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【解析版】浙江省慈溪市、余姚市2015届高三上学期期中联考 数学理试题


【解析版】浙江省慈溪市、余姚市 2015 届高三上学期期中 联考 数学理试题
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本能力为载体, ,在注重考查学科核 心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:集合、不等式、向量、导数、 函数方程,简单的线性规划、数列、三角函数的性质等;考查学生解决实际问题的能力。 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5

分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把答案写在答题卷中相应的位置上) 【题文】1.已知 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 sin ? ?
B. ?

3 A. 4

3 4

3 ,则 tan ? ? 5 4 C. 3

D. ?

4 3

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2 【答案解析】B 由 sin ? ?

3 ? 4 3 ? ? ( , ? ) 得 cos ? =- 则 tan ? ? ? 故选 B。 5 2 5 4

【思路点拨】根据同角三角函数求出余弦,再求出正切。 【题文】2.设全集 U ? R , A ? ? x x ? 1 ? 2 , x ? R A. ?4? B. ?3, 4?

? , B ? ?1,2,3,4? ,则 B ? CU A ?
D. ?1,2,3,4?

C. ?2,3,4?

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】B 由 A ? ? x x ? 1 ? 2 , x ? R 所以 B ? CU A ? ?3, 4? 故选 B。 【思路点拨】先求出 A 的补集,再求结果。 【题文】3.已知 a, b ? R ,且 a ? b ,则

? 则 CU A ? {x x ? 1 ?

2} , B ? ?1,2,3,4? ,

a C. lg(a ? b) ? 0 ?1 b 【知识点】不等式的概念与性质 E1 【答案解析】D 由 0>a>b 排除 A 和 B,当 0<a-b<1 时排除 C,故选 D. 【思路点拨】利用排除法找出反例求结果。
A. a ? b
2 2

B.

D. ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

b

【题文】4.在 ?ABC 中,设三边 AB, BC , CA 的中点分别为 E, F , D ,则 EC ? FA ? A. BD 【知识点】单元综合 F4 【答案解析】A 如图, B.

1 BD 2

C. AC

D.

1 AC 2

1 1 ( AC ? BC ) , FA = ( BC + BA ) ,所以 EC ? FA ? BD .故选 A. 2 2 1 【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则即可求出 EC = ( AC ? BC ) , 2 1 FA = ( BC + BA ) ,所以 EC ? FA ? BD . 2 【题文】5.在一次射击训练中,甲、乙两位运动员各射击一次,设命题 p 是“甲射中目标” , ,则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为 q 是“乙射中目标”

EC =

A. p ? q

B.

? ?p ? ? ? ?q ?

C.

? ?p ? ? ? ?q ?

D.

p ? ? ?q ?

【知识点】命题及其关系 A2 【答案解析】B 命题¬p:甲没射中目标,¬q:乙没射中目标; ∴“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标,或乙没射中目标”;所以可表示为 (¬p)∨(¬q) .故选 B. 【思路点拨】“至少一位运动员没有射中目标”就是指“甲没射中目标,或乙没有射中目标”, 而¬p 为:甲没射中目标,¬q 为:乙没射中目标,所以便将命题“至少一位运动员没射中目 标”表示为: (¬p)∨(¬q) . 【题文】6.函数 y ? x lg
2

x?2 的图象 x?2

A.关于 x 轴对称
2

B.关于原点对称

C.关于直线 y ? x 对称 D.关于 y 轴对称

【知识点】函数的奇偶性 B4 【答案解析】B ∵ y ? x lg

x?2 , x?2

∴其定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),∴f(-x)=x2lg

x?2 2 x?2 =-x lg =-f(x),∴函数 x?2 x?2

为奇函数,∴函数的图象关于原点对称,故选:B 【思路点拨】先判断出函数为奇函数,再根据奇函数的图象的性质得到答案. 【题文】7.将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 对称的图象,则 ? 的一个可能取值为 A.

? 个单位后,得到一个关于 y 轴 8
D. ?

3? 4

B.

3? 8

C.

? 4

?
4

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4

? 个 单位后,得到 : 8 ? ? ? ? f(x)=sin(2x+ +φ) 由于函数图象关于 y 轴对称, 所以 +φ=kπ+ (k∈Z) 当 k=0 时, φ= 4 4 2 4
【答案解析】 C 函 数 y=sin ( 2x+φ ) 的图象 沿 x 轴向左平移 故选:C 【思路点拨】首先对函数进行平移变换,再利用对称性求解.
x 【题文】8.设函数 f ( x ) 的零点为 x1 , g ( x) ? 4 ? 2x ? 2 的零点为 x2 ,若 x1 ? x2 ? 0.25 ,

