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浙江省杭州市西湖高级中学2015届高三下学期数学周练试题


高二数学周练
姓名 班级 分数

20150616

一、选择题:本大题共 8 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? {3, 2a } , B ? {a, b} ,若 A ? B ? {2} ,则 A ? B ? ( A. {1, 2,3} B. {0,1,3} C. {0,1, 2,3}

) D. ) D. {1, 2,3, 4}

2.已知 ? ? R,sin ? ? 3cos ? ? 5 ,则 tan 2? 的值是( A. -

3 4

B. 2

C. -

4 3

4 3


3.已知 q 是等比数列 { a n } 的公比,则“ q ? 1 ”是“数列 { a n } 是递增数列”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知 m, n 为异面直线, 且直线 l 满足 l ? m, m?? , l ? n, ? , ? 为两个不同平面, n??,

l ? ? , l ? ? ,则(
A. ? // ? 且 l // ?

) B. ? ? ? 且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l 5. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? , 若其图象向右平移


? 个单位 3

后关于 y 轴对称,则 y ? f ( x) 对应的解析式可为( A. y ? sin( 2 x ? C. y ? cos( 2 x ?

?
6

) )

B. y ? cos( 2 x ? D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

?
3

7? ) 6


2 2 6.若等差数列 {an } 满足 a1 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为(

A.60

B.50

C. 45

D.40

7.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠成一个四面体 ABCD ,当该四面体的体积最大时,直 线 AB 与 CD 所成的角为( )

A. 90 0

B. 600

C. 450

D. 300 8.如图所示,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F , a 2 b2
??? ? ??? ?

过 F 的直线 l 交双曲线的渐近线于 A 、 B 两点,且直线 l 的倾斜角是 渐近线 OA 倾斜角的 2 倍,若 AF ? 2 FB ,则该双曲线的离心率为( ) A.

3 2 4

B.

2 3 3

C.

30 5

D.

5 2

二、填空题:本大题 7 小题 9.已知首项为 1,公差不为 0 的等差数列 ? a n ? 的第 2,4,9 项成等比数列,则这个等比数列 的公比 q ? __ 为 S n ,则 S n = __ ;等差数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? . ;设数列 ? a n ? 的前 n 项和

10.正四面体(即各条棱长均相等的三棱锥)的棱长 为 6,某学生画出该正四面体的三视图如右图,其中有一 个视图是错误的,则该视图修改正确后对应图形的面积为 ______ __,该正四面体的体积为 .

11.已知向量 a , b ,且 b ? 2 , b ? 2a ? b ? 0 ,则 a 的最 小值为___________, tb ? ?1 ? 2t ? a ( t ? R )的最小值为

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



?2x ? y ? 2 ? 0 ? 12.若实数 x , y 满足: ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 x , y 所表示的区域的面积为 ? x ? 3 y ? 11 ? 0 ?
同时满足 ( ,则实数 t 的取值范围为 t ?? 1 ) xt ( ? 2 ) y ? t ? 0 13.已知集合 A ? { a2 .

,若 x , y

x ? a ,则集合 A ? __ ? 1 有唯一实数解 } x? 1



14.在等腰三角形 ABC 中, AB ? AC ,D 在线段 AC 的中点,BD ? l 为定长,则 ?ABC 的 面积最大值为___ .

15. 已 知 R 上 的 奇 函 数 f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x) , x ? [0,1] 时 f ( x) ? 1 ? 2x ?1 . 定 义 :

f1 ( x) ? f ( x), f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) , ? ? , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , n ? 2, n ? N , 则

f 3 ( x) ?

9 在 [?1,3] 内所有不等实根的和为__________. 8( x ? 1)

三、解答题:本大题共 4 小题

A B C中,内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 23s ai n B ? 5 c 16.在 ? , cos B ?
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 B C 边的中点为 D , AD ?

