5

C.

D.

7. (5 分)半径为 R 的球内部装有 4 个半径相同的小球,则小球半径 r 的可能最大值为() A. B. C. D.

8. (5 分)某学生对一些对数进行运算,如图表格所示: x 0.021 0.27 1.5 2.8 lgx2a+b+c﹣3(1)6a﹣3b﹣2(2)3a﹣b+c(3) 1﹣2a+2b﹣c(4) x 3 5 6 7 lgx2a﹣b(5) a+c(6) 1+a﹣b﹣c(7)2(a+c) (8) x 8 9 14 lgx3﹣3a﹣3c(9) 4a﹣2b(10) 1﹣a+2b(11) 现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错,那么出错的数据是() A.(3) , (8) B.(4) , (11) C.(1) , (3) D.(1) , (4)

二、填空题本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 2 9. (5 分) 设全集 U=R, 集合 A={x|x ﹣3x﹣4<0}, B={x|log2 (x﹣1) <2}, 则 A∩B=, A∪B=, CRA=. 10. (5 分)若某多面体的三视图如图所示,则此多面体的体积为,外接球的表面积为.

11. (5 分)若 max{a,b}表示 a,b 两数中的最大值,若 f(x)=max{e ,e |x| |x﹣t 的最小值为,若 f(x)=max{e ,e |}关于 x=2015 对称,则 t=. 12. (5 分)An={x|2 <x<2 则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=.
n n+1

|x|

|x﹣2|

},则 f(x)

,x=3m,m∈N},若|An|表示集合 An 中元素的个数,则|A5|=,

13. (5 分)直角△ ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 y =2x 上,且斜边 AB 和 y 轴平行,则 RT△ ABC 斜边上的高的长度为. 14. (5 分)圆 O 的半径为 1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形(实线所 示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周逆时针滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为.

2

15. (5 分)已知动点 P(x,y)满足

,则 x +y +2y 的最

2

2

小值为.

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (15 分)已知△ ABC 的面积为 S,且 (1)求 cosA; (2)求 a= ,求△ ABC 周长的最大值. 17. (15 分) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, AB⊥BC 侧面 PAB⊥ 底面 ABCD,PA=AD=AB=2,BC=4. S.

(1)若 PB 中点为 E.求证:AE∥平面 PCD; (2)若∠PAB=60°,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值. 18. (15 分)函数 f(x)=mx|x﹣a|﹣|x|+1 (1)若 m=1,a=0,试讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,试讨论 f(x)的零点的个数.

19. (15 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为

的椭圆 C:

+

=1(a>b>0)

的左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点.若直线 PQ 斜率为 时,PQ=2 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.

20. (15 分)已知数列{an}(n∈N ,1≤n≤46)满足 a1=a,an+1﹣an=

*

其中 d≠0,

n∈N . (1)当 a=1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; * (2)设集合 M={b|b=ai+aj+ak,i,j,k∈N ,1≤i<j<k≤16}. ①若 a= ,d= ,求证:2∈M; ②是否存在实数 a,d,使 ,1, 明理由. 都属于 M?若存在,请求出实数 a,d;若不存在,请说

*

浙江省五校联考 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. (5 分)命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2
x

≤0”的否定是() B. 存在 x0∈R,2 ≥0
x

>0

C. 对任意的 x∈R,2 ≤0 考点: 专题: 分析: 解答:

D.对任意的 x∈R,2 >0

特称命题;命题的否定. 简易逻辑. 根据特称命题的否定是全称命题,直接写出该命题的否定命题即可. 解:根据特称命题的否定是全称命题,得; ≤0”的否定是
x

命题“存在 x0∈R,2

“对任意的 x∈R,都有 2 >0”. 故选:D. 点评: 本题考查了全称命题与特称命题的应用问题,解题时应根据特称命题的否定是全称 命题,写出答案即可,是基础题. 2. (5 分)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 考点: 平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 从直线与平面平行与垂直,平面与平面平行与垂直的判定与性质,考虑选项中的情 况,找出其它可能情形加以判断,推出正确结果. 解答: 解:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平面相互平行;如果这两条直线平行,可能得到两个平面相交,所以不正确. ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;这是判定定理,正确. ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;可能是异面直线.不正确. ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.正 确. 故选:D. 点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定,是基础题. 3. (5 分)为得到函数 f(x)=cosx﹣ A.向左平移 B.向右平移 sinx,只需将函数 y= C.向左平移 sinx() D.向右平移

