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2.3


2.3 双曲线 一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F 1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a (其中 2a ? F 1F 2 )的点的 轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 双曲线的定义可用集合语言表示为: P ? M MF1 ? MF2 ? 2a, 2a ? F1F2

?

?.

注意:当 2a ? F 1 、 F2 为端点的两条射线;当 2a ? F 1F2 时,表示分别以 F 1F 2 时,轨 迹不存在. 二、双曲线的标准方程与几何性质: 当双曲线焦点在 x 轴上时 标准 方程 当双曲线焦点在 y 轴上时

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

图形

范 围 对称轴 对称 中心 实轴 虚轴 顶点 坐标 焦点 坐标 渐近线 离心率

x ? ? a ,或 x ? a

y ? ? a ,或 y ? a

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 实轴长 2 a ,虚轴长 2b

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 实轴长 2 a ,虚轴长 2b

(? a, 0) (?c, 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
x y b ? ? 0 ,即 y ? ? x a b a c e ? ( 其中 e ? 1) a

(0, ? a) (0, ?c) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
y x a ? ? 0 ,即 y ? ? x a b b c e ? ( 其中 e ? 1) a

注意: 1. a 、b 、c 、e 的几何意义:a 叫做半实轴长;b 叫做半虚轴长;c 叫做半焦距;a 、b 、

c 之间满足 c2 ? a 2 ? b2 . e 叫做椭圆的离心率,e ?
大.
1

c 且 e ? 1 . e 越大,双曲线的张口就越 a

2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其离心率 e ?

2.

3. 双曲线的第二定义:当平面内点 M 到一个定点 F (c,0)(c ? 0) 的距离和它到一条定直线

l :x ?

c a2 的距离的比是常数 e ? (e ? 1) 时,这个点的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦 a c

点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率. 4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地, 直线与双曲线有一个公共点, 除相切外还有当直 线与渐进线平行时,也是一个公共点. 5.共渐近线的双曲线可写成

x2 y 2 ? ? ? (? ? 0) ; a 2 b2

共焦点的双曲线可写成 当堂训练 一、选择题

x2 y2 ? ? 1(?b2 ? ? ? a 2 ) . a 2 ? ? b2 ? ?

1. 如果

x2 y2 那么它的半焦距 C 的取值范围是( ? ? ?1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, | k | ?2 1 ? k



A. (1,∞)

B. (0,2)
2 2

C. (2,+∞)

D. (1,2) ( )

2. 当 mn<0 时,方程 mx -my =n 所表示的曲线是 A.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 x 轴上的椭圆. B.焦点在 y 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的椭圆

3. 平面内有两个定点 F1、F2 及动点 P,设命题甲是“|PF1|-|PF2|是非零常数”,命 题乙是“动点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线”,那么,甲是乙的 A.充分而不必要条件. C.充要条件
? 4

(

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4. 设 ? ? (0, ) ,则二次曲线 x 2 cot ? ? y 2 tan ? ? 1 的离心率取值范围( A. (0, ) 5. 已知双曲线
1 2

B. ( ,

1 2

2 ) 2

C. (

2 , 2) 2

D . ( 2 ,??)

x2 y 2 ? ? 1 ,若将该双曲线绕着它的右焦点逆时针旋转 90°后,所得双曲 5 4

线的一条准线方程是 ( A. y ?
4 3

)
y?? 4 3
2

B.

C. y ?

16 3

D. y ? ?

16 3

二、填写题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 6. 若双曲线的一个顶点坐标为(3,0) ,焦距为 10,则它的标准方程为 .

7. 设 F1、F2 是双曲线的两个焦点,且|F1F2|=18,过 F1 的直线交双曲线的同一支于 M、N 两点, 若|MN|=10, △MF2N 的周长为 48, 则满足条件的双曲线的标准方程是 8. 已知椭圆 C1 的方程为 .

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 4

的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点.则双曲线 C2 的方程为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 设 P1(x1,y1), P1(x2,y2),?, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线 C 上的点, 且 a1= OP 1 ,
2

a2= OP2 , ?, an= OPn 构成了一个公差为 d(d≠0) 的等差数列, 其中 O 是坐标原点. 记
2 2

Sn=a1+a2+?+an.,若 C 的方程为 (只需写出一个)

x2 2 -y =1,n=3. 点 P1(3,0) 及 S3=162, 求点 P3 的坐标. 9

10. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听 到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离 都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在 同一平面上)

11. 已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0)点 P、Q 在双曲线的右支上,支 M(m,0) 到直线 AP 的距离为 1. (Ⅰ)若直线 AP 的斜率为 k,且 k ? [ (Ⅱ)当 m ?

