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宁夏六盘山高级中学2016届高三数学第二次模拟考试试题 文


宁夏六盘山高级中学 2015-2016 学年第二学期高三第二次模拟测试卷 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 U ? R, 集合 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | 0 ? x ? 4? ,则 ? Cu A? ? B

? ( A. ?x | x ? 1或x ? 4? 2.复数 z ? A. 2 ? i B. ?x | 0 ? x ? 1? C. ?x |1 ? x ? 4? D. ? x | x ? 4? )

5i 的共轭复数是( ) 2?i
B. 2 ? i C. 1+2i D. 1 ? 2i )

3. 若命题 P:所有的对数函数都是单调函数,则 ?P 为( A.所有对数函数都不是单调函数 B.所有的单调函数都不是对数函数 C.存在一个对数函数不是单调函数 D.存在一个单调函数都不是对数函数

4.已知空间两条不同的直线 m, n 和平面 ? ,则下列命题中正确的是( A.若 m ? ? , n / /? , 则 m ? n C.若 m / /? , n / /? , 则 m / / n B.若 m ? ? , n ? ? , 则 m ? n D.若 m ? ? , n / /? , 则 m / / n



6. 已知双曲线 C : 程为( )

x2 y 2 则双曲线 C 的渐近线方 ? ? 1? b ? 0? 的右焦点与抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点重合, 16 b2

A. 4 x ? 3 y ? 0

B. 3x ? 4 y ? 0

C. 16 x ? 9 y ? 0

D. 9 x ? 16 y ? 0

? ?1 ? ? ?? ?? ? b ? ?cos ?,1 ?, 且 a / / b ,则 cos ? ? ? ? ? ( ) 7. 向量 a ? ? , tan ? ?, ?3 ? ?2 ?

A. ? 8.

1 3

B.

1 3

C. ?

2 3

D. ?

2 2 3

右图的程序框图是把 k 进制数 a(共有 n 位数)化为十进制数 b 的程序框图,在该框图中若输

入 a ? 2112
1

k ? 3, n ? 4 ,则输出 b 的值为(



A.204

B.24

C.58

D.68

?? ? ?? ? 9. 已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? 的最小正周期为 4? ,且 f ? ? ? 1 ,则 f ? x ? 的一个对 2? ? ?3?
称中心是( )
? 2? ? ,0? A. ? ? ? 3 ? ? ? ? B. ? ? , 0 ? ? 3 ? ? 2? ? ,0 ? C. ? ? 3 ? ? 5? ? ,0? D. ? ? 3 ?

10. 若直线 ax ? by ? 1 ? 0 ? a ? 0, b ? 0? 过圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心, 则 A.8 B.12 C.16 D.20 )

1 4 的最小值是 ( ) ? a b

11. 已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为( A. 16? B. 8? C. 4? D. 2?

2

1 1 3

中点

?log 1 ? x ? 1? , x ? ?0,1? ? 12. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? 2 ,则关于 x 的函数 ? 1 ? x ? 3 , x ? 1, ?? ? ? ?
y ? f ? x ? ? a, ? ?1 ? a ? 0? 的所有零点之和为( )

A. 2 a ? 1

B. 2 - a ? 1

C. 1 ? 2? a

D. 1 ? 2 a

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知函数 f ? x ? ? ax2 ? x2 ? a ? R ? 在 x ? ?2 处取得极值,则 a 的值为__________.
? ? x ? y ? 4? ? ?0 ? x ? 2 ? ? ? ? ? ? 14.在区域 M ? ?? x, y ? | ? ? 内随机撒一把黄豆,落在区域 N ? ?? x, y ? | ? y ? x ? 的概率是 ? ? ?0 ? y ? 4? ? ? ? x?0 ? ? ? ?

