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数学奥林匹克高中训练题(169)


2 0

1

3

年第

9




4


1

镙外例 链


!

缴 每 奐瀚 毪 鑫 鑫 令 酬 餘 龜

中图 分类 号
:

{

I

6 9


)

G 4

2 4

.

7 9

文 献 标 识码

:


A

文 章 编号

:

1

0 0 5

-

6 4

1

6

(

2 0

1

3

)

0 9

-

00 4

-

1

0 6


8

.








8




1

,

2



,

,

2

0

1

3

中取出
(

3 A

个不同 的

(


数 组成 & 个三 元 数组
,

^
,

6
,
;

,

^
A
,

=

)

1
,

2


,



填 空 题 每 小题
(

分 共
,
l

6 4 =


1
.


)

a
;

+

6
,

+

c
f

(

i

=

1
,

2
3
,



:

,

)



c f


个数

1

.

已 知 向量
_ _

l f

力 满足

?

a

+

M



a

-


c f

两两 不 等 且 均 小 于
,

2

0

1



k

的 最 大值为


的最 大值 为
2
.

半径 为

?


K


的 球 的 内 接 圆 柱 表 面 积最
'

二 、 解答 题
9
.

(


M

5 6




)

大值 为
3
.

(

1

6

分 已 知 抛 物线
)
,

C

,

:

y

=

x

\ M

为平


,

不定 方 程
的解 集 为
已知
=
-

3 x

2

+

1

=

/

的 正 整 数解


面内



动点 过

引 抛 物线
.

C

,

的 两 条 切线

b

,

y

)


?


切点 分 别 为 I
3

B

若厶

.

M

A

B

的 面 积为 定值


4

.



*



y



z

G
-

R
y

+


,

2

c
,

求点
1

M
2 0

的 轨迹 方 程

S

/

x

+ 2

+

J


+ 5

+

-

/


z

+

1

0

,

0

.

(



)

已 知 数列


m




(

/

1

?0
?

满足
均有

2 n


:

T

=

y
2

x

+

1

+

/

y

+

l

+

/

z

+

a
1

.
,

=

1
,

且对任 意 非 负 整 数
+ n

n

(

m



n

)


s
.

s

:

^

的 最小 值 为
)




,

? x

m

+ a

m

-

?

+ m

-

n

-

l

=

已知偶 函 数 /

“ 满 足对任 意 的


6

y

(

a

2 m

+ a

)


.

R

,

均有

/
1


+
*
=
)

(

/
v
-

(

3

-

x

[


)

.

的值
j

(

[

糾 表示 不 超 过 实数


X

)


,

'

2 1
-



f

'

n

X

,

*

G G
5

[

0
1

1
,

的 最 大整 数
]

;

y

(

x

)

=

1



1


x

(

2
,

1 1
]

.

.

(

2 0


分 已知
)
l

若 方程

m

3

/

(

;

0

恰有

.


个 实 数解 则 实

,

/

M

=

±k

±l

)
>

的取 值 范围 是
6
.

^
A
,

g

(

,

)

=

_

l

_


.

P

为 双 曲 线<
a

-

4

b

=

l
(

a



6

> 0

)

在第

c
,

求 最大 的 正 整 数 存在 实 数
/
(

使得对任意 的正 数

< a <
6

满足
(

-

1

<

c

,






象限上 的点 々 为点
,

p
,

关 于 原点
H Q

o

对称的


c

=
)

/

a

=
)

g

(

6

)


.




M
1
,

^

轴 于点
(

//

直线
M P Q

与 双 曲 线交


于点

(

异于

?

.

)

若Z

的 角 平分线斜


?



_



1
,

率为
7

则 此 双 曲 线 的 离心 率 为

.

反 复 抛掷



枚 质 地 均匀 的 色 子 每
, ,

、 (



4 0

分 如图
)

已知 以

B C

为直 径 的

/
)


次 抛掷 后 均 记 录 正 面 向 上 的 点 数 当 记 录 有

四 个不 同 的 点 数 时 即 停 止 抛掷 则 恰 好 抛 掷

.

?
B D

0

与厶 A 与
F G
,

B C

的边
F
,

分别 交 于 点
C


4


,

C E

交 于点
F G

为 线段
且交
O D

D E








/

,

六次 后 停 止 抛 掷 的 不 同 记 录 结 果 总 数 为



B




于点

.

