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中职数学基础知识汇总


职教高考数学基础知识汇总
第一章 集合与简易逻辑: 一.集合 1、 集合的有关概念和运算 (1)集合的特性:确定性、互异性和无序性; (2)元素 a 和集合 A 之间的关系:a∈A,或 a ? A; 2、子集定义:A 中的任何元素都属于 B,则 A 叫 B 的子集 ;记作:A ? B, 注意:A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ 3、真子集定义:A 是 B

的子集 ,且 B 中至少有一个元素不属于 A;记作: A ? B ; 4、补集定义: CU A ? {x | x ?U , 且x ? A}; 5、交集与并集 交集: A ? B ? {x | x ? A且x ? B} ;并集: A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 6 、集合中元素的个数的计算: 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 _________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 。 二.简易逻辑: 1.复合命题: 三种形式:p 或 q、p 且 q、非 p; 判断复合命题真假: 2.真值表:p 或 q,同假为假,否则为真;p 且 q,同真为真;非 p,真假相反。 3.四种命题及其关系: 互 逆命题 原命题 原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; ? ? ? ? 逆 若q则p 若p则q 否命题:若 p 则 q; 逆否命题:若 q 则 p; 否 互 互为逆否的两个命题是等价的。 互 为逆 互 原命题与它的逆否命题是等价命题。 为 否 逆 否 4.充分条件与必要条件: 互 否 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充分条件; 逆否命 否命题 若 p ? q ,则 p 叫 q 的必要条件; 题 若? p 则 互 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充要条件; ? 若? q 则 q 逆 第二章不等式 一、不等式的基本性质: 1.特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 2.中间值比较法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二.均值不等式: 1.内容:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即:若 a, b ? 0 ,则 仅当 a ? b 时取等号) 2.基本变形:① a ? b ? ;②若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2
?

p

a?b ? ab (当且 2

3.基本应用:求函数最值: 注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 常用的方法为:拆、凑、平方;如:①函数 y ? 4 x ? ②若正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2



1 1 ? 的最小值 x y



三、绝对值不等式: | a| ? |b| ? | a ? b| ? | a| ? |b| ,注意:上述等号“=”成立的条件;
-1-

五、不等式的解法: 1.一元二次不等式的图解法: (二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系) 判别式:△=b -4ac 二次函数 y
2

??0
y

??0

??0
y

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 x1 O x2 x O 一元二次方程 有两相异实数根 x1=x2 x O 没有实数根 x

有两相等实数根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根
一元二次不等式

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) {x | x ? x1 , x ? x2 }
“>”取两边

x1 ? x 2 ? ?

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解
集 一元二次不等式

b 2a b {x | x ? ? } 2a

R

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解
2

{x | x1 ? x ? x2 }
“<”取中间

?

?

集 3.绝对值不等式的解法: ( “>”取两边, “<”取中间) (1)当 a ? 0 时, | x |? a 的解集是 {x | x ? ?a, x ? a} , | x |? a 的解集是 {x | ?a ? x ? a} (2)当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? ax ? b ? ?c, ax ? b ? c , | ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c 4.分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ⑴

f ( x) ?0? g ( x)

; (2)

f ( x) ?0? g ( x)



5.高次不等式组的解法:数轴标根法。 第三章 函数 一. 函数 1、 映射: 按照某种对应法则 f , 集合 A 中的任何一个元素, 在 B 中都有唯一确定的元素和它对应, 记作 f:A→B,若 a ? A, b ? B ,且元素 a 和元素 b 对应,那么 b 叫 a 的象,a 叫 b 的原象。 2、函数: (1) 、定义:设 A,B 是非空数集,若按某种确定的对应关系 f,对于集合 A 中的任意一 个数 x,集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,就称 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函 数,记作 y=f(x) , (2) 、函数的三要素:定义域,值域,对应法则; 3、求定义域的一般方法:①整式:全体实数 R;②分式:分母 ? 0 ,0 次幂:底数 ? 0 ; ③偶次根式:被开方式 ? 0 ,例: y ? 4、求值域的一般方法:
| x| ①图象观察法: y ? 0.2 ;②单调函数法: y ? log 2 (3 x ? 1), x ? [ ,3]

1 25 ? x 2 ;④对数:真数 ? 0 ,例: y ? log a (1 ? ) x 1 3

-2-

③二次函数配方法: y ? x 2 ? 4 x, x ? [1,5) , y ? ④“一次”分式反函数法: y ?