________. 15.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的右顶点为 A, P 是椭圆 C 上一点,O 为坐标原点,已知 ?POA ? 60?, a 2 b2

且 OP ? AP ,则椭圆 C 的离心率为__________. 16. 在平面直角坐标系 xOy 中,满足 x2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 的点 P ? x, y ? 的集合对应的平面图形的面 积为

? ;类似的,在空间直角坐标系 O ? xyz 中,满足 x2 ? y 2 +z2 ? 1, x ? 0, y ? 0, z ? 0 的点 P ? x, y ? 的 4

集合对应的空间几何体的体积为___________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 7 0 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 在 公差 d 不为零的等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? 2 ,且 a 3 是 a1 , a9 的等比中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
? 1 ? (2)求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an an ?1 ?
3

18. (本小题满分 12 分) 某气象站观测点记录的连续 4 天里,AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y(单位 cm)的情况如 下表 1:

M y

900 0.5

700 3.5

300 6.5

100 9.5

哈尔滨市某月 AQI 指数频数分布如下表:2:

M
频数 (1)设 x ?

?0, 200? ? 200, 400? ? 400,600? ? 600,800? ?800,1000?
3 6 12 6 3

M ,根据表 1 的数据,求出 y 关于 x 的回归方程; 100

?= ? ?a ?, 其中 b (参考公式: ? y ? bx

?x y
i ?1 n

n

i 1 2 i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? ? y ? bx ? ) ,a

(2)小张开了一家洗衣店,经统计,当 M 不高于 200 时,洗衣店平均每天亏损约 2000 元,当 M 在 200 至 400 时,洗衣店平均每 天收入约 4000 元,当 M 大于 400 时,洗衣店平均每天收入约 7000 元, 根据表 2 估计小张的洗衣店该月份平均每天的收入. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 是正三角形,点 D 是 BC 的中点, BC ? BB1 . (1)求证: A1C / / 平面 AB1 D ; (2)试在棱 CC1 上找一点 M,使得 MB ? AB1 ,并说明理由.

A1 B1 C1

A B D C

20. (本小题满分 12 分)
4

? 2? 已知椭圆 E 的两焦点分别为 ? ?1,0? , ?1,0? ,经过点 ? ? 1, 2 ? ? ? ?

(1)求椭圆 E 的方程;
??? ? ??? ? (2)过 P ? ?2,0? 的直线 l 交 E 与 A,B 两点,且 PB ? 3PA ,设 A,B 两点关于 x 轴的对称点分别是 C,

D,求四边形 ACDB 的外接圆的方程
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? f ? x ? ? x2 ? 3x . (1)求函数 g ? x ? 的图象在点 ?1 ,g ?1? ? 处的切线方程; (2)设斜率为 k 的直线与函数 f ? x ? 的图象交于两点 A? x1, , y1 ? , B ? x2 , y2 ?? x1 ? x2 ? ,证明: 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过 ? O 外一点 E 作 ? O EA,EB,其中 A,B 为切点,BC 为 ? O 的一条 直径,连接 CA 并延长交 BE 的延长线于 D 点. (1)证明:BE=ED (2)若 AD=3AC,求 AE : AC 的值.
1 1 ?k? x2 x1

C A O E D

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ? 0 , 以极点 为原点, 极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系, 直线 l 过点 M ? 3,0 ? ,倾斜角为

? . 6

(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 AB 两点,求 MA ? MB . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ? x ? ? x ? 2x ? 1 ,记 f ? x ? ? ?1 的解集为 M.

5

(1)求集合 M . (2)已知 a ? M , 比较 a 2 ? a ? 1 与

1 的大小. a

宁夏六盘山高级中学

6

2015-2016 学年第二学期高三第二次模拟测试卷 一.选择题 1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.A 8.D 9.A 10.C 11.C 12.B

二.填空题 13.

1 3

14.

1 2

15.

2 5 5

16.