H

,

于点

/

.

证明


:

G



/

三点 共 线

4 2


中 等 数 学

R
c o s

0

.

则 表面 积为

2

S

=

2

7

r

r

+ +
"

2

i t

r


h

2 =

t

J ?

(

1

c o s

2 0 + 2
2

.

s

i

n

2 0


)

=

S

(

1

+ V 5

)

K R

当且 仅 当

c o

s

2 6

=

^

-

,

s

i

n

2 6




M

时 上


,

,

式 等号成 立
3
.
{


.

(

3

,

5

)

,

(

4

,

7

)

|


.

二、
k

(

4 0

分 巳知
)
k

a
,



^

a

2





彡a

n

> 0

,




m

,

y

为奇数 方程 两 边取模

8

,



设3


.


将 原 方程 变 形 得
a
i

H
i

(

k

=

l

,

2



,

,

n

)


.


"

=

l

i

=


l

3

x 2

:

2

^

i

.

2

1

±i


证明
三、
(

:
=


?
?

1

i

-


l


e r
,

5 0

分 求 最小的 正 整数
) (
/ i

使得

(


n

宁宁
,

.

:

1

,

于是
3
,

a
,

:

=

3

或4
)

.


.


)

的 所 有 正 约 数 的 平 方 和为

、 (

+ 3

2 )

.

故 原 方 程 恰有 两 解
7

(

5

)

,

(

4

,

7

5 0

分 求最小 的正整 数
)

1
,

使得 存


:

4 S

.

3 6

2
-





个2
( 1 )

0

1

3

x 2

0

1

3

的数 阵 满 足 如 下 条件

T

1

=
(

S

+

T

)

(

S

-

T


)


1
j




个数 均 属 于 集 合
-

-

(

/
y

at

+ 2

+

x

+

\

+ 5


+

5
2

=

,

2

,

,

n
\

\

;

/

+

1

+

i

j

z

+

1

0

+

\

/z

+


.

1

)

(

)

记 毛 为 数 阵 中第

i

行 中 的 数 组成 的

(
i

/

1


4



9

集合
1
,

,

K
,

为第 y 列 中 的 数组 成的 集合
2



j


=

\

/ ^
f
2



/ ^
y

V

^ +

i

O


t

2

,

0

1

3

)

,



X

w

X

-



,

x

.

2

m

y
,
,

,

y

>
2

,

(

1

+ 2

+

3

= )

3 6


.

… ,

&



1

3



4

0 2 6

个不 同 的 集 合

当 且仅 当


7

5 5

1

5

时 上式

,


参 考 答 案



等号成 立
5
.
-


.






[

/

/
l

,

^

\

u

i

y

i 5

,


)


?



1


-

.


易知 函 胁 是 以 4 为周 期 的 周 期 函 数
,

)

2
[


1
(

对 饥 分 三 种情形 讨 论
(


.

a

+ b

)

a

-

b

)

1

)



m

=

0

时 原 方 程恰 有 三个 不 等 的

,

?

(

a

-

b


7

实 数 根 不 符合 题 意
,

)




J
=

(

2

)



m

>

0

时 由 函数/
,

(


幻 与函数

当“
2



A

相 等且
^
5
)

1



1



时 上 式等 号成 立



?

y

=

+
y

的 图 像 知 直线 y
,

=


+ 与函数
(

.

(

1

+

k

R
A

2

.

2

^

m



/

-

l

(

x

-

4

)

x

6

(

3

,

5

]


)

设圆柱 的高

=

2

/ ? s

i

n

0

,

底面半径

r


=


的 图 像有 两 不 同 的 交 点 与
,

2 0

1

3


年第 9 期
y
=

4 3


m



/

l

-

(

?

-

8

2 )

(

x

6

(

7

,

9

(
]

o
;

,

6
;

,

c
(

)

=

(

i

,

4 0 2

+

i
,

l

2 0 7

-

i

)


,


)

的 图 像 无 交点

其中

.

=
,

(

i

l
,

2
,



4
,

0 2

)


.

于是
(

,


H
i

这 个三 元 数 组 中 三 个 数 的 和 为
〈 饥 <

1

6 0 9

+


i

w


.