? x 2 ? 2x ? 2

x ;⑥换元法: y ? x ? 1 ? 2 x 2x ? 1

5、求函数解析式 f(x)的一般方法: ①待定系数法:一次函数 f(x) ,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f(x) ②配凑法: f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 , 求 f(x) ;③换元法: f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f(x) x x

6、函数的单调性: (1)定义:区间 D 上任意两个值 x1 , x 2 ,若 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,称 f ( x) 为 D 上增函数; 若 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,称 f ( x) 为 D 上减函数。 (一致为增,不同为减) (2)区间 D 叫函数 f ( x) 的单调区间,单调区间 ? 定义域; (3)复合函数 y ? f [h( x)] 的单调性:即同增异减; 7.奇偶性: 定义:注意区间是否关于原点对称,比较 f(x) 与 f(-x)的关系。 f(x) -f(-x)=0 ? f(x) =f(-x) ? f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 ? f(x) =-f(-x) ? f(x)为奇函数。 8.周期性: 定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。 9.函数图像变换: (1)平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b; (2)法则:加左减右,加上减下 (3)注意: (ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过 平移得到函 数y=f(2x+4)的图象。 (ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量 a (m,n)平移的意义。 10.反函数: (1)定义:函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f
?1

( x) ;函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 互为反函数;
?1

(2)反函数的求法:①由 y ? f ( x) ,反解出 x ? f 出y? f
?1

( y) ,② x, y 互换,写成 y ? f ?1 ( x) ,③写

; ( x) 的定义域(即原函数的值域)
?1

(3)反函数的性质:函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f 函数 y ? f ( x) 的图象和它的反函数 y ? f
?1

( x) 的值域、定义域;

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称;点(a,b)关于直线

y ? x 的对称点为(b,a) ;
第四章 指数函数与对数函数 1. 指数及其运算性质:当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时, n a ?| a |? ?
n

?a(a ? 0) ?? a(a ? 0)

-3-

2.分数指数幂:正分数指数幂: a 3.对数及其运算性质:

m n

? a ;负分数指数幂: a
n m

?

m n

?

1
m

an
(1)定义:如果 a b ? N (a ? 0, a ? 1) ,以 10 为底叫常用对数,记为 lgN,以 e=2.7182828?为 底叫自然对数,记为 lnN (2) 性质: ①负数和零没有对数, ②1 的对数等于 0:loga 1 ? 0 , ③底的对数等于 1:loga a ? 1 , ④积的对数: loga (MN ) ? loga M ? loga N , 幂的对数: loga M n ? n loga M , 4.指数函数和对数函数的图象性质 函数 定义 指数函数 对数函数 商的对数: log a

M ? log a M ? log a N , N 1 方根的对数: log a n M ? log a M , n

y ? ax
a>1

( a ? 0且a ? 1) 0<a<1

y ? loga x ( a ? 0且a ? 1)
a>1 0<a<1 y=logax y x

图象

y

y=a

x

y=ax

y

y

1 O 定义域 性 值域 单调性 函数值 变化 x

1 O x

O

1

x

O

1 y=logax

(-∞,+∞) (-∞,+∞) (0,+∞) 在(-∞,+∞) 上是增函数 在(-∞,+∞) 上是减函数

(0,+∞) (0,+∞) (-∞,+∞) 在(0,+∞) 上是增函数 在(0,+∞) 上是减函数



?? 1, x ? 0 ? a ?? 1, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
x

?? 1, x ? 0 ? a ?? 1, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
x

?? 0, x ? 1 ? loga x ?? 0, x ? 1 loga ?? 0,0 ? x ? 1 ?

?? 0, x ? 1 ? x ?? 0, x ? 1 ?? 0,0 ? x ? 1 ?