? 6

三.解答题 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 a3是a1 , a9 的等比中项, ?an ? 是等比数列

? a 2 ? a1 ? a9 ? ? a1 ? 2d ? ? a1 ? ? a1 ? 8d ?
2

? ? 2 ? 2d ? ? 2 ? ? 2 ? 8d ? ,? d 2 ? 2d ? 0
2

d ? 0 ? d ? 2 ? an ? 2n
(2)

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? an an?1 2n ? ? 2n ? 2 ? 4 ? n n+1 ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? n ?Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 4? 2 2 3 n n ? 1 ? 4 ? n ? 1 ? 4 ? n ? 1?
18.(本小题满分 12 分) 解: (1) x ?
4

9 ? 7 ? 3 ?1 0.5 ? 3.5 ? 6.5 ? 9.5 ? 5, y ? ?5 4 4

? xi yi ? 9 ? 0.5+7 ? 3.5+3 ? 6.5+1? 9.5=58
i ?1

?x
i ?1

4

2 i

? 92 +72 +32 +12 =140

b?

58 ? 4 ? 5 ? 5 21 41 ? 21 ? ? ? , a ? 5 ? ? ? ??5 ? 2 140 ? 4 ? 5 20 4 ? 20 ?
21 41 x? 20 4 1 ? ?2000 ? 3 ? 4000 ? 6 ? 7000 ? 21? ? 5500 (元) 30

y?? 所以 y 关于 x 的回归方程是 ?

(2)根据表 2 知:30 天中有 3 天每天亏损约 2000 元,有 6 天每天收入约 4000 元,有 21 天每天收 入约 7000 元, 故该月份平均每天的收入约为 19.(本题满分 12 分) 解: (1)连结 A 1B ,交 AB1 于点 O, 连结OD.
7

在平行四边形 ABB1 A 中,O为A1B中点. 1

所以 AC 1 / / 平面AB 1D (2)当 M 为棱 CC1 中点时, MB ? AB1 ,理由如下: 因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BC ? BB1 所以四边形 BCC1B1 为正方形 所 以 M 为棱 CC1 中点,D 为 BC 的中点,易证 ? B1BD ?? BCM

所以?BB1D ? ?CBM ,
又因为?BB1 D ? ?BDB1 ? 所以?CBM ? ?BDB1 ?

?
2 ,故BM ? B1D .

?
2

因为 ? ABC是正三角形,D是BC的中点,

所以AD ? BC.
因为平面 ABC ? 平面BB1C1C , 平面ABC ? 平面BB1C1C =BC , AD ? 平面 ABC 所以 AD ? 平面BB1C1C 因为 BM ? 平面BB1C1C,所以AD ? BM , 因为 AD ? B1D ? D, AD, B1D ? 平面AB1D 所以 BM ? 平面AB1D 因为 AB1 ? 平面AB1D, 所以MB ? AB1 20.(本题满分 12 分)

? 2? 2 解: (1)由题意知 c ? 1, 2a ? 2 + ? + , ? ? 2 ? 2 ? ?
2

2

8

? a ? 2, b ? a2 ? c2 ? 1
椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

2 2 (2)设 l : x ? my ? 2 ,带入椭圆方程得 m ? 2 y ? 4my ? 2 ? 0

?

?

由 ? ? 8m ? 16 ? 0得m ? 2
2 2

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

4m 2 , ①y1 y2 ? 2 ② 2 m ?2 m ?2 ??? ? ??? ? 由 PB ? 3PA, 得y2 ? 3 y1③ 则y1 ? y2 ?
由①②③解得 m2 ? 4, 符合m2 ? 2 不妨取 m ? 2, 则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? ?2 x ? 则所求圆的圆心为 ? ? , 0 ? , 又B ? 0,1?

2 3

? 1 ? 3

? ?

10 1? 10 ? 所以圆的半径 r ? ,所以圆的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? 3 3? 9 ?
21. (本题满分 12 分) 解: (1) g ? x ? ? ln x ? x ? 3x, 则g ' ? x ? ?
2

2

1 ? 2x ? 3 x

k ? g ' ?1? ? 0, g ?1? ? ?2
所以切线方程为 y ? ?2 (2)证法一:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1

要证

1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1

因 x2 ? x1 ? 0,即证



x2 1 ? t ? t ? 1? ,即证1- ? ln t ? t ? 1? t ? 1? x1 t
9

令 k ? t ? ? ln t ? t ? 1? t ? 1? , 即k ' ? t ? ? ? 1 ? 0 所以 k ? t ? 在 ?1 , +? ? 上单调递减. 所以 k ?t ? ? k ?1? ? 0,即ln t ? t ?1 ? 0,?ln t ? t ?1 ① 令 h ? t ? ? ln t ? ? 1? t ? 1? , 则h ' ? t ? ? ? 所以 h ? t ? 在 ?1 , +? ? 上单调递增. 所以 h ? t ? ? h ?1? ? 0, 即 ln t ? 1 ?

