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高中数学必修5课后习题答案


人教版高中数学必修 5 习题解答
第一章 解三角形 1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习(P4) 1、 (1) a ? 14 , b ? 19 , B ? 105? ; (2) a ? 18 cm, b ? 15 cm, C ? 75? . 2、 (1) A ? 65? , C ? 85? , c ? 22 ;或 A ? 115? , C ? 35? , c

? 13 ; (2) B ? 41? , A ? 24? , a ? 24 . 练习(P8) 1、 (1) A ? 39.6?, B ? 58.2?, c ? 4.2 cm ; (2) B ? 55.8?, C ? 81.9?, a ? 10.5 cm . 2、 (1) A ? 43.5?, B ? 100.3?, C ? 36.2? ; (2) A ? 24.7?, B ? 44.9?, C ? 110.4? . 习题 1.1 A 组(P10) 1、 (1) a ? 38cm, b ? 39cm, B ? 80? ; (2) a ? 38cm, b ? 56cm, C ? 90? 2、 (1) A ? 114?, B ? 43?, a ? 35cm; A ? 20?, B ? 137?, a ? 13cm (2) B ? 35?, C ? 85?, c ? 17cm ; (3) A ? 97?, B ? 58?, a ? 47cm; A ? 33?, B ? 122?, a ? 26cm ; 3、 (1) A ? 49?, B ? 24?, c ? 62cm ; (2) A ? 59?, C ? 55?, b ? 62cm ; (3) B ? 36?, C ? 38?, a ? 62cm ; 4、 (1) A ? 36?, B ? 40?, C ? 104? ; (2) A ? 48?, B ? 93?, C ? 39? ; B 习题 1.1 A 组(P10) 1、证明:如图 1,设 ?ABC 的外接圆的半径是 R , ①当 ?ABC 时直角三角形时, ?C ? 90? 时, a ?ABC 的外接圆的圆心 O 在 Rt ?ABC 的斜边 AB 上. O BC AC 在 Rt ?ABC 中, ? sin A , ? sin B AB AB a b 即 ? sin A , ? sin B 2R 2R b C 所以 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B A 又 c ? 2 R ? 2 R ? sin 90? ? 2 R sin C (第 1 题图 1) 所以 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ②当 ?ABC 时锐角三角形时,它的外接圆的圆心 O 在三角形内(图 2) , 作过 O、 B 的直径 A1 B ,连接 A1C ,
? 90? , ?BAC ? ?BAC 则 ?A1BC 直角三角形, ?ACB . 1 1
A A1

在 Rt ?A1BC 中, 即

BC ? sin ?BA1C , A1B

O

a ? sin ?BAC ? sin A , 1 2R 所以 a ? 2 R sin A , 同理: b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ③当 ?ABC 时钝角三角形时,不妨假设 ?A 为钝角, 它的外接圆的圆心 O 在 ?ABC 外(图 3)

B
(第 1 题图 2)

C

作过 O、 B 的直径 A1 B ,连接 A1C .
1

A

则 ?A1BC 直角三角形,且 ?ACB ? 90? , ?BAC ? 180? ? ?BAC 1 1
B C

在 Rt ?A1BC 中, BC ? 2R sin ?BAC , 1 即 a ? 2 R sin(180? ? ?BAC ) 即 a ? 2 R sin A 同理: b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C 综上,对任意三角形 ?ABC ,如果它的外接圆半径等于 R , 则 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C 2、因为 a cos A ? b cos B , 所以 sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B 因为 0 ? 2 A, 2 B ? 2? , 所以 2A ? 2B ,或 2 A ? ? ? 2 B ,或 2 A ? ? ? 2? ? 2 B .
O A1

(第 1 题图 3)

即 A? B 或 A? B ?

?
2

.

所以,三角形是等腰三角形,或是直角三角形. 在得到 sin 2 A ? sin 2 B 后,也可以化为 sin 2 A ? sin 2 B ? 0 所以 cos( A ? B)sin( A ? B) ? 0
A? B ?

?
2

,或 A ? B ? 0

即 A? B ?

?
2

,或 A ? B ,得到问题的结论.

1.2 应用举例 练习(P13) 1、在 ?ABS 中, AB ? 32.2 ? 0.5 ? 16.1 n mile, ?ABS ? 115? , 根据正弦定理, 得 AS ?
AS AB ? sin ?ABS sin(65? ? 20?) ? AB ? sin ?ABS ? 2 ? 16.1? sin115?? 2

sin(65? ? 20?)

∴ S 到直线 AB 的距离是 d ? AS ? sin 20? ? 16.1? sin115?? 2 ? sin 20? ? 7.06 (cm). ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长 1.89 m. 练习(P15) 1、在 ?ABP 中, ?ABP ? 180? ? ? ? ? ,
?BPA ? 180? ? (? ? ? ) ? ?ABP ? 180? ? (? ? ? ) ? (180? ? ? ? ? ) ? ? ? ?

在 ?ABP 中,根据正弦定理,

AP AB ? sin ?ABP sin ?APB AP a ? sin(180? ? ? ? ? ) sin(? ? ? ) a ? sin(? ? ? ) AP ? sin(? ? ? ) a sin ? sin(? ? ? ) 所以,山高为 h ? AP sin ? ? sin(? ? ? )
2

2、在 ?ABC 中, AC ? 65.3 m, ?BAC ? ? ? ? ? 25?25? ? 17?38? ? 7?47?
?ABC ? 90? ? ? ? 90? ? 25?25? ? 64?35?

AC BC ? sin ?ABC sin ?BAC ? 7 47 A C? s i n ? BAC 65 ?. 3 ? sin m BC ? ? ?9 . 8 ? 35 sin ?ABC s i n? 6 4 井架的高约 9.8m. 200 ? sin38? sin 29? 3、山的高度为 ? 382 m sin9? 练习(P16) 1、约 63.77? . 练习(P18) 1、 (1)约 168.52 cm 2 ; (2)约 121.75 cm2 ; (3)约 425.39 cm 2 . 2、约 4476.40 m 2 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 ? c? 3、右边 ? b cos C ? c cos B ? b ? 2ab 2ac 2 2 2 2 2 2 2 a ? b ? c a? c? b2 a ? ? ? ? a 左边 ? 【类似可以证明另外两个等式】 2a 2a 2a 习题 1.2 A 组(P19) 1、在 ?ABC 中, BC ? 35 ? 0.5 ? 17.5 n mile, ?ABC ? 148? ? 126? ? 22?

根据正弦定理,

? 180? ? 110? ? 22? ? 48? ?A C B?7 8 ? ?( 1 8 0 ? ? 14? 8 ) ? , 1? 1 ? BAC 0

根据正弦定理,

AC BC ? sin ?ABC sin ?BAC B C? s i n ? ABC 17 ?. 5 s ? in 22 AC ? ? ? 8 . 8 2n mile sin ?BAC s i n? 4 8 货轮到达 C 点时与灯塔的距离是约 8.82 n mile.

2、70 n mile. 3、在 ?BCD 中, ?BCD ? 30? ? 10? ? 40? , ?BDC ? 180? ? ?ADB ? 180? ? 45? ? 10? ? 125? 1 CD ? 30 ? ? 10 n mile 3 CD BD 根据正弦定理, ? sin ?CBD sin ?BCD
10 BD ? sin ?(180? ? 40? ? 125?) sin 40?

1 0? s i n ?4 0 sin1 ?5 在 ?ABD 中, ?ADB ? 45? ? 10? ? 55? , ?BAD ? 180? ? 60? ? 10? ? 110? BD ?
?ABD ? 180? ? 110? ? 55? ? 15?

根据正弦定理,

AD BD AB AD BD AB ,即 ? ? ? ? sin ?ABD sin ?BAD sin ?ADB sin15? sin110 ? sin55 ? 1 0? s i n ?4 0 ?s i n 1 ?5 BD ? s i n 1 ?5 s i n 1 ? 1 0 s? in 40 ?5 AD ? ? ? ? 6 . 8 4n mile sin 1? 10 si? n110 ? sin 70

3

BD ? s i n 5 ?5 ? 1 0 s ?? in 40 ? sin 55 n mile ? ?21.65 si n 1? 10 si ?? n 1 5 ?s i n 7 0 如果一切正常,此船从 C 开始到 B 所需要的时间为: A D? A B 6 . 8? 4 21.65 min 2 0? ? 6? 0 1 ?0 ?3 0 ? ?60 8 6.98 30 30 即约 1 小时 26 分 59 秒. 所以此船约在 11 时 27 分到达 B 岛. 4、约 5821.71 m 5、在 ?ABD 中, AB ? 700 km , ?ACB ? 180? ? 21? ? 35? ? 124? 700 AC BC 根据正弦定理, ? ? sin124? sin35? sin 21? 700 ? s i n? 3 5 700 ? sin 21? , BC ? AC ? sin 1? 24 sin124? 700 ? s i n ?3 5 7 ? 0 0 s?i n 2 1 A C? B C ? ? 7 ?8 6 . 8 9 k m si n 1? 24 si? n124 所以路程比原来远了约 86.89 km. 6、飞机离 A 处探照灯的距离是 4801.53 m,飞机离 B 处探照灯的距离是 4704.21 m,飞机的 高度是约 4574.23 m. 150 7、飞机在 150 秒内飞行的距离是 d ? 1000 ?1000 ? m 3600 d x ? 根据正弦定理, sin(81? ? 18.5?) sin18.5? 这里 x 是飞机看到山顶的俯角为 81 ? 时飞机与山顶的距离. d ? sin18.5? ? tan 81? ? 14721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是: x ? tan 81? ? sin(81? ? 18.5?) 山顶的海拔是 20250 ? 14721.64 ? 5528 m 8、在 ?ABT 中, ?ATB ? 21.4? ? 18.6? ? 2.8? , ?ABT ? 90? ? 18.6? , AB ? 15 m AB AT 15 ? cos18.6 ? 根据正弦定理, ,即 AT ? ? sin 2.8? cos18.6? sin 2.8 ? 15 ? cos18.6? 塔的高度为 AT ? sin 21.4? ? ? sin 21.4? ? 106.19 m sin 2.8? B 326 ?18 9、 AE ? ? 97.8 km E 60 A 在 ?ACD 中,根据余弦定理: AB ?
AC ? AD2 ? CD2 ? 2 ? AD ? CD ? cos66? ? 572 ? 1102 ? 2 ? 57 ?110 ? cos66? ? 101.235
D C (第 9 题)

根据正弦定理,

AD AC ? sin ?ACD sin ?ADC A D? s i n ? ADC 5 ?7 s i ? n 66 sin ?A C D ? ? ? 0.5144 AC 101.235
?A C D?3 0 . 9 ? 6 ?A C B?1 3 3? ? 3 0 . 9?6 ? 1 0 2 ? .04

在 ?ABC 中,根据余弦定理: AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 ? AC ? BC ? cos ?ACB
? 101.2352 ? 2042 ? 2 ?101.235 ? 204 ? cos102.04? ? 245.93
4

2 2 2 AB ? AC ? B2 C 2 4 5 . 9? 3 101? .2 235 2204 ? ? 0.5847 2 ? AB ? AC 2? 2 4 5 . ?9 3 1 0 1 . 2 3 5 ?BAC ? 54.21?

co? s BAC ?