3 , 3 ] ,求实数 m 的取值范围; 3

2 ? 1 时,Δ APQ 的内心恰好是点 M,求此双曲线的方程.
x2 a2 y2 b2

12. 如图,P 是以 F1、F2 为焦点的双曲线 C:
PF2 ? 0, 且 PF1 ? 2 PF2 . 上的一点,已知 PF1 ·

?

?1

(1)求双曲线的离心率 e; (2)过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P1,P2 两点,若

???? ???? ? 27 ??? ? ???? 2PP1 ? PP2 =0 求双曲线 C 的方程. OP1 ? OP2 = ? ,
4
3

13*.已知倾斜角为 45 ? 的直线 l 过点 A(1 , ? 2) 和点 B , B 在第一象限, | AB |? 3 2 . (1) 求点 B 的坐标;

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 相交于 E 、 F 两点,且线段 EF 的中点坐标 2 a 为 ( 4 , 1) ,求 a 的值; (3) 对于平面上任一点 P , 当点 Q 在线段 AB 上运动时, 称 | PQ | 的最小值为 P 与线段 AB 的距离. 已知点 P 在 x 轴上运动, 写出点 P (t , 0) 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数关 系式.
(2) 若直线 l 与双曲线 C :

x2 y 2 2 2 ? ? 1 相交于 A、 14*.设直线 ? 与椭圆 B 两点,? 又与双曲线 x –y =1 相交于 C、 D 两点, 25 16
C、D 三等分线段 AB. 求直线 ? 的方程.

同步提升 1. 如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, OD ? AB , P 是半圆弧上 一点,?POB ? 30? , 曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹, 且曲线 C 过点 P . (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、

F.
若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围.

2.双曲线的中心为原点 O , 焦点在 x 轴上, 两条渐近线分别为 l1,l2 , 经过右焦点 F 垂直于 l1

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.
4

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

3.已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于

A,B 两点. O 为坐标原点) (I)若动点 M 满足 F ,求点 M 的轨迹方程; 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 (其中
(II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由.

????? ???? ???? ????
??? ?

??? ?

4.已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近线的距离 2 a b 2



2 5 。 5

(1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两 条 渐 近 线 上 , 且 分 别 位 于 第 一 、 二 象 限 , 若

??? ? ??? ? 1 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面积的取值范围 3

5.求一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 ,一个焦点是 ?4,0? 的双曲线标准方程,并求此双曲线的 离心率. (12 分)

6 .双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 的两个焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线上任意一点,求证:
PF PO、 PF2 1、

成等比数列( O 为坐标原点) . (12 分)

5

7.已知动点 P 与双曲线 x -y =1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2 的最 1 小值为- .(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设 M(0,-1),若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 3 点的轨迹交于不同的两点 A、B,若要使|MA|=|MB|,试求 k 的取值范围. (12 分)

2

2

8.已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1 总有公共点,试求实数 k 的取 值范围.(12 分)

9.设双曲线 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,A、B 为其左、右两个顶点,P 是双曲线 a2 b2

C1 上的任意一点,引 QB⊥PB,QA⊥PA,AQ 与 BQ 交于点 Q.(1)求 Q 点的轨迹方程;(2)设 (1)中所求轨迹为 C2,C1、C2 的离心率分别为 e1、e2,当 e1 ?

2 时,e2 的取值范围(14 分)

10.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听 到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离 都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在 同一平面上).(14 分)

6

2.3 双曲线参考答案 当堂训练 一、选择题: 1. A 二、填空题: 6. 【 答案】 7. 【 答案】
x2 y2 ? ?1 9 16
y2 x2 x2 y2 ? ?1或 ? ?1 49 32 49 32

2.

B

3.

B

4.

D

5.

