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广东省东莞市东华高级中学2015届高三适应性考试数学文试题


绝密★启用前

试卷类型:A

东华高级中学 2015 届高三年级适应性考试

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂 的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} , A ? {1, 2, 4} , B ? {2,5} ,则 A ? ( A. {1,3, 4} B. {1, 4}
3
U

B) ?
D. {1,3}

C. {3, 4}

2.已知 i 是虚数单位,若 ? 2 ? i ? ? z ? i ,则 z ? A.

1 2 ? i 5 5

B. ?

2 1 ? i 5 5

C. ?

2 1 ? i 5 5

D.

1 2 ? i 5 5 [

3.已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, k ) ,若 a 与 b 共线,则 | a ? b |? A. 5 B. 5 2 C. 2 5 D. 5

?y ? x ? 4.已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 6 ?
A. 1 B. 2 C. 10
数学(文科)试卷 A

D. 12

第 1 页(共 4 页)

5.下列函数既不是偶函数也不是奇函数的是 A. f ( x) ? e x ? e ? x B. f ( x) ? e x ? e ? x C. f ( x) ? x | x | D. f ( x) ? cos(x ? 1)

6.某一考点有 64 个试室,试室编号为 001 ~ 064 ,现根据试室号,采用系统抽样的方法,抽取 8 个试室 进行监控抽查,已抽看了 005 试室号,则下列可能被抽到的试室号是 A. 051 B. 052 C. 053 D. 055

7.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,则“ a ? b ”是“ a cos B ? b cos A ”的 A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 2 8.若双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线经过圆 ? x ? 1? ? y ? 2 2 a b
双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 9

?

?

2

? 16 的圆心,则此

9.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列正确的是 A.若 m ? n , n // ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , n ? ? , n ? ? ,则 m ? ? B.若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? D.若 m ? n , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? ?

i 是虚数单位, b?R , 10. 已知 z ? a ? bi (a、 , 定义 D ? z ? ? z ? a ? b , z2 ? C , z1 , z1 是 z 的共轭复数)

D ? z1, z2 ? ? z1 ? z2 .现有三个命题:
① D z1 ? D ? z1 ? ; 其中为真命题的是 A.①②③ B.①③ C.②③ D. ①②

? ?

② D ? z1, z2 ? ? D ? z2 , z1 ? ;

③ ?D ? z1, z2 ? ? D ? ? z1, ? z2 ? .

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 f ( x) ? ln x ?

1 ? 3 的极小值点为 x



12.从 1 , 3 , 5 , 7 这四个数中随机取出两个数组成一个两位数,则组成的两位数是 5 的倍数的概 率是 . 13. 若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,则 ln a1 ? ln a2 ? (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做 题)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ?

? ln a20 ?



? ?x ? t ( t 为参数),以坐标 y ? 3 t ? ?

原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,若曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin ? ? 3 ? 0 .直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,则 | AB | ? _________.
数学(文科)试卷 A 第 2 页(共 4 页)

0 15. (几何证明选讲选做题)如图所示,在 ?ABC 中, ?CAB ? 90 , AD ? BC 于 D , BE 是 ?ABC 的

平分线,交 AD 于 F ,已知 DF ?

2 , AF ? 5 , EC ? 2 5 ,则 AE ?



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? ? ( 0 ? ? ? (1)求 ? 的值; (2)若 f ?? ? ? f ? ?? ? ?

?
2

) ,且 f ?

?? ? ? ? 2. ?3?

8 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,求 5 ? 2?

?? ? f ? 2? ? ? . 6? ?

17. (本小题满分 12 分) 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20 ~ 80mg /100ml (不含 80 ) 之间,属于酒后驾车;在 80mg /100 ml (含 80 )以上时,属于醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某 路段的一次拦查行动中,依法检查了 300 辆机动车,查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结 果如下表:

(1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可) ; (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

数学(文科)试卷 A

第 3 页(共 4 页)

18. (本小题满分 14) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60 ,

AB ? 2, PD ? 6 , O 为 AC 与 BD 的交点, E 为棱 PB 上一点.
(1)证明:平面 EAC ⊥平面 PBD ; (2)若 PD // 平面 EAC ,求三棱锥 P ? EAD 的体积.