(



1
,

2



,

,

4 0 2
y

)

,

满足题 意
2
,


.

3

)


J

< 0

时 同 理 计算 得

,
,

.



!



9

.


-

4

(

*


x

{

)

,

B
*

(

x *

2

,

x

\

)


.

1

h

s

y

=

(

*
i

+ *

-

!

)

,

%


?

-

/

< m

<

而切 线
y y
=

A fA x x
-



M B
t


的 方程 分别 为
=

综上
-

,

m

的取 值 范 围 是

-

2 *
,

(

x x

)

2 x
,

x x

-

x x

{


,

=

2 x

-

羿

,

(



u
)
(

手崎



2

{

2

)

+ x

l

=

2 x

-

2

\


.

联立
点M

的 方程 解得


6




?

2

广
(

广
+ 太
2

a
,

; ,

a

;


.

2 )

由 双 曲 线 的 斜率 性 质有

^ MP ^ M Q

2

?

则 财 到 直线

1

的 距离 为

)
^





2 *
1

^

^

9 1


2



h

=

~

由 题 设得

i

+

1
~

(

a

c
j

+ ?

2


2

2

)

k m q

f

— . _

A

(
-

x
2

)

t

*

2

p Q



k

jc

P

M k PQ

ic



~


i




.


2

于是
7
.

,

a

^

/


易 得离 心 率为 f

0

.


2

+

(

^
=

+

a

c

2

)

故5
,

_

8

9

0 0 0

+
-

/ 1

1



2
)


I


.

前五 次抛掷 恰 出 现 三 个 不 同 的 点 数
容 斥 原理 不 同 记 录 结 果总 数 为

,



j

(

*
i

h

2




2
1

=

12

C

5

5
-

:

(

3

2

C

;

+

C

;

)

=

3

0 0 0


.

0

,
2

\

/

+

(

^
1

+



)



*
1

I


1

+

(

^

+

^
=

)

第六 次抛掷 出 现 的 点 数 为余 下 的 三 个 点
数之


-

?

3
1

3

2

2

c


.

,

故 抛 掷六 次 后 恰停 止 抛 掷 的 不 同 记

3

录 结 果 总 数为
8
.

于是

-

x

\

=

,

2

2 c
,




0 0 0

x 3

=

9

0 0 0


.

4 0 2


.



方面
(


,

因 此 所求 的 轨迹 方程 为 ?
,

2
-

y

-

C

=

0


.

2
t

^

+

^

+

^

)

^

2
i =

l

(

2

0

1

3

-


0

1 0

.


a r
=

m

=

/i
,


2 m

a
=



=

1


.

=

l


=

2

0

(

左 +

令 令

0
,

得a
=
2

4 a

m

+ 2

w

-

x

3


.

1

)

,

1

3 左

_

2

k

特别 地
n
=
l

a

3


.

,



7
=
i



_

!

(

0

;

+

b
;

+

c

,

)

^

1

+ 2

+




+ 3 k


l

a
(

m

+

1

+ a

m

+ m
i

"

2

=

c 3 f
^

c 3 f

+
^

l


)



Y
a
m

(

(

h

n

+

<

h

=
)

2a

m

+ m


=

2

冷 a

~

m

+

a

=
m

a

~

l

m

-

+ 2
l


.

于是

,

?
+

-

+

a
l

1

m

=

2 m

(

m

^

l

)


,

m

-

w
(

-


1

解得



A

40
,

2

a

.

=
m

?
i

S
^
s
t

a

-

* +

a

i

*

)

=

1

+

A

S
s

]

2

A


:


方 面 构造

=

m

(

/

n

-

1

)

+

1

(

m

^

l

)


.

4


4

中 等 数 学



[


1
,

=
]

2

0

1

3

因 此 式 ④成 立
,

.


.

注意到
,


,

1 1

.

对 于正 整 数 、 显 然
+
?
)

g

(



=


▲在
(

g

(

x

-

-

)

=

X

^
-

r

I

(

x

G

-

(

l
,

+

o o

)

)

的 值域 为


r

区间

_

(

上 为减 函 数

,


?

o

,

+

?

)


,

于是 对任意 的 纖 c
,

l

+

/

(

c

=
)

g

(

b

)

> g

f
(

i

x

)

=

M
0 0
)

"

X

l )

“ e

(

0

,

+

o o

)

)




c

)


.