11 . 14

19 A B C的面积. ,求 ? 2

17.正方体 A 的棱长为 1, E 是棱 D 1 C 1 的中点,点 F 在正方体内部或正方体 B C D ? A B C D 11 1 1 的面上,且满足: EF / / 平面 A1 BC1 。 (Ⅰ)求动点 F 轨迹所形成的平面区域的面积; (Ⅱ)设直线 B D 1 与动点 F 轨迹所在平面所成的角记为 ? ,求 cos? .
D C A B A1 D1 E

C1 B1

18.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点分别为 F 1 2

, F 2 ,直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 与椭圆交于

A, B

两点,

(Ⅰ)当直线 l 的斜率为 1,点 P 为椭圆上的动点,满足使得 ? A B P的面积为 说明理由。

2 5?2 3

的点 P 有几个?并

(Ⅱ) ?ABF 1 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时直线 l 的方程,若不存在, 请说明理由.

19.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且 Sn ? 2an ? 2n?1 , n ? N ? 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

?1? an n ?1 4 ? ,记数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn .求证: Tn ? , n ? N ? . 3 n ? 1 an ? bn ?

1.A

? 5 ? 2 5 sin ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?sin ? ? 3cos ? ? 5 ? ? 5 5 ?? ? ? 2.C 【解题思路】法一: ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,所以 ?cos ? ? 2 5 或 ?cos ? ? ? 5 ? ? ? 5 5 ? ?
tan ? ? 2 或 tan ? ? ?
法二:两边平方, sin
2

1 4 ,所以 tan 2? ? ? 2 3

? ? 6sin ? cos? ? 9cos2 ? ? 5(sin2 ? ? cos2 ? ) ,所以
4 3

4 cos 2? ? 3sin 2? ? 0 ,所以 tan 2? ? ?

法三:辅助角公式, 10 sin(? ? ? ) ? 5, tan ? ? 3 ,? ? ? ?

?
4

? 2 k? 或 ? ? ? ?

3? ? 2 k? 4

所以 tan 2? ?

1 tan 2?

3.D .等比数列 { a n } 中, a1 ? 0 ,若 q ? 1 ,则数列 { a n } 是递减数列;若数列 { a n } 是递增 数列,则 0?q?1 ,所以选 D. 4.D 【解题思路】 若 ? // ? ,且 m?? , n ? ? ,则 m // n ,矛盾,故 A 不正确;所以 ? 与 ? 相交.由 m?? , l ? m, l ? ? ,可知 l // ? ,同理 l // ? ,可得 l 平行两个平面的 交线.所以选 D. 5 . C 【 解 题 思 路 】 f ( x) ? sin(2 x ? ? )

? sin(2( x ? ) ? ? ) y 轴对称,所以 3 关于

?

??

? ? 2? ? ? ? ?? ? ? k? 2 ,所以 6 ,由诱导公式知选 C. 3 2 ,又
S 代入 a12 ? a102 ? 10 , 化为 a10 的二次函数,? ? 0 。 5

6. B 法一:S ? 5(3a10 ? a1 ) ,a1 ? 3a10 ?

法二:转化为:已知 x2 ? y 2 ? 10 ,求 3x ? y 的最大值问题。数形结合或三角换元或柯西不等 式均可。 7. B

MN 所成的角即为所求的角。 .法一: 取 BD, AC , BC 的中点, 分别为 O, M , N , 则 ON ,
当 该 四 面 体 的 体 积 最 大 时 , 即 面 ABD 垂 直 于 面 BCD 。 设 正 方 形 边 长 为 2 , 则

O M ? M N ? O N?1 ,所以直线 AB 与 CD 所成的角为 60 。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 法二: AB ? CD ? AB ? ( BD ? BC ) ? ? 2
8.B .双曲线

0

b x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x , 2 a a b

2b 2ab ? 直线 l 的倾斜角是渐近线 OA 倾斜角的 2 倍,? kOA ? a 2 ? 2 2 , b a ?b 1? 2 a ? 直 线 l 的 方 程 为 y ? 22ab 2 ( x ? c) , 与 直 线 y ? ? b x 联 立 , 可 得 y ? ? 22abc 2 或 a a ?b 3a ? b 2abc y? 2 , a ? b2
??? ? ??? ? 2abc 2abc c 2 3 ? 2? 2 ? AF ? 2FB ,? 2 ,? a ? 3b ,? c ? 2b ,? e ? ? 。 2 2 a ?b 3a ? b a 3

二、填空题:本大题 7 小题,9-12 题每题 6 分,13-15 每题 4 分,共 36 分. 9.