19. (本小题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n 满足 S n ? (n ? n ? 2)S n ? 2(n ? n) ? 0 , n ? N .
2 2
*

2

(1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

a ?1 a1 ? 1 a2 ? 1 ? ? ?? n ? n ?1. a1 a2 an

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点 F2 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,过点 F2 垂直于 x 轴的直 a b
线被椭圆 C 所截得的线段长度为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P , 且与直线 x ? 2 相交于点 Q . 请问: 在x轴 上是否存在定点 M ,使得 MP ? MQ 为定值?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? ax ? 2 .曲线 y ? f ( x) 在点 (0,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ? 2 .

(1)求 a 的值; (2)证明:当 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点.

东华高级中学 2015 届高三年级适应性考试
数学(文科)试卷 A 第 4 页(共 4 页)

数学(文科)参考答案
一、选择题: 二、填空题:

题号 答案

1 B

2 A 12.

3 D

4 C 13. 50

5 D 14. 15

6 C

7 A 15. 2 2

8 B

9 C

10 D

11. x ? 1 (或填 1 ) 三、解答题: 16. 解: (1)∵ f ? ∵0 ?? ?

1 4

?? ? ?? ? ?? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 ∴ sin ? ? ? ? ? 1 ?3? ?3 ? ?3 ?

?
2



?
3

?

?
3

?? ?

5? 6



?
3

?? ?

?
2

解得: ? ?

?
6

……………………………4 分

(2)由(1)知: ? ?

?
6

∴ f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??
? 6?

∵f

?? ? ? f ? ?? ? ? 2sin ? ?? ?
?

??
?
6

?? ?? ?? ? ? ? ? ? 2sin ? ?? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 6? 6? 6? 6? ? ? ?
? 2cos ? sin
? 2 cos ? ?

? 2sin ? cos
? 4 cos ? sin

?

? ?? ? ? ? 2sin ? cos ? 2cos ? sin ? 6 ? 6 6?
∴ cos ? ?
2

?
6

8 5

4 ………………………… …………8 分 5

3 ?4? ? ?? 2 ∵ ? ? ? 0, ? ∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? ……………………………………………………10 分 5 ?5? ? 2?
∴ f ? 2? ?

? ?

??

? ?? 3 4 48 ? ………………………12 分 ? ? 2sin ? 2? ? ? ? ? 2sin 2? ? 4sin ? cos ? ? 4 ? ? ? 6? 6 6? 5 5 25 ?

17. 解: (1)检测数据的频率分布直方图如图:

…………………………………………… ……4 分 (2)检测数据中醉酒驾驶的频率是

2 ?1 ? 0.15 …………………………………………………………6 分 20
第 5 页(共 4 页)

数学(文科)试卷 A

估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55 .………………………………………………………………8 分 估计检测数据中酒精含量的平均数是 0.015 ?10 ? 25 ? 0.020 ?10 ? 35 ? 0.005 ?10 ? 45 ? 0.020 ?10

?55 ? 0.010 ?10 ? 65 ? 0.015 ?10 ? 75 ? 0.010 ?10 ? 85 ? 0.005 ?10 ? 95 ? 55 ………………………12 分
18. 解: (1)

PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PD .………………………2 分
P

四边形 ABCD 是菱形,? AC ? BD , …………………………………………………3 分 又

PD

BD ? D , AC ? 平面 PBD .而 AC ? 平面 EAC ,………………5 分
E

? 平面 EAC ⊥平面 PBD . …………………………………………………………………6 分
(2)

PD ∥ 平面 EAC ,平面 EAC

平面 PBD ? OE ,? PD ∥ OE ,……8 分 D H O A B C

O 是 BD 中点,? E 是 PB 中点.取 AD 中点 H ,连结 BH ,
四边形 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60 ,? BH ? AD , 又 BH ? PD, AD

PD ? D ,? BH ? 平面 PAD ,…………………………10 分

BH ?