当欠
f
(

> 0 > g
(

时 不 等式

,

值 域也 为
f
i

(

0

,

+ +
l


,

x

)

(

x


)

1

n

x

= )

(



X

^

k

<

+

l

l
)
[

+

X

l

n

(

X

+

l

)

}



(

” “ e

-

(

1

,

o

)

)


X

的值


域为


R

令 从^

=

(

£± i i

a ± nk
i

±m

% > 0

结合 函 数 的 图 像 知 对任 意 的 正 数
,

c
,





)


x


在 实数
+
1
)

.

a



6
=

满足
/
(

-

1

<
b

a

<

.

b

<

c

,


K

则r ⑷ 广

1



X n
(

/

(

c

)

a

=
)

g

(

)

综上 正整 数
,



的 最 大值 为

3


.



(



-

)

~

x

-

\

l

a

;

+

1

)

(

x

> 0

)


.

则<

(



=

+
-


>

1





( )


?

欠 +




(



⑷在a
2
=

> 0
l

时为 增 函 数
3



.

联 结 则



沪(
3
)

=
)

l

n

< 0


,

B



G

/

三 点共 线

e


,
,

.




2

-

I

n

4

> 0


,

因此
<

,

存 ▲唯
(



的 正 实数 % 有

,
_ _

因为
^
=

0
~


^

B C
C D

*

的中 点 所以

p

x

= o )
'

x

1

l

o

n

(

*

o

+

1

)

°
3

-



)

.

A

BD

/

A

I

于是



A

(

太0

)

=

0

,



*

0

G

而B Z

C

为 直径 故

,

(

2

,

故当
;

C E A
A
/

=

x *

(0

,

*

0

)


+

,

<
?

Q A
'

,

h
a

(

x

)



0

,
.

Z

BD A

=

9 0

°

.

减 函数 当
A
(

(x

.

0

,

)



,

(

:

)

>

结合
圆 于是

,

丄 Z
Z
^
_

f G

,


m
0

,



D



丑 五点 共


均 为增 函 数
因此 当
,

x >
=

0
x
0

时 结 合式 ②有
,

h

(

x

)

的最


Z Z

B A
C A

I ^
=

-

E F G D F G
A
i g f
/
_

^

小值为
^

I


.

h

(

x

0

)

+

1

(3

,

4

)


.

结 合式 ①有 正 整 数

k
3
.

B E

?

A

/ s

i

n n

S
s
i



n n n
n
&
=
:

^
I
/

C D

l

C D
n n n
n

?

A l

s

i

乙 乙

BA
C A


I


I

下 面 证明 当
/
(

3

时 对
,

-

1

<

^

< 0

,



=

s

i

乙 Z
_

BA
C A

*

s

i

*

s

i

乙 ^ / Z
1
,
_

B D E

C E D


*

)

< g
1

(

x

)

.





,

s

i


/
(

-

< *

< 0
x

s

i

A Z


.

E F G

*

s

i

F D E
=


E G

D F G

(

^

i

F E D

GD


.

*

)

< g
-

(


)

b


.

< = >

1

2 * +
=

(

a

:

+
2 x

l

)

l

n
x

(

a

:

+
l

l

)

> 0
n x

二 、令

.

h

=



=

2

… ,

7 1
,

)


.

令 ⑴
r

-

1

+

(

+

)

l

(

+

l

)

,




由 题 意知 对

k

&

=

1

,

2



,

e r
, ,








,

1

<
'

*

< 0


.



r


(

=

l

n

(

*

+

l

-

)

1

< 0

n

.
-

t

^
k

i

t
t

> o




i


l

故r 。
(

-

i

< ? >
r

< o
0
)

)

为减 函数

.

k

.

r

n [
l

i

=

>

于是

,

r

(

?

)

(

> 0

2

J T

2 0

1

3

年第

9




4 5


=

>

2
i

i
\

-

,

S
i

?
i l

=

2

1

O
i

(

?
i

-


0
a
"

矛盾


.

=



=



否则
*

,

P



9

均 为 奇数 式① 两 边 取模
,
,

8

,




=

a



n
i

1
s

)

+

2 S
s
:

-

(

I

^
i

1

)

(

t

a “

4
i

=

6 p

(

m od

8

)



p

=

2
,

矛盾
2 87


.


