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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修4:第三章 三角恒等变换 单元同步测试


第三章测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.sin105° cos105° 的值为( 1 A.4 3 C. 4 ) 1 B.-4 3 D.- 4

1 1 1 解析 原式=2sin210° =-2sin30° =-4.

答案 B )

1 π π 2.若 sin2α=4,4<α<2,则 cosα-sinα 的值是( 3 A. 2 3 C.4 解析 3 B.- 2 3 D.-4 1 3 (cosα-sinα)2=1-sin2α=1-4=4.

π π 又4<α<2, ∴cosα<sinα,cosα-sinα=- 答案 B ) 3 3 =- 4 2.

4 α 3.已知 180° <α<270° ,且 sin(270° +α)=5,则 tan2=( A.3 C.-2 B.2 D.-3

答案

D 3sinA-cos(B+C)的值为( 2 B. 2 D. 2 )

4.在△ABC 中,∠A=15° ,则 A. 2 3 C. 2

解析 在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=π, 3sinA-cos(B+C) = 3sinA+cosA 3 1 =2( 2 sinA+2cosA) =2cos(60° -A)=2cos45° = 2. 答案 A )

1 1 5.已知 tanθ=3,则 cos2θ+2sin2θ 等于( 6 A.-5 4 C.5 4 B.-5 6 D.5

cos2θ+sinθcosθ 1+tanθ 6 解析 原式= = = . cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 5 答案 D )

6.在△ABC 中,已知 sinAcosA=sinBcosB,则△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 π 解析 ∵sin2A=sin2B,∴∠A=∠B,或∠A+∠B=2.

答案

D )

2 3 7.设 a= 2 (sin17° +cos17° ),b=2cos213° -1,c= 2 ,则( A.c<a<b C.a<b<c B.b<c<a D.b<a<c

2 2 解析 a= 2 sin17° + 2 cos17° =cos(45° -17° )=cos28° , b=2cos213° -1=cos26° , 3 c= 2 =cos30° , ∵y=cosx 在(0,90° )内是减函数, ∴cos26° >cos28° >cos30° ,即 b>a>c. 答案 A )

8. 三角形 ABC 中, 若∠C>90° , 则 tanA· tanB 与 1 的大小关系为( A.tanA· tanB>1 C.tanA· tanB=1 B. tanA· tanB<1 D.不能确定

解析 在三角形 ABC 中, ∵∠C>90° , ∴∠A, ∠B 分别都为锐角. 则有 tanA>0,tanB>0,tanC<0. 又∵∠C=π-(∠A+∠B), tanA+tanB ∴tanC=-tan(A+B)=- <0, 1-tanA· tanB 易知 1-tanA· tanB>0, 即 tanA· tanB<1. 答案 B
? ? ? ?

π? π? ? ? 9.函数 f(x)=sin2?x+4?-sin2?x-4?是( A.周期为 π 的奇函数

)

B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 π? π? ? ? 解析 f(x)=sin2?x+4?-sin2?x-4?
? ? ? ?

π? ?π ? ? =cos2?4-x?-sin2?x-4?
? ? ? ? ? ? ? ?

π? π? ? ? =cos2?x-4?-sin2?x-4? π? ? =cos?2x-2?
? ?

=sin2x. 答案 A )
?1+ 2 ?

10.y=cosx(cosx+sinx)的值域是( A.[-2,2] C.?
? ?1- 2

B.? 1+ 2 ? ? 2 ?

2

,2?
?

?

2



? 1 3? D.?-2,2? ? ?

解析

y=cos2x+cosxsinx=

1+cos2x 1 +2sin2x 2

? 1 2? 2 2 =2+ 2 ? sin2x+ cos2x? 2 ? 2 ?

1 2 π =2+ 2 sin(2x+4).∵x∈R, 1+ 2 π? ? ∴当 sin?2x+4?=1 时,y 有最大值 2 ; ? ? 1- 2 π? ? 当 sin?2x+4?=-1 时,y 有最小值 2 . ? ? ∴值域为?
? ?1- 2

2



1+ 2? ?. 2 ?