在 ?ACE 中,根据余弦定理: CE ? AC 2 ? AE 2 ? 2 ? AC ? AE ? cos ?EAC
? 101.2352 ? 97.82 ? 2 ?101.235 ? 97.8 ? 0.5487 ? 90.75
2 2 2 A E2 ? E C ? A2 C97.8 ? 9 0 .? 7 5 1012 .235 ? ? 0.4254 2 ? AE ? EC 2? 9 7 ? .8 90.75 ?AEC ? 64.82? 18? 0? ?AEC ? ( 1?8 ?0 ? 7 ?5 ? )? 75 ?? 6 4 . 8? 2 10.18

co? s AEC ?

所以,飞机应该以南偏西 10.18? 的方向飞行,飞行距离约 90.75 km . 10、 A
B

C
(第 10 题)

如图,在 ?ABC 中,根据余弦定理:
AC ? BC 2 ? AB2 ? 2 ? AB ? BC ? cos39?54?

? (6400 ? 35800) 2 ? 64002 ? 2 ? (6400 ? 35800) ? 6400 ? cos39?54?

? 422002 ? 64002 ? 2 ? 42200 ? 6400 ? cos39?54? ? 37515.44 km
2 2 2 AB ? AC ? B2 C6400 ? 37515 ?2 .44 42 2200 ? ? ?0 . 6 9 2 4 2 ? AB ? AC 2? 6 4 0 ?0 3 7 5 1 5 . 4 4 ?BAC ? 1 3 3 . ? 8, 2 ?BAC ? 9 0 ? ? 4 3 .?8 2 所以,仰角为 43.82?

?BAC ?

1 1 11、 (1) S ? ac sin B ? ? 28 ? 33 ? sin 45? ? 326.68 cm2 2 2 a c a 36 (2)根据正弦定理: ,c ? ? ? sin C ? ? sin 66.5? sin A sin C sin A sin32.8? 1 1 sin 66.5? S ? ac sin B ? ? 362 ? ? sin(32.8? ? 66.5?) ? 1082.58 cm2 2 2 sin32.8? (3)约为 1597.94 cm 2 A 1 2 2? 12、 nR sin . 2 n

13、根据余弦定理: cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac

a a 2 所以 ma ? ( )2 ? c2 ? 2 ? ? c ? cos B 2 2
2 2 2

c ma a
2

b

a a ?c ?b ? ( )2 ? c 2 ? a ? c ? B 2 2ac 1 2 2 1 2 ? ( )2[a 2? 4c 2 ? 2(a ? c ?2b )] ? ( ) [2(b ? c 2 ) ? a2 ] 2 2

C

(第 13 题)

5

1 1 1 2(b2 ? c2 ) ? a2 ,同理 mb ? 2(c2 ? a2 ) ? b2 , mc ? 2(a 2 ? b2 ) ? c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ?c ?a c ? a ?b 14、根据余弦定理的推论, cos A ? , cos B ? 2bc 2ca

所以 ma ?

所以,左边 ? c(a cos B ? b cos A)
? c(a ?
2 c 2 ? a 2? b 2 b ? c ?2a 2 ?b? ) 2ca 2bc 2 c 2 ? a 2? b 2 b ? c ?2a 2 1 ? c( ? ) ? (2a 2 ? 2b 2 ) ? 右边 2c 2c 2

习题 1.2 B 组(P20)
a b a sin B ,所以 b ? ? sin A sin B sin A 1 1 a sin B 1 sin B sin C 代入三角形面积公式得 S ? ab sin C ? a ? ? sin C ? a2 2 2 sin A 2 sin A 2 2 2 a ?b ?c 2、 (1)根据余弦定理的推论: cos C ? 2ab

1、根据正弦定理:

由同角三角函数之间的关系, sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? (
1 代入 S ? ab sin C ,得 2
1 a 2 ? b 2? c S ? ab 1 ? ( 2 2ab
2 2

a 2 ? b2 ? c 2 2 ) 2ab

)

1 2 2 2 2 (2 a b 2) ? ( a ?b ?c ) 4 1 2 2 ? (2 a b? a ?b ?2 c) ( 2 a b ? 2 a ? 2 b ? 2 )c 4 1 ? (a ? b ? c ) ( a? b? ) c ( c? a? )b ( c ? a ? )b 4 1 1 1 1 记 p ? (a ? b ? c) ,则可得到 (b ? c ? a) ? p ? a , (c ? a ? b) ? p ? b , (a ? b ? c) ? p ? c 2 2 2 2 代入可证得公式 1 (2)三角形的面积 S 与三角形内切圆半径 r 之间有关系式 S ? ? 2 p ? r ? pr 2 ?
S ( p ? a)( p ? b)( p ? c) 1 其中 p ? (a ? b ? c) ,所以 r ? ? p p 2

1 (3)根据三角形面积公式 S ? ? a ? ha 2 2S 2 2 所以, ha ? ? p( p ? a)( p ? a)( p ? a) ,即 ha ? p( p ? a)( p ? a)( p ? a) a a a 2 2 同理 hb ? p( p ? a)( p ? a)( p ? a) , hc ? p( p ? a)( p ? a)( p ? a) b c

6

第一章 复习参考题 A 组(P24)
1、 (1) B ? 21?9?, C ? 38?51?, c ? 8.69 cm ; (2) B ? 41?49?, C ? 108?11?, c ? 11.4 cm ;或 B ? 138?11?, C ? 11?49?, c ? 2.46 cm (3) A ? 11?2?, B ? 38?58?, c ? 28.02 cm ; (4) B ? 20?30?, C ? 14?30?, a ? 22.92 cm ; (5) A ? 16?20?, C ? 11?40?, b ? 53.41 cm ; (6) A ? 28?57?, B ? 46?34?, C ? 104?29? ; 2、解法 1:设海轮在 B 处望见小岛在北偏东 75 ? ,在 C 处望 见小岛在北偏东 60 ? ,从小岛 A 向海轮的航线 BD 作垂 线,垂线段 AD 的长度为 x n mile, CD 为 y n mile.
?x ? x ? y ? tan 30? ? tan 30? ? y x x ? ? ?? ? ? ?8 则 ? ? x ? tan15? ? x ? y ? 8 tan 30? tan15? ? tan15? ? ? ? y ?8
(第 2 题)

8tan15? tan30? ?4 tan30? ? tan15? 所以,这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险. 3、根据余弦定理: AB2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos? x?

所以 AB ? a2 ? b2 ? 2ab cos?
cos B?
2 2 a2 ? A B ? b 2? a ? A B

?

a 2 ? a 2? b 2 ? 2ab cos ? ? b 2 ? a ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ?
a ? b cos ? a ? b 2 ? 2ab cos ?
2

2

?

从 ?B 的余弦值可以确定它的大小. 类似地,可以得到下面的值,从而确定 ?A 的大小. cos A ?
b ? a cos ? a ? b 2 ? 2ab cos ?
2

A

4、如图, C , D 是两个观测点, C 到 D 的距离是 d ,航船在时刻 t1 在 A 处,以从 A 到 B 的航向航行,在此时测出 ?ACD 和 ?CDA . 在时刻 t 2 ,航船航行到 B 处,此时,测出 ?CDB 和 ?BCD . 根
C d

B

D

(第 4 题) 据正弦定理,在 ?BCD 中,可以计算出 BC 的长,在 ?ACD 中, ?ACB ? ?ACD ? ?BCD , C D , 可以计算出 AC 的长. 在 ?ACB 中,AC 、BC 已经算出, 解 ?A 求出 AB 的长,即航船航行的距离,算出 ?CAB ,这样就可以算出航船的航向和速度. h sin(? ? ? ) A 5、河流宽度是 . 6、47.7 m. B sin ? sin ?

7、如图, A, B 是已知的两个小岛,航船在时刻 t1 在 C 处,以从 C 到 D 的航向航行,测出 ?ACD 和 ?BCD . 在时刻 t 2 ,航船航行
7

d C
(第 7 题)

D

到 D 处,根据时间和航船的速度,可以计算出 C 到 D 的距离是 d ,在 D 处测出 ?CDB 和 ?CDA . 根据正弦定理,在 ?BCD 中,可以计算出 BD 的长,在 ?ACD 中,可以计算出 AD 的长. 在 ?ABD 中, AD 、 BD 已经算出, ?ADB ? ?CDB ? ?CDA ,根据余弦定理,就可 以求出 AB 的长,即两个海岛 A, B 的距离.