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式,再利用函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象变换规律,可得结论. 解答: 解:由于 f(x)=cosx﹣ ) , + = , sinx=2cos(x﹣ )的图象, )的图象向左平移 个单位,即可得到 f(x) sinx=2cos(x+ ) ,函数 y= sinx=2cos(x﹣

故把函数 y= =2cos(x+

故选:C. 点评: 本题主要考查两角和差的余弦公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律, 4. (5 分)已知 A、B、C 为直线 l 上不同的三点,点 O?直线 l,实数 x 满足关系式 x
2

= ,有下列结论中正确的个数有() ≥0; <0;

① ②

③x 的值有且只有一个; ④x 的值有两个; ⑤点 B 是线段 AC 的中点. A.1 个 B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: 由存在实数 x 满足 x 由x
2 2

= ,△ ≥0,得出①正确、②错误; =﹣x
2

+2x

+

= , 得出

﹣2x

, 根据平面向量的基本定理, 得出﹣x ﹣2x=1,

2

判断③正确、④错误; 由 = ( + ) ,得出 B 是线段 AC 的中点,判断⑤正确.
2

解答: 解:对于①,存在实数 x 满足 x 对于②,由①知,②错误; 对于③,∵x
2

= ,∴



?

≥0,∴①正确;

+2x

+

= ,变形为

=﹣x

2

﹣2x



∵A、B、C 为直线 l 上不同的三点,点 O?直线 l, 2 ∴﹣x ﹣2x=1,解得 x=﹣1,∴③正确;

对于④,由③知,④错误; 对于⑤,由③知, = ( + ) ,∴点 B 是线段 AC 的中点,⑤正确;

综上,正确的命题是①③⑤. 故选:C. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,也考查了一元二次方程有实数根的应用问题,是 综合性题目. 5. (5 分)已知映射 .设点 A(1,3) , B(2,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到 点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为() A. B. C. D.

考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据所给的两个点的坐标写出直线的方程,设出两个点的坐标,根据所给的映射的 对应法则得到两个点坐标之间的关系, 代入直线的方程求出一个圆的方程, 得到轨迹是一个圆 弧,求出弧长. 解答: 解:设点 M′从 A′开始运动,直到点 B′结束,由题意知 AB 的方程为:x+y=4.设 M′ (x,y) , 2 2 2 2 则 M(x ,y ) ,由点 M 在线段 AB 上可得 x +y =4. 按照映射 f:P(m,n)→P′( , ) ,可得 A(1,3)→A′(1, ) ,B(3,1)→B′( , ) , 故 tan∠A′OX= tan∠B′OX= = ,∴∠A′OX= . , ×2= ;

=1,∴∠B′OX=

,故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX= =∠A′OB′?r=

点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为弧长为

故选:B. 点评: 本题考查弧长公式和轨迹方程,本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹,题 目不大,但是涉及到的知识点不少,属于基础题.

6. (5 分)如图,已知椭圆 C1:

+y =1,双曲线 C2:

2



=1(a>0,b>0) ,若以 C1

的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、B 两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为()

A.

B. 5

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出一条渐近线方程,联立直线方程和圆的方程、椭圆方程,求得交点,再由两点 的距离公式,将|AB|=3|CD|,化简整理,即可得到 b=2a,再由 a,b,c 的关系和离心率公式, 即可得到结论. 解答: 解:双曲线 C2: y= x, 以 C1 的长轴为直径的圆的方程为 x +y =11, 联立渐近线方程和圆的方程, 可得交点 A ( , ) , B (﹣ , ﹣ ) ,
2 2



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为

联立渐近线方程和椭圆 C1:

+y =1,可得交点 C(

2



) ,

D(﹣

,﹣

) ,

由于 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分, 则|AB|=3|CD|, 即有 = ,化简可得,b=2a,

则 c=

=

a, .

