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2015年文科高考导数练习题


导数

高中数学组卷

一.选择题(共 22 小题) 3 1. (2015?绵阳模拟)设函数 f(x)=ax +3bx(a,b 为实数,a<0,b>0) ,当 x∈[0,1]时,有 f(x)∈[0,1],则 b 的最大值是( ) A. B. C. D.

2. (2015?红河州一模)若函数 f(x)= x +x ﹣ 在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是( A.[﹣5,0) B.(﹣5,0) C.[﹣3,0) D.(﹣3,0) )

3

2



3. (2015?开封模拟)函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,2) C.[0,+∞) D.(2,+∞)
3

4. (2015?泸州模拟)设函数 f(x)=ax +3x,其图象在点(1,f(1) )处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直,则直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A.1 B.3 C.9 D.12

5. (2014?郑州一模)已知曲线 A.3 B.2

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C.1 D.



6. (2014?郑州模拟)曲线 A. B.

在点 C.

处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( D.



7. (2014?西藏一模)已知曲线 A.1 B.2
x﹣1

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C.3 D.4 )



8. (2014?广西)曲线 y=xe A.2e B.e

在点(1,1)处切线的斜率等于( C.2 D.1
2

9. (2014?武汉模拟)若函数 f(x)=x +ax+ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞]
3

是增函数,则 a 的取值范围是( D.[3,+∞] )



C.[0,3]

10. (2014?包头一模)已知函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A.﹣2 或 2 B.﹣9 或 3 C.﹣1 或 1 D.﹣3 或 1 11. (2014?郑州模拟)已知 f(x)=x +2xf′ (1) ,则 f′ (0)等于( A.0 B.﹣4 C.﹣2 D.2
2 2



12. (2014?江西二模)已知函数 f(x)=x +f′ (2) (lnx﹣x) ,则 f′ (1)=( A.1 B.2 C.3 D.4



13. (2014?上海二模)已知 f(x)=(2x+1) ﹣ A.4 B.5 C.﹣2
2

3

+3a,若 f′ (﹣1)=8,则 f(﹣1)=( D.﹣3



14. (2014?菏泽一模)已知函数 f(x)=x ﹣cosx,则 f(0.6) ,f(0) ,f(﹣0.5)的大小关系是( A.( f 0) <( f ﹣0.5) B.f(0)<f(0.6) C.f(0.6)<f(﹣D.( f ﹣0.5) <( f 0) <f(0.6) <f(﹣0.5) 0.5)<f(0) <f(0.6)
3 2



15. (2014?呼伦贝尔一模)若函数 f(x)= x ﹣ ax +(a﹣1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞) 为增函数,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣∞,2] B.[5,7] ) C.[4,6]

D.(﹣∞,5]∪ [7, +∞)

16. (2014?福建模拟)函数 f(x)=﹣x +3x ﹣4 的单调递增区间是( ) A.(﹣∞,0) B.(﹣2,0) C.(0,2) D.(2,+∞) 17. (2014?佛山二模)已知函数 f(x)=x ﹣cosx,x∈R,则( ) A. B. C. D. f( )>f(1) f(1)>f( ) ( f ﹣ ) >( f 1) f( )>f(﹣ >f(﹣ ) >f(﹣ ) >f( ) )>f(1)
2

3

2

18. (2014?江西模拟)已知 m 是区间[0,4]内任取的一个数,那么函数 f(x)= x ﹣2x +m x+3 在 x∈R 上是增函 数的概率是( A. ) B. C. D.

3

2

2

19. (2014?宁德模拟)函数 f(x)=x﹣sinx 是( A.奇函数且单调 B.奇函数且单调 递增 递减 C.偶函数且单调 D.偶函数且单调 递增 递减
3



20. (2014?梧州模拟)已知 f(x)=﹣x +ax 在(﹣∞,﹣1]上单调递减,则 a 的取值范围是( A.(﹣∞,1] B.[1,+∞) C.(﹣∞,3] D.[3,+∞) 21. (2014?揭阳模拟)关于函数 f(x)=x ﹣3x+1,下列说法正确的是( A.f(x)是奇函数 且 x=﹣1 处取得 极小值 B.f(x)是奇函数 且 x=1 处取得极 小值 C.f(x)是非奇非 偶函数且 x=﹣1 处取得极小值
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3





D.f(x)是非奇非 偶函数且 x=1 处 取得极小值
3 2

22. (2014?贵州模拟)函数 y=ax +bx 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 ,则( A.a﹣2b=0 B.2a﹣b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0



