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红对勾理科数学6-5


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必考部分

必考部分·第六章

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第六章 不等式、推理与证明

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第五节 合情推理与演绎推理

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第六章·第五节

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考纲解读 1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体 会并认识合情推理在数学发展中的作用. 2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差 异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些简单的 演绎推理.

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第六章·第五节

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考情剖析 合情推理、演绎推理几乎涉及数学方方面面的知识,代表研究性 命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命 题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面, 在高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小.

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第六章·第五节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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第六章·第五节

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自主回顾·打基础
强根基·固本源

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第六章·第五节

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1.合情推理 (1)归纳推理: ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由个别 事实概括出一般结论的推理.

个别到一般 的推理. ②特点:是由部分到整体,由

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第六章·第五节

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(2)类比推理 ①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 这些特征 的推 理. ②特点:类比推理是由 特殊到特殊 的推理.

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1.归纳推理的结论一定正确吗? 提示:不一定,结论是否真实,还需要经过严格的逻 辑证明和实践检验.

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2.演绎推理 (1)模式:三段论 ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况 ; ③结论——根据一般原理,对特殊情况 做出的判断. (2)特点:演绎推理是由 一般到特殊 的推理.

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第六章·第五节

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2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗? 提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确 的,结论才一定是真实的,错误的前提则可能导致错误的 结论.

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1.下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质;

)

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和 是180° ,归纳出所有三角形的内角和都是180° ; ③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成 绩都是100分;

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④三角形内角和是180° ,四边形内角和是360° ,五边 形内角和是540° ,由此得凸n边形内角和是(n-2)· 180° . A.①② C.①②④ B.①③ D.②④

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解析:①是类比推理,②是归纳推理,④是归纳推 理,所以①②④为合情推理.
答案:C

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2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理 数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原 因是( )

A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误

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解析:由条件知使用了三段论,但推理形式是错误 的.
答案:C

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3.观察以下等式:13=1,13+23=9,13+23+33=36,13 +23+33+43=100,13+23+33+43+53=225.由此可以推测 13+23+33+?+n3=( n?n+1? A. 2 n2?n-1? C. 4 ) B.(2n-1)2 n2?n+1?2 D. 4

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解析:归纳得13+23+33+?+n3=(1+2+3+?+n)2 n?n+1? 2 n2?n+1?2 =[ 2 ] = . 4
答案:D

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4.“两条直线平行,同时和第三条直线相交,内错角 相等,∠A和∠B是内错角,则∠A=∠B”.该证明过程的 大前提是__________,小前提是__________,结论是 __________.

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解析:由三段论的相关概念可知,大前提是“两条直 线平行,同时和第三条直线相交,内错角相等”,小前提 是“∠A和∠B是内错角”,结论是“∠A=∠B”.
答案:两条直线平行,同时和第三条直线相交,内错 角相等 ∠A和∠B是内错角 ∠A=∠B

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5.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的 平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得 到命题:“__________”,这个类比命题的真假性是 __________.
解析:由类比推理可知.

答案:夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题

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抓重点·破疑难

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归纳推理

【例1】

(2013· 湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的

数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,?, n?n+1? 1 2 1 第n个三角形数为 = 2 n + 2 n.记第n个k边形数为 2 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表 达式:

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三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ??

1 2 1 N(n,3)=2n +2n, N(n,4)=n2, 3 1 N(n,5)=2n2-2n, N(n,6)=2n2-n,

可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= ________. 采用归纳法.
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【解析】

k=3时,第n个数为1+2+3+?+n;k=4

时,第n个数为1+3+5+7+?+(2n-1);k=5时,第n个 数为1+4+7+?+(3n-2);k=6时,第n个数为1+5+9 +?+n+(4n-3);k边形中第n个数为1+(k-1)+(2k-3) n?n-1? +?+[1+(n-1)(k-2)]=n+ · (k-2),则n=10,k 2 10×9 =24时,N(10,24)=10+ ×22=1 000. 2

【答案】 1 000

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本题实质是根据前几项,归纳猜想一般规律,归纳推理是 由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的 结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表 性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一 般性规律的重要方法.

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(2013· 陕西卷)观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ?? 照此规律,第n个等式可为________.

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解析:由题中给出等式的规律可判断,第n个等式左边 有n项,这n项中最小项为(n+1),最大项为(n+n),右边为 2n与n个连续奇数的乘积;∴第n个等式可为(n+1)(n+ 2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1).

答案:(n+1)(n+2)(n+3)?(n+n)=2n×1×3×5×?×(2n- 1)

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类比推理

【例2】

已知命题:“若数列{an}是等比数列,且 n

an>0,则数列bn= a1a2?an(n∈N*)也是等比数列”.类 比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质? 并证明你的结论.