3 AB ? 3 .……………………………………………………………11 分 2

1 1 2 1 1 1 . ………………14 分 VP ? EAD ? VE ? PAD ? VB ? PAD ? ? ? S△ PAD ? BH ? ? ? 2 ? 6 ? 3 ? 6 2 2 2 2 3
19.答案: (1) a1 ? 2 (2) an ? 2n ………………………………………………………………………………2 分 ……………………………………………………………………………………8 分

(3) (提示: 20.

2k ? 1 4k 2 ? 4k k ?1 ) ……………………………………………………………14 分 ? ? 2 2k 4k k

数学(文科)试卷 A

第 6 页(共 4 页)

21.解: (1)

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 ? f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? a
0?2 ? 1 ∴ f ?(0) ? a ? 1 ………………………………………………………3 分 ?2 ? 0

∵切点为(0,2),切线过点(-2,0) ∴切线的斜率为

(2)由 (1) 知,a ? 1 , 故 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 2 记 g ( x) ? f ( x) ? (kx ? 2) ? x3 ? 3x2 ? (1 ? k ) x ? 4 , ∴ g?( x) ? 3x2 ? 6 x ? (1 ? k ) (i)当 ? ? 0即 ? 2 ? k ? 1 时 ∴ ? ? 36 ? 12(1 ? k ) ? 24 ? 12k …………………………………5 分 由 g ?( x) ? 0 ? x1 ?

3 ? 6+3k 3 ? 6+3k , x2 ? ……………6 分 3 3

?2 ? k ? 1

∴ 0 ? x1 ? 1, 1 ? x2 ? 2

∴ g?( x) ? 0 ? x ? x1 或 x ? x2 , g?( x) ? 0 ? x1 ? x ? x2 ∴ g ( x) 在区间 (??, x1 ), ( x2 , ??) 上递增,在区间 ( x1 , x2 ) 上递减 ∴ g ( x) 的极小值为 g ( x2 ) ? x2 ? 3x2 ? (1 ? k ) x2 ? 4
3 2

∵ g ?( x2 ) ? 3 x2 ? 6 x2 ? 1 ? k ? 0 ? x2 ? 2 x2 ?
2 2

k ?1 3

∴ g ( x2 ) ? x2 ( x2 ? 2x2 ) ? x2 ? (1 ? k ) x2 ? 4
2 2

k ?1 2 ? x2 2 ? (1 ? k ) x2 ? 4 ? ? x2 2 ? (k ? 1) x2 ? 4(1 ? x2 ? 2) 3 3 2 2 2 记 h( x) ? ? x ? (k ? 1) x ? 4(1 ? x ? 2) ? h?( x) ? ?2 x ? (k ? 1) 3 3 ? x2 ?
数学(文科)试卷 A 第 7 页(共 4 页)

由 ?2 ? k ? 1 ? 0 ? ? ∴ ?4 ? ?2 x ?

2 (k ? 1) ? 2 ,由 1 ? x ? 2 ? ?4 ? ?2 x ? ?2 3

2 (k ? 1) ? 0 ? h?( x) ? 0 3 2 ( k ? 1) ? 0 3

∴ h( x) 在区间 [1, 2) 递减 ? h( x) ? h(2) ? ?

∴ g ( x2 ) ? h( x2 ) ? 0 ? g ( x1 ) ? g( x2 ) ? 0 (∵ ( x1 , x2 ) 是减区间) ∴当 ?2 ? k ? 1 时,方程 g ( x) ? 0 只有一根. …………………………………………………………12 分 (ii) 当 ? ? 0即k ? ?2 时, 有 g?( x) ? 3x2 ? 6 x ? (1 ? k ) ? 0 ,从而 g ( x) 在 R 上递增 ∴当 k ? ?2 时,方程 g ( x) ? 0 只有一根. 综上所述,方程 g ( x) ? 0 在 R 上只有一根,即曲线 f ( x ) 直线 y ? kx ? 2 只有唯一交点. ………14 分

数学(文科)试卷 A

第 8 页(共 4 页)



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