图 象

定 图象 特征 图象 关系



? a 0 ? 1,?过定点(0,1) ? a x ? 0,?图象在 x 轴上方

? loga 1 ? 0,?过定点(1,0)
? x ? 0,?图象在 y 轴右边

y ? a x 的图象与 y ? loga x 的图象关于直线 y ? x 对称
第五章 三角函数

1、角:与 ? 终边相同的角的集合为{ ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z }
?

2、弧度制: (1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。

-4-

(2)度数与弧度数的换算: 180 ? ? 弧度,1 弧度 ? (
?

180

?

)?
1 1 lr ?? | ? | r 2 2 2

(3)弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是角的弧度数) 扇形面积: S ? 3、三角函数 定义: (如图)
sin ? ? y y r     t an? ?     sec ? ?    r x x x x r cos? ?     cot? ?     csc ? ? r y y

y P(x,y) r 0

4、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系:

r?

x2 ? y2 ? 0

?
x

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

t a? n?

s i? n c o? s

tan ? cot ? ? 1

5、诱导公式(理解记忆方法:奇变偶不变,符号看象限) 公式一: sin(? ? k ? 360?) ? sin ?   cos(? ? k ? 360?) ? cos?  tan( ? ? k ? 360?) ? tan? 公式二: 公式三: 公式四: 公式五:

sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( 180? ? ? ) ? ? tan?
公式六:

sin(180? ? ? ) ? ? sin ? sin(360? ? ? ) ? ? sin ?   cos(180? ? ? ) ? ? cos? cos(360? ? ? ) ? cos?   tan( 180? ? ? ) ? tan? tan(360? ? ? ) ? ? tan?
公式七:
sin(

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan?
公式九:

公式八:

sin( ? ? ) ? cos? 2 cos( ? ? ) ? sin ? 2 t an( ? ? ) ? cot? 2

?

?
2

? ? ) ? cos?

sin(

?

?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 t an( ? ? ) ? ? cot? 2

?

?

3? ? ? ) ? ? cos? 2 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 3? tan( ? ? ) ? cot? 2

sin(

3? ? ? ) ? ? cos? 2 3? cos( ? ? ) ? sin ? 2 3? tan( ? ? ) ? ? cot? 2

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ?? ) :
tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

T(? ? ? ) :

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

7、辅助角公式: a sin x ? b cos x ?

a 2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ? ) ? a 2 ? b2 ? sin( x ? ? )
b) a

(其中 ? 称为辅助角, ? 的终边过点 (a, b) , tan? ? 8、二倍角公式: (1) 、 S 2? :

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
-5-

(2) 、降次公式:

C 2? :

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

sin ? cos ? ?

1 sin 2? 2

? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1
sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 1 1 ? ? cos 2? ? 2 2 2 2t a? n t a2 n? ? T2? : 2 1? t a n ?

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 1 ? cos 2? ? 2 2 2

9、三角函数的图象性质 (1)函数的周期性: ①定义:对于函数 f (x) ,若存在一个非零常数 T,当 x 取定义域内的每一个值时,都有:f (x+T) = f(x),那么函数 f(x)叫周期函数,非零常数 T 叫这个函数的周期; ②如果函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫 f(x)的最小正周期。 (2)函数的奇偶性: ①定义:对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有:f(-x)= - f(x),则称 f(x)是奇 函数,f(-x)= f(x),则称 f(x)是偶函数 ②奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称; (3)正弦、余弦、正切函数的性质( k ? Z ) 函数 定义域 值域 [-1,1] 周期 性 奇偶 性 奇函 数 偶函 数 奇函 数 递增区间 递减区间

y ? sin x
y ? cos x

x?R

T ? 2?

? 3? ? ? ? ?? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ?2

x?R
{x | x ?

[-1,1]

T ? 2?

?(2k ? 1)? ,2k? ? ?2k? , (2k ? 1)? ?
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

y ? tan x

(-∞,+∞) T ? ? ? ? k? } 2

? 3? ,1),( ? ,0),( ,-1),( 2? ,0); 2 2 ? 3? y ? cos x 图象的五个关键点:(0,1),( ,0),( ? ,-1),( ,0),( 2? ,1); 2 2
y ? sin x 图象的五个关键点:(0,0),(
y 1 0 -1 y

??

