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数学提高训练题(2)


数学提高训练题(2)
1.已知不等式 m ? cos ? ? 5 m ? 4sin ? ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是(
2 2 2

?

?

) .

? A? 0 ? m ? 4

? B ?1 ? m ? 4

? C ?

m ? 4或m ? 0

? D ? m ? 1或m ? 0

2. 方程 ? a ? 1?? sin 2 x ? cos x ? ? ? a ? 1?? sin x ? cos 2 x ? ? 0 ? 参数a ? 0 ? 在区间 ? ?? , ? ? 内 有( )个解.

? A? 2

?B?3
2x ( 4x ? 1

?C ? 4
) .

? D ? 5或多于5.

3.函数 f ? x ? ? x ?

? A? 是偶函数但不是奇函数 ? C ? 既是奇函数又是偶函数
4.已知函数 f ? x ? ?

? B ? 是奇函数但不是偶函数
? D ? 既不是奇函数也不是偶函数
? 1 ? f? ?? ? 101 ? ? 2 ? f? ? ?? ? ? 101 ?
2

32 x .则 3 ? 32 x
2

? 100 ? f? ?? ? 101 ?



5.已知关于 x 的方程 sin x ? ? 2a ? 1? cos x ? a ? 0 有实数解,则实数 a 的取值集合是 ( ) .

? A? ?? ? ? D ? ?? ?

5 , ?1 ? 4

? ? 2 ?

? B ? ?? ?

5 , ?1 ? 4

? ? 2 ?

? C ? ?1 ? ?

2? , ?1 ?

2

3 ? ,1 ? 2 ? ? 2 ?

6.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ? 2an ?1 ? n ? 2 ? n ? 2 ? . 求通项 an . 7.在数列 ? an ? 中, a1 ? 1, 其前 n 项和 S n 满足关系式 3tSn ? ? 2t ? 3? Sn ?1 ? 3t (t ? 0,

n ? 2,3,?).
(1)求证:数列 ? an ? 是等比数列; (2)设数列 ? an ? 的公比为 f ? t ? , 作数列 ?bn ? , 使 b1 ? 1, bn ? f ?

? 1 ? ? ? n ? 2,3,?? , 求 ? bn ?1 ?

bn ;
(3)求 b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? b2 n ?1b2 n ? b2 nb2 n ?1 的值.

数学提高训练题(2)解答
1. m ? cos ? ? 5 m ? 4sin ? ? 0 ? m ? 4 ? sin ? m ? 4sin ? ? 0 ? ? m ? 4 ? ?
2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

? m ? sin ? ? ? 0 ? m ? 4或m ? 0.
2

2.原方程可变为 sin ?

? x ? ? ? ? 3x ? ? a ? 1 ? 3x ? ? ? ? ? ?cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 0. ? 2 4 ? ? ? 2 4 ? a ?1 ? 2 4 ??

?1? 方程 sin ? ?

x ?? ? ? ? ? 0在 ? ?? , ? ? 上的解为x ? ? . 2 ?2 4? 3x ? ? a ? 1 ? 3x ? ? ? ?? sin ? ? ? ? 0 : ? 2 4 ? a ?1 ? 2 4 ? 5? ? ? ? 3x ? ? ? ? ? 0, 得x ? ? ,? , . 6 6 2 ? 2 4?

? 2 ? 对方程 cos ? ?

当 a ? ?1 时,方程变为 cos ?

当 a ? ?1 时,方程变为 tan ?

a ?1 ? 3x ? ? a ? 1 ? ?? , 当a ? 0且a ? ?1时, ? ? ??, ?1? ? a ?1 ? 2 4 ? a ?1

?1, ?? ? . 而 y ? tan ? ?

3x ? ? ? 3x ? ? 1 ? a 有 ? ? 在 ? ?? , ? ? 有3个周期,因此,方程 tan ? ? ? ? ? 2 4? ? 2 4 ? a ?1

3个解,且任一个不为 ? 3. A.

? . 故当 a ? 0 时,原方程有4个解. 2
? 1 ? ?? ? 101 ?
2

4. f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1 ? f ?
2

? 2 ? f? ? ??? ? 101 ?

? 100 ? f? ? ? 50. ? 101 ?
2

5.方程 cos x ? ? 2a ? 1? cos x ? a ? 1 ? 0 有解,令 t ? cos x, ?1 ? t ? 1, 则 t ? ? 2a ? 1? t

? ? 0, ? ? f ?1 ? 0, ? ? ? ? 2 2 2 ? a ? 1 ? 0, f ? t ? ? t ? ? 2a ? 1? t ? a ? 1, 则 ? 或 f ?1? ? f ? ?1? ? 0. f ?1? ? 0, ? ? ?1 ? ? 2a ? 1 ? 1. ? ? 2
? ? B ?.
6.由已知,得 an ? n ? 2 ? an ?1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? , 令bn ? an ? n, 则 b1 ? a1 ? 1 ? 2, bn ? ? ?

2bn ?1 ? n ? 2 ? . 于 是 bn ? 2 ? 2n ?1 ? 2n .即 an ? n ? 2n ? n ? 2 ? .? an ? 2n ? n, 当 n ? 1 时 也 适

合.? an ? 2 ? n ? n ? 1? .
n

7 . 1 ) 解 :由 3tS2 ? ? 2t ? 3? S1 ? 3t , 得3t ? a1 ? a2 ? ? ? 2t ? 3? a1 ? 3t. 再 由 a1 ? 1, 解 得 (

a2 ?

2t ? 3 a2 2 ? 3 t ,? ? . 当 n ? 2 时,有 3tSn ?1 ? ? 2t ? 3? Sn ? 3t ……① 3t a1 3t an ?1 2t ? 3 ? . an 3t

3tSn ? ? 2t ? 3? Sn ?1 ? 3t ……② ① ? ②得, 3tan ?1 ? ? 2t ? 3? an ? 0,? ??an ? 成等比数列.

1 ?3 bn ?1 2 2t ? 3 ? ? bn ?1 , ? bn ? bn?1 (2)由(1)知, f ? t ? ? , 则 b1 ? 1, bn ? 1 3 3t 3? bn ?1 2?

?

2 2 2 1 ? n ? 2 ? .??bn ? 是等差数列,且 b1 ? 1, d ? bn ? bn?1 ? . 故 bn ? n ? . 3 3 3 3
b (3) 1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? b2 n ?1b2 n ? b2 nb2 n ?1 ? b2 ? b1 ? b3 ? ? b4 ? b3 ? b5 ? ?? ?

b2 n ? b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ? ?

4 4 ?b ? b ? n ? b2 ? b4 ? ? ? b2n ? ? ? ? 2 2n 3 3 2

? 5 4n ? 1 ? n? ? ? 4 8 4 3 3 ? ?? ? ? ? ? n 2 ? n. 3 2 9 3


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