第一章 复习参考题 B 组(P25)
1、如图, A, B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶,在地面某点 E 处,测出图中 ?AEF , ?AFE 的大小,以及 EF 的距离. 利用正弦 定理,解 ?AEF ,算出 AE . 在 ?BEF 中,测出 ?BEF 和 ?BFE , 利用正弦定理,算出 BE . 在 ?AEB 中,测出 ?AEB ,利用余弦定 理,算出 AB 的长. 本题有其他的测量方法. 2、关于三角形的面积公式,有以下的一些公式: E 1 1 1 (1)已知一边和这边上的高: S ? aha , S ? bhb , S ? chc ; 2 2 2 1 1 1 (2)已知两边及其夹角: S ? ab sin C, S ? bc sin A, S ? ca sin B ; 2 2 2 a?b?c (3)已知三边: S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,这里 p ? ; 2 (4)已知两角及两角的共同边: S ? (5)已知三边和外接圆半径 R : S ?
A

B

D C
(第 1 题)

F

b2 sin C sin A c 2 sin A sin B a 2 sin B sin C ,S ? ,S ? ; 2sin(C ? A) 2sin( A ? B) 2sin( B ? C )

abc . 4R 3、设三角形三边长分别是 n ? 1, n, n ? 1 ,三个角分别是 ? , ? ? 3? , 2? . n ?1 n ?1 n ?1 由正弦定理, ,所以 cos ? ? . ? 2( n ? 1) sin ? sin 2?

由余弦定理, (n ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? n2 ? 2 ? (n ? 1) ? n ? cos? . 即 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? 2 ? ( n ? 1) ? n ?
n ?1 ,化简,得 n2 ? 5n ? 0 2(n ? 1)

所以, n ? 0 或 n ? 5 . n ? 0 不合题意,舍去. 故 n ? 5 所以,三角形的三边分别是 4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的 2 倍. 另解:先考虑三角形所具有的第一个性质:三边是连续的三个自然数. (1)三边的长不可能是 1,2,3. 这是因为 1 ? 2 ? 3 ,而三角形任何两边之和大于第三边. (2)如果三边分别是 a ? 2, b ? 3, c ? 4 .
b 2 ? c 2 ? a 2 32 ? 42 ? 22 7 ? ? 2bc 2 ? 3? 4 8 7 17 cos2 A ? 2cos2 A ?1 ? 2 ? ( )2 ?1 ? 8 32 2 2 2 2 2 2 a ? b? c 2 ? 3? 4 1 coC s ? ? ?? 2ab 2? 2 ? 3 4 C 在此三角形中, A 是最小角, 是最大角,但是 cos 2 A ? cos C , 所以 2 A ? C ,边长为 2,3,4 的三角形不满足条件. (3)如果三边分别是 a ? 3, b ? 4, c ? 5 ,此三角形是直角三角形,最大角是 90 ? ,最小角 不等于 45 ? . 此三角形不满足条件. (4)如果三边分别是 a ? 4, b ? 5, c ? 6 .

因为 cos A ?

8

b 2 ? c 2 ? a 2 52 ? 6 2 ? 4 2 3 ? ? 2bc 2? 5? 6 4 3 1 cos2 A ? 2cos2 A ?1 ? 2 ? ( )2 ?1 ? 4 8 2 a 2 ? b 2? c 2 4 ? 5 ?2 6 2 1 coC s ? ? ? 2ab 2? 4 ? 5 8 此时, cos 2 A ? cos C ,而 0 ? 2 A, C ? ? ,所以 2 A ? C

此时, cos A ?

所以,边长为 4,5,6 的三角形满足条件. (5)当 n ? 4 ,三角形的三边是 a ? n, b ? n ? 1, c ? n ? 2 时, 三角形的最小角是 A ,最大角是 C .
cos A? b 2 ? c 2? a 2 2bc
2 (n ? 12) ? n (? 2 ?) n 2 2( n ? 1n )( ? 2)

?

?
?

n 2 ? 6n ? 5 2(n ? 1)(n ? 2)

n?5 2( n? 2 ) 1 3 ? ? 2 2(n ? 2)
a 2 ? b 2? c 2 2a b
2 n 2 ? ( n? 1 ) ? ( n ? 2n ( n? 1)

coC s ?

?

22 )

?

n 2 ? 2n ? 3 2n(n ? 1)

n?3 2n 1 3 ? ? 2 2n cos A 随 n 的增大而减小, A 随之增大, cos C 随 n 的增大而增大, C 随之变小. 由于 n ? 4 时有 C ? 2 A ,所以, n ? 4 ,不可能 C ? 2 A . 综上可知,只有边长分别是 4,5,6 的三角形满足条件. ?

第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 练习(P31) 1、 n 1 2
an

? ?

5 69

? ?

12 153

? ?

n
3(3 ? 4n)

21

33

9

2、前 5 项分别是: 1,0, ?1,0, ?1 . ? 1 ? (n ? 2m, m ? N * ) * ? ? ? ?2(n ? 2m, m ? N ) 3、例 1(1) an ? ? n ; (2) an ? ? * ? ? 1 (n ? 2m ? 1, m ? N * ) ?0(n ? 2m ? 1, m ? N ) ? ?n 说明:此题是通项公式不唯一的题目,鼓励学生说出各种可能的表达形式,并举出其他可 能的通项公式表达形式不唯一的例子. 4、 (1) an ?
( ?1) n 1 1 ( n ? Z ? ) ; (3) an ? n?1 (n ? Z ? ) (n ? Z ? ) ; (2) an ? 2n 2n ?1 22

习题 2.1 A 组(P33) 1、 (1)2,3,5,7,11,13,17,19; (2) 2, 6,2 2,3, 10,2 3, 14, 15,4,3 2 ; (3)1,1.7,1.73,1.732,?1.732050; 2,1.8,1.74,1.733,?,1.732051. 1 1 1 1 2、 (1) 1, , , , ; (2) 2, ?5,10, ?17, 26 . 4 9 16 25 3、 (1) (1) , ?4 ,9, ( ?16 ) ,25, ( ?36 ) ,49; (2)1, 2 , ( 3) ,2, 5 , ( 6) , 7;
1 4、 (1) ,3,13,53,213 ; 2 1 4 1 (2) ? ,5, , ? ,5 . 4 5 4
an ? (?1)n?1 n2 ;

an ? n .

5、 对应的答案分别是: (1) 16,21;an ? 5n ? 4 ; (2) 10,13;an ? 3n ? 2 ; (3) 24,35;an ? n2 ? 2n . 6、15,21,28;
an ? an?1 ? n .

习题 2.1 B 组(P34) 1、前 5 项是 1,9,73,585,4681. 该数列的递推公式是: an?1 ? 1 ? 8an , a1 ? 1 .通项公式是: an ?
) ? 10.072 ; 2、 a1 ? 10 ? (1 ? 0.72﹪
3 a3 ? 1 0 ? ( 1 ? 0﹪ .7 2 ? )

8n ? 1 . 7

a2 ? 1 0 ? ( 1 ? 0﹪ . 72 2 ? )

; 10.1 44518

; . ) 10.2 175 an5? 91 0 ? ( 1? 0 ﹪ . 7n 2

3、 (1)1,2,3,5,8;

3 5 8 13 (2) 2, , , , . 2 3 5 8

2.2 等差数列 练习(P39) 1、表格第一行依次应填:0.5,15.5,3.75;表格第二行依次应填:15, ?11 , ?24 . 2、 an ? 15 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 13 , a10 ? 33 . 3、 cn ? 4n

4、 (1)是,首项是 am?1 ? a1 ? md ,公差不变,仍为 d ; (2)是,首项是 a1 ,公差 2 d ; (3)仍然是等差数列;首项是 a7 ? a1 ? 6d ;公差为 7 d .
10

5、 (1)因为 a5 ? a3 ? a7 ? a5 ,所以 2a5 ? a3 ? a7 . 同理有 2a5 ? a1 ? a9 也成立; (2) 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) 成立; 2an ? an?k ? an?k (n ? k ? 0) 也成立. 习题 2.2 A 组(P40) 1、 (1) an ? 29 ; (2) n ? 10 ; (3) d ? 3 ; (4) a1 ? 10 . 2、略.

3、 60 ? . 4、 2℃ ; ?11℃ ; ?37℃ . 习题 2.2 B 组(P40)

5、 (1) s ? 9.8t ; (2)588 cm,5 s.

1、 (1) 从表中的数据看, 基本上是一个等差数列, 公差约为 2000,a2010 ? a2002 ? 8d ? 0.26 ?105 再加上原有的沙化面积 9 ?105 ,答案为 9.26 ? 105 ; (2)2021 年底,沙化面积开始小于 8 ?105 hm 2 . 2、略. 2.3 等差数列的前 n 项和 练习(P45) 1、 (1) ?88 ; (2)604.5. ? 59 ,n ?1 ? ?12 2、 an ? ? 3、元素个数是 30,元素和为 900. ? 6n ? 5 , n ? 1 ? ? 12 习题 2.3 A 组(P46) 1、 (1) n(n ? 1) ; (2) n2 ; (3)180 个,和为 98550; (4)900 个,和为 494550. 2、 (1)将 a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999 代入 Sn ?
n(a1 ? an ) ,并解得 n ? 27 ; 2 17 将 a1 ? 20, an ? 54, n ? 27 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,并解得 d ? . 13 1 n(a1 ? an ) (2)将 d ? , n ? 37, Sn ? 629 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d , Sn ? , 3 2
? an ? a1 ? 12 ? 得 ? 37( a1 ? an ) ;解这个方程组,得 a1 ? 11, an ? 23 . ? 629 ? 2 ?

5 1 n(n ?1) (3)将 a1 ? , d ? ? , Sn ? ?5 代入 Sn ? na1 ? d ,并解得 n ? 15 ; 6 6 2 5 1 3 将 a1 ? , d ? ? , n ? 15 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,得 an ? ? . 6 6 2

(4)将 d ? 2, n ? 15, an ? ?10 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,并解得 a1 ? ?38 ; 将 a1 ? ?38, an ? ?10, n ? 15 代入 Sn ? 3、 4.55 ? 104 m. 4、4. 6、1472.
n(a1 ? an ) ,得 Sn ? ?360 . 2

5、这些数的通项公式: 7(n ? 1) ? 2 ,项数是 14,和为 665.