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等差数列中的和类比等比数列中的积,等差数 列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数,故本题 中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类 比.

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【解析】

类比等比数列的性质,可以得到等差数列

的一个性质是:若数列{an}是等差数列,则数列bn= a1+a2+?+an 也是等差数列. n 证明如下: a1+a2+?+an 设等差数列{an}的公差为d,则bn= n n?n-1?d na1+ 2 d = =a1+2(n-1), n d 所以数列{bn}是以a1为首项,2为公差的等差数列.
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1.在数学中,类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手 段,数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、等 差与等比之间有不少结论,都是先用类比法猜想,而后加 以证明的. 2.类比的关键是确定两类对象之间,某些性质的可比性与合 理性.

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已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中 AG 点,G是三角形ABC的重心,则 GD =2”.若把该结论推广 到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体ABCD中,若 △BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离 AO 都相等”,则 =( OM A.1 C.3
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) B.2 D.4
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解析:如图设正四面体的棱长为1,则易知其高AM= 6 3 ,此时易知点O即为正四面体内切球的球心,设其半径 1 3 1 3 6 6 为r,利用等积法有4×3× 4 r=3× 4 × 3 ?r= 12 ,

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6 6 6 故AO=AM-MO= 3 - 12 = 4 , 6 6 故AO∶OM= 4 ∶ 12 =3.

答案:C

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演绎推理

【例3】

数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,

n+2 an+1= Sn(n∈N*).证明: n
? ?Sn? ? ? (1)数列 n ?是等比数列; ? ? ? ?

(2)Sn+1=4an. (1)利用等比数列的定义证明; (2)利用(1)结论证明.
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【证明】

n+2 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= n Sn,∴(n+

Sn+1 Sn 2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn,故 =2· ,(小 n n+1 前提)
? ?Sn? ? ? 故 n ?是以2为公比,1为首项的等比数列.(结论) ? ? ? ?

(大前提是等比数列的定义,这里省略了)

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Sn+1 Sn-1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1 n-1 n-1 =4an(n≥2).(小前提) 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)

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演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论, 应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小 前提,如果前提是显然的,则可以省略.

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如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠ BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推 理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的 形式表示出来).

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证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以DF∥EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前 提) DE∥BA且DF∥EA,(小前提) 所以四边形AFDE为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED和AF为平行四边形的对边,(小前提) 所以ED=AF.(结论)
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上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA? ? ??四边形AFDE是平行四边形 ? DE∥BA ? ?ED=AF.

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1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究 中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结 论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提 供思路与方向.

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2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一 般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进 行. 3.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论 不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理 形式都正确的前提下).

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提升素养·破难点
研经典·明考向

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应用创新展示(十) 归纳推理与演绎推理的交汇创新 【典例】 某同学在一次研究性学习中发现,以下五

个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° -sin13° cos17° ;②sin215° +cos215° -sin15° cos15° ;③sin218° +cos212° -sin18° cos12° ;④ sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos48° ;⑤sin2(-25° )+ cos255° -sin(-25° )cos55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒 等式,并证明你的结论.
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审题视角 (1)选择第②个式子计算比较简单.(2)由角的关系归纳 可得,证明可选择三角恒等变换的公式,也可选择两 角和与差的余弦公式或半角公式.

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规范解答 (1)选择②式,计算如下: 1 1 3 sin 15° +cos 15° -sin15° cos15° =1- sin30° =1- = . 2 4 4
2 2

3 (2)三角恒等式为sin α+cos (30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4
2 2

证明如下:sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) =sin2α+(cos30° cosα+sin30° sinα)2-sinα(cos30° cosα+ sin30° sinα)

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规范解答 3 3 1 2 3 1 2 =sin α+ 4 cos α+ 2 sinαcosα+ 4 sin α- 2 sinαcosα- 2
2

sin2α 3 2 3 2 3 =4sin α+4cos α=4.

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点 (1)本题考查三角函数的恒等变换知识,考查运算及 拨 抽象概括等能力,考查一般与特殊,化归与转化思 提 想.(2)归纳问题要充分分析式子的特点,才好归纳 升 出正确结果.

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x2 已知函数f(x)= . 1+x2 1 1 1 (1)分别求f(2)+f(2),f(3)+f(3),f(4)+f(4)的值; (2)归纳猜想一般性的结论,并给出证明.

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1 4 4 1 解:(1)f(2)+f(2)= + 1=5+5=1; 1+4 1+4 1 9 1 1 16 1 f(3)+f(3)=10+10=1,f(4)+f(4)=17+17=1. 1 (2)由(1)猜想f(x)+f( )=1.证明如下: x 1 x2 x2 1 f(x)+f( )= + = + =1, x 1+x2 1 1+x2 x2+1 1+x2 1 ∴f(x)+f( )=1. x
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1 4

1 x2

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