二.填空题(共 2 小题) 23. (2015?广东模拟)函数 f(x)=xlnx 在点(e,f(e) )处的切线方程为 _________ . 24. (2015?赤峰模拟)已知 f(x)=x ﹣3x +2x+a,若 f(x)在 R 上的极值点分别为 m,n,则 m+n= 三.解答题(共 6 小题) 2 x 25. (2015?路南区二模)已知函数 f(x)=ax ﹣e (a∈R) (Ⅰ )当 a=1 时,判断函数 f(x)的单调区间并给予证明; (Ⅱ )若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,证明:﹣ <f(x1)<﹣1.
3 2

_________ .

26. (2015?汕尾模拟)已知函数 f(x)=x +bx +cx 的极值点为 x=﹣ 和 x=1 (1)求 b,c 的值与 f(x)的单调区间 (2)当 x∈[﹣1,2]时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 27. (2015?南昌模拟)函数 f(x)=x﹣alnx﹣2. (Ⅰ )求 f(x)的单调区间; (Ⅱ )a=1 时,不等式 f(x)+(b+1)f′ (x)<x﹣1 对 x>1 恒成立,求正整数 b 的取值集合. 28. (2015?安徽一模)已知函数 f(x)=b+(1﹣2a)x+x ﹣x . (I)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (II)设曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=4x﹣1,求函数 f(x)在定义域上的极小值. 29. (2015?重庆一模)已知函数 (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
3 2 2 3

3

2

30. (2014?广西)函数 f(x)=ax +3x +3x(a≠0) . (Ⅰ )讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ )若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.

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导数
一.选择题(共 22 小题)

高中数学组卷

参考答案与试题解析

1. (2015?绵阳模拟)设函数 f(x)=ax +3bx(a,b 为实数,a<0,b>0) ,当 x∈[0,1]时,有 f(x)∈[0,1],则 b 的最大值是( ) A. B. C. D.

3

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数求闭区间上函数的最值. 计算题. 求导数,利用函数的单调性,结合 x∈[0,1]时,有 f(x)∈[0,1],即可 b 的最大值.
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解:∵ f(x)=ax +3bx,∴ f′ (x)=3ax +3b ,

3

2

令 f′ (x)=0,可得 x= ① ② 0<

≥1,则 f(x)max=f(1)=1,∴ b∈(0, ]; <1,f(x)max=f( . )=1,f(1)≥0,∴ b∈( , ].

∴ b 的最大值是 故选:C. 点评:

本题考查导数知识的运用,考查函数的值域,考查学生的计算能力,属于中档题.
3 2

2. (2015?红河州一模)若函数 f(x)= x +x ﹣ 在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是( A. [﹣5,0) B. (﹣5,0) C. [﹣3,0) D. (﹣3,0)



考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;作图题;导数的综合应用. 2 分析: 由题意,求导 f′ (x)=x +2x=x(x+2)确定函数的单调性,从而作出函数的简图,由图象求实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:由题意,f′ (x)=x +2x=x(x+2) , 故 f(x)在(﹣∞,﹣2) , (0,+∞)上是增函数, 在(﹣2,0)上是减函数, 作其图象如右图,
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令 x +x ﹣ =﹣ 得, x=0 或 x=﹣3; 则结合图象可知, ; 解得,a∈[﹣3,0) ; 故选 C.

3

2

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点评:

本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力,属于中档题.

3. (2015?开封模拟)函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,2] B. (﹣∞,2) C. [0,+∞) D. (2,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的概念及应用. 问题等价于 f′ (x)=2 在(0,+∞)上有解,分离出参数 a,转化为求函数值域问题即可. 解:函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线,即 f′ (x)=2 在(0,+∞)上有解,
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而 f′ (x)= +a,即 +a=2 在(0,+∞)上有解,a=2﹣ ,因为 x>0,所以 2﹣ <2, 所以 a 的取值范围是(﹣∞,2) . 故选 B. 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题,注意体会转化思想在本题中的应用. 4. (2015?泸州模拟)设函数 f(x)=ax +3x,其图象在点(1,f(1) )处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直,则直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A. 1 B. 3 C. 9 D. 12 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,得到 f′ (1)=3a+3,由 3a+3=﹣6 求得 a 的值,代入原函数解析式,求出 f (1) ,由直线方程的点斜式得到 l 的方程,求出其在两坐标轴上的截距,由三角形的面积公式得答案. 3 解答: 解:由 f(x)=ax +3x,得 2 f′ (x)=3ax +3,f′ (1)=3a+3. 3 ∵ 函数 f(x)=ax +3x 在点(1,f(1) )处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直, ∴ 3a+3=﹣6,解得 a=﹣3. 3 ∴ f(x)=﹣3x +3x, 则 f(1)=﹣3+3=0. ∴ 切线方程为 y=﹣6(x﹣1) , 即 6x+y﹣6=0. 取 x=0,得 y=6,取 y=0,得 x=1.
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3

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∴ 直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为



故选:B. 点评: 本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率,就是函数在该 点处的导数值,是中档题.