习题 2.3 B 组(P46) 1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前 n 项和公式,求出 5 年内的总
11

共的维修费,即再加上购买费,除以天数即可. 答案:292 元. 2、本题的解法有很多,可以直接代入公式化简,但是这种比较繁琐. 现提供 2 个证明方法供参考. (1)由 S6 ? 6a1 ? 15d , S12 ? 12a1 ? 66d , S18 ? 18a1 ? 153d 可得 S6 ? (S18 ? S12 ) ? 2(S12 ? S6 ) . (2) S12 ? S6 ? (a1 ? a2 ?
? a7 ? a8 ? ? a12 ) ? (a1 ? a2 ? ?a1 2 ?6 a ( ? 6 d ) ? a6 )

? (a1 ? 6d ) ? ( a d )? 2 ? 6 ? (a1 ? a2 ? ? S6 ? 36d ?a6) ? 3 6d

同样可得: S18 ? S12 ? S6 ? 72d ,因此 S6 ? (S18 ? S12 ) ? 2(S12 ? S6 ) . 3、 (1)首先求出最后一辆车出发的时间 4 时 20 分; 所以到下午 6 时,最后一辆车行驶了 1 小时 40 分. (2)先求出 15 辆车总共的行驶时间,第一辆车共行驶 4 小时,以后车辆行驶时间依次 递减,最后一辆行驶 1 小时 40 分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布,代入前 n 项和公式,这 2 4 ?1 3 ? 15 ? 85 h. 个车队所有车的行驶时间为 S ? 2 2 乘以车速 60 km/h,得行驶总路程为 2550 km.
? 1 ? 1 1 1 ? ? 4、数列 ? ? 的通项公式为 an ? n(n ? 1) n n ? 1 ? n(n ? 1) ?

1 1 1 n ?( ? ) ? 1? ? n n ?1 n ?1 n ?1 1 1 1 1 ? ( ? ) 的数列的前 n 项和. 类似地,我们可以求出通项公式为 an ? n( n ? k ) k n n ? k 2.4 等比数列 练习(P52) 1、 q a1 a3 a5 a7

1 1 1 1 1 1 所以 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 2 3 3 4

2 50

4 2

8 0.08

16 0.0032

2 或? 2

0.2

2、由题意可知,每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为 a1 ? 80 ,公比为 q ? 20 的等比 数列,则第 5 轮被感染的计算机台数 a 5 为
a5 ? a1q4 ? 80 ? 20 4 ? 1.28 ?10 7 .
12

3、 (1)将数列 ?an ? 中的前 k 项去掉,剩余的数列为 ak ?1 , ak ?2 ,
ak ?1 , ak ? 2 ,

. 令 b ? ak ?i , i ? 1,2,

,则数列

可视为 b1 , b2 ,

. 是等比数列.

因为

bi ?1 ak ?i ?1 ? ? q(i ≥ 1) ,所以, ?bn ? 是等比数列,即 ak ?1 , ak ? 2 , bi ak ?i

(2) ?an ? 中的所有奇数列是 a1 , a3 , a5 , 所以,数列 a1 , a3 , a5 ,

,则

a3 a5 ? ? a1 a3

?

a2 k ?1 ? a2 k ?1

? q 2 (k ≥ 1) .

是以 a1 为首项, q2 为公比的等比数列. ,

(3) ?an ? 中每隔 10 项取出一项组成的数列是 a1 , a12 , a23 , 则
a12 a23 ? ? a1 a12 ? a11k ?1 ? a11k ?10 ? q11 (k ≥ 1)

所以,数列 a1 , a12 , a23 ,

是以 a1 为首项, q11 为公比的等比数列.

猜想:在数列 ?an ? 中每隔 m ( m 是一个正整数)取出一项,组成一个新的数列,这个数列 是以 a1 为首项, q m?1 为公比的等比数列.
2 4、 (1)设 ?an ? 的公比为 q ,则 a5 ? (a1q 4 )2 ? a12q8 ,而 a3 ? a7 ? a1q 2 ? a1q6 ? a12q8

2 2 所以 a5 ? a3 ? a7 ,同理 a5 ? a1 ? a9
2 (2)用上面的方法不难证明 an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) . 由此得出, an 是 an ?1 和 an ?1 的等比中项. 2 同理:可证明, an ? an?k ? an?k (n ? k ? 0) . 由此得出,an 是 an ? k 和 an ? k 的等比中项 (n ? k ? 0) .

5、 (1)设 n 年后这辆车的价值为 an ,则 an ? 13.5(1 ? 10﹪ )n . (2) a4 ? 13.5(1 ? 10﹪ )4 ? 88573 (元). 用满 4 年后卖掉这辆车,能得到约 88573 元. 习题 2.4 A 组(P53) 1、 (1)可由 a4 ? a1q3 ,得 a1 ? ?1 , a7 ? a1q6 ? (?1) ? (?3)6 ? ?729 . 也可由 a7 ? a1q6 , a4 ? a1q3 ,得 a7 ? a4q3 ? 27 ? (?3)3 ? ?729
1 1 ? ? ? ?a1q ? 18 (2)由 ? 3 ,解得 ? ,或 ? 2 2 q? q?? ? ? ? ?a1q ? 8 3 3 ? ?

?a ? 27

? a ? ?27

?a1q 4 ? 4 3 ? (3)由 ? 6 ,解得 q 2 ? , 2 ? ?a1q ? 6
13

3 6 2 2 a9 ? a 1 q8 ? a q ?9 1 ? q ? a q7 ? 6 ? 2
2 还可由 a5 , a7 , a9 也成等比数列,即 a7 ? a5a9 ,得 a9 ?
2 a7 62 ? ?9. a5 4

4 ? ?a1q ? a1 ? 15 (4)由 ? 3 ? ?a1q ? a1q ? 6

① ②
q2 ? 1 5 1 ? ,由此解得 q ? 或 q ? 2 . q 2 2

①的两边分别除以②的两边,得 当q ?

1 时, a1 ? ?16 . 此时 a3 ? a1q2 ? ?4 . 2

当 q ? 2 时, a1 ? 1 . 此时 a3 ? a1q2 ? 4 .

), q ? 0.1 . 2、设 n 年后,需退耕 an ,则 ?an ? 是一个等比数列,其中 a1 ? 8(1 ? 10﹪

那么 2005 年需退耕 a5 ? a1 (1 ? q)5 ? 8(1 ? 10﹪ )5 ? 13 (万公顷) 3、若 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,则首项 a1 和公比 q 都是正数. 由 an ? a1qn?1 ,得 an ? a1 q n?1 ? a1 q
1

n?1 2

? a1 (q 2 )( n?1) .

1

那么数列 ?an ? 是以 a1 为首项, q 2 为公比的等比数列. 4、这张报纸的厚度为 0.05 mm,对折一次后厚度为 0.05×2 mm,再对折后厚度为 0.05× 22 mm,再对折后厚度为 0.05× 23 mm. 设 a0 ? 0.05 ,对折 n 次后报纸的厚度为 an ,则 ?an ? 是一个 等比数列,公比 q ? 2 . 对折 50 次后,报纸的厚度为
5 0 1 3 a5 0 ? a ? 25 0 ? 5.6 ?3 1 0 0 q ?0 . 0 5 0 ? mm ? 5 . 613 10

m

这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约 3.84 ?108 m ) ,所以能够在地球和月 球之间建一座桥. 5、设年平均增长率为 q, a1 ? 105 ,n 年后空气质量为良的天数为 an ,则 ?an ? 是一个等比数列. 由 a3 ? 240 ,得 a3 ? a1 (1 ? q)2 ? 105(1 ? q)2 ? 240 ,解得 q ? 6、由已知条件知, A ?
240 ? 1 ? 0.51 105

a ?b a ? b ? 2 ab ( a ? b ) 2 a?b ? ab ? ? ≥0 , G ? ab ,且 A ? G ? 2 2 2 2 所以有 A ≥ G ,等号成立的条件是 a ? b . 而 a , b 是互异正数,所以一定有 A > G .

7、 (1) ?2 ;

(2) ?ab(a 2 ? b2 ) .

8、 (1)27,81;

(2)80,40,20,10.

习题 2.4 B 组(P54) 1、证明:由等比数列通项公式,得 am ? a1q m?1 , an ? a1qn?1 ,其中 a1, q ? 0

14

所以

am a1q m?1 ? ? q m?n an a1q n?1

2、 (1)设生物体死亡时,体内每克组织中的碳 14 的原子核数为 1 个单位,年衰变率为 q ,
n 年后的残留量为 an ,则 ?an ? 是一个等比数列. 由碳 14 的半衰期为 5730

则 an ? a1q5730 ? q5730 ?

1 1 1 ,解得 q ? ( ) 5730 ? 0.999879 2 2

(2)设动物约在距今 n 年前死亡,由 an ? 0.6 ,得 an ? a1q ? 0.999879n ? 0.6 . 解得 n ? 4221 ,所以动物约在距今 4221 年前死亡. an 3、在等差数列 1,2,3,?中, 有 a7 ? a10 ? 17 ? a8 ? a9 , a10 ? a40 ? 50 ? a20 ? a30 由此可以猜想,在等差数列 ?an ? 中 若 k ? s ? p ? q(k , s, p, q ? N ) ,则 ak ? as ? a p ? aq .
*

as ak O k p ap q aq s n

从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个 问题:由等差数列 ?an ? 的图象,可以看出
ak k a s ? , s ? ap p aq q

(第 3 题)

根据等式的性质,有

ak ? as k ? s ? ,所以 ak ? as ? a p ? aq . a p ? aq p ? q

猜想对于等比数列 ?an ? ,类似的性质为:若 k ? s ? p ? q(k , s, p, q ? N * ) ,则 ak ? as ? a p ? aq . 2.5 等比数列的前 n 项和 练习(P58)
a (1 ? q 6 ) 3(1 ? 26 ) ? ? 189 . 1、 (1) S6 ? 1 1? q 1? 2

a ?a q (2) Sn ? 1 n ? 1? q

?2.7 ?