B

x2 ? y 2 ? 1. 8. 【 答案】 3
三、解答题: 9. 【 解析】 a1= OP 1 =9,由 S3=
2

3 3 (a1+a3)=162,得 a3= OP 3 =99. 2

? x2 2 ? ? y ?1 由? 9 ? x 2 ? y 2 ? 99 3 ? 3

2 ? ? x3 ? 90 得: ? 2 ∴点 P3 的坐标可以为(3 10 ,3). ? ? y3 ? 9

10. 【 解析】 如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、 y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、 B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680, c=1020,

y P A C o B x

x2 y2 ? ? 1 上, a2 b2

x2 y2 ? b ? c ? a ? 1020 ? 680 ? 5 ? 340 ,故双曲线方程为 ? ?1 6802 5 ? 3402
2 2 2 2 2 2

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,

? x ? ?680 5, y ? 680 5,即P(?680 5,680 5),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 45 距中心 680 10m 处.
0

11. 【 解析】 (Ⅰ)由条件得直线 AP 的方程 y ? k ( x ? 1), 即 kx ? y ? k ? 0.

因为点 M 到直线 AP 的距离为 1, ∵

mk? k k 2 ?1

? 1, 即 m ? 1 ?

k 2 ?1 1 ? 1? 2 . k k

7

∵ k ?[

3 2 3 2 3 2 3 +1≤m≤3 或-1≤m≤1- . , 3 ], ∴ ? m ? 1 ? 2, 解得 3 3 3 3 2 3 2 3 ] ? [1 ? ,3]. 3 3
2

∴m 的取值范围是 [?1,1 ?

(Ⅱ)可设双曲线方程为 x ?

y2 ? 1(b ? 0), 由 M ( 2 ? 1,0), A(1,0), b2

得 AM ?

2.

又因为 M 是 Δ APQ 的内心,M 到 AP 的距离为 1,所以∠MAP=45?,直线 AM 是∠PAQ 的角平分线, 且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1.因此, k AP ? 1, k AQ ? ?1 (不妨设 P 在第一象限) 直线 PQ 方程为 x ? 2 ?

2 .直线 AP 的方程 y=x-1,
2

∴解得 P 的坐标是(2+ 2 ,1+ 2 ) ,将 P 点坐标代入 x ?

y2 ? 1 得, b 2 ? b2

2 ?1 2 ?3

所以所求双曲线方程为 x 2 ?

( 2 ? 3)

2 ?1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 12. 【 解析】 (1)由 PF PF2 ? 0 得 PF 1? 1 ? PF 2 ,即△F1PF2 为直角三角形.
设 |PF2 |? r ,则 | PF 1| =2r,于是有(2r) +r =4c 和 2r-r=2a ? 5×(2a)2=4c ? e= 5 .
2 2 2 2

y 2 ? 1, 即 x 2 ? (2 2 ? 1) y 2 ? 1.

??? ?

??? ?

(2)

b ? e 2 ? 1 ? 2, 可设P1 ( x1 , 2 x1 ), p2 ( x2 , ?2 x2 ), P( x, y ), a
27 9 ? x1x 2 ? . ① 4 4

则 OP OP2 =x1 x 2+y1y2= x 1 x 2-4 x 1 x 2=- 1·

2x ? x 2 ? x? 1 ? ?x 2 - x ? -2(x 1 - x) ? 3 ?? 由 P P2 +2 P P 1 =0 得 ? 2x y ? -2(2x y) 2 (2x 2 1 1 - x2) ? ?y ? ? 3 ?

∵点 P(x,y)在双曲线 ∴上式为
(2x 1 ? x 2 ) 2 9a
2

x2 a2

?

y2 b2 9a
2

? 1上, ?

4(2x1 - x 2 ) 2 9a 2

?

4(2x1 - x 2 ) 2 9b 2

=1,又 b =4a .

2

2

2

?