则离心率为 e= =

故选 A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查直线与圆、椭圆的位置关系,考查离心率的求 法,属于基础题. 7. ( 5 分)半径为 R 的球内部装有 4 个半径相同的小球,则小球半径 r 的可能最大值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大, 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为 2r,该正四面体的中心(外接球球心)就是大球的 球心,求出正四面体的外接球半径,即可求得结论. 解答: 解:由题意,四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最 大. 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为 2r,该正四面体的中心(外接球球心)就是大球的 球心, 该正四面体的高为 设正四面体的外接球半径为 x,则 x =( ∴x= ∴R= ∴r= r, r+r, R.
2

=

, ﹣x) +(
2

),

2

故选:C. 点评: 本题考查点、线、面距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,确定四个小球两 两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大是关键. 8. (5 分)某学生对一些对数进行运算,如图表格所示: x 0.021 0.27 1.5 2.8 lgx2a+b+c﹣3(1)6a﹣3b﹣2(2)3a﹣b+c(3) 1﹣2a+2b﹣c(4) x 3 5 6 7 lgx2a﹣b(5) a+c(6) 1+a﹣b﹣c(7)2(a+c) (8) x 8 9 14 lgx3﹣3a﹣3c(9) 4a﹣2b(10) 1﹣a+2b(11) 现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错,那么出错的数据是() A.(3) , (8) B.(4) , (11) C.(1) , (3) D.(1) , (4) 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 写出对数值的关系式,然后判断正误即可. 解答: 解:由题意可知:lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3; lg0.27=2lg3﹣2=6a﹣3b﹣2; lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c lg2.8=2lg2+lg7﹣1, lg3=2a﹣b,

lg5=a+c lg6=lg2+lg3=1+a﹣b﹣c, lg7=2a+2c, lg8=3﹣3a﹣3c, lg9=2lg3=4a﹣2b, lg14=lg2+lg7=1﹣a+2b. 有上述各式,可以看出,lg3,lg9,lg0.27 是正确的关系式,则 lg7=2a+2c,lg0.21=lg3+lg7﹣ 1=2a+b+c﹣3,可知 lg7 错误; 由 lg5=a+c,lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c,可知 lg5 错误; 即(3) , (8)错误. 故选:A. 点评: 本题考查对数的运算性质,推理与证明的应用,考查分析问题解决问题的能力. 二、填空题本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 2 9. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|x ﹣3x﹣4<0},B={x|log2(x﹣1)<2},则 A∩B=(1,4) , A∪B=(﹣1,5) ,CRA=(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的交集,并集,求出 A 的 补集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x﹣4) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<4,即 A=(﹣1,4) , 由 B 中不等式变形得:log2(x﹣1)<2=log24,得到 0<x﹣1<4, 解得:1<x<5,即 B=(1,5) , ∴A∩B=(1,4) ,A∪B=(﹣1,5) ,?RA=(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) . 故答案为: (1,4) ; (﹣1,5) ; (﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

10. (5 分)若某多面体的三视图如图所示,则此多面体的体积为 ,外接球的表面积为 3π.

考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:该几何体是正方体的内接正四面体.可得此多面体外接球的直径是 次正方体的对角线 .即可得出.

解答: 解:由三视图可知:该几何体是正方体的内接正四面体(红颜色) . ∴多面体的体积为 1﹣ ×1= . .

此多面体外接球的直径是此正方体的对角线 因此其球的表面积是 4π? 故答案为: ,3π. =3π.

点评: 本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题. 11. (5 分)若 max{a,b}表示 a,b 两数中的最大值,若 f(x)=max{e ,e |x| |x﹣t 的最小值为 e,若 f(x)=max{e ,e |}关于 x=2015 对称,则 t=4030. 考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 化简函数的解析式,再利用函数 y={e 的图象和函数 y=e 对称,从而得出结论. 解答: 解:由于 f(x)=max{e ,e =e. 若 f(x)=max{e ,e
|x| |x﹣t| |x| |x﹣2| |x| |x﹣t |x| |x﹣2|

},则 f(x)

的图象关于直线 x=

}=

,故 f(x)的最小值为 f(1)