答案

C ) 3 B. 2 D. 2

2cos10° -sin20° 11. 的值是( sin70° 1 A.2 C. 3

2cos?30° -20° ?-sin20° 解析 原式= sin70° = 2?cos30° · cos20° +sin30° · sin20° ?-sin20° sin70°

3cos20° = cos20° = 3. 答案 C

12 3 12.若 α,β 为锐角,cos(α+β)=13,cos(2α+β)=5,则 cosα 的 值为( 56 A.65 56 16 C.65或65 ) 16 B.65 D.以上都不对

12 解析 ∵0<α+β<π,cos(α+β)=13>0, π 5 ∴0<α+β<2,sin(α+β)=13. 3 ∵0<2α+β<π,cos(2α+β)=5>0, π 4 ∴0<2α+β<2,sin(2α+β)=5. ∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)] =cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)

3 12 4 5 56 =5×13+5×13=65. 答案 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.将答案填在题 中横线上) 13. 已知 α, β 为锐角, 且 cos(α+β)=sin(α-β), 则 tanα=________. 解析 ∵cos(α+β)=sin(α-β), ∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ. ∴cosα(sinβ+cosβ)=sinα(sinβ+cosβ). ∵β 为锐角,∴sinβ+cosβ≠0,∴cosα=sinα,∴tanα=1. 答案 1 1 14.已知 cos2α=3,则 sin4α+cos4α=________. 1 解析 ∵cos2α=3, 8 ∴sin22α=9. ∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α 1 1 8 5 =1-2sin22α=1-2×9=9. 5 答案 9 sin?α+30° ?+cos?α+60° ? 15. =________. 2cosα 解析 ∵ sin(α + 30° ) + cos(α + 60° ) = sinαcos30° + cosαsin30° +

cosαcos60° -sinαsin60° =cosα, cosα 1 ∴原式=2cosα=2.

1 答案 2 π π 16.关于函数 f(x)=cos(2x-3)+cos(2x+6),则下列命题: ①y=f(x)的最大值为 2; ②y=f(x)最小正周期是 π;
? π 13π? ③y=f(x)在区间?24, 24 ?上是减函数; ? ?

π ④将函数 y= 2cos2x 的图象向右平移24个单位后,将与已知函数 的图象重合. 其中正确命题的序号是________. π? π? ? ? 解析 f(x)=cos?2x-3?+cos?2x+6?
? ? ? ?

π?? π? ?π ? ? =cos?2x-3?+sin?2-?2x+6??
? ? ? ? ? ? ? ??

π? π? ? ? =cos?2x-3?-sin?2x-3?
? ? = 2· ? 2 π? π?? ? 2 ? ?2x- ?- sin?2x- ?? cos 3? 2 3?? ? ? ? 2 ? ? ?

π π? ? = 2cos?2x-3+4? π? ? = 2cos?2x-12?,
?

∴y=f(x)的最大值为 2,最小正周期为 π,故①,②正确.
? π 13π? ? π 13π? π 又当 x∈?24, 24 ?时,2x-12∈[0,π],∴y=f(x)在?24, 24 ?上是 ? ? ? ?

减函数,故③正确. π? π? ? ? 由④得 y= 2cos2?x-24?= 2cos?2x-12?,故④正确.
? ? ? ?

答案

①②③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知向量 m=?cosα-
? ? π ? 为共线向量,且 α∈?-2,0?. ? ? ? ? 2 ?,n=(sinx,1),m 与 n ,- 1 3 ?

(1)求 sinα+cosα 的值; sin2α (2)求 的值. sinα-cosα 解
? ?

(1)∵m 与 n 为共线向量, 2? ?×1-(-1)×sinα=0, 3?

∴?cosα-

2 即 sinα+cosα= 3 . 2 (2)∵1+sin2α=(sinα+cosα)2=9, 7 ∴sin2α=-9. 16 ∴(sinα-cosα)2=1-sin2α= 9 .
? π ? 又∵α∈?-2,0?,∴sinα-cosα<0. ? ?

4 ∴sinα-cosα=-3. ∴ sin2α 7 =12. sinα-cosα

3π? ? π? ? 2-2sin?α+ 4 ?cos?α+4? 1+tanα ? ? ? ? 18.(12 分)求证: = . 4 4 cos α-sin α 1-tanα π π? ? π? ? 2-2sin?α+4+2?cos?α+4?
? ? ? ?

证明 左边= ?cos2α+sin2α??cos2α-sin2α?



π? ? 2-2cos2?α+4?
? ?

cos α-sin α π? ? 1-cos?2α+2?
? ?