(2x1 - x 2 ) 2

? 1 .简化得:x1x2=

9 2 a 8



由①、②得 a =2,从而得 b =8.故所求双曲线方程为

2

x2 y2 ? ? 1. 2 8
?y ? x ? 3 及 x ?0 , 2 2 ? ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 18

13. 【 解析】 (1) 直线 AB 方程为 y ? x ? 3 ,设点 B( x , y ) ,由 ?
y ? 0 得 x ? 4 , y ? 1 ,点 B 的坐标为 ( 4 , 1)


2

2 1 6a ( 2)由 ? ? x 2 ? y 2 ? 1 得 ( 2 ? 1) x ? 6x ? 10 ? 0 ,设 E ( x1 , y1 ) , F ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 2 ? 4 ,得 a 1?a ? 2

? y ? x ?3 ?a

a?2。
8

(3)(解法一)设线段 AB 上任意一点 Q 坐标为 Q ( x , x ? 3) , | PQ |? (t ? x) 2 ? ( x ? 3) 2 ,
2 2 t ?3 2 记 f ( x) ? (t ? x) ? ( x ? 3) ? 2( x ? 2 ) ? (t ?3) 2 (1 ? t ? 4) , 2

3 ? 4 时,即 3 ) ? |t ?3| , 当 1 ? t? ?1 ? t ? 5 时, | PQ | min ? f ( t ? 2 2 2 3 ? 4 ,即 当 t? t ? 5 时, 2 3 ? 1 ,即 当 t? t ? ?1 时, 2

f ( x ) 在 [1 , 4] 上单调递减,∴ | PQ |min ? f (4) ? (t ? 4)2 ? 1 ; f ( x ) 在 [1 , 4] 上单调递增, | PQ | min ? f (1) ? (t ? 1) 2 ? 4 。
y
A'

? 2 t ? ?1 ; ? (t ? 1) ? 4 ? |t ?3| h(t ) ? ? 2 ?1 ? t ? 5 ; 综上所述, ? (t ? 4) 2 ? 1 t ?5 . ? ?

B
B' 5
x

?1

O

1

3

?2

A

(解法二) 过 A 、 B 两点分别作线段 AB 的垂线,交 x 轴于 A' (?1 , 0) 、 B' (5 , 0) , 当点 P 在线段 A B ' 上,即 ?1 ? t ? 5 时,由点到直线的距离公式得: | PQ |min ? |t ?3| ;
2

当点 P 的点在点 A 的左边, t ? ?1 时, | PQ |min ?| PA |? (t ? 1) ? 4 ; 当点 P 的点在点 A ' 的右边, t ? 5 时, | PQ |min ?| PB |? (t ? 4)2 ? 1 。

'

2

? 2 t ? ?1 ; ? (t ? 1) ? 4 ? |t ?3| ?1 ? t ? 5 ; 综上所述, h(t ) ? ? 2 ? (t ? 4) 2 ? 1 t ?5 . ? ? 14. 【 解析】 首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况,设直线 l 的方程为 y=kx+b,如图所示, l 与椭圆、双曲线的交点为:

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 )

依题意有 AC ? DB, AB ? 3CD ,由

y D A C o B l x

? y ? kx ? b ? 2 得(16 ? 25k 2 ) x 2 ? 2bkx ? (25b 2 ? 400) ? 0...(1) ?x y2 ?1 ? ? ? 25 16 50bk ? x1 ? x 2 ? ? 16 ? 25k 2 ? y ? kx ? b 由? 2 得(1 ? k 2 ) x 2 ? 2bkx ? (b 2 ? 1) ? 0...(2) 2 x ? y ? 1 ?

若 k ? ?1 ,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k ? ?1 ? x3 ? x 4 ? 由 AC ? DB ? x3 ? x1 ? x2 ? x4 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4

2bk 1? k 2

9

50bk 2bk ? ? bk ? 0 ? k ? 0或b ? 0 2 16 ? 25k 1? k 2 5 (i)当k ? 0时,由(1)得x1, 2 ? ? 16 ? b 2 ,由(2)得x3, 4 ? ? b 2 ? 1 4 10 16 由AB ? 3CD ? x2 ? x1 ? 3( x4 ? x3 ),即 16 ? b 2 ? 6 b 2 ? 1 ? b ? ? 4 13 ??
故 l 的方程为 y ? ?

16 13

(ii)当 b=0 时,由(1)得

x1, 2 ? ?

20 16 ? 25k 2

,由(2)得x3, 4 ? ? 40 ? 6 1? k
2

1 1? k 2 ?k ?? 16 25

由由AB ? 3CD ? x2 ? x1 ? 3( x4 ? x3 )即 故 l 的方程为 y ? ?