5. (2014?郑州一模)已知曲线 A. 3 B. 2

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C. 1 D.



考点: 分析: 解答: ∵ 曲线

导数的几何意义. 根据斜率,对已知函数求导,解出横坐标,要注意自变量的取值区间. 解:设切点的横坐标为(x0,y0)
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的一条切线的斜率为 ,

∴ y′ =



= ,解得 x0=3 或 x0=﹣2(舍去,不符合题意) ,即切点的横坐标为 3

故选 A. 点评: 考查导数的几何意义,属于基础题,对于一个给定的函数来说,要考虑它的定义域.比如,该题的 定义域为{x>0}. 6. (2014?郑州模拟)曲线 A. B. 在点 C. 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( D. )

考点: 专题:

导数的几何意义. 压轴题.

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分析: (1)首先利用导数的几何意义,求出曲线在 P(x0,y0)处的切线斜率,进而得到切线方程; (2) 利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标(3)利用面积公式求出面积. 解答: 解: 若 y= x +x, 则 y′ |x=1=2, 即曲线
3

在点

处的切线方程是



它与坐标轴的交点是( ,0) , (0,﹣ ) ,围成的三角形面积为 ,故选 A. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率, 过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′ (x0) (x﹣x0) 7. (2014?西藏一模)已知曲线 A. 考点: 分析: 解答: 1 B. 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 C. 3 D. 4 )

导数的几何意义. 利用导数的几何意义,列出关于斜率的等式,进而得到切点横坐标.
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解:已知曲线

的一条切线的斜率为 ,∵

= ,

∴ x=1,则切点的横坐标为 1, 故选 A.
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点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率.应 熟练掌握斜率与导数的关系. 8. (2014?广西)曲线 y=xe 在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A. 2e B. e C. 2 D. 1 考点: 专题: 分析: 导数的几何意义. 导数的概念及应用. 求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.
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x﹣1

解答: 解:函数的导数为 f′ (x)=e 当 x=1 时,f′ (1)=2, 即曲线 y=xe 故选:C. 点评:
x﹣1

x﹣1

+xe

x﹣1

=(1+x)e

x﹣1



在点(1,1)处切线的斜率 k=f′ (1)=2, 本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础.
2

9. (2014?武汉模拟)若函数 f(x)=x +ax+ A. 考点: 专题: 分析: [﹣1,0] B.

是增函数,则 a 的取值范围是( [﹣1,∞] C. [0,3]



D. [3,+∞]

利用导数研究函数的单调性. 导数的综合应用. 由函数

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在( ,+∞)上是增函数,可得 ﹣2x 在( ,+∞)上恒成立,构造函数求出

≥0 在( ,+∞) ﹣2x 在( ,+∞)上的最值,可得

上恒成立,进而可转化为 a≥ a 的取值范围. 解答: 故 即 a≥ 解:∵

在( ,+∞)上是增函数 ≥0 在( ,+∞)上恒成立

﹣2x 在( ,+∞)上恒成立 ﹣2x, ﹣2

令 h(x)=

则 h′ (x)=﹣

当 x∈( ,+∞)时,h′ (x)<0,则 h(x)为减函数 ∴ h(x)<h( )=3 ∴ a≥3 故选 D 点评:

本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用,难度中档.
3

10. (2014?包头一模)已知函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( ) A. ﹣2 或 2 B. ﹣9 或 3 C. ﹣1 或 1 D. ﹣3 或 1 考点: 专题: 利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系. 计算题.
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分析: 求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公 共点,可得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值. 解答: 解:求导函数可得 y′ =3(x+1) (x﹣1) 令 y′ >0,可得 x>1 或 x<﹣1;令 y′ <0,可得﹣1<x<1; ∴ 函数在(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)上单调增, (﹣1,1)上单调减 ∴ 函数在 x=﹣1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值 ∵ 函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点 ∴ 极大值等于 0 或极小值等于 0 ∴ 1﹣3+c=0 或﹣1+3+c=0 ∴ c=﹣2 或 2 故选 A. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等于 0 或极小值等 于 0. 11. (2014?郑州模拟)已知 f(x)=x +2xf′ (1) ,则 f′ (0)等于( ) A. 0 B. ﹣4 C. ﹣2 D . 2 考点: 专题: 分析: 导数的运算. 导数的概念及应用. 把给出的函数求导得其导函数,在导函数解析式中取 x=1 可求 2f′ (1)的值.
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3

3

2

解答: 解:由 f(x)=x +2xf′ (1) , 得:f′ (x)=2x+2f′ (1) , 取 x=1 得:f′ (1)=2×1+2f′ (1) , 所以,f′ (1)=﹣2. 故 f′ (0)=2f′ (1)=﹣4, 故答案为:B. 点评: 本题考查了导数运算,解答此题的关键是理解原函数解析式中的 f′ (1) ,在这里 f′ (1)只是一个 常数,此题是基础题. 12. (2014?江西二模)已知函数 f(x)=x +f′ (2) (lnx﹣x) ,则 f′ (1)=( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 专题: 分析: 解答:
2