}关于 x=2015 对称,则

=2015,求得 t=4030,

故答案为:e;4030. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性,分段函数的应用,属于基础题. 12. (5 分)An={x|2 <x<2 ,x=3m,m∈N},若|An|表示集合 An 中元素的个数,则|A5|=11, 19 9 则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=2 ﹣2 . 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 分 n 为奇数和偶数两种情况,根据等差数列的前 n 项和公式即可求出答案.
n n+1

解答: 解:当 n 为奇数时,An 中的各个元素组成以 2 +1 为首项,3 为公差的等差数列,设 n+1 n 项数为 m,则 2 ﹣1=2 +1+3(m﹣1) , 所以 m= ∴|A5|= , =11,
n﹣1 n n﹣1

n

当 n 为偶数时,n﹣1 时奇数,可知 2 +1 是 3 的倍数,因此 2 +2=2(2 +1)是 3 的倍数; n+1 n 同理,2 ﹣2=2(2 ﹣1)是 3 的倍数, n 所以当 n 为偶数时,An 中的各个元素组成以 2 +2 为首项,3 为公差的等差数列, 设项数为 m,则 2
n+1

﹣2=2 +2+3(m﹣1) ,所以 m=

n



所以当 n 是偶数时,An 中的所有元素个数之和为 [2 +2)+(2
2×10﹣1 10﹣1 19 9

n

n+1

﹣2)]

=2

2n﹣1

﹣2

n﹣1



所以|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=2 ﹣2 =2 ﹣2 . 19 9 故答案为:11,2 ﹣2 . 点评: 本题主要考查与集合有关的新定义题,根据条件分别求出对应范围的个数是解决本 题的关键,综合性较强. 13. (5 分)直角△ ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 y =2x 上,且斜边 AB 和 y 轴平行,则 RT△ ABC 斜边上的高的长度为 2. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 结合抛物线的方程与性质设出 A,B,C 的坐标,即可表达出斜边上的高|CD|,再由 直角三角形的性质得到斜边上中线的长度,然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度, 即可得到一个等式,进而求出斜边上的高得到答案. 解答: 解:由题意,斜边平行 y 轴,即垂直对称轴 x 轴, 可设 C 的坐标为( =( ﹣ ,c) ,B 的坐标为( =( ﹣ ,b) ,则 A 的坐标为( ,﹣b) ;
2

,c﹣b) ,

,﹣b﹣c) ,

又由 Rt△ ABC 的斜边为 AB,则有 AC⊥CB, 即 =0,
2 2

变形可得|b ﹣c |=4, 而斜边上的高即 C 到 AB 的距离为| ﹣ |=2.

故答案为:2. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查抛物线的标准方程等基础知识,考查运 算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.

14. (5 分)圆 O 的半径为 1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形(实线所 示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周逆时针滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为 .

考点: 弧长公式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由图可知:圆 O 的半径 r=1,正方形 ABCD 的边长 a=1,以正方形的边为弦时所对的 圆心角为 , 正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示, 当点 A 首次回到点 P 的位置时,

正方形滚动了 3 圈共 12 次,分别算出转 4 次的长度,即可得出. 解答: 解:由图可知:∵圆 O 的半径 r=1,正方形 ABCD 的边长 a=1, ∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为 ,

正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示, ∴当点 A 首次回到点 P 的位置时,正方形滚动了 3 圈共 12 次, 设第 i 次滚动,点 A 的路程为 Ai, 则 A1= A2= A3= ×|AB|= ×|AC|= ×|DA|= , , ,

A4=0, ∴点 A 所走过的路径的长度为 3(A1+A2+A3+A4)= 故答案为: . .

点评: 本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式,考查了数形结合、 分类讨论的思想方法,考查了分析问题与解决问题的能力,属于难题.

15. (5 分)已知动点 P(x,y)满足

,则 x +y +2y 的最

2

2

小值为 0. 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;基本不等式. 专题: 不等式.