则 f ( x ) 可以是

A. f ( x) ? ( x ? 1)2

B. f ( x ) ? e x ? 1

C. f ( x) ? ln( x ? )

1 2

2

D. f ( x) ? 4 x ? 1

【知识点】函数与方程 B9

3 1 或- , 2 2 1 1 选项 D:x1= ;∵g(1)=4+2-2>0,g(0)=1-2<0,g( )=2+1-2>0, 4 2 1 1 1 1 g( )= 2 + -2<0,则 x2∈( , ),故选 D. 4 2 4 2
【答案解析】D 选项 A:x1=1,选项 B:x1=0,选项 C:x1= 【思路点拨】首先确定选项 A、B、C、D 中的零点为 x1,从而利用二分法可求得 x2∈(

1 1 , ),从而得到答案. 4 2

【题文】9.已知 ?an ? 为等比数列,且 a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 则 a1 ? a10 ? A.5 B. ? 5 C.7 D. ?7 【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案解析】D ∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=-8 ∴a4=4,a7=-2 或 a4=-2,a7=4,当 a4=4,a7=-2 时,q3=-

1 , 2

∴a1=-8,a10=1,∴a1+a10=-7 当 a4=-2,a7=4 时,q3=-2,则 a10=-8,a1=1 ∴a1+a10=-7 综上可得,a1+a10=-7 故选 D 【思路点拨】由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=-8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数列的 通项可求 a1,a10,即可.

? lg x , 0 ? x ? 10, ? 【题文】10.已知函数 f ( x) ? ? 1 若三个正实数 x1 , x2 , x3 互不相等,且满足 ?? x ? 6, x ? 10, ? 2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 x2 x3 的取值范围是
A. (20, 24) B. (10,12) C. (5, 6) D. (1,10)

【知识点】函数与方程 B9 【答案解析】B 作出函数 f(x)的图象如图,

不妨设 x1<x2<x3,则-lgx1=lgx2=-

1 x3+6∈(0,1) 2

∴x1x2=1,0<-

1 x3+6<1 则 x1x2x3=x3∈(10,12).故选:B 2

【思路点拨】画出函数的图象,根据 f(x1)=f(x2)=f(x3) ,不妨不妨设 x1<x2<x3,求 出 x1x2x3 的范围即可. 【题文】二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答卷中相应的 位置) 【题文】11. log3 3 的值等于 【知识点】对数 B7 ▲ .

1 【答案解析】 2

log 3

= log 3 3 = 3

1 2

1 2

【思路点拨】根据对数的性质求解。 【题文】12.函数 y ? 3sin(3 x ?

?
3

) ? 3 的最小正周期为





【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】

2? 3

∵数 y=3sin(3x+

? 2? 2? )-3 ,∴其最小正周期 T= ,故答案为: . 3 3 3
1 2
▲ .

【思路点拨】利用正弦函数的周期公式即可求得答案. 【题文】 13. 若函数 f ( x ) 是幂函数, 且满足 f (4) ? 3 f (2) , 则 f ( ) 的值等于 【知识点】幂函数 B8 【答案解析】

1 3

设 f(x)=xa

,又

f(4)=3f(2),∴4a=3×2a,

解得:a=log23,∴f(

1 1 1 1 )=( ) lo g 2 3 = .故答案为: . 2 2 3 3
1 代入函数关系 2


【思路点拨】先设 f(x)=xa 代入题设,求出 a 的值,求出函数关系式.把 式即可. 【题文】14.若函数 f ( x ) 满足: 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,则 f ( x) ? 【知识点】函数及其表示 B1

1 x



1 1 )=3x , 替换表达式中的 x,得到: x x 1 3 1 1 1 2f( )+f(x)= ,两个方程消去 f( ),可得 f(x)=2x- .故答案为:2x- . x x x x x 1 【思路点拨】直接利用 替换表达式中的 x,得到方程,然后求解 f(x)即可. x 【题文】15.在 ?ABC 中, “ sin A ? sin B ”是“ A ? B ” ▲ 的条件.
【答案解析】2x函数 f(x)满足:2f(x)+f( 【知识点】充分条件、必要条件 A2 【答案解析】充要条件 若 sinA>sinB 成立,由正弦定理

1 x

a b ? =2R,所以 a>b, sin A sin B

所以 A>B. 反之, 若 A>B 成立, 所以 a>b, 因为 a=2RsinA, b=2RsinB, 所以 sinA>sinB, 所以 sinA>sinB 是 A>B 的充要条件.故答案为:充要条件.

【思路点拨】由正弦定理知 然,故可得结论.

a b ? ,由 sinA>sinB,知 a>b,所以 A>B,反之亦 sin A sin B
1 ? 16sin ?? cos ?? ,则 ? ?
▲ .

【题文】16.已知非零实数 ? 满足等式:16? ? 【知识点】基本不等式 ab ? 【答案解析】±

a?b E6 2

?