2

2



cos α-sin α

2

2

1+sin2α ?sinα+cosα?2 = 2 = cos α-sin2α cos2α-sin2α = cosα+sinα 1+tanα = . cosα-sinα 1-tanα

∴原等式成立. π? ? ?π 3π? 2 19.(12 分)已知 cos?x-4?= 10 ,x∈?2, 4 ?.
? ? ? ?

(1)求 sinx 的值; π? ? (2)求 sin?2x+3?的值.
? ?



?π 3π? (1)解法 1:∵x∈?2, 4 ?, ? ? ? ?

π ?π π? ∴x-4∈?4,2?, π? ? 于是 sin?x-4?=
? ?

π? 7 2 ? 1-cos2?x-4?= 10 .
? ? ? ? ?

π? π? ?? sinx=sin??x-4?+4?
?? ?

π? π π? π ? ? =sin?x-4?cos4+cos?x-4?sin4
? ?

7 2 2 2 2 = 10 × 2 + 10 × 2 4 =5. 解法 2:由题设得

2 2 2 cos x + sin x = 2 2 10 , 1 即 cosx+sinx=5. 又 sin2x+cos2x=1, 从而 25sin2x-5sinx-12=0, 4 3 解得 sinx=5,或 sinx=-5,
?π 3π? 4 因为 x∈?2, 4 ?,所以 sinx=5. ? ? ?π 3π? (2)∵x∈?2, 4 ?,故 ? ?

cosx=- 1-sin2x=- 24 sin2x=2sinxcosx=-25. 7 cos2x=2cos2x-1=-25. π? ? ∴sin?2x+3?
? ?

?4? 3 1-?5?2=-5. ? ?

π π =sin2xcos3+cos2xsin3 24+7 3 =- 50 . 3x 3x? x x? ? ? 20. (12 分)已知向量 a=?cos 2 ,sin 2 ?, b=?cos2,-sin2?, c=( 3,
? ? ? ?

-1),其中 x∈R. (1)当 a⊥b 时,求 x 值的集合; (2)求|a-c|的最大值. 解 (1)由 a⊥b 得 a· b=0,

3x x 3x x 即 cos 2 cos2-sin 2 sin2=0, kπ π 则 cos2x=0,得 x= 2 +4(k∈Z),
? ? ? kπ π ∴x 值的集合是?x?x= 2 +4,k∈Z ?. ? ? ?

3x ? ? ? 3x ? (2)|a-c|2=?cos 2 - 3?2+?sin 2 +1?2
? ? ? ?

3x 3x 3x 3x =cos2 2 -2 3cos 2 +3+sin2 2 +2sin 2 +1
?3x π? 3x 3x =5+2sin 2 -2 3cos 2 =5+4sin? 2 -3?, ? ?

则|a-c|2 的最大值为 9. ∴|a-c|的最大值为 3. 21.(12 分)某工人要从一块圆心角为 45° 的扇形木板中割出一块一 边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为 1 cm,求割出的长 方形桌面的最大面积(如图).



连接 OC,设∠COB=θ,则 0° <θ<45° ,OC=1. ∵AB=OB-OA=cosθ-AD=cosθ-sinθ, ∴S 矩形 ABCD=AB· BC=(cosθ-sinθ)· sinθ 1 1 =-sin2θ+sinθcosθ=-2(1-cos2θ)+2sin2θ 1 1 =2(sin2θ+cos2θ)-2 π? 1 2 ? = 2 cos?2θ-4?-2. ? ? 2-1 π π 当 2θ-4=0,即 θ=8时,Smax= 2 (m2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为 2-1 2 m. 2

22. (12 分)已知函数 f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正 周期为 π. (1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2, 纵坐标不 π? ? 变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在区间?0,16?上的最小值.
? ?



(1)因为 f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx. 1+cos2ωx 2

所以 f(x)=sinωxcosωx+ 1 1 1 =2sin2ωx+2cos2ωx+2 π? 1 2 ? = 2 sin?2ωx+4?+2. ? ?

2π 由于 ω>0,依题意得2ω=π.所以 ω=1.

π? 1 2 ? (2)由(1)知 f(x)= 2 sin?2x+4?+2. ? ? π? 1 2 ? 所以 g(x)=f(2x)= 2 sin?4x+4?+2. ? ? π π π π 当 0≤x≤16,4≤4x+4≤2. π? ? 2 所以 2 ≤sin?4x+4?≤1. ? ? 1+ 2 因此 1≤g(x)≤ 2 . π? ? 故 g(x)在区间?0,16?上的最小值为 1.
? ?


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