分析: 可将 P 满足的不等式组变为
2 2 2 2

,作出该不等式组表示的平面区域,可设

x +y +2y=z,进一步得到 x +(y+1) =z+1,从而根据平面区域求以(0,﹣1)为圆心的圆的 半径的最小值即得到 z 的最小值. 解答: 解:x≥0 时, ∴要使 只要 ∴y≥0; ; ; ;

∴动点 P 满足



该不等式组表示的平面区域如下图:

设 x +y +2y=z; 2 2 ∴x +(y+1) =z+1;

2

2

∴ 便表示以(0,﹣1)为圆心的圆的半径; 由图形看出当该圆经过原点 O 时半径最小为 1; ; ∴z 的最小值为 0. 故答案为:0. 点评: 考查不等式组表示的平面区域的概念,能够画出不等式组所表示的平面区域,能判 断函数 题的方法. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (15 分)已知△ ABC 的面积为 S,且 (1)求 cosA; (2)求 a= ,求△ ABC 周长的最大值. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 综合题;解三角形. 分析: (1)利用 (2)利用正弦定理,结合 a= S,结合三角形的面积公式,即可求 cosA; ,即可求△ ABC 周长的最大值. ,∴ , , S. 的单调性,圆的标准方程,利用线性规划的知识求最值的方法,数形结合解

解答: 解: (1)∵△ABC 的面积为 S,且 ∴ ∴ (2) ∴周长为 = ∵ ∴ , = , ,∴A 为锐角,且 ,所以 . ,



∴周长最大值为 . 点评: 本题考查正弦定理,考查三角函数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 17. (15 分) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, AB⊥BC 侧面 PAB⊥ 底面 ABCD,PA=AD=AB=2,BC=4.

(1)若 PB 中点为 E.求证:AE∥平面 PCD; (2)若∠PAB=60°,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值. 考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)取 PC 中点 F,并连接 DF,FE,根据已知条件容易说明四边形 ADFE 为平行四 边形,从而有 AE∥DF,根据线面平行的判定定理即得到 AE∥平面 PCD; (2) 设 B 到平面 PCD 的距离为 h, 从而直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值便可表示为 ,

BD 根据已知条件容易求出,而求 h 可通过 VP﹣BCD=VB﹣PCD 求出:取 AB 中点 O,连接 PO, 可以说明 PO⊥平面 ABCD,而根据已知条件能够求出 S△ BCD,S△ PCD,从而求出 h,从而求 得答案. 解答: 解: (1)证明:如图,取 PC 的中点 F,连结 DF,EF;

∵EF∥AD,且 AD=EF,所以 ADFE 为平行四 边形; ∴AE∥DF,且 AE?平面 PCD,DF?平面 PCD; ∴AE∥平面 PCD; (2) ∵∠PAB=60°,PA=AB; ∴△PAB 为等边三角形,取 AB 中点 O,连接 PO; 则 PO⊥AB; 又侧面 PAB⊥底面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB; ∴PO⊥平面 ABCD; 根据已知条件可求得 PO= ,S△ BCD=4,PD=CD= ,PC=2 , ;

设点 B 到平面 PCD 的距离为 h; ∴ , ;

∵VP﹣BCD=VB﹣PCD; ∴ ;

∴直线 BD 与平面 PCD 所成角 θ 的正弦值



点评: 考查中位线的性质,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,以及直角三角形边 的关系,面面垂直的性质定理,棱锥的体积公式,线面角的定义. 18. (15 分)函数 f(x)=mx|x﹣a|﹣|x|+1 (1)若 m=1,a=0,试讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,试讨论 f(x)的零点的个数. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)将 m=1,a=0 代入函数表达式,通过讨论 x 的范围,结合二次函数的性质,从 而求出函数的单调性; (2)将 a=1 代入函数的表达式,通过讨论 x 的范围,根据二次函数的性质,从而求出函数的 零点的个数. 解答: 解: (1)若 m=1,a=0, 则 f(x)=x|x|﹣|x|+1, ①x≥0 时,f(x)=x ﹣x+1, 对称轴 x= ,开口向上, ∴f(x)在[0, )递减,在( ,+∞)递增; ②x<0 时,f(x)=﹣x +x+1, 对称轴 x=﹣ ,开口向下, ∴f(x)在(﹣∞,0)递增; 综上:f(x)在(﹣∞,0)递增,在[0, )递减,在( ,+∞)递增. (2)a=1 时,f(x)=mx|x﹣1|﹣|x|+1, 2 ①x<0 时,f(x)=mx(1﹣x)+x+1=﹣mx +(m+1)x+1, 2 2 △ =(m+1) +4m=m +6m+1, 2 令 m +6m+1=0,解得:m=﹣3±2 , 当 m<﹣3﹣2 或 x>﹣3+2 时,△ >0,有 2 个零点, 当﹣3﹣2 <m<﹣3+2 时,△ <0,没有零点, 当 m=﹣3±2 时,△ =0,有 1 个零点; 2 ②0≤x≤1 时,f(x)=mx(1﹣x)﹣x+1=﹣mx +(m﹣1)x+1, 2 △ =(m+1) ≥0,
2 2