1 4

16θ+

1 1 =16sinπθcosπθ?16θ+ =8sin2πθ ? ?

?sin2πθ=2θ+

1 1 1 1 1 ?|2θ|+| |≥2 2? ? =1?sin2πθ=±1?θ=± .故答案为:± . 8? 8? 4 4 8? 1 8?
, 由 |2θ|+|

【 思路点 拨】 原式可 化简为 sin2πθ=2θ+ sin2πθ=±1 故可求得 θ.

1 |≥2 8?

2? ?

1 8?

=1 可知

? x ? 3 y ? 4 ? 0, ? 【题文】17.已知约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 若目标函数 z ? x ? ay(a ? 0) 恰好 在点 (2, 2) 处 .. ? 3 x ? y ? 8 ? 0, ?
取到最大值,则 a 的取值范围为 ▲ 【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案解析】( .

1 , +∞) 3

作出不等式对应的平面区域,

当 a=0 时,z=x,即 x=z,此时不成立.由 z=x+ay 得 y=-

1 z x+ a a

要使目标函数 z=x+ay(a≥0)仅在点(2,2)处取得最大值,则阴影部分区域

1 z 1 1 x+ 的下方,即目标函数的斜率 k=- ,满足 k>kAC,即- >-3, a a a a 1 1 1 ∵a>0,∴a> ,即 a 的取值范围为( , +∞) ,故答案为:( , +∞) . 3 3 3
在直线 y=【思路点拨】 作出不等式对应的平面区域, 利用线性规划的知识, 确定目标取最优解的条件,

即可求出 a 的取值范围. 【题文】三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答写出文字说明.证明过程或演算步 骤,把解答写在答题卷中相应的位置上) 【题文】18. (本小题满分 14 分)已知向量 a ? ( 3sin x,sin x), b ? (cos x,sin x) ,其中

x ?[ ,? ] . 2
(1)若 a ? b ? 2 ,求 x 的值; (2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的值域. 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】 (1) x ?

?

2? 1 (2) [ ? ,1] 3 2
2

x ? co xs 2 ? ) ( 1 ) 因 为 a ? b ? ( 3 sin x ? cos x,0) , 所 以 a ? b ? ( 3 s i n

4 所以

? ? 2? 3 sin x ? c ox s? ? 即 2 sin( x ? ) ? ?1 ,因为 x ? [ , ? ] ,所以 x ? 6 2 3
(2)因为 f ( x) ? a ? b ? 3 sin x cos x ? sin x ?
2

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

? 1 ? 5? 11? ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 x ? ? [ , ] ( x ?[ ,? ] 6 2 6 6 6 2 ? 5? ? 所以当 2 x ? ? 即 x ? 时, [ f ( x)]max ? 1 6 6 2 ? 3? 5? 1 1 当 2x ? ? 即x ? 时, [ f ( x)]min ? ? , 所以 f ( x ) 的值域为 [ ? ,1] 。 6 2 6 2 2
【思路点拨】先利用向量的关系化简求出 x 值,再根据单调性最值。 【 题 文 】 19 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的 解 集 为
2

?x x ? 1或x ? b ? .
(1)求 a , b 的值; (2)当 c ? R 时,解关于 x 的不等式 ax ? (ac ? b) x ? bc ? 0 (用 c 表示) .
2

【知识点】一元二次不等式的解法 E3 【答案解析】 (1) ?

?a ? 1, (2)当 c ? 2 时,所求不等式的解集为 ? x 2 ? x ? c? ?b ? 2.

当 c ? 2 时,所求不等式的解集为 x c ? x ? 2 当 c ? 2 时,所求不等式的解集为 ? 。

?

?

(1)已知得 1, b 是方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的两个实数根,且 b ? 1, a ? 0
2

3 ? 1? b ? , ? ?a ? 1, ? a 所以 ? 即? ?b ? 2. ?1? b ? 2 ? a ?
(2)由(1)得原不等式可化为 x2 ? (2 ? c) x ? 2c ? 0 即 ( x ? 2)( x ? c) ? 0 所以当 c ? 2 时,所求不等式的解集为 x 2 ? x ? c 当 c ? 2 时,所求不等式的解集为 x c ? x ? 2

?

?

?

?

当 c ? 2 时,所求不等式的解集为 ? 。 【思路点拨】根据一元二次不等式求出 a,b 的值,讨论参数求出解集。 【题文】20. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,已知

a ? c sin B ? b cos C . (1)求 A ? C 的值;
(2)若 b ?

2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

【知识点】解三角形 C8 【答案解析】 (1) A ? C ?

3 1? 2 ? (2) 4 2

(1)由正弦定理得到: sin A ? sin C sin B ? sin B cos C 因为在三角形中, sin A ? sin[? ? ( B ? C )] ? sin( B ? C ) 所以 sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin C sin B ? sin B cos C 所以 cos B sin C ? sin C sin B 因为 C ? (0, ? ),sin C ? 0 ,所以 cos B ? sin B 即 tan B ? 1, B ? (0, ? ) 所以 B ?