1 t

1 t

1 1 ?0 t t2

1 ? t ? 1? t



综合①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1? t ? 1? , 即

1 t

1 1 ?k? x2 x1

证法二:依题意得: k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1
1 ?k , x

令 h ? x ? ? ln x ? kx,则h ' ? x ? ? 由 h ' ? x ? ? 0, 得x ?

1 1 1 , 当x ? 时,h ' ? x ? ? 0, 当x ? 时,h ' ? x ? ? 0, k k k

所以 h ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增,在 ? , +? ? , 又h ? x1 ? ? h ? x2 ? ,

? ?

1? k?

?1 ?k

? ?

所以 x1 ?

1 1 1 ? x2 ,即 ? k ? k x2 x1

22. (本题满分 10 分) (1)连接 AB,OE,因为 EA,EB 为圆 O 的切线,所以 OE 垂直平分 AB 又 BC 为圆 O 的直径,所以 AB ? CD,所以OE / /CD 又 O 为 BC 的中点,故 E 为 BD 中点,所以 BE=ED (2)设 AC ? t ?t ? 0, ? 则AD ? 3t , CD ? 4t , 在 Rt? BCD,由射影定理可得:BD ? DA ? DC ? 12t
2 2

所以 BD ? 2 3t , 在Rt ? ABD中,AE ? 所以 AE:AC ? 3

1 BD ? 3t 2

10

C A O B
23. (本题满分 10 分) 解: (1)对于 C:由 ? ? 4cos? 得? 2 ? 4? cos?, ? x2 ? y 2 ? 4 x

E

D

? 3 x ? 3? t ? ? 2 ? t为参数 ? 对于 l : 由 ? ? y ? 1t ? ? 2
(2)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 将直线 l 的参数方程带入圆的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0

? ? 3 ? 1 2 3 ? 得 ? 3+ t? ? t ? 4? 3? t? ?0 ? ? ? 2 ? 4 2 ? ? ? ?
化简得 t ? 3t ? 3 ? 0
2

2

?t1 ? t2 ? ? 3, t1t2 ? ?3 ? MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ?
24. (本题满分 10 分)

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 15

? ? x ? 1, x ? 0 ? 1 ? 解: (1) f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ? ?3x ? 1, 0 ? x ? 2 ? 1 ? ? x ? 1, x ? ? ? 2
1 1 ? ? ? x?0 ? 0? x? ? x? 或? 由 f ? x ? ? ?1 得 ? 2 或? 2 ? x ? 1 ? ?1 ?3x ? 1 ? ?1 ?? x ? 1 ? ?1 ? ?
解得: 0 ? x ? 2

11

故 M= ?x | 0 ? x ? 2? (2)由(1)知 0 ? a ? 2
2 1 a3 ? a 2 ? a ? 1 ? a ? 1? ? a ? 1? 因为 a ? a ? 1 ? ? ? a a a 2

当 0 ? a ? 1 时,

? a ?1? ? a2 ? 1?
a

? 0 ,所以 a 2 ? a ? 1 ?
1 a

1 a

当 a ? 1 时,

? a ?1? ? a2 ? 1?
a

? 0 ,所以 a 2 ? a ? 1 ?

当 1 ? a ? 2 时,

? a ?1? ? a2 ? 1?
a
2

? 0 ,所以 a 2 ? a ? 1 ?
1 a

1 a

综上所述:当 0 ? a ? 1 时, a ? a ? 1 ?
2 当 a ? 1 时, a ? a ? 1 ?

1 a 1 a

当 1 ? a ? 2 时, a ? a ? 1 ?
2

12


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