2



导数的运算. 导数的概念及应用. f′ (2)是一个常数,对函数 f(x)求导,能直接求出 f′ (1)的值. 2 解:∵ f(x)=x +f′ (2) (lnx﹣x) ,
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∴ f′ (x)=2x+f′ (2) ( ﹣1) ; ∴ f′ (1)=2×1+f′ (2)×(1﹣1)=2. 故选:B. 点评: 本题考查了利用求导法则求函数的导函数问题,解题时应知 f′ (2)是一个常数,根据求导法则进 行计算即可,是基础题.
3

13. (2014?上海二模)已知 f(x)=(2x+1) ﹣ A. 考点: 专题: 4 B. 5 C.

+3a,若 f′ (﹣1)=8,则 f(﹣1)=( ﹣2 D. ﹣3



导数的加法与减法法则. 计算题.

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分析: 先求出函数的导数,再把 x=﹣1 代入 f′ (x)的解析式得到 f'(﹣1) ,再由 f'(﹣1)=8,求得 a 的 值,即可得到函数 f(x)的解析式,从而求得 f(﹣1)的值. 解答: 解:已知
2

, ,

∴ f′ (x)=3(2x+1) ×2+ ∵ f'(﹣1)=8, ∴ 3×2+2a=8,故有 a=1, ∴

=



∴ f(﹣1)=﹣1+2+3=4, 故选 A. 点评: 本题主要考查函数在某一点的导数的定义,求一个函数的导数的方法,属于基础题. 14. (2014?菏泽一模)已知函数 f(x)=x ﹣cosx,则 f(0.6) ,f(0) ,f(﹣0.5)的大小关系是( ) A. f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6) B. f(0)<f(0.6)<f(﹣0.5) C. f(0.6) <f(﹣0.5)<f(0) D. f(﹣0.5)<f(0)<f(0.6) 考点: 专题: 分析: 关系即可. 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 导数的综合应用.
2 2

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由 f(x)=x ﹣cosx 为偶函数,得 f(﹣0.5)=f(0.5) ,只须比较 f(0.6) ,f(0) ,f(﹣0.5)的大小
2 2

解答: 解:∵ f(﹣x)=(﹣x) ﹣cos(﹣x)=x ﹣cosx=f(x) , ∴ f(x)是偶函数; ∴ f(﹣0.5)=f(0.5) ; 又∵ f′ (x)=2x+sinx, 当 x∈(0,1)时,f′ (x)>0, ∴ f(x)在(0,1)上是增函数, ∴ f(0)<f(0.5)<f(0.6) ; 即 f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6) . 故选:A. 点评: 本题考查了利用导数判定函数的单调性并比较函数值的大小问题,是基础题.
3 2

15. (2014?呼伦贝尔一模)若函数 f(x)= x ﹣ ax +(a﹣1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞) 为增函数,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,2] ) B.

[5,7] C. [4,6]

D. (﹣∞,5]∪ [7,+∞)

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,求得导函数的零点 1,a﹣1,然后分 1 与 a﹣1 的大小分析导函数在不同区间 内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调性,最后借助于已知条件得到 a﹣1 与 4 和 6 的关系,则答案可求.
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解答:
2

解:由函数



得 f′ (x)=x ﹣ax+a﹣1. 令 f′ (x)=0,解得 x=1 或 x=a﹣1. 当 a﹣1≤1,即 a≤2 时,f′ (x)在(1,+∞)上大于 0,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意; 当 a﹣1>1,即 a>2 时,f′ (x)在(﹣∞,1)上大于 0,函数 f(x)在(﹣∞,1)上为增函数, f′ (x)在(1,a﹣1)内小于 0,函数 f(x)在(1,a﹣1)内为减函数,f′ (x)在(a﹣1,+∞)内大于 0,
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函数 f(x)在(a﹣1,+∞)上为增函数. 依题意应有: 当 x∈(1,4)时,f′ (x)<0, 当 x∈(6,+∞)时,f′ (x)>0. ∴ 4≤a﹣1≤6,解得 5≤a≤7. ∴ a 的取值范围是[5,7]. 故选:B. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的数学思想方法,采用了逆向思维方法, 解答的关键是对端点值的取舍,是中档题. 16. (2014?福建模拟)函数 f(x)=﹣x +3x ﹣4 的单调递增区间是( ) A. (﹣∞,0) B. (﹣2,0) C. (0,2) 考点: 专题: 分析: 利用导数研究函数的单调性. 导数的概念及应用. 利用导数求解,由 f′ (x)>0 得,0<x<2.
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3