m=﹣1 时,函数有 1 个零点,m≠﹣1 时,有 2 个零点; ③x>1 时,f(x)=mx(x﹣1)﹣x+1=mx ﹣(m+1)x+1, 2 △ =(m﹣1) ≥0, m=1 时,函数有 1 个零点,m≠1 时,函数有 2 个零点. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查二次函数的性质,考查分类讨论思想,是一道 中档题.
2

19. (15 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为

的椭圆 C:

+

=1(a>b>0)

的左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点.若直线 PQ 斜率为 时,PQ=2 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: , (1)设 ,解得 ,由于直线 PQ 斜率为 ,代入椭圆方程可得: 时, ,可得

,又

,联立解得即可. (2)设 P(x0,y0) ,则 Q(﹣x0,﹣y0) ,代入椭圆方程可得 .由直线 PA 方程为:

,可得

,同理由直线 QA 方程可得

,可

得以 MN 为直径的圆为

,由于

,代入整理即可得出.

解答: 解: (1)设 ∵直线 PQ 斜率为 ∴ ∴ ∴ , , 时, , =1, ,





,化为 a =2b .

2

2

联立
2 2



∴a =4,b =2. ∴椭圆 C 的标准方程为 (2)以 MN 为直径的圆过定点 设 P(x0,y0) ,则 Q(﹣x0,﹣y0) ,且 . .下面给出证明: ,即 ,

∵A(﹣2,0) ,∴直线 PA 方程为:







直线 QA 方程为:







以 MN 为直径的圆为












2 2

, ,

令 y=0,x +y ﹣2=0,解得

∴以 MN 为直径的圆过定点 . 点评: 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置 关系、点斜式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20. (15 分)已知数列{an}(n∈N ,1≤n≤46)满足 a1=a,an+1﹣an=

*

其中 d≠0,

n∈N . (1)当 a=1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; * (2)设集合 M={b|b=ai+aj+ak,i,j,k∈N ,1≤i<j<k≤16}. ①若 a= ,d= ,求证:2∈M; ②是否存在实数 a,d,使 ,1, 明理由. 考点: 数列的应用;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)直接计算即可; (2)①求出 an 的公式即可;②假设存在实数 a,d 满足条件,得出矛盾,从而否定假设. 解答: 解: (1)当 a=1 时,a16=1+15d,a31=16+15d, 因为 d≠0, ,或 , . 都属于 M?若存在,请求出实数 a,d;若不存在,请说

*

所以 a46∈(﹣∞,﹣14]∪[46,+∞) . (2)①由题意 令
*

,1≤n≤16, ,得 i+j+k=7.



因为 i,j,k∈N ,1≤i<j<k≤16, 所以令 i=1,j=2,k=4,则 2∈M. ②不存在实数 a,d,使 ,1, 假设存在实数 a,d,使 ,1, 同时属于 M. 同时属于 M.

∵an=a+(n﹣1)d,∴b=3a+(i+j+k﹣3)d,

从而 M={b|b=3a+md,3≤m≤42,m∈Z}. 因为 ,1, 同时属于 M,

所以存在三个不同的整数 x,y,z(x,y,z∈[3,42]) ,

使得

从而





因为 35 与 48 互质,且 y﹣x 与 z﹣x 为整数, 所以|y﹣x|≥35,|z﹣x|≥48,但|z﹣x|≤39,矛盾. 所以不存在实数 a,d,使 ,1, 都属于 M.

点评: 本题主要考查数列知识以及反证法,需要清晰的思路,属于难题.


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