)

i

A

1

i

=

综上
"

,

n

的 最小值 为
1


.

=

o

B

( 、

S
t

"

?
f

+

s

l

)

S
k
=
l

( \

S
i

h
l

4
)

k

-

l f



i


)







的 最小 值为
1
|

3


.

=




务0

由 题设 知

.

,

2
n



,

,

n 2



的 子 集数


" 1

< d
x

<

d

2

<

?

?

?

<

d
k

<

n




n

2

> 4
n
=

0 26

=

?

>

1


.

体 正 约数

d
>


.


=
"

1

2

时 记子 集 族

,
… ,



*

*

*


=

I

X ^
Y
x 1



,

X
-

j

0

1

3

?

^

^
1





?

2

?

?

^

2 0

1

3

1


,

T t


?

l

i


= >

2

2

2

l

+ +

d

j

+ d +

\

+



+
=

d

k

+

~


2 (

?

^
W



-

/ i

n

+ 3

I

>

^

2

>

>

^
i

2

0

1

3

I


,

)

=
\


A





+ d

2
k

,

Y

-

2

,

,

Y


m
)


.

\

6 n

+ 8


.



彡6
\


+

显然 对于
,

1

4

矣2 0

1

3


,


,

X
i

n Y
i



'

0
"

.



4 0 9 6
=

+ d




+
2 )

而S 有2

+ 4
0 9 6
-

=


个 子 集 故 恰有
,

^

2 /i
^

d
^

+ 2

^ 毛
2
_

-

1

+ 2d d

3

d “2 +
-

(



2

-



4

0 2 6

7 0


.

(

d

-

2

d

k

x

)

+
2

(

3

d

k

_

2

)

2


个子 集 不 属 于 子 集 族 ^
+
(

=

6

/

1

+

?
+ 9

-

d

j
+
1

+

?
> 6 n

2
-

d
j

c f

-

i

)

^

-

3



-

2

)

首 先证 明 对于
:
\

1



i



j

<

!

0

1

3
,

均有



务6

n

+ 4

+

8


,

X
i

U Y
J
,

\

^

6


.

矛盾


.

事实 上 假 设 存 在


?

1



i



J



2

0

1

3
,

于是 R

5


.

I



k

=

0

显 然 不 符 合题 设 故
,

&

U
I

1
;

■ 丨


(

5
,



y
,

1

《k (

5


.

S

\

^
,

u
(

)

l

>

1

2

-

5

=

7


.

设n

=
i



s

i

此时
(

s

u i u ^ w
y

n
=



.

=

0


,

s

\

(

H
?
i
l

^

u y

)

)

n y
;

0
7

(

a
i

+

1

=
)

k

+ 2

6

[

3

,

7

]


.

结合 式 ① 至 少 有
,

2

=

1

2 8


个子集 均 不 均有

&
3
,

于是

1
,

幻 矣2


.

在 子 集族 j 中 矛 盾
,

.


.

分 三 种 情 形讨 论
a ( 1
)

其次 证 明 要 么 对
: ,

1


1

i



2

0

1

3

,

n
2



=

p
4 /
>

(

p +

赫数


a

6
=

Z
6

+

,

且2
+
8

.

矣《 矣6

)


.
\

X
t

I

>

4

,

要么对
,

1

《j <

2

0

3
,

均有
1

I

Y
j

I

4


.

则p

a

+

p

事 实 上 若存 在 集 合
于对 于
1



,

使得


^
J
}




< 彡




于是

2
,

;

>



8

=

>

p
8

=

2


.



i



2

0

1

3

,

均有 毛
足n

U

6
,




上 式 两 边取 模
(

得4


=

0

(

m o d

8

)

,

矛盾


.

足n

^ #
1

0
1

,



1

2

)

a r
2

=

/

^
2

(

p

< g
6 p q

为素 数

.

)


?

^

=

足u

(

l

+

1

&

l \

Y
j

\

^

4


.

贝 P
!

I

+

?

=

+ 8

于 是 结 论成 立
,


.

于是

,

g

=

3

p

+

2

A

/2

2

/

?

+ 2

设A

?