2

D. (2,+∞)

解答: 解:∵ f′ (x)=﹣3x +6x=﹣3x(x﹣2) ∴ 由 f′ (x)>0 得,0<x<2. ∴ f(x)的递增区间是(0,2) . 故选 C. 点评: 本题主要考查利用导数求函数的单调区间的方法,属基础题. 17. (2014?佛山二模)已知函数 f(x)=x ﹣cosx,x∈R,则( A. >f(1)>f( ) f( D. )>f(1)>f(﹣ f( ) )>f(﹣ B.
2

2

) f(1)>f( )>f(﹣ ) C. f (﹣ )

)>f(1)

考点: 专题: 分析:

利用导数研究函数的单调性. 导数的概念及应用.
2

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由 f(x)=x ﹣cosx 得,f(x)为偶函数且在(0,

)上是增函数,利用函数单调性及奇偶性的性

质得出结论. 解答: 解:∵ f′ (x)=2x+sinx, ∴ 当 x∈(0, )时,f′ (x)=2x+sinx>0,
2

∴ 函数 f(x)=x ﹣cosx 在(0,
2

)上是增函数, )=f( ) ,

又函数 f(x)=x ﹣cosx,在 R 上是偶函数,故 f(﹣ ∵ >1> ∴ f( , )

)>f(1)>f(﹣

故选 A. 点评: 考查学生利用函数的奇偶性、单调性比较大小的方法,关键是转化到同一单调区间上,利用单调性 比较大小,属基础题.

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18. (2014?江西模拟)已知 m 是区间[0,4]内任取的一个数,那么函数 f(x)= x ﹣2x +m x+3 在 x∈R 上是增函 数的概率是( A. ) B. C. D.

3

2

2

考点: 利用导数研究函数的单调性;几何概型. 专题: 导数的综合应用. 2 2 分析: 根据 f(x)在 x∈R 上是增函数,得到 f′ (x)=x ﹣4x+m ≥0 恒成立,求出 a 的范围,利用几何概型 的概率公式即可的得到结论. 2 2 解答: 解:∵ f′ (x)=x ﹣4x+m ,
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f(x)= x ﹣2x +m x+3 在 x∈R 上是增函数 ∴ f′ (x)=x ﹣4x+m ≥0 恒成立 2 ∴ △ =16﹣4m ≤0 解得 m≥2 或 m≤﹣2 又∵ m 是区间[0,4]内任取的一个数 ∴ 2≤m≤4 由几何概型概率公式得 函数 f(x)= x ﹣2x +m x+3 在 x∈R 上是增函数的概率 P= 故选 C 点评: 键.
3 2 2 2 2

3

2

2

本题主要考查几何概型的概率的计算,利用导数求出函数递增时对应 a 的取值范围是解决本题的关

19. (2014?宁德模拟)函数 f(x)=x﹣sinx 是( ) A. 奇函数且单调递增 B. 奇函数且单调递减 C. 偶函数且单调递增 D. 偶函数且单调递减 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由定义域关于原点对称,且 f(﹣x)=﹣f(x)得奇函数,通过求导数大于 0 得单调性. 解答: 解:∵ 函数的定义域为 R, f(﹣x)=﹣x﹣sin(﹣x)=﹣(x﹣sinx)=﹣f(x) , ∴ 函数 f(x)是奇函数. 又 f′ (x)=1﹣cosx≥0, ∴ 函数 f(x)=x﹣sinx 在 R 上是单调递增函数. 故答案选:A. 点评: 本题考察了函数的单调性,奇偶性,是一道基础题.
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20. (2014?梧州模拟)已知 f(x)=﹣x +ax 在(﹣∞,﹣1]上单调递减,则 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,1] B. [1,+∞) C. (﹣∞,3] D. [3,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用导数与函数单调性的关系,即可求得结论. 3 解答: 解:∵ f(x)=﹣x +ax 在(﹣∞,﹣1]上单调递减, 2 2 ∴ f′ (x)=﹣3x +a≤0,a≤3x 在(﹣∞,﹣1]上恒成立, ∴ a≤3.
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故选:C. 点评:

本题主要考查学生利用导数判断函数单调性的方法,属基础题.
3

21. (2014?揭阳模拟)关于函数 f(x)=x ﹣3x+1,下列说法正确的是( A. f(x)是奇函数且 x=﹣1 处取得极小值 B. f(x)是奇函数且 x=1 处取得极小值 C. f(x)是非奇非偶函数且 x=﹣1 处取得极小值 D. f(x)是非奇非偶函数且 x=1 处取得极小值 考点: 专题: 分析: 函数在某点取得极值的条件. 导数的综合应用. 根据函数的奇偶性和导数和极值之间的关系即可得到结论.
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解答: 解:∵ f(x)=x ﹣3x+1, 3 ∴ f(﹣x)=﹣x +3x+1≠f(x) ,且 f(﹣x)≠﹣f(x) , 即 f(x)是非奇非偶函数, f′ (x)=3x ﹣3=3(x ﹣1) , 2 由 f′ (x)=3(x ﹣1)>0,解得 x>1 或 x<﹣1, 2 f′ (x)=3(x ﹣1)<0,解得﹣1<x<1, 即函数在 x=1 处取得极小值,在 x=﹣1 处取得极大值, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判定,以及利用导数判定函数的极值问题,考查学生的计算能力.
3 2 2 2