?

?
2

y ? sin x
? 2

?

3? 2

2?

x

??

?

?
2

1 0 -1

y ? cos x
? 2
-6-

?

3? 2

2?

x

y

??
3? ? 2

? ? 2

o

? 2

?

3? 2

x

y ? tan x
(4)、函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的相关概念: 函数 定义域 值域 [-A,A] 振幅 A 周期 频率 相位 初相

y ? A sin(?x ? ? )

x?R

T?

2?

?

f ?

1 ? ? T 2?

?x ? ?

?

图象 五点法

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象与 y ? sin x 的关系:
①振幅变换: y ? sin x
当 A ? 1 时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的 A 倍 当0

? A ? 1 时, 图象上各点的纵坐标缩短到原来的 A 倍 y ? A sin x 1 当 ? ? 1 时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的 倍

②周期变换: y ? sin x

?

当0

? ? ? 1 时, 图象上各点的纵坐标伸长到原来的

1

y ? sin ?x


当?

? 0 时,图象上的各点向左平移 ?

个单位倍

?

③相位变换: y ? sin x 10.反三角函数: 11、解三角形:

当?

? 0 时,图象上的各点向右平移 | ? | 个单位倍

y ? sin(x ? ? )

(1)三角形的面积公式: S ? ? (2)正,余弦定理 ①正弦定理:

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

a b c ? ? ? 2 R, 或a ? 2 R sin A,  b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin sin A sin B sin C

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
②余弦定理: b ? a ? c ? 2ac ? cos B
2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cocC)
求角: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2      cos B ?      cosC ? 2bc 2ac 2ab

第六章 数列
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; an ? ? 一. 数列: (1) 前 n 项和: (2) 前 n 项和与通项的关系:

?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

-7-

二.等差数列 : 1.定义: an?1 ? an ? d 。2.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (关于 n 的一次函数) , 3.前 n 项和: (1) . Sn ? 4.等差中项: A ?
n(a1 ? a n ) 2

(2). S n ? na1 ?

a?b 或 2A ? a ? b 2

n(n ? 1) 2 d (即 Sn = An +Bn) 2

5.等差数列的主要性质: (1)等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。
a1 ? an ????? ????? ? a , a , a , ? , a , a , 2? 3 n?2 n ?1 a n ? ?? ,如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ? an ?1
*

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

(2)若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,则 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k 差数列。如下图所示: ? ??? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

三.等比数列: 1.定义:
a n ?1 ? q ( q ? 0) ;2.通项公式: an an

? a1q n?1 (其中:首项是 a1 ,公比是 q )

na1 ,( q ? 1) ? ? n 3.前 n 项和]: S n ? ? a1 ? a n q a1 (1 ? q ) (推导方法:乘公比,错位相减) ? , (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
说明:① S n ? 4.等比中项:
a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ; 1? q

2 Sn ? ○

a1 ? a n q (q ? 1) ; ○ 3 当q 1? q

? 1 时为常数列, S n ? na1 。

G b 2 ? ,即 G ? ab (或 G a G

? ? ab ,等比中项有两个)

5.等比数列的主要性质: (1)等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av
a1?an ????? ?????? a , a 2 , a3 ,?, a n?2 , a n?1 , a n ? ?? 。如图所示: 1 ? ?? ? ???? ? a2 ?an ?1

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

(2)若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是前 n 项的和, k ? N * ,则 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列。
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k 如下图所示: ? ??? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