1 1 (? ) 90 3 ? ? 91 . 1 45 1 ? (? ) 3

2、设这个等比数列的公比为 q 所以 S10 ? (a1 ? a2 ? 同理 S15 ? S10 ? q10 S5 . 因为 S5 ? 10 ,所以由①得 q 5 ?
S10 ? 1 ? 4 ? q10 ? 16 S5

? a5 ) ? (a6 ? a7 ?

? a10 ) ? S5 ? q5 S5 ? (1 ? q5 ) S5 ? 50

代入②,得 S15 ? S10 ? q10 S5 ? 50 ? 16 ?10 ? 210 . 3、该市近 10 年每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项 a1 ? 2000 ,公比 q ? 1.1
15

设近 10 年的国内生产总值是 S10 ,则 S10 ? 习题 2.5 A 组(P61) 1、 (1)由 q 3 ?

2000(1 ? 1.110 ) ? 31874.8 (亿元) 1 ? 1.1

a ? a q ?1 ? 64 ? (?4) a4 64 ? 51 . ? ? ?64 ,解得 q ? ?4 ,所以 S4 ? 1 4 ? 1? q 1 ? (?4) a1 ?1

(2)因为 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 (q?2 ? q?1 ? 1) ,所以 q ?2 ? q ?1 ? 1 ? 3 ,即 2q2 ? q ?1 ? 0
1 解这个方程,得 q ? 1 或 q ? ? . 2

当 q ? 1 时, a1 ?

3 1 ;当 q ? ? 时, a1 ? 6 . 2 2

2、这 5 年的产值是一个以 a1 ? 138 ?1.1 ? 151.8 为首项, q ? 1.1 为公比的等比数列 所以 S5 ?
a1 (1 ? q 5 ) 151.8 ? (1 ? 1.15 ) ? ? 926.754 (万元) 1? q 1 ? 1.1

3、 (1)第 1 个正方形的面积为 4 cm 2 ,第 2 个正方形的面积为 2 cm 2 ,?, 1 这是一个以 a1 ? 4 为首项, q ? 为公比的等比数列 2 1 所以第 10 个正方形的面积为 a10 ? a1q9 ? 4 ? ( )9 ? 2?7 ( cm 2 ) 2
1 ?7 a1 ? a10 q 4 ? 2 ? 2 (2)这 10 个正方形的面积和为 S10 ? ? ? 8 ? 2?7 ( cm 2 ) 1 1? q 1? 2

4、 (1)当 a ? 1 时, (a ?1) ? (a2 ? 2) ? 当 a ? 1 时, (a ?1) ? (a2 ? 2) ?

? (an ? n) ? ?1 ? 2 ?
? (an ? n) ? (a ? a2 ?
?

? (n ?1) ? ?

(n ? 1)n 2
? n)

? an ) ? (1 ? 2 ?

a (1 ? a n ) n( n ? 1) ? 1? a 2

(2) (2 ? 3 ? 5?1 ) ? (4 ? 3 ? 5?2 ) ? (n ? 3 ? 5? n ) ? 2(1 ? 2 ?
2?
?1 n( n ? 1 ) 5 ? ( 1? n 5 ) 3 ?n ? 3? ?n n (? 1 ?) ?( 1 5 2 1? ? 51 4

? n) ? 3(5?1 ? 5?2 ?
)

? 5? n )

(3)设 Sn ? 1 ? 2 x ? 3x2 ? 则 xSn ? x ? 2x2 ?

? nxn?1 ??①

? (n ? 1) xn?1 ? nxn ??② ? xn?1 ? nxn ??③
1 ? xn nx n n(n ? 1) ? ;当 x ? 1 时,由③得, Sn ? (1 ? x)2 1 ? x 2

①-②得, (1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 ? 当 x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ?
?n?

5、 (1)第 10 次着地时,经过的路程为 100 ? 2(50 ? 25 ?

? 100 ? 2?9 )

16

? 100 ? 2 ? 100(2?1 ? 2? 2? ? 100 ? 200 ?

9 ? 2? )

2?1 (1 ? 2?9 ) ? 299.61 (m) 1 ? 2?1

(2)设第 n 次着地时,经过的路程为 293.75 m, 则 100 ? 2 ? 100(2?1 ? 2?2 ?
? 2? ( n?1) ) ? 100 ? 200 ? 2?1 (1 ? 2? ( n?1) ) ? 293.75 1 ? 2?1 ? 0.03125 ,所以 1 ? n ? ?5 ,则 n ? 6

所以 300 ? 200 ? 21?n ? 293.75 ,解得 21?n

6、证明:因为 S3 , S9 , S6 成等差数列,所以公比 q ? 1 ,且 2S9 ? S3 ? S6 即, 2 ?
a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

于是, 2q9 ? q3 ? q6 ,即 2q6 ? 1 ? q3 上式两边同乘以 a1q ,得 2a1q7 ? a1q ? a1q4 即, 2a8 ? a2 ? a5 ,故 a2 , a8 , a5 成等差数列 习题 2.5 B 组(P62) 1、证明: a n ? a n?1b ?
b ? b n ? a n (1 ? ? a b ? ( )n ) ? a n a b 1 ? ( )n?1 a n?1 ? b n?1 a ? b a ?b 1? a
? a7 ) ? q7 S7
4 ?2a ) ? q 1 S 7 7

2、证明:因为 S14 ? S7 ? a8 ? a9 ?

? a14 ? q7 (a1 ? a2 ?

1 4 S2 1? S 1 ? ? 1 6 ? a ? q2 (a ? a ? 4 a ? 1a 5 1 1

所以 S7 , S14?7 , S21?14 成等比数列 3、 (1) 环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列, 首项为 a1 ? 100 , 公比为 q ? 1.2 . 所以,2010 年能回收的废旧物资为 a9 ? 100 ?1.28 ? 430 (t) (2)从 2002 年到 2010 年底,能回收的废旧物资为 S9 ?
a1 (1 ? q9 ) 100(1 ? 1.29 ) ? ? 2080 (t) 1? q 1 ? 1.2

可节约的土地为 1650 ? 4 ? 8320 ( m 2 ) 4、 (1)依教育储蓄的方式,应按照整存争取定期储蓄存款利率计息,免征利息税,且若每 (a ? na)n 月固定存入 a 元,连续存 n 个月,计算利息的公式为 ? 月利率. 2 因为整存整取定期储蓄存款年利率为 2.52 ﹪ ,月利率为 0.21﹪ (50 ? 50 ? 36) ? 36 故到期 3 年时一次可支取本息共 ? 0.21﹪ ? 1800 ? 1869.93 (元) 2 若连续存 6 年,应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,具体计算略. (2)略.
17

(3)每月存 50 元,连续存 3 年 按照“零存整取”的方式,年利率为 1.89 ﹪ ,且需支付 20 ﹪ 的利息税 所以到期 3 年时一次可支取本息共 1841.96 元,比教育储蓄的方式少收益 27.97 元. 36( x ? 36 x) (4)设每月应存入 x 元,由教育储蓄的计算公式得 ? 0.21﹪ ? 36 x ? 10000 2 解得 x ? 267.39 (元) ,即每月应存入 267.39 (元) (5) (6) (7) (8)略 5、设每年应存入 x 万元,则 2004 年初存入的钱到 2010 年底利和为 x(1 ? 2﹪ )7 ,2005 年初存
). 入的钱到 2010 年底利和为 x(1 ? 2﹪ )6 ,??,2010 年初存入的钱到 2010 年底利和为 x(1 ? 2﹪

根据题意, x(1 ? 2﹪ )7 ? x(1 ? 2﹪ )6 ? 根据等比数列前 n 项和公式,得 故,每年大约应存入 52498 元

? x(1 ? 2﹪ ) ? 40

x(1 ? 2﹪ )(1 ? 1.027 ) ? 40 ,解得 x ? 52498 (元) 1 ? 1.02

第二章 复习参考题 A 组(P67)
1、 (1) B ; 2、 (1) an ? (2) B ; (3) B ;
2n ? 1 ; 2n

(4) A .
(?1)n?1 (2n ? 1) ; (2n) 2

(2) an ? 1 ?

7 (3) an ? (10n ? 1) ; 9 3、

(4) an ? 1 ? (?1)n 或 an ? 1 ? cos n? .

4、如果 a , b, c 成等差数列,则 b ? 5 ;如果 a , b, c 成等比数列,则 b ? 1 ,或 ?1. 5、 an 按顺序输出的值为:12,36,108,324,972. sum ? 86093436 . 6、 1381.9 ? (1 ? 0.13﹪ )8 ? 1396.3 (万) 7、从 12 月 20 日到次年的 1 月 1 日,共 13 天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布. n(n ?1) 13 ?12 d ? 10, a1 ? 100 . 由 Sn ? a1n ? d 得: S13 ? 100 ?13 ? ?10 ? 2080 ? 2000 . 2 2 所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为 a2 ? a8 ? a3 ? a7 ? a4 ? a6 ? 2a5
5 所以 a3 ? a4 ? a5 ? ?a6 ? a7 ? 450 ? (a2 ? a8 ) ,则 a2 ? a8 ? 180 . 2 10 ? 10n 9、容易得到 an ? 10n, Sn ? ?10 ? 1200 ,得 n ? 15 . 2
18

10、 S2 ? an?1 ? an?2 ?

? a2n ? (a1 ? nd ) ? (a2 ? nd ) ?

? (an ? nd )

? (a1 ? a 2?
S3 ? a2 an ? an ? ? a2 n? ? 1 ? 2 ?2 3( 1

2 ? an ) ? n ? nd ? S ? 1 n d

n ? ) d ( ? a2 2 ?n) d?