16 ? 25k

2

16 x. 25

再讨论 l 与 x 轴垂直的情况. 设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得,

y1,2 ? ? 即

??? ? ??? ? 4 25 ? c 2 , y3,4 ? ? c 2 ? 1, 由 | AB |? 3 | CD |?| y2 ? y1 |? 3 | y4 ? y3 | 5 故l的方程为x ? ? 25 241 241

8 25 241 25 ? c 2 ? 6 c 2 ? 1 ? c ? ? . 5 241

综上所述,故 l 的方程为 y ? ?

16 16 25 241 x和 x ? ? 、y?? . 13 25 241
同步提升答案

1. 如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中,OD ? AB , P 是半圆弧上一点, ?POB ? 30? ,曲线

C 是满足 || MA | ? | MB ||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线

C 过点 P .
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. 解: (Ⅰ)以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-2, 0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3,1 ) ,依题意得
2 2 2 2 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= ( 2 ? 3 ) ? 1 ? (2 ? 3) ? 1 =2 2 <|AB|=4.∴

10

曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线.设实半轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2 ,∴a =2,b =c -a =2.∴曲线 C 的方程为
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1. 2 2

解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4.∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线.

x2 y2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1( a >0,b>0). a b
2 ? ( 3) 1 x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 ? ? 1. 解得 a =b =2,∴曲线 C 的方程为 b ? a 2 2 ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

则由

(Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理得(1-K )

2

x2-4kx-6=0.∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,

2 ? ?1-k ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ( ? 4 k ) ? 4 ? 6 ( 1 ? k ) ? 0 ?

? ? k ? ?1 ? ? ?? 3 ? k ? 3

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x,y) ,F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=
2 2 |EF|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? x 2 ) ?

4k 6 , x1 x 2 ? ? ,于是 2 1? k 1? k

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

= 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k ?
2 2

2 2 3?k2 1? k 2

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k 2



11

∴S△DEF=

1 1 2 2 2 3?k2 2 2 3? k2 d ? EF ? ? ? 1? k 2 ? ? . 2 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ? 2 2 ,则有

2 2 3? k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2. 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(1-,1) ∪(1,
2

2 ).解法 2:依题
2

意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理,得(1-K )x -4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴
2 ? ?1-k ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ? ( ?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0

? ? k ? ?1 ? ? ?? 3 ? k ? 3

.∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ).设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

? 1? k 2

?

2 2 3?k2 1? k 2

.



当 E、F 在同一去上时(如图 1 所示) ,

S△OEF= S ?ODF ? S ?ODE ?

1 1 OD ? x1 ? x 2 ? OD ? x1 ? x 2 ; 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S ?OEF ? S ?ODF ? S△ODE=
综上得 S△OEF=

1 1 OD ? ( x1 ? x 2 ) ? OD ? x1 ? x 2 . 2 2

1 OD ? x1 ? x 2 , 于是 2

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

2 2 3?k2 1? k 2

.

若△OEF 面积不小于 2 2,即S ?OEF ? 2 2 , 则有

2 2 3?k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2.



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1,1)∪(1, 2 ).

A ? m d ? 2. (Ⅰ) 设O
得: d ?

,AB ? m ,OB ? m ? d 由勾股定理可得:(m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2

2

1 AB 4 b m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 OA 3 a
12

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

x2 y 2 a ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b
15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ? ?b? ? ?

?? 32 5b ?2 28b 2 ? ? ,解得 b ? 3 ? 4 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? 15 ? 5 ? ?? ? ? ? ?
x2 y 2 ? ? 1。 故所求的双曲线方程为 36 9
3. 解:由条件知 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (I)解法一: (I)设 M ( x,y) ,则 则 F ,y) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) , 1M ? ( x ? 2

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? ,由 F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), FO ? (2 , 0) F1M ? F1 A ? F1B ? FO 1 1 得
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, ? x?4 y? 即? 于是 AB 的中点坐标为 ? , ?. ? 2 2? y ? y ? y y ? y ? y ? ? 1 2 ? 1 2
y y1 ? y2 y y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? x ?8 x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2
2 2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

13

解法二:同解法一的(I)有 ?