=

m

i

n
|

\

X
t

\

(

衾4

(

1



i

矣2

0

1

3

)

.




经验 证 使 得
,

g

为 素 数 的 最小 的 素 数

=

妨设 弋




=

*


.

p

=

7
,

此时
3
)

,

g

=

4
2

1

,

n

p

q

=

2 8 7


.

于是
)

.

,

S

\

&

中 元素 个 数小 于
; ,

k

的 子集 均


(

n
2

=

p q
2

(

p
4

^

q

为 不 等 的素 数


不 在子 集 族 鬼 中 再 结 合 式 ① 知 这 些 子 集

则P

+ 9
a r

+

?

+ P

V

2

=

6

p q
4
,

+

8

.



=

也 不 在 子集 族 『中

=


.

若2

I

,

式 ①两 边 取 模



p

q

=

2

4


,



,

S

\

&

中 元 素 个 数小 于

k




4 6



中 等

数 学



子集 数为
C
g

接下 来 对
C
j

m

用数学 归 纳 法证明

?

:




+

+

C

,

+

C

=
j

9 3

> 7 0


,

足 题设 的 两 个条 件
显然
k
,

矛盾


;

0 D

=
,



A

=

5



,

s

u

r
,

中 元 素个 数 小 于




^

D

满 足条 件
,


.


子集 数为
C
?

假设
C
|

m

满 足 题设 条 件 其 行 与 列 中 的


+

+

C

?

+

C

^

+ C

=
?

9 9

> 7 0


,


数 组 成 的 集 合 分别 为
X
,

矛盾


.

,

U

.

"

3

,

;
,

s

r

2 ?

,

H

(

" ,

?

,

&


.

于是

,

即 子 集 族 省 中 不 包 含 元素

.

考虑 圮 对于 D
m

+


.
1

个数 小 于 6 的 子集 但 恰有
集族 i 中 故 至 少有

,

7 0

个子 集 不 在 子


6



,


其行 与列 中 的 数组 成 的 集 合
u
?
(

分 别为

-

C

? 2

+ C

l

2

+

-

+ C

f 2

70

=

1

5

1


1



H
|

… , ,

m
|

+ 3 + +
3

|


,

个 子 集在子 集 族
,

酽中


.

U


m

+ 3
"
.

?

?

,

,

X

2 ?

U U
j

|

m

(


;

结合式① 这 些 子集 中 的 任 意 集 对
(

个 的补




W
y
2

3



K
… ’ ’

m m
|

3
l


,

S

)

的 元索 个 数 均 大 于

6
,

且均不属 于

2
=

U

m
|

+ +
3

3
1

y
Z
)

2 ?

U

+ 3
1


.

子集族
0

于 是 至 少有
,
.

1

5

1

6

x

3

0 3 2

而数

m

不在

?

中 出 现 因 此 它们

, ,

子集 不 在子集 族 及 中 但

2
1

是 两两不 同 的 所以
i?
,


.

3

> 4

0 9 6

-

3 0 3 2

m


,

+

1

满 足 题设条 件
0 4
2
,


.

矛盾


.




为2
1


8

x 2
_

0 4 8


数表 且 其 中 的 数
,

因此

n

>

1

3


.

均 属 于 集合

:



1
, ,

3



.

下面 定 义数表 序 列 如 下

对于
上角2
0
1

2

0
x
2

1

3

=

1

0 2 4

+

9 89

,



的左


3

0

1

3

的数 阵 满 足 题设 的 两 个


条件 其中 龙 为 2
,


.

m

m

x 2


数表 其每七牧均为 m
,

+ 3
"
?


.

综上
(

n
,

的最 小 值 为
,

1

3


.

易知 对 每
,



数表
1
1



m

2

x 2 + 2
|




.

张 新 泽 湖 北 省 武 汉市 武钢

)

三 中


,

表 且 其 中 的 数均 属 于集合

4 3 0 0 80










数学 竞赛 的 必胜宝典

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,

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每年

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期 每月
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出版

,



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年每 期 定 价 6 元 邮 发
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代号

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编 辑部 地址
电话
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=

(

3 0

0 0 7 4

)

天 津 市 河西 区 吴 家 窑 大 街 5 7 号增
1

1




0 2 2

-

2 3 54 2 2 3 3

5 8 2 2 6 3

1

1

6 3



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