? ( a 2 n

n )d

? (a1 ? a2 ?

2 ?n a ) ?n 2 ? nd ? ? n d 1 S 2

容易验证 2S2 ? S1 ? S3 . 所以, S1 , S2 , S3 也是等差数列,公差为 n 2 d . 11、 a1 ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 ? x2 ? 2x ? 1
a3 ? f ( x ?1) ? ( x ?1)2 ? 4( x ?1) ? 2 ? x2 ? 6 x ? 7

因为 ?an ? 是等差数列,所以 a1 , a2 , a3 也是等差数列. 所以, 2a2 ? a1 ? a3 . 即, 0 ? 2 x 2 ? 8 x ? 6 . 解得 x ? 1 或 x ? 3 . 当 x ? 1 时, a1 ? ?2, a2 ? 0, a3 ? 2 . 由此可求出 an ? 2n ? 4 . 当 x ? 3 时, a1 ? 2, a2 ? 0, a3 ? ?2 . 由此可求出 an ? 4 ? 2n .

第二章 复习参考题 B 组(P68)
1、 (1) B ; (2) D . 2、 (1)不成等差数列. 可以从图象上解释. a , b, c 成等差,则通项公式为 y ? pn ? q 的形式,
1 1 1 1 1 1 1 且 a , b, c 位于同一直线上,而 , , 的通项公式却是 y ? 的形式, , , 不可能在同一直 pn ? q a b c a b c 线上,因此肯定不是等差数列.

(2)成等比数列. 因为 a , b, c 成等比,有 b 2 ? ac . 又由于 a , b, c 非零,两边同时取倒数,则有
1 1 1 所以, , , 也成等比数列. a b c
)6 ? 0.126 ,质量分数: 0.05 ? (1 ? 25﹪ )6 ? 0.191 . 3、体积分数: 0.033 ? (1 ? 25﹪

1 1 1 1 ? ? ? . 2 b ac a c

4、设工作时间为 n ,三种付费方式的前 n 项和分别为 An , Bn , Cn . 第一种付费方式为常数列; 第二种付费方式为首项是 4,公差也为 4 的等差数列;第三种付费方式为首项是 0.4,公比为 2 0.4(1 ? 2 n ) n(n ?1) 2 C ? ? 0.4(2 n ? 1) . 的等比数列. 则 An ? 38n , Bn ? 4n ? , ? 4 ? 2n ? 2n n 1? 2 2 下面考察 An , Bn , Cn 看出 n ? 10 时, 38n ? 0.4(2n ? 1) . 因此,当工作时间小于 10 天时,选用第一种付费方式.
19

n ≥ 10 时, An ≤ Cn , Bn ≤ Cn

因此,当工作时间大于 10 天时,选用第三种付费方式. 5、第一星期选择 A 种菜的人数为 n ,即 a1 ? n ,选择 B 种菜的人数为 500 ? a . 所以有以下关系式: a2 ? a1 ? 80﹪ ? b1 ? 30﹪
a3 ? a2 ? 80﹪ ? b2 ? 30﹪

??
an ? an?1 ? 80﹪ ? bb?1 ? 30﹪ an ? bn ? 500

1 1 所以 an ? 150 ? an?1 , bn ? 500 ? an ? 350 ? an?1 2 2

如果 a1 ? 300 ,则 a2 ? 300 , a3 ? 300 ,?, a10 ? 300 6、解:由 an ? 2an?1 ? 3an?2 得 an ? an?1 ? 3(an?1 ? an?2 ) 以及 an ? 3an?1 ? ?(an?1 ? 3an?2 ) 所以 an ? an?1 ? 3n?2 (a2 ? a1 ) ? 3n?2 ? 7 , an ? 3an?1 ? (?1)n?2 (a2 ? 3a1 ) ? (?1)n?2 ?13 . 由以上两式得, 4an ? 3n?1 ? 7 ? (?1)n?1 ?13
1 n?1 所以,数列的通项公式是 an ? ? 3 ? 7 ? (?1)n?1 ?13? ? 4? 7、设这家牛奶厂每年应扣除 x 万元消费基金
)?x 2002 年底剩余资金是 1000(1 ? 50﹪

2003 年底剩余资金是 [1000(1 ? 50﹪ ) ? x](1 ? 50﹪ ) ? x ? 1000(1 ? 50﹪ )2 ? (1 ? 50﹪ )x ? x ?? 5 年后达到资金 1000(1 ? 50﹪ )5 ? (1 ? 50﹪ )4 x ? (1 ? 50﹪ )3 x ? (1 ? 50﹪ )2 x ? (1 ? 50﹪ ) x ? 2000 解得 x ? 459 (万元)

第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 练习(P74) 1、 (1) a ? b ≥ 0 ; 2、这给两位数是 57. (2) h ≤ 4 ; 3、 (1) ? ; (3) ? (2) ? ;
20

?( L ? 10)(W ? 10) ? 350 . ? L ? 4W

(3) ? ;

(4) ? ;

习题 3.1 A 组(P75) 1、略. 2、 (1) 2 ? 3 7 ? 4 ; (2) 7 ? 10 ? 3 ? 14 .

3、证明:因为 x ? 0,

x2 x2 ? 0 ,所以 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 0 4 4 x x 因为 (1 ? )2 ? ( 1 ? x )2 ? 0 ,所以 1 ? ? 1 ? x 2 2

?x ? 0 ?x ? 5 ? 0 ? ? ?4 x ? 48 4、设 A 型号帐篷有 x 个,则 B 型号帐篷有 ( x ? 5) 个, ? ?0 ? 5 x ? 48 ? 5 ?3( x ? 5) ? 48 ? ? ?4( x ? 4) ≥ 48

5、设方案的期限为 n 年时,方案 B 的投入不少于方案 A 的投入. n(n ?1) 所以, 5n ? 即, n 2 ≥ 100 . ?10 ≥ 500 2 习题 3.1 B 组(P75) 1、 (1)因为 2 x2 ? 5x ? 9 ? ( x2 ? 5x ? 6) ? x2 ? 3 ? 0 ,所以 2 x 2 ? 5 x ? 9 ? x 2 ? 5 x ? 6 (2)因为 ( x ? 3)2 ? ( x ? 2)( x ? 4) ? ( x2 ? 6x ? 9) ? ( x2 ? 6x ? 8) ? 1 ? 0 所以 ( x ? 3)2 ? ( x ? 2)( x ? 4) (3)因为 x3 ? ( x2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,所以 x3 ? x 2 ? x ? 1 (4)因为 x2 ? y 2 ? 1 ? 2( x ? y ? 1) ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2x ? 2 y ? 2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ? 0 所以 x2 ? y 2 ? 1 ? 2( x ? y ? 1) 2、证明:因为 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,所以 ac ? bd ? 0 1 又因为 cd ? 0 ,所以 ? 0 cd 于是
a b a b ? ? ? 0 ,所以 d c d c

3、设安排甲种货箱 x 节,乙种货箱 y 节,总运费为 z .
?35 x ? 25 y ≥ 1530 ? 所以 ?15 x ? 35 y ≥ 1150 ? x ? y ? 50 ?

所以 x ≥ 28 ,且 x ≤ 30

所以 ?

? x ? 28 ? x ? 29 ? x ? 30 ,或 ? ,或 ? ? y ? 22 ? y ? 21 ? y ? 20

所以共有三种方案,方案一安排甲种货箱 28 节,乙种货箱 22 节;方案二安排甲种货箱 29
21

节,乙种货箱 21 节;方案三安排甲种货箱 30 节,乙种货箱 20 节. 当?
? x ? 30 时,总运费 z ? 0.5 ? 30 ? 0.8 ? 20 ? 31 (万元) ,此时运费较少. ? y ? 20

3.2 一元二次不等式及其解法 练习(P80) 1、 (1) ? x ?1 ≤ x ≤
? ? ? ? 10 ? ?; 3? 3? 2?

(2)R; (3) ?x x ? 2? ;
? ? 5 4 4? 3?

(4) ? x x ? ? ;
? ? ? 5 3 ? ?

?

1? 2?

(5) ? x x ? ?1, 或x ? ? ; (6) ? x x ? , 或x ? ? ; (7) ? x ? ? x ? 0 ? .
? ? 3 3? ? 2、 (1)使 y ? 3x2 ? 6x ? 2 的值等于 0 的 x 的集合是 ?1 ? ,1 ? ?; 3 3 ? ? ? ?

? 3 3? ? ? 使 y ? 3x2 ? 6x ? 2 的值大于 0 的 x 的集合为 ? x x ? 1 ? , 或x ? 1 ? ?; 3 3 ? ? ? ? ? 3 3? ? ? 使 y ? 3x2 ? 6x ? 2 的值小于 0 的 x 的集合是 ? x 1 ? ? x ? 1? ?. 3 3 ? ? ? ?

(2)使 y ? 25 ? x2 的值等于 0 的 x 的集合 ??5,5? ; 使 y ? 25 ? x2 的值大于 0 的 x 的集合为 ?x ?5 ? x ? 5? ; 使 y ? 25 ? x2 的值小于 0 的 x 的集合是 ?x x ? ?5, 或x ? 5? . (3)因为抛物线 y ? x2 +6x ? 10 的开口方向向上,且与 x 轴无交点 所以使 y ? x2 +6x ? 10 的等于 0 的集合为 ? ; 使 y ? x2 +6x ? 10 的小于 0 的集合为 ? ; 使 y ? x2 +6x ? 10 的大于 0 的集合为 R. (4)使 y ? ?3x2 ? 12 x ? 12 的值等于 0 的 x 的集合为 ?2? ; 使 y ? ?3x2 ? 12 x ? 12 的值大于 0 的 x 的集合为 ? ; 使 y ? ?3x2 ? 12 x ? 12 的值小于 0 的 x 的集合为 ?x x ? 2? . 习题 3.2 A 组(P80) 1、 (1) ? x x ? ? , 或x ? ? ;
? ? 3 2 5? 2?