3n 2 ? n 5 , 3n ? 2 , 2 2

10. 6 6 ,1 82 正视图是错误图形,正视图底边长为 6 ,高为 6 ?

6 ? 2 6 ,所以 3

1 1 。 S ? ? 6 ? 2 6 ? 6 6 , V ? ?? 9 3 2 6 ? 1 8 2 2 3 11. 1 ,1 ? ? ? ? ? 【解题思路】法一: (坐标化)设 b ? (2,0) , a ? ( x, y) ,由 b ? 2a ? b ? 0 知, x ? 1 ,所

?

?

?2 ? ? ? 以 a ? 1 ? y 2 ? 1,所以 a 的最小值为 1,又 tb ? ?1 ? 2t ? a ? (1,1 ? 2t ) ,
? ? 1 ? ? (tb ? ?1 ? 2t ? a ) 2 ? 4t 2 ? 4t ? 2 ? 4(t ? ) 2 ? 1 ,所以 tb ? ?1 ? 2t ? a 的最小值为 1。 2 ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 法二:(几何意义) 如图 OB ? b, OA ? a, OC ? 2a ? b ,当 A 点在 OB 中点时, a 最小,

? ? ? ? ? ? ? ? tb ? ?1 ? 2t ? a ? a ? (b ? 2a)t , 所 以 a ? ( b ? 2 a) 的 t 几 何 意 义 知 , 当 ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? (b ? 2a)t ) ? (2a ? b ) 时, a ? (b ? 2a)t 最小。
12.

C

4 5 , ?2 ? t ? ? 3 2

D a O

A

【解题思路】第一空区域为三角形,三个顶点分别为 (0 , 2 ),( - 2 , 3 ),(1 , 4 ) ,所以 面积为

5 。第二空由题意 ? ,所以直线恒过定点 l : t ( x ? y ? 1 ) ? (2 x ? y ) ? 0 2

b

B

(?2,1) ,画出可行域,由题意知,直线恒过定点 (?2,1) 点及可行域内一点,直线 l 方程可改写
成: ( , (1)由图知,当斜率不存在时,符合题意; (2)当斜率存在时, t ? 2 ) y ? ? ( t ?? 1 ) x t

t? 1 1 4 4 ?? k ? ? [ ,? ? )? ?2 ? t ? ? ;综上: ?2 ? t ? ? 。 t? 2 2 3 3
13. ? ? 14.

? 5 ? ,1, ?1? ? 4 ?
2 2 l 3

A D B C

【解题思路】法一:设 AB ? 2 x, AD ? x ,则由余弦定理

5x2 ? l 2 ?9 x 4 ? 10l 2 x 2 ? l 2 得 cos A ? ,则 sin A ? , 4 x2 4 x2
所以

y A B D x C

S?ABC ?

1 5 16 2 ?9( x 2 ? l 2 )2 ? l 4 ? l 2 。 2 9 9 3

法 二 : 如 图 建 系 , 设 B(0,0), D(l ,0), A( x, y) , 则

4 4 2 2 2 ( x ? l )2 ? y 2 ? ( l )2 , , 化简得点 A 的轨迹方程为: 当 x ? l 时, x2 ? y 2 ?4 ( ( x ? l ) ? y ) 3 3 3 2 ?ABC 的面积最大为 l 2 3
法 三 : 取

AB 的 中 点 E , EC ? BD ? F , ?EFB ? ? , 则

A E B D C

1 1 S BDCE ? l 2 sin ? ? l 2 , 当 ? ? 90? 时 , ?ABC 的 面 积 最 大 , 2 2

S?ABC

4 l 2 2l 2 ? ? ? 3 2 3

α F

15.14 【解题思路】 f ( x) ? 1 ? 2x ?1 , f 2 ( x) 在一个周期内的图象如下图:

y
y

1 O -1 1 x

1 O 1

x

-1

f3 ( x) 在 [?1,3] 的图象如上图,再作出图象 y ?
共有 14 个交点,所有不等实根的和为 14 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分. 16. (Ⅰ)由 cos B ?