四.求数列的前 n 项和的常用方法:分析通项,寻求解法 n 1.公式法:等差等比数列 ;2.分部求和法:如 an=2n+3 3.裂项相消法:如 an=

1 n ;4.错位相减法: “差比之积”的数列:如 an=(2n-1)2 n(n ? 1)
第七章 平面向量

1.向量的有关概念:向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向 量。
-8-

2.向量的运算: (1) 、向量的加减法: 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 向量的减法

a b b b

b a a?b b a
首位连结

a a?b a

b

a

a ?b

指向被减向量

(2)实数与向量的积:①定义:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作: ? a ; ②它的长度: | ? a |?| ? | ? | a | ; ③: 它的方向: 当? ? 0 , 当? ? 0, 当 ? ? 0 时, ? a 与 a 的方向相同; ? a 与 a 的方向相反; ?a = 0 ; 3. 平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ; 4.平面向量的坐标运算: (1)坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? . (2)实数与向量的积的运算律: 设 a ? ?x, y ? ,则λ a ? ? ? x, y ? ? ??x, ?y ? , (3)平面向量的数量积:
0 0 ①定义: a? b ? a ? b cos? ? a ? 0, b ? 0,0 ? ? ? 180 ? , 0 ? a ? 0 . ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?

?? ?

? ?

?

? ?

? ?

①平面向量的数量积的几何意义:向量 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b | cos ? 的乘积; ③、坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ; 向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a ? x ? y ;模| a | ?
2 2
? ? ? ? ? ?

x2 ? y2

④、设 ? 是向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? 的夹角,则 cos ? ? 5、重要结论: (1)两个向量平行的充要条件:

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y 2

2

2



设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a / / b ? a ? ? b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 (2)两个非零向量垂直的充要条件:
-9-

?

?

?

?

?

?

(? ? R)

?



a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? a? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
?

?

?

?

? ?

(3)两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 的距离: | AB |?
?

(4) P(x,y)分线段 P1P2 的定比满足 P 1 P ? ? PP 2 ,且 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)

? x? ? ? 则定比分点坐标公式 ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?
?



x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 中点坐标公式 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
' ? ? x ? x ? h, 平移至 P′(x′,y′),则 ? ' ? ? y ? y ? k.

(5)平移公式:如果点 P(x,y)按向量 a ? ?h, k ?

第八章 直线和圆的方程 一、直线 1.直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角α ∈[0,π ).(2)直线的斜率,即 k ? tan ? (? ? 900 ) (3)斜率公式:经过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为 k ? 2.直线的方程 (1)点斜式 :y-y0=k(x-x0) (3)两点式:

y 2?y1 ( x 2 ? x 1 ? 0) x 2 ?x1

(2)斜截式:y=kx+b (4)截距式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y 1 x 2 ?x1

x y ? ?1 a b

(5)一般式 Ax+By+C=0 (A、B 不同时为 0). 3.两条直线的位置关系 (1)平行:当直线 l1 和 l2 有斜截式方程时,k1=k2 且 b1≠b2; (2)重合:当 l1 和 l2 有斜截式方程时,k1=k2 且 b1=b2; (3)相交:当 l1,l2 是斜截式方程时,k1≠k2 (4)垂直:设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1 ?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 一般式方程时, l 1 ? l 2 ? A1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0 (优点:对斜率是否存在不讨论) (5)到角:直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转动的角 ? , 它的范围是 (0, ? ) ,当 ? ? 90? 时 tan ? ?
k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2

(6)夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四个角中最小的正角 ? ,又称
k 2 ?k 1 ? ?? ? 为 l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范围是 ? ? 0, 2 ? ,当 ? ? 90 ,则有 tan ? ? 1 ? k k . ? ? 1 2

(7)交点:求两直线交点,即解方程组 ?

? A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ?A2 x ? B 2 y ? C 2? 0

- 10 -

4.点到直线的距离:设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ?

Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

5.两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l 1 : Ax ? By ?C 1 ? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1 ?C 2 ) ,它们之 间的距离为 d ,则有 d ?
C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

6. 关于点对称和关于某直线对称:利用直线垂直,平行等解决 7.简单的线性规划----线性规划的三种类型: 1.截距型:形如 z=ax+by, 把 z 看作是 y 轴上的截距,目标函数的最值就转化为 y 轴上的截距的 最值。 2.斜率型:形如 z ?

y?a 时,把 z 看作是动点 P( x, y) 与定点 Q (b, a ) 连线的斜率,目标函数的最 x ?b

值就转化为 PQ 连线斜率的最值。 3.距离型:形如 z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 时,可把 z 看作是动点 P( x, y) 与定点 Q (a, b) 距离的平方, 这样目标函数的最值就转化为 PQ 距离平方的最值。 二、曲线和方程:求曲线方程的步骤:①建系,设点;②列式;③代入④化简;⑤证明. 三、圆 1. .圆的方程: 2 2 2 (1)标准方程(x-a) +(y-b) =r .(a,b)为圆心,r 为半径. (2) 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ?4 F>0 .)
2 2

(3)圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin?