? 13 13 ? ? ? (2) ? x ? ?x? ?; 2 2 ? ? ? ?

(3) ?x x ? ?2, 或x ? 5? ;

(4) ?x 0 ? x ? 9? .
22

2、 (1)解 x 2 ? 4 x ? 9 ≥ 0 ,因为 ? ? ?20 ? 0 ,方程 x 2 ? 4 x ? 9 = 0 无实数根 所以不等式的解集是 R,所以 y ? x2 ? 4x ? 9 的定义域是 R. (2)解 ?2 x2 ? 12 x ? 18 ≥ 0 ,即 ( x ? 3)2 ≤ 0 ,所以 x ? 3 所以 y ? ?2x2 ? 12x ?18 的定义域是 ?x x ? 3? 3、 m m ? ?3 ? 2 2, 或m ? ?3 ? 2 2 ;

?

?

4、R.

5、设能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留 t 秒. 1 依题意, v0t ? gt 2 ? 2 ,即 12t ? 4.9t 2 ? 2 . 这里 t ? 0 . 所以 t 最大为 2(精确到秒) 2 答:能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留 2 秒. 6、 设每盏台灯售价 x 元, 则? 习题 3.2 B 组(P81)
? 5?5 2 ? ? 1 ? ? 5?5 2 ? 1、 (1) ? x ?x? ? ; (2) ?x 3 ? x ? 7? ; (3) ? ; (4) ? x ? x ? 1? . 2 2 ? ? 3 ? ? ? ?
? x ≥15 . 即 15 ≤ x ? 20 .所以售价 x ??x 15 ≤ x ? 20? ? x[30 ? 2( x ? 15)] ? 400

2、由 ? ? (1 ? m)2 ? 4m2 ? 0 ,整理,得 3m2 ? 2m ? 1 ? 0 ,因为方程 3m2 ? 2m ? 1 ? 0 有两个实数
1 1 ? 1? 根 ?1和 ,所以 m1 ? ?1 ,或 m2 ? , m 的取值范围是 ?m m ? ?1, 或m ? ? . 3? 3 3 ?
? 42 42 ? 1 3 ? ? 3、使函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? 的值大于 0 的解集为 ? x x ? 3 ? , 或x ? 3 ? ?. 2 2 ? 2 4 ? ? ?

4、设风暴中心坐标为 (a, b) ,则 a ? 300 2 ,所以 (300 2)2 ? b2 ? 450 ,即 ?150 ? b ? 150 而
300 300 2 ? 150 15 ? (2 2 ? 1) ? 13.7 (h) , ? 15 . 20 2 20

所以,经过约 13.7 小时码头将受到风暴的影响,影响时间为 15 小时. 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 练习(P86) 1、 B . 2、 D . 3、 B . 4、分析:把已知条件用下表表示: 工序所需时间/分钟 收益/元 打磨 着色 上漆 10 6 6 40 桌子 A 5 12 9 30 桌子 B 450 480 450 工作最长时间 解:设家具厂每天生产 A 类桌子 x 张, B 类桌子 y 张.
23

对于 A 类桌子, x 张桌子需要打磨 10 x min,着色 6 x min,上漆 6 x min 对于 B 类桌子, y 张桌子需要打磨 5 y min,着色 12 y min,上漆 9 y min 而打磨工人每天最长工作时间是 450 min,所以有 10 x ? 5 y ≤ 450 . 类似地, 6 x ? 12 y ≤ 480 , 6 x ? 9 y ≤ 450 在实际问题中, x ≥ 0, y ≥ 0 ;
?10 x ? 5 y ≤ 450 ?6 x ? 12 y ≤ 480 ? ? 所以,题目中包含的限制条件为 ?6 x ? 9 y ≤ 450 ?x ≥ 0 ? ? ?y≥0

练习(P91) 1、 (1)目标函数为 z ? 2 x ? y ,可行域如图所示,作出直线 y ? ?2 x ? z ,可知 z 要取最大值, 即直线经过点 C 时,解方程组 ?
?x ? y ? 1 得 C (2, ?1) ,所以, zmax ? 2 x ? y ? 2 ? 2 ? (?1) ? 3 . ? y ? ?1
y

y
x+y=1 y=x A O B
-1 1

5

y=x+1 B

x
C
A

1

x-5y=3 O
3

x 5x+3y=15

(1) (第 1 题)

(2)

(2)目标函数为 z ? 3x ? 5 y ,可行域如图所示,作出直线 z ? 3x ? 5 y 可知,直线经过点 B 时, Z 取得最大值. 直线经过点 A 时, Z 取得最小值. 解方程组 ?
? y ? x ?1 ? y ? x ?1 ,和 ? ?x ? 5 y ? 3 ?5 x ? 3 y ? 15

可得点 A(?2, ?1) 和点 B(1.5, 2.5) . 所以 zmax ? 3 ?1.5 ? 5 ? 2.5 ? 17 , zmin ? 3 ? (?2) ? 5 ? (?1) ? ?11

24

2、 设每月生产甲产品 x 件, 生产乙产品 y 件, 每月收入为 z 元, 目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y ,
? x ? 2 y ≤ 400 ?2 x ? y ≤ 500 ? 需要满足的条件是 ? ,作直线 z ? 3000 x ? 2000 y , ?x ≥ 0 ? ?y≥0
y
500

当直线经过点 A 时, z 取得最大值. 解方程组 ?
? x ? 2 y ? 400 ?2 x ? y ? 500

200

A O
250 400

x

可得点 A(200,100) , z 的最大值为 800000 元. 习题 3.3 A 组(P93) 1、画图求解二元一次不等式: (1) x ? y ≤ 2 ;
y
2
1

(第 2 题)

(2) 2 x ? y ? 2 ;
y y=2x-2

(3) y ≤ ?2 ;
y O

(4) x ≥ 3
y
x

1

O
-1

x

O

2

x
-2

O
-2

1

2

3

x

y≤-2

(1)

(2)

(3)

(4)

2、
y=4-x
4

y=x+2 x y= +1 3
1 4 5

2

-1

O
-1

(第 2 题)

3、分析:将所给信息下表表示: 每次播放时间/分 80 连续剧甲 40 连续剧乙 320 播放最长时间 最少广告时间

广告时间/分 1 1 6

收视观众/万 60 20

25

解:设每周播放连续剧甲 x 次,播放连续剧乙 y 次,收视率为 z . 目标函数为 z ? 60 x ? 20 y ,
?80 x ? 40 y ≤ 320 ?x ? y ≥ 6 ? 所以,题目中包含的限制条件为 ? ?x ≥ 0 ? ?y≥0
8

y

6

可行域如图. 解方程组 ?

?80 x ? 40 y = 320 ?x ? y = 6

得点 M 的坐标为 (2, 4) ,所以 zmax ? 60 x ? 20 y ? 200 (万)

O

1

5

x

(第 3 题)

答:电视台每周应播放连续剧甲 2 次,播放连续剧乙 4 次,才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器 x 台,彩电 y 台,则生产冰箱 120 ? x ? y 台,产值为 z . 则,目标函数为 z ? 4 x ? 3 y ? 2(120 ? x ? y) ? 2 x ? y ? 240 所以,题目中包含的限制条件为
1 1 ?1 ?3x ? y ≤ 120 ? 2 x ? 3 y ? 4 (120 ? x ? y ) ≤ 40 ? x ? y ≤ 100 ? ?120 ? x ? y ≥ 20 ? 即, ? ? ?x ≥ 0 ?x ≥ 0 ? ? ?y≥0 ? ?y≥0
120 100

y

M y=100-x

可行域如图,解方程组 ?

?3x ? y = 120 ? x ? y = 100

y=120-3 x O
40 100

x

得点 M 的坐标为 (10,90) ,所以 zmax ? 2 x ? y ? 240 ? 350 (千元) 答:每周应生产空调器 10 台,彩电 90 台,冰箱 20 台,才能使产值最高,最高产值是 350 千元. 习题 3.3 B 组(P93)
?2 x ? 3 y ≤ 12 ?2 x ? 3 y ? ?6 ? 1、画出二元一次不等式组 ? , ?x ≥ 0 ? ?y≥0

y 2 y=4- x 3
2 4

所表示的区域如右图
-3

O
-2

1

5

6

x

2 y=-2- x 3

(第 1 题)

26

2、画出 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 3) ? 0 表示的区域.
y y=x+3

1 x y= 2 2

3

-3

O
-2

1

x

(第 2 题)

3、设甲粮库要向 A 镇运送大米 x 吨、向 B 镇运送大米 y 吨,总运费为 z . 则乙粮库要向 A 镇 运送大米 (70 ? x) 吨、向 B 镇运送大米 (110 ? y ) 吨,目标函数(总运费)为
z ? 1 2 ? 2 0?x ? 2 5? 1 0 ? y ? 15 ? 1? 2 x (7 ?0 ? ) ? 2 0? 8y (? 1 1x 0? ) y ? 6 0. ? 9 0 30200

? x ? y ≤ 100 ?(70 ? x) ? (110 ? y) ≤ 80 ? 所以,题目中包含的限制条件为 ? . ?0 ≤ x ≤ 70 ? ?y≥0

所以当 x ? 70, y ? 30 时,总运费最省 zmin ? 37100 (元) 所以当 x ? 0, y ? 100 时,总运费最不合理 zmax ? 39200 (元) 使国家造成不该有的损失 2100 元. 答:甲粮库要向 A 镇运送大米 70 吨,向 B 镇运送大米 30 吨,乙粮库要向 A 镇运送大米 0 吨,向 B 镇运送大米 80 吨,此时总运费最省,为 37100 元. 最不合理的调运方案是要向 A 镇 运送大米 0 吨,向 B 镇运送大米 100 吨,乙粮库要向 A 镇运送大米 70 吨,向 B 镇运送大米 10 吨,此时总运费为 39200 元,使国家造成损失 2100 元. a?b 3.4 基本不等式 ab ≤ 2 练习(P100)
1 1 1、因为 x ? 0 ,所以 x ? ≥ 2 x ? ? 2 x x

1 1 时,即 x ? 1 时取等号,所以当 x ? 1 时,即 x ? 的值最小,最小值是 2. x x 2、设两条直角边的长分别为 a , b , a ? 0, 且 b ? 0 ,因为直角三角形的面积等于 50. 1 即 ab ? 50 ,所以 a ? b ≥ 2 ab ? 2 100 ? 20 ,当且仅当 a ? b ? 10 时取等号. 2

当且仅当 x ?