? x1 ? x2 ? x ? 4, ? y1 ? y2 ? y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x2 ? y 2 ? 2 有 (1 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 . 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 . k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k 2 4k 4k y? 2 . 由①②③得 x ? 4 ? 2 . y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 k ?1 k ?1 ? k ?1 ? k ?1
当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?4 ? k ,将其代入⑤有 y

x?4 4 y ( x ? 4) y y? ? .整理得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 2 ( x ? 4) ( x ? 4) 2 ? y 2 ?1 y2 4?
当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, 0) ,满足上述方程. 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

CB 为常数. (II)假设在 x 轴上存在定点 C ( m, 0) ,使 CA?
当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

??? ? ??? ?

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 x x ? , , 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

于是 CA? CB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
2

??? ? ??? ?

? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2
? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? 4k 2 ? m 2 2 2 k ?1 k ?1

14

?

2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 k ?1 k ?1

因为 CA? CB 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA? CB = ?1 . 当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, ? 2) , 此时 CA? CB 为常数. 0) ,使 CA? CB ? (1 ,2)? (1 , ? 2) ? ?1.故在 x 轴上存在定点 C (1, 4.(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2 5 , 5

所以

ab a 2 ? b2

?

ab 2 5 2 5 所以 ? c 5 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ? ? 5 y2 ?c 得 ?b ? 1 所以曲线 C 的方程是 ? x 2 ? 1 由? ? 2 4 ?a ? c ? 5 2 2 2 ? ?c ? a ? b ? ? ?
(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 k ? 2, m ? 0 由?

? y ? kx ? m m 2m 得A点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? 2x

由?

? y ? kx ? m ?m 2m 得B点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? ?2 x

uu u r uur m 1 ? 2m 1 ? AP ? ? PB, 得P点的坐标为( ( ? ), ( ? ) 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k
将 P 点的坐标代入

y2 4m 2 (1 ? ? )2 ? x2 ? 1 得 ? 4 4 ? k2 ?

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m)

S?AOB = S?AOQ ? S?BOQ

15

1 1 1 OQ g x A ? OQ g xB ? m( x A ? xB ) 2 2 2 1 m m 1 4m 2 ? m( ? )? g 2 2?k 2?k 2 4 ? k2 1 1 ? (? ? ) ? 1 2 ? ?
5. (12 分) [解析]: 设双曲线方程为:9x 2 ? 16y 2 ? ? , ∵双曲线有一个焦点为 (4, 0) , ?? ? 0
2 2 2 双曲线方程化为: x ? y ? 1 ? ? ? ? ? 16 ? ? ? 48 ,

?

?

9

16

25

9 16 2 2 ∴双曲线方程为: x ? y ? 1 256 144 25 25

6. (12 分)[解析]:易知 b ? a, c ? 2a, e ? 2 ,准线方程: x ? ? a ,设 P?x, y ?, 2
a , 则 PF ) PF2 1 ? 2(x ? 2
2 2 2 2 2

∴e ? 4 ? 5 . 16 4 5

?

2 (x ?
2

a 2

), PO ?

x2 ? y2

a 2 , ? PF ) ? 2 x2 ? a2 1 ? PF 2 ? 2( x ? 2

2

? x ? ( x ? a ) ? x ? y ? PO

? PF PO、 PF2 1、

成等比数列.

7. (12 分) 2 2 [解析]: (1)∵x -y =1, ∴c= 2.设|PF1|+|PF2|=2a(常数 a>0), 2a>2c=2 2, ∴a > 2 2 2 2 |PF1| +|PF2| -|F1F2| 由 余 弦 定 理 有 cos∠F1PF2 = = 2|PF1||PF2| 2 2 2 (|PF1|+|PF2|) -2|PF1||PF2|-|F1F2| 2a -4 = -1 2|PF1||PF2| |PF1||PF2| |PF1|+|PF2| 2 2 ∵|PF1||PF2|≤( ) =a ,∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值 2 a2. 2 2 2a -4 2a -4 1 2 此 时 cos∠F1PF2 取 得 最 小 值 -1,由题意 -1=- ,解得 a =3, 2 2 a a 3
?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2 ? 1