?
4

即 A?C ?

3 ?。 4
2 2 2

(2)由余弦定理得到: b ? a ? c ? 2ac cos B ,所以 2 ? a ? c ? 2ac
2 2

所以 2 ? 2ac ? a ? c ? 2ac 即 ac ?
2 2

2 ? 2? 2 2? 2

当且仅当 a ? c 即 a ? c ? 而S

2 ? 2 时“=”成立

ABC

?

1 2 1? 2 ac sin B ? ac ,所以 ?ABC 面积的最大值为 。 2 4 2

【思路点拨】根据正弦定理余弦定理求出边角,利用均值不等式求出最值。 【题文】21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? a x ?1 , a 为常数. (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上的最小值和最大值; (2)若函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案解析】 (1)当 x ? [1, 2] 时, [ f ( x)]max ? 6,[ f (x )]min ? 1 x ? [0,1] 最大值为 6 ,最小 值为 1。 (2) [?2, 0]

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 1, ?( x ? 1)2 ? 3, x ? 1, ? ? ?? (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ? 2 2 ? ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 1, ?( x ? 1) ? 1, x ? 1,
2

所以

当 x ? [1, 2] 时, [ f ( x)]max ? 6,[ f ( x)]min ? 1 当 x ? [0,1] 时, 最小值为 1。 [ f ( x)]max ? 2,[ f ( x)] min ?1 所以 f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 6 , (2)因为 f ( x) ? ?

? x 2 ? ax ? a, x ? 1, ? 2 ? ? x ? ax ? a, x ? 1,

? a 2 a2 ( x ? ) ? ? a, x ? 1, ? ? 2 4 而 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递增 ?? 2 ?( x ? a ) 2 ? a ? a, x ? 1, ? ? 2 4
a ? 1 即 a ? ?2 2 a 当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) 亦必单调递增,得 ? 0 即 a ? 0 2
所以当 x ? 1 时, f ( x ) 必单调递增,得 ? 且 1 ? a ? a ? 1 ? a ? a 恒成立
1 1

故所求实数 a 的取值范围为 [?2, 0] 。 【思路点拨】先讨论去绝对值根据单调性求出最值,根据二次函数的单调性求出 a 值。 【 题 文 】 22 . ( 本 小 题 满 分 15 分 ) 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 a1 ? 1 ,

nan?1 ? 2Sn , n ? N? .
(1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求数列 {an } 的通项公式;

(3)若数列 ?bn ? 满足: b1 ?

b2 1 , bn?1 ? bn ? 2n ,试证明:当 n ? N? 时,必有 2 an?1
② bn ? 1.



1 1 1 ; ? ? bn bn?1 (n ? 1)2

【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案解析】 (1) a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4 (2) an ? n(n ? N* ) (3)略 (1)由 n ? 1, 2,3 分别代入递推式即可得 a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4 (2)因为 nan?1 ? 2Sn ,(n ?1)an ? 2Sn?1 , 所以 nan?1 ? (n ?1)an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an 即 nan?1 ? (n ? 1)an ,

an?1 n ? 1 ? an n

所以

a a2 a3 a4 2 3 4 n , an ? n(n ? N* ) 。 ??? n ? ??? a1 a2 a3 an?1 1 2 3 n ?1
2 bn 1 , bn?1 ? bn ? ? bn ? bn?1 ? ??? ? b1 ? 0 2 (n ? 1)2

(3)①由(2)得 b1 ?

所以 ?bn ? 是正项单调递增数列 当 n ? N 时, bn?1 ? bn ?
?

2 bn b b ? bn ? n?1 n 2 2 (n ? 1) (n ? 1)

所以 bn ?1 ? bn ?

bn?1bn b ? bn 1 1 1 1 , n ?1 即 ? 。 ? ? 2 2 (n ? 1) bn?1bn (n ? 1) bn bn?1 (n ? 1)2

②由①得,当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 , ? ? 2 ,?? , ? ? 2 b1 b2 2 b2 b3 3 bn ?1 bn n

所以 (

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 b1 b2 b2 b3 bn?1 bn 2 3 n
所以



1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 b1 bn 2 3 n

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? b1 bn 2 ?1 3 ? 2 n ? (n ?1)

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1? 1 2 2 3 n ?1 n n
所以

1 1 1 1 n ?1 ? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? ? 1, 即 bn ? 1 (n ? 2) bn b1 n n n

又当 n ? 1 , b1 ?

1 ?1 2

故当 n ? N 时, bn ? 1。

?

【思路点拨】用代入法求出,根据等比数列求出通项公式,利用求和比较证明。


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