27

答:当两条直角边的长均为 10 时,两条直角边的和最小,最小值是 20. 3、设矩形的长与宽分别为 a cm, b cm. a ? 0 , b ? 0 因为周长等于 20,所以 a ? b ? 10 a ? b 2 10 2 所以 S ? ab ≤ ( ) ? ( ) ? 25 ,当且仅当 a ? b ? 5 时取等号. 2 2 答:当矩形的长与宽均为 5 时,面积最大. 4、设底面的长与宽分别为 a m, b m. a ? 0 , b ? 0 因为体积等于 32 m 3 ,高 2 m ,所以底面积为 16 m 2 ,即 ab ? 16 所以用纸面积是 S ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 32 ? 4(a ? b) ≥ 32 ? 42 ab ? 32 ? 32 ? 64 当且仅当 a ? b ? 4 时取等号 答:当底面的长与宽均为 4 米时,用纸最少. 习题 3.4 A 组(P100) 1、 (1)设两个正数为 a , b ,则 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 36 所以 a ? b ≥ 2 ab ? 2 36 ? 12 ,当且仅当 a ? b ? 6 时取等号. 答:当这两个正数均为 6 时,它们的和最小. (2)设两个正数为 a , b ,依题意 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 18 a ? b 2 18 2 所以 ab ≤ ( ) ? ( ) ? 81 ,当且仅当 a ? b ? 9 时取等号. 2 2 答:当这两个正数均为 9 时,它们的积最大. 2、设矩形的长为 x m,宽为 y m,菜园的面积为 S m 2 . 则 x ? 2 y ? 30 , S ? x ? y
1 1 x ? 2 y 2 1 900 225 由基本不等式与不等式的性质,可得 S ? ? x ? 2 y ≤ ( . ) ? ? ? 2 2 2 2 4 2 15 225 2 m . 当 x ? 2 y ,即 x ? 15, y ? 时,菜园的面积最大,最大面积是 2 2

3、设矩形的长和宽分别为 x 和 y ,圆柱的侧面积为 z ,因为 2( x ? y ) ? 36 ,即 x ? y ? 18 . 所以 z ? 2? ? x ? y ≤ 2? ? (
x? y 2 ) ? 162? , 2

当 x ? y 时,即长和宽均为 9 时,圆柱的侧面积最大. 4、设房屋底面长为 x m,宽为 y m,总造价为 z 元,则 xy ? 12 , y ?
z ? 3 y ?1 2 0 0 ? x 6 ? 8 0? 0 1 2? 3 6 0 0 5 8? 00 ? x x 4 8?0 ≥ 0 5800 12 x ? 2 3? 600 ? 1 2 40 ? 800 5800

当且仅当 习题 3.4

12 ? 3600 ? 4800 x 时,即 x ? 3 时, z 有最小值,最低总造价为 34600 元. x B 组(P101)

1、设矩形的长 AB 为 x ,由矩形 ABCD( AB ? AD) 的周长为 24,可知,宽 AB ? 12 ? x . 设 PC ? a ,则 DP ? x ? a

28

x 2 ? 12 x ? 72 12x ? 72 , DP ? x ? a ? . x x 1 12 x ? 72 ? x 2 ? 18 x ? 72 72 ? 6? ? 6 ? [?( x ? ) ? 18] 所以 ?ADP 的面积 S ? (12 ? x) 2 x x x

所以 (12 ? x)2 ? ( x ? a)2 ? a2 ,可得 a ?

由基本不等式与不等式的性质 S ≤ 6 ?[?2 72 ? 18] ? 6 ? (18 ?12 2) ? 108 ? 72 2
72 ,即 x ? 6 2 m 时, ?ADP 的面积最大,最大面积是 (108 ? 72 2) m 2 . x 2、过点 C 作 CD ? AB ,交 AB 延长线于点 D .

当x?

设 ?BCD ? ? , ?ACB ? ? , CD ? x . 在 ?BCD 中, tan ? ?
b?c . x

在 ?ACD 中, tan(? ? ? ) ?

a ?c x

则 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ?

tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ?

a? c b ? c ? a ?b x x ? ? a?c b?c (a ? c ) b (?c ) 1? ? x? x x x
a? b a ? b ? (a ? c) (b ? c) 2 ? ( a c? )( b c) 2 x? x (a ? c)(b ? c) 当且仅当 x ? ,即 x ? (a ? c)(b ? c) 时, tan ? 取得最大,从而视角也最大. x ≤

第三章 复习参考题 A 组(P103)
1、
5 1 1 2 ? ? ? . 12 5 3 7

2、化简得 A ? ?x ?2 ? x ? 3? , B ? ?x x ? ?4, 或x ? 2? ,所以 A B ? ?x 2 ? x ? 3?
3 3、当 k ? 0 时,一元二次不等式 2kx2 ? kx ? ? 0 对一切实数 x 都成立, 8 3 即二次函数 y ? 2kx2 ? kx ? 在 x 轴下方, 8 3 ? ? k 2 ? 4(2k )(? ) ? 0 ,解之得: ?3 ? k ? 0 . 8 3 当 k ? 0 时,二次函数 y ? 2kx2 ? kx ? 开口朝上 8 3 一元二次不等式 2kx2 ? kx ? ? 0 不可能对一切实数 x 都成立, 8 ? 3 ? k ? 0 所以, .
?4 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? 4、不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域的整点坐标是 (?1, ?1) . ?y ? 0 ?
29

5、设每天派出 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,成本为 z .
?0 ≤ x ≤ 7 ?0 ≤ y ≤ 4 ? 所以 ? ,目标函数为 z ? 160 x ? 252 y ?x ? y ≤ 9 ? ?48 x ? 60 y ≥ 360

把 z ? 160 x ? 252 y 变形为 y ? ?

40 1 40 1 x? z ,得到斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 z ,随 63 252 63 252

z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中,点 M (5, 2) 使得 z 取得最小值. 所以每天派出 A 型

车 5 辆, B 型车 2 辆,成本最小,最低成本为 1304 元.
1 6、设扇形的半径是 x ,扇形的弧长为 y ,因为 S ? xy 2

扇形的周长为 Z ? 2x ? y ≥ 2 2xy ? 4 S 当 2 x ? y ,即 x ? S , y ? 2 S 时, Z 可以取得最小值,最小值为 4 S . 7、设扇形的半径是 x ,扇形的弧长为 y ,因为 P ? 2 x ? y 扇形的面积为 Z ? xy ? (2 x) y ≤ ( 当 2 x ? y ,即 x ?
1 2 1 4 1 2 x ? y 2 P2 ) ? 4 2 16

P2 P P P , y ? 时, Z 可以取得最大值,半径为 时扇形面积最大值为 . 16 4 2 4 s sa 8、设汽车的运输成本为 y , y ? (bv2 ? a) ? ? sbv ? v v

当 sbv ?

a a sa ≤ c 时, y 有最小值. 时,即 v ? 且 b b v sa sa ≥ 2 sbv ? ? 2s ab ,最小值为 2s ab . v v

y ? sbv ?



a sa sa > c 时,由函数 y ? sbv ? 的单调性可知, v ? c 时 y 有最小值,最小值为 sbc ? . b v c

第三章 复习参考题 B 组(P103)
1、 D 3、 m ? 1 4、设生产裤子 x 条,裙子 y 条,收益为 z .
6

2、 (1) ? x x ? ?2或 ? 2 ? x ? 或x ? 6? (2) ? x x ≤ ?1或 ≤ x ? 或x ? 3?
? ? ? ?
y
10

?

3 4

?

?

2 3

3 4

?

x+y=10

x+y=6

30

O

5

6

10

2x+y=10

x

(第 4 题)

? x ? y ≤ 10 ? 2 x ? y ≤ 10 ? ? 则目标函数为 z ? 20 x ? 40 y ,所以约束条件为 ? x ? y ≤ 6 ?x ≥ 0 ? ? ?y≥0

5、因为 x 2 ? y 2 是区域内的点到原点的距离的平方 所以,当 ?
?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3x ? y ? 3 ? 0
L1 B 2

y A

L3 L2

即 xA ? 2, y A ? 3 时, x 2 ? y 2 的最大值为 13.
4 ? x? ? 4 ? 5 当? 时, x 2 ? y 2 最小,最小值是 . 5 ?y ? 2 ? 5 ?

C1

x

(第 5 题)

6、按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为 p1 ,购 n kg,第二次购物时的价格为 p2 , 仍购 n kg,按这种策略购物时两次购物的平均价格为 若按第二种策略购物,第一次花 m 元钱,能购 物品,两次购物的平均价格为
2m 2 ? m m 1 1 ? ? p1 p2 p1 p2

p1n ? p2n p1 ? p2 . ? 2n 2

m m kg 物品,第二次仍花 m 元钱,能购 kg p1 p2

比较两次购物的平均价格: p1 ? p2 2 p ? p2 2 p1 p2 ( p1 ? p2 )2 ? 4 p1 p2 ( p1 ? p2 )2 ? ? 1 ? ? ? ≥0 1 1 2 2 p1 ? p2 2( p1 ? p2 ) 2( p1 ? p2 ) ? p1 p2 所以,第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而,用第二种策略比较经济. 一般地,如果是 n 次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.

31


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