3

22. (2014?贵州模拟)函数 y=ax +bx 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 ,则( A. a﹣2b=0 B. 2a﹣b=0 C. 2a+b=0 D. a+2b=0



考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由函数极值的性质可知,极值点处的导数为零,且左右两侧导数异号,据此可以列出关于 a,b 的方 程(组) ,再进行判断.
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解答: 解:设 f(x)=ax +bx (a≠0) , 2 则 f′ (x)=3ax +2bx, 由已知得 且 a>0,即

3

2

化简得 a+2b=0. 故选 D 点评: 可导函数在其极值点处的导数为零,且左右两侧的导数值异号,有些学生会忽视导数异号这一条 件. 在解答题中, 在利用导数为零列方程求出待定字母的值后, 一般会对极值点异侧的导数异号这一条件进行验证. 二.填空题(共 2 小题) 23. (2015?广东模拟)函数 f(x)=xlnx 在点(e,f(e) )处的切线方程为 2x﹣y﹣e=0 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,得到函数在 x=e 时的导数值,然后由直线方程的点斜式得答案. 解答: 解:由 f(x)=xlnx,得 f′ (x)=lnx+1, 则 f′ (e)=lne+1=2, 又 f(e)=e,
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∴ 函数 f(x)=xlnx 在点(e,f(e) )处的切线方程为 y﹣e=2(x﹣e) , 即 2x﹣y﹣e=0. 故答案为:2x﹣y﹣e=0. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程,过曲线上某点的切线的斜率,就是函数在该点 处的导数值,是基础题. 24. (2015?赤峰模拟)已知 f(x)=x ﹣3x +2x+a,若 f(x)在 R 上的极值点分别为 m,n,则 m+n= 2 . 考点: 专题: 分析: 利用导数研究函数的极值. 计算题;导数的综合应用. 求出函数的导数,由极值的定义,结合韦达定理,即可得到 m+n.
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3

2

解答: 解:f(x)=x ﹣3x +2x+a 的导数为 2 f′ (x)=3x ﹣6x+2, 由 f(x)在 R 上的极值点分别为 m,n, 2 则有 m,n 是方程 3x ﹣6x+2=0 的两个根, 由韦达定理,可得,m+n=﹣ =2.

3

2

故答案为:2. 点评: 本题考查导数的运用:求极值,考查韦达定理的运用,考查运算能力,属于基础题. 三.解答题(共 6 小题) 2 x 25. (2015?路南区二模)已知函数 f(x)=ax ﹣e (a∈R) (Ⅰ )当 a=1 时,判断函数 f(x)的单调区间并给予证明; (Ⅱ )若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,证明:﹣ <f(x1)<﹣1.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 2 x x ″ x 分析: (Ⅰ )a=1 时,f(x)=x ﹣e ,f′ (x)=2x﹣e ,f (x)=2﹣e ,利用导数研究其单调性可得当 x=ln2 时,函数 f′ (x)取得最大值,f′ (ln2)=2ln2﹣2<0,即可得出.
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(II)f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,可得 f′ (x)=2ax﹣e =0 有两个实根 x1,x2(x1<x2) ,由 f (x)=2a x ﹣e =0,得 x=ln2a.f′ (ln2a)=2aln2a﹣2a>0,得 ln2a>1,解得 2a>e.又 f′ (0)=﹣1<0,f′ (1)=2a﹣e>0, 可得 0<x1<1<ln2a,进而得出. 2 x 解答: (Ⅰ )解:a=1 时,f(x)=x ﹣e , x ″ x f′ (x)=2x﹣e ,f (x)=2﹣e , ″ ″ 令 f (x)>0,解得 x<ln2,此时函数 f′ (x)单调递增;令 f (x)<0,解得 x>ln2,此时函数 f′ (x)单调递减. ∴ 当 x=ln2 时,函数 f′ (x)取得最大值,f′ (ln2)=2ln2﹣2<0, ∴ 函数 f(x)在 R 上单调递减. x (Ⅱ )证明:f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,∴ f′ (x)=2ax﹣e =0 有两个实根 x1,x2(x1<x2) , ″ x 由 f (x)=2a﹣e =0,得 x=ln2a. f′ (ln2a)=2aln2a﹣2a>0,得 ln2a>1,解得 2a>e. 又 f′ (0)=﹣1<0,f′ (1)=2a﹣e>0, ∴ 0<x1<1<ln2a, 由 f′ (x1)= =0,可得 ,

x



f(x1)=

=

=

(0<x1<1) .