17 9 ,且过点 ( ,1) ,根据对称性质知, 8 8( x ? 1)

5 3 11 a?7 c, ai n B ? 5 c ,得 sin B ? ,又 23s ,代入得 3 14 14

a c s i n A ? 7 s i n C ,得 3 , ? sin A sin C , 3 s i n A ? 7 s i n A c o s B ? 7 c o s A s i n B 3 s i n A ? 7 s i n ( A ? B ) 2? 得t ,A ? a nA ? ?3 3 1 9 2 2 (Ⅱ) A B ? B D ? 2 A B ? B D c o s B ? , 4 7 7 1 1 1 9 2 2 c ? (c ) ? 2 c ?c ? ? , c ? 3 ,则 a ? 7 6 61 4 4


1 1 5 31 5 3 S ?a c s i n B ?? 3 ? 7 ? 2 2 1 4 4
17. 解: (Ⅰ)如图,在正方体内作出截面 EFGHIJ, (或画出平面图形)
F D1 E

C1 B1 J

它的形状是一个边长为

2 2 3 3 4

正六边形

A1

G D C I A B

可以计算出它的面积为

(Ⅱ)法一:如图,连 B 1 D 1 交 A1 C 1 于 O 点,连 B O ,

H

? 所求面//面 A1 BC1 ,? 所求角= B D 1 与面 A1 BC1 所成的角, ? 面 AB 1 C 1 ?面 BDD 1 1 B ,? 线 B D 1 在面 A 1 BC1 的投影为 B O ,
A1

D1 O

E C1 B1

? ? DB 即为所求的角 1 O
2 2 在 ?BOD o s? DB ? 1 中,由余弦定理知 c 1 O 3
A D C B

所以, cos ? ?

2 2 3

法二:以 D A 为 x 轴, DC 为 y 轴, D D 1 为 z 轴建议直角坐标系,

( 1 , 0 , 1 ) , BC ( 1 , 1 , 0 ) ,( 0 , 1 , 1 ) ,( D 0 , 0 , 1 ) 则A 1 1 1 B D ? (1 ?? ,1 , 1 ) 可求出平面 A1 BC1 的法向量为 n?( 1 ,1 ,1 ),又? 1
?? ? ? ? ? 1 ? c o s? nB , D ? ? 1? 3
所以, cos ? ?

?

2 2 3

18 . 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 , 得 l:y? 代入椭圆方程 x? 1

x2 2 , x ? 4 x ? 0 ? y2 ? 1 中得 3 2

4 4 2 x1 ? 0, x2 ? ??1 分得到 |A B | ?11| ? x ? x | ? 2 1 2 3 3
设点 P 到直线 l 的距离为 d ,由 S ? |A B | d ? ?2 ? d ? ? A B P

1 2

1 4 2 3

2 5 ? 2 3

得到 d ?

|x? y? 1 | 5 ?1 .设 P ( x ,y ) ? d ?0 0 0 0 2 2 x02 2 , ? y02 ?1,代入得到 x 2 ( x ? 1) ? t2 ? 2 0? 0 2
2

令 t? ,又? x y 1 0? 0?
2

化简得到: 3 ,则于 ? ? 0 , x ?? 4 ( 1 t ) x ?? 24 t t ? 0 0 0

51 ? ? t ?51 ? 得到 ? , ??? 1t 0 当 ?5 时, ? 椭圆上方的点到直线 l 