2.点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ①
M

在 圆

C



? d ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2<r 2

; ②

M

在 圆

C



?d ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ? r 2
③ M 在圆 C 外 ? d ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2>r 2 3.直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a) ?( y ? b) ? r (r>0) ;
2 2 2

直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A 2 ? B 2 ? 0) ;

圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ?B 2

.

①几何法: d ? r 时, l 与 C 相切; d< r 时, l 与 C 相交; d> r 时, l 与 C 相离.
? ?( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 ② 代数法:方程组 ? 用代入法,得关于 x (或 y )的一元二次方程,其判别式 ? ? Ax ? Bx ? C ? 0

为 ? ,则: ? ? 0 ? l 与 C 相切; ?>0 ? l 与 C 相交; ?<0 ? l 与 C 相离. 注意:几何法优于代数法 4.求圆的切线方法
- 11 -

①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条。利用相切条件求 k 值即可。 ②若已知切线过圆外一点(x0,y0),则设切线方程为 y-y0=k(x-x0),再利用相切条件求 k,这 时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. 5 . 圆 与 圆 的 位 置 关 系 : 已 知 两 圆 圆 心 分 别 为 O1 、 O2 , 半 径 分 别 为 r1 、 r2 , 则

(1) 两圆外切 ?|O 1O 2 |= r1 +r2 ; (2) 两圆内切 ?|O 1O 2 |=|r1 -r2 | ; (3) 两圆相交 ?|r1 -r2 | <|O 1O 2 | <r1 +r2 .
第九章 圆锥曲线 一.椭圆的定义标准方程及其几何性质 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨 第一 定义 定义 第二 定义 迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦 距.若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF 1 | ? | MF2 |? 2a . 平面内与定点 F (c, 0) 的距离和它到定直线 l :x ?

( a ? c ? 0 )的轨迹叫椭圆.定点 F 是椭圆的一个焦点,定直线 l 是椭 圆的一条准线,常数 e 椭圆的离心率 方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

c a2 的距离比是常数 a c

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

图像

a,b,c 关系 焦点 范围 对称 性 顶点 长短 轴 离心 率 准线

c 2 ? a 2 ? b2 (?c, 0) | x |? a,| y |? b (0, ?c) | x |? b,| y |? a

坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心.

(? a, 0), (0, ?b)

(?b, 0), (0, ? a)

A1 A2 ? 2a, B1B2 ? 2b
e? c (0<e<1) a

x??

a2 c

y??

a2 c

二.双曲线的定义标准方程及其几何性质
- 12 -

定义

第一 定义 第二 定义

平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1F2 | )的点的轨 迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距. 平面内与定点 F (c, 0) 的距离和它到定直线 l : x ?

c a2 的距离比是常数 a c

( a ? c ? 0 )的轨迹叫双曲线.定点 F 是双曲线的一个焦点,定直线 l 是双曲线 的一条准线,常数 e 双曲线的离心率 方程 图像
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y B2 a A1 O B1

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y

b

A2 x

B1

a

A2 b B2 x

O A1

a,b,c 关系 焦点 范围 对成性 顶点 实轴 虚轴 离心率 准线

c 2 ? a 2 ? b2 (?c, 0) | x |? a (0, ?c) || y |? a

坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心.

(? a, 0)

(0, ? a)

实轴:A1 A2 ? 2a, 虚轴:B1B2 ? 2b
e? c (e>1) a

x??
渐近线
y??

a2 c

y??
y??

a2 c
a x b

x2 y 2 b b x( 2 ? 2 ?0? y?? x ) a a b a

三.抛物线定义标准方程及其简单几何性质 定义 标准方 程 图形 平面内与一定点 F 和一条定直线 L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点 F 叫做抛物 线的焦点,定直线 L 叫做抛物线的准线.
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py



y



y



y



y

x O

x O

x O

x O

- 13 -

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

F(

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0) e ?1

三.直线和圆锥曲线的位置关系 1. 直线和椭圆的位置关系的判断方法 (1)代数法:直线 l:Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系可分为:相交、相切、相 离. 设直线 l:Ax+By+C=0,圆锥曲线 C:f(x,y)=0 ; 由 ?