∴P 点的轨迹方程为 +y =1. 3
? x2 ① 2 2 2 ? y ?1 (2)设 l:y=kx+m(k≠0),则由, ? 将②代入①得:(1+3k )x +6kmx ?3 ?y ? kx ? m ? ② 2 +3(m -1)=0 (*) 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 AB 中 点 Q(x0 , y0) 的 坐 标 满 足 : x0 = x1+x2 -3km m = 2,y0=kx0+m= 2 2 1+3k 1+3k 3km m 即 Q(- ∵|MA|=|MB|,∴M 在 AB 的中垂线上, 2, 2) 1+3k 1+3k

x2

2

16

2+1 2 1+3k 1+3k ∴klkAB=k· =-1 ,解得 m= ?③ 又由于(*)式有两个实数根,知 3km 2 - 2 1+3k △>0, 2 2 2 2 2 即 (6km) -4(1+3k )[3(m -1)]=12(1+3k -m )>0 ④ ,将③代入④得 2 1+3k 2 2 12[1+3k -( ) ]>0, 解得-1<k<1, 由 k≠0, ∴k 的取值范围是 k∈(-1, 0)∪(0, 2 1).

m

? y ? kx ? b ? 2 2 2 2 2 8. (12 分)[解析]:联立方程组 ? x ? 2 y ? 1 消去 y 得(2k -1)x +4kbx+(2b +1)=0,
2 当 1 ? 2k 2 ? 0, 即k ? ? 2 时, 若 b=0,则 k ? ? ;若 b ? 0 ? x ? ? 2b ? 1 ,不合题意. 2 2 2b
2 2 2 当 1 ? 2k 2 ? 0, 即k ? ? 2 时, 依题意有△=(4kb) -4(2k -1)(2b +1)>0, ? 2k 2 ? 2b 2 ? 1 对

2

2 2Q ?k? . 2 2 9. (14 分)[解析]: (1)解法一:设 P(x0,y0), Q(x ,y ) ? A(?a,0), B (a,0), QB ? PB, QA ? PA

所有实数 b 恒成立,?2k 2 ? (2b 2 ? 1) min ∴2k <1,得 ?

2

y ? y0 ? x ? a ? x ? a ? ?1?? (1) ? 0 ?? ? y0 ? y ? ?1?? (2) ? ? x0 ? a x ? a
由(1) ? (2)得 : y2 0 x2 ? a2 x2 ? a2 0 ? y2 ? 1?? (3)

?

x2 0 a2

?

y2 0 b2

? 1,?

y2 0 x2 ? a2 0
2 2 4

?

b2 a2

代入(3)得b 2 y 2 ? x 2 a 2 ? a 4 , 即a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4

经检验点 (?a,0), (a,0) 不合,因此 Q 点的轨迹方程为:a x -b y =a(除点 (-a,0) ,(a,0) 外). 解法二:设 P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA
2 2



y0 y ? ? ?1 ??(1)连接 PQ,取 PQ 中点 R, x0 ? a x ? a

? PA ? QA, QB ? PB,?| RA |?

1 1 | PQ |, | RB |? | PQ |,?| RA |?| RB |,? R点在y轴上 2 2 x ?x y y x2 ? a2 ? 0 ? 0, 即x 0 ? ? x ?? (2), 把(2)代入(1)得 : 2 0 2 ? ?1,? y 0 ? 0 ?? (3) 2 y a ?x 把(2)(3)代入
2 2 x0

a

2

?
2

2 y0

b

2 2

? 1, 得
4

x2 a
2

?

(x 2 ? a 2 ) 2 y b
2 2

? 1.? x ? ? a时, 不合题意,? x 2 ? a 2 ? 0

整理得 : a x ? b y ? a ,? Q点轨迹方程为a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 (除去点(?a,0), (a,0)外)
(2)解 :由(1)得C 2的方程为 x2 a2 ? y
2

2

a2 ? ? 1, e2 ?

a4 b2

2 2 1 b 2 ? 1? a ? 1? a ? 1? 2 2 2 2 a b c ? a2 e ?1

a4

? e1 ? 2 ,

2 ? e2 ? 1?

1 ( 2 ) 2 ?1

? 2,

?1 ? e ? 2

10. (14 分)[解析]:以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐 标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0, 1020)
17

设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平 分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340× 4=1360
2 2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 x ? y ? 1 上, 依题意得 a=680, 2 2

a

b

c=1020,
2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 , 故双曲线方程为 : x 2 ?

y2 5 ? 3402

680

?1

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,? x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 680 10m 即P(?680 5,680 5 ), 故PO ? 680 10 ,答: 处.

18


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