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∴ 可知:x1 是 f(x)的极小值点, ∴ 点评: 于难题. <f(x1)<f(0)=﹣1. 本题考查了利用导数(两次求导)研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力与计算能力,属

26. (2015?汕尾模拟)已知函数 f(x)=x +bx +cx 的极值点为 x=﹣ 和 x=1 (1)求 b,c 的值与 f(x)的单调区间 (2)当 x∈[﹣1,2]时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 导数的综合应用. (1)对函数进行求导,令 f'(1)=0,f'(

3

2

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)=0 可求出 b,c 的值,再利用导数求出函数单调区

间即可. (2)根据函数的单调性求出 f(x)在[﹣1,2]上的最大值,继而求出 m 的范围 3 2 解答: 解: (1)∵ f(x)=x +bx +cx, 2 ∴ f'(x)=3x +2bx+c, ∵ f(x)的极值点为 x=﹣ 和 x=1 ∴ f'(1)=3+2b+c=0,f'( 解得,b= ,c=﹣3 )= ﹣ b+c=0,

∴ f'(x)=(3x+2) (x﹣1) , 当 f'(x)>0 时,解得 x<﹣ ,或 x>1, 当 f'(x)<0 时,解得﹣ <x<1, 故函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣ )和(1,+∞) ,单调减区间为(﹣ ,1) , (2)有(1)知 f(x)=x ﹣ x ﹣2x,x∈[﹣1,2], 故函数在[﹣1,﹣ )和(1,2]单调递增增,在(﹣ ,1)单调递减, 当 x=﹣ ,函数有极大值,f( )= ,f(2)=2,
3 2

所以函数的最大值为 2, 所以不等式 f(x)<m 在 x∈[﹣1,2]时恒成立, 故 m>2 故实数 m 的取值范围为(2,+∞) 点评: 本题主要考查函数的单调性、极值与导函数之间的关系.属中档题 27. (2015?南昌模拟)函数 f(x)=x﹣alnx﹣2. (Ⅰ )求 f(x)的单调区间; (Ⅱ )a=1 时,不等式 f(x)+(b+1)f′ (x)<x﹣1 对 x>1 恒成立,求正整数 b 的取值集合. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.

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专题: 分析:

函数的性质及应用. (Ⅰ )求出 f′ (x)=1﹣ = ,x∈(0,+∞) ,再讨论 a 的取值范围,从而求出其单调区间; <x﹣1?b< ,构造函数 g(x)= (x>1) ,

(Ⅱ )a=1 时,原不等式?(x﹣lnx﹣2)+(b+1)? 则 g′ (x)= =

由第(1)问知,f(x)=x﹣lnx﹣2 在(1,+∞)上递增,而 f(3)=1﹣ln3<0,f(4)=2﹣ln4=2(lne﹣ln2)>0, 可推出 f(x)在(3,4)上有唯一零点 x0,f(x0)=x0﹣lnx0﹣2?lnx0=x0﹣2,再由的范围,求出 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ )f′ (x)=1﹣ = ,x∈(0,+∞) ,

当 a≤0 时,f′ (x)>0,∴ f(x)在(0,+∞) , 当 a>0 时,令 f′ (x)=0,得 x=0, x∈(0,a)时,f(x)单调递减, x∈(a,+∞)时,f(x)单调递增; 综上:a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上递增,无减区间, 当 a>0 时,f(x)的单调递减区间为(0,a) ,单调递增区间为(a,+∞) ; (Ⅱ )a=1 时,f(x)=x﹣lnx﹣2,f′ (x)=1﹣ = x>1 时,原不等式?(x﹣lnx﹣2)+(b+1)? 设 g(x)= (x>1) ,则 g′ (x)= . <x﹣1?b< = ,

由第(1)问知,f(x)=x﹣lnx﹣2 在(1,+∞)上递增,而 f(3)=1﹣ln3<0,f(4)=2﹣ln4=2(lne﹣ln2)>0 ∴ f(x)在(3,4)上有唯一零点 x0,f(x0)=x0﹣lnx0﹣2?lnx0=x0﹣2 ∴ 1<x<x0 时 g′ (x)<0,x>x0 时 g′ (x)>0, ∴ g(x)在(1,x0)上递减、在(x0,+∞)上递减, 则 x>1 时,g(x)min=g(x0)= 由 b< = =x0﹣1,