? Ax ? By ? C ? 0 消去 y(或 x)得: ? F ( x, y) ? 0

ax2+bx+c=0 (a≠0) ;令 Δ =b2-4ac, 则 Δ >0?相交;Δ =0?相切;Δ <0?相离.
(2)几何法:求大致位置和满足条件的直线时可用,精确计算时不可用。 2.弦长的计算:弦长公式 AB ? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 .

第十章 立体几何 1.平面的基本性质:三个公理及推论。 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面; 3.直线与平面 位置关系 (1)直线在平面内——有无数个公共点 。 (2)直线和平面相交——有且只有一个公 共点(3)直线和平面平行——没有公共点 性 质 定 理
a

直线和平 判 定 定 理 面平行

β
b

a

b

α
直线与平 判 定 定 理 面垂直
l

α
性 质 定 理
b a

0

α
直线与平 面所成的 角

n

m

α

(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角 (2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角 0 (3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是 0 的角

三垂线定 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂 理 直。
- 14 -

三垂线逆 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂 定理 直。 4.平面与平面位置关系:平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况) 空 间 两 个 平 面 两 个 平 面 平行 判 定 性 质

(1) 如果一个平面内有两条相交直线平 行于另一个平面,那么这两个平面平行 (2)垂直于同一直线的两个平面平行

(1)两个平面平行,其中一个平面内的直 线必平行于另一个平面 (2)如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线平行 (3)一条直线垂直于两个平行平面中的一 个平面,它也垂直于另一个平面

相 交 的 两 平面

二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面 角的线,这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条 射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面 角。

两 平 面 垂 直









如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面互相垂直

(1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂 直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 (2)如果两个平面垂直,那么经过第一个 平面内一点垂直于第二个平面的直线,在 第一个平面内

5. 常用证明方法: (1)判断线线平行的常用方法: ①a∥b,b∥c, ③a⊥α ,b⊥α a∥c;②a∥α ,a β ,α ∩β =b a∥b a∥b

a∥b;④α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b

(2)判定线线垂直的常用方法. ①a⊥α ,b ③a⊥α ,b∥α α a⊥b; a⊥b; ②b∥c,a⊥c a⊥b

④三垂线定理及逆定理

(3)判定线面平行的常用方法: ①定义 ②a α ,b α 且 a∥b a∥α .③α ∥β ,a β a∥β ;

(4)判定线面垂直的常用方法 ①c⊥a,c⊥b 且 a ③α ∥β 且 a⊥α α ,b a⊥β α ,a,b 无公共点 c⊥α ;②a∥b 且 a⊥α b⊥α

(5)判定面面平行的常用方法: ①a、b β ,a∩b=A,若 a∥α ,b∥α α ∥β
- 15 -

α ∥β

②a⊥α ,α ⊥β

③α ∥β ,β ∥r

α ∥γ

(6)判定面面垂直的常用方法. ①a⊥α ,a ③a⊥β ,a∥α β α ⊥β α ⊥β ②α ∥β ,b⊥r β ⊥r

6.棱柱 (1)棱柱的定义、分类,直棱柱、正棱柱的性质; (2)长方体的性质。 (3)平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别, 以及它们的特有性质。 (4)S 侧=各侧面的面积和; (5)V=Sh。 7.棱锥 1.棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心) 2.相关计算:S 侧=各侧面的面积和 ,V= 8.球的相关概念: (1)S 球=4π R
2

