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高二数学复习(一):二次函数


高二数学复习(一):二次函数
高考要求: 1.要掌握二次函数的图象和性质,有单调性,对称轴,顶点,二次函数的最值讨论方法, 二次方程根的分布的讨论方法,特别是韦达定理的应用 2.能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件;能求二次函数的最值 知识点归纳: 二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系 1.二次函数的图象及性质: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是_______,顶点坐标是________ 2.二次函数的解析式的三种形式: 求二次函数的解析式时的三种形式,一般式:___________________________ 两根式:________________________顶点式:___________________________ 3.根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图 象求解,有如下结论:令 f(x)=ax2+bx+c (a>0) (1)x1<α,x2<α (2)x1>α,x2>α (3)α<x1<?,α<x2<?

(4)x1<α,x2>? (α<?) (5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0

4.最值问题:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[α,?]上的最值一般分为三种情况讨论,即: (1)_________________________________________________________ (2) _________________________________________________________ (3) _________________________________________________________ 5.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: ① ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像_____________ ? ax2+bx+c=0_____ ? ax2+bx+c>0(<0) 的解集为____________ ② ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像___________ ? ax2+bx+c=0________ ? ax2+bx+c>0(<0) 的解集为_____________ ③ ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像_________ ? ax2+bx+c=0_________ ? ax2+bx+c>0(<0) 的解集为___________
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题型讲解: 例 1 函数 y ? x2 ? bx ? c ( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件是( A. b ? 0 例2 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 )

已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) ,

求函数的解析式

例 3 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的 取值范围

例 4 是否存在实数 a,b,c 使函数 f(x)=ax2+bx+c (A.0),的图像经过 M(-1,0),且满 足条件“对一切实数 x,都有 x ? f(x) ?
1? x2 ” 2

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学生练习:
1. 已知一次函数 y=ax+c 与二次函数 y=ax +bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大 致图象是( )
2

2. 已知函数 y=x +ax+3 的定义域为[-1,1],且当 x=-1 时,y 有最小值; 当 x=1 时, y 有最大值,则实数 a 的取值范围是( ) A. 0<a≤2 B. a≥2 C. a<0 D. a∈R 2 3. (2010·安徽)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是( )

2

4. 已知 2x -3x≤0,那么函数 f(x)=x +x+1( ) 3 3 A. 有最小值 ,但无最大值 B. 有最小值 ,有最大值 1 4 4 19 C. 有最小值 1,有最大值 D. 无最小值,也无最大值 4 5. 设 x,y 是关于 m 的方程 m2?2am+a+6=0 的两个实根, 则(x?1)2+(y?1)2 的最小值是 ( (A)?12.25 (B)18 (C) 8 (D)无最小值 2 6. 函数 f(x)=2x ?mx+3,当 x?(??,?1]时是减函数, x?[?1,+?)时是增函数, f(2)= 当 则 7. 方程 x2+bx+c=0 有两个不同正根的充要条件是

2

2

) ___

;有一正根,一负根的充

要条件是 ___ ;至少有一根为零的充要条件 ____ 2 8. 如果方程 x +2ax+a+1=0 的两个根中,一个比 2 大,另一个比 2 小, 则实数 a 的取值范围是 9. 设方程 x2?mx+1=0 的两个根为 α,?,且 0<α<1,1<?<2,则实数 m 的取值范围是 ____ _____ 10. 已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集是(??,?3)?(2,+?),则关于 x 的不等式 bx2+ax+c>0 的解集是 2 11. 若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx -ax 的零点是________. 12. 若函数 y=x -2x+3,在(-∞,m)上单调递减,则 m 的取值是________. 2 13. 二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 0 -4 -6 -4 0 6 则不等式 ax +bx+c>0 的解集为_____________ 2 ?x +bx+c,x≤0, ? ? 14. 设 f(x)= 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 ? x>0, ?2,
2 2

f(x)=x 的解的个数是________.
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15.已知二次函数 f(x),f(x+1)+f(x?1)=2x2?4x 对任意实数 x 都成立,试求 f(1? 2 )的值

16.若二次函数 f(x)=4x2?2(p?2)x?2p2?p+1 在区间[?1,1]内至少存在一点 c? f(c)>0,求实数 p 使 的取值范围

17. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (1)求函数 y=g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (3)设 h(x)=g(x)-λ f(x)+1,若 h(x)在[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的范围.

2

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