恒成立得 b<x0﹣1,又 3<x0<4 知 2<x0﹣1<3,

又 b 是正整数,则 b 的取值集合是{1,2} 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知 识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题. 28. (2015?安徽一模)已知函数 f(x)=b+(1﹣2a)x+x ﹣x . (I)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (II)设曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=4x﹣1,求函数 f(x)在定义域上的极小值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的综合应用. 2 分析: (I)求导 f′ (x)=(1﹣2a)+2x﹣3x ,从而讨论导数的正负以确定函数的单调性; (II)由曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=4x﹣1 知 f(1)=4﹣1=3=b+(1﹣2a)+1﹣1,f′ (1)= (1﹣2a)+2﹣3=4;从而解出 a,b;从而求极小值. 2 解答: 解: (I)f′ (x)=(1﹣2a)+2x﹣3x , ① 当△ =4+4×3(1﹣2a)≤0;
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2

3

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即 a≥ 时,f′ (x)≤0; 故 f(x)在其定义域上是减函数, ② 当△ =4+4×3(1﹣2a)>0,即 a< 时; 当 x∈(﹣∞, 当 x∈( 故 f(x)在(﹣∞, 在( , , ) , ( ,+∞)时,f′ (x)<0; )时,f′ (x)>0; ) , ( )为增函数; ,+∞)上为减函数,

(II)∵ 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=4x﹣1, ∴ f(1)=4﹣1=3=b+(1﹣2a)+1﹣1; f′ (1)=(1﹣2a)+2﹣3=4, 解得,a=﹣2,b=﹣2; 故 f(x)=﹣x +x +5x﹣2,f′ (x)=﹣3(x﹣ ) (x+1) ; 则 f(x)在(﹣∞,﹣1) , ( ,+∞)上为减函数,在(﹣1, )为增函数; 故函数 f(x)在 x=﹣1 处有极小值 f(﹣1)=﹣5. 点评: 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用,属于中档题.
3 2

29. (2015?重庆一模)已知函数 (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)因为当函数的导数为 0 时,函数有极值,所以当 a=0 时,必须先在定义域中求函数 f(x)的 导数,让导数等于 0,求 x 的值,得到极值点,在列表判断极值点两侧导数的正负,根据所列表,判断何时有极值.
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(2)因为当函数为增函数时,导数大于 0,若 f(x)在区间

上是增函数,则 f(x)在区间

上恒大 上恒大于 0

于 0,所以只需用(1)中所求导数,令导数大于 0,再判断所得不等式当 a 为何值时,在区间 即可. 解答: ∵

解: (1)函数的定义域为(0,+∞) 当 a=0 时,f(x)=2x﹣lnx,则

∴ x,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表 x f'(x) f(x) ∴ 当 (0, ) ﹣ 0 极小值 ( ,+∞) +

时,f(x)的极小值为 1+ln2,函数无极大值.
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(2)由已知,得 若 a=0,由 f'(x)>0 得 若 a≠0∵ 函数 f(x)区间 ∴ f'(x)≥0 对 ,显然不合题意 是增函数 恒成立,即不等式 ax +2x﹣1≥0 对
2

恒成立



恒成立



而当 点评:

,函数

,∴ 实数 a 的取值范围为 a≥3.

本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性,属于常规题,必须掌握.
3 2

30. (2014?广西)函数 f(x)=ax +3x +3x(a≠0) . (Ⅰ )讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ )若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )求出函数的导数,通过导数为 0,利用二次函数的根,通过 a 的范围讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ )当 a>0,x>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,推出 f′ (1)≥0 且 f′ (2)≥0,即可求 a 的取值范围.
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解答: 解: (Ⅰ )函数 f(x)=ax +3x +3x,∴ f′ (x)=3ax +6x+3, 2 令 f′ (x)=0,即 3ax +6x+3=0,则△ =36(1﹣a) ① 若 a≥1 时,则△ ≤0,f′ (x)≥0,∴ f(x)在 R 上是增函数; ② 因为 a≠0,∴ 当 a≤1,△ >0,f′ (x)=0 方程有两个根,x1= ,x2= ,

3

2

2

当 0<a<1 时,则当 x∈(﹣∞,x2)或(x1,+∞)时,f′ (x)>0,故函数在(﹣∞,x2)或(x1,+∞)是增函数; 在(x2,x1)是减函数; 当 a<0 时,则当 x∈(﹣∞,x1)或(x2,+∞) ,f′ (x)<0,故函数在(﹣∞,x1)或(x2,+∞)是减函数;在(x1, x2)是增函数; 2 (Ⅱ )当 a>0,x>0 时,f′ (x)=3ax +6x+3>0 故 a>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数, 当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数, 当且仅当:f′ (1)≥0 且 f′ (2)≥0,解得﹣ a 的取值范围[ )∪ (0,+∞) . ,

点评: 本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分 类讨论思想的应用.

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