1 Sh 3

V 球=

4 3 π R (2)球面距离的概念 3

9.计算问题:计算步骤:一作、二证、三算 (1)异面直线所成的角 范围:0°<θ ≤90° 方法:①平移法;②向量法. (2)直线与平面所成的角 范围:0°≤θ ≤90° 方法:关键是作垂线,找射影. (3)二面角方法:①定义法;②射影面积法:S′=Scosθ 三垂线法;③向量法. 其中二面角的平面角的作法 ①定义法:由二面角平面角的定义做出平面角; ②三垂线法:一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。 (4)两点之间的距离.(5)点到直线的距离. (6)点到平面的距离: (1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量 法 (7)两条平行线间的距离. (8)两异面直线间的距离(1)定义法,即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量 法 (9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离. (11)球面距离 第十一章 排列组合与二项式定理概率 一.排列组合 1.计数原理 ①分类原理:N=n1+n2+n3+?+nM (分类) ②分步原理:N=n1·n2·n3·?nM (分步) 2.排列(有序)与组合(无序) An =n(n-1)(n-2)(n-3)?(n-m+1)=
m m

n! (n ? m)!
m

An =n!
n-m m m+1 m+1

n

Cn =

n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) n! ? m! (n ? m)!m!

Cn = Cn

Cn +Cn

= Cn+1

k?k!=(k+1)!-k!

二.排列、组合问题几大解法:总原则:先选后排,先分再排 1、多排问题直排法:把 n 个元素排成若干排的问题,若没其他的特殊要求,可用统一排成一排的 方法来处理. 2、特殊元素优先法:对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,再考虑其他元素的安 排。在操作时,针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。
- 16 -

3、相邻问题捆绑法:对于某些元素要求相邻排列的问题,可先将相邻元素捆绑成整体并看作一 个元素再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。 4、不相邻问题插空法:对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相 邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可(有时候两端的空隙的插法是不符合 题意的) 5、正难则反排除法(或淘汰法):对于含有否定词语“至多”,“至少”类的问题,从正面解 决不容易,可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去,应注意既不能多减也不 能少减。 6、元素重复问题住店法(或映射法) :解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素:一类 元素可重复,另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客” ,能重复的元素看着“店” ,再 利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法” 。 三、二项式定理: n 0 x 1 n-1 1 2 n-2 2 3 n-3 3 r n-r r n-1 n-1 n n 1.(a+b) =Cn a +Cn a b + Cn a b + Cn a b +?+ Cn a b +?+ Cn ab + Cn b n 1 2 2 r r n n 特别地:(1+x) =1+Cn x+Cn x +?+Cn x +?+Cn x r n-r r 2.通项为第 r+1 项: Tr+1= Cn a b 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 m n-m 3.主要性质和主要结论:对称性 Cn =Cn 最大二项式系数在中间。 (要注意 n 为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项) 0 1 2 3 4 r n n 所有二项式系数的和:Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?+Cn +?+Cn =2 奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 n -1 Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?=Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?=2 四.概率1.必然事件: P(A)=1;不可能事件: P(A)=0;随机事件的定义: 0<P(A)<1。 2.等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能性都相 等,那么,每一个基本事件的概率都是 率 P (A)?
m . n 1 ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概 n

3.互斥事件: 不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、 B 互斥, 那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B); 推广: P (A1 ?A 2 ? ? ?A n ) ? P (A1 ) ? P (A2 ) ? ? ? P (An ) . 4.对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件 叫对立事件.(A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同 ............... 时发生) (A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生。P(A)+ P(B) =1 5.相互独立独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件 叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P(A·B)=P(A)·P(B). 推广:若事件 A 1 ,A 2 , ? ,A n 相互独立,则 P (A1 ?A 2 ?A n ) ? P (A1 ) ? P (A2 ) ? P (An ) . 6.独立重复事件:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则 称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P, 那么在 n 次独立重复试验中这
k n ?k 个事件恰好发生 k 次的概率: P n (k) ?C k 。特殊:令 k=0 得:在 n 次独立重复试验中, n P (1 ? P)

事件 A 没有发生的概率为 ........Pn =Cn p (1-p) =(1-p) 令 k=n 得:在 n 次独立重复试验中,事件 A (n) n n 0 n 全部发生的概率为 ........Pn =Cn p (1-p) =p
- 17 -

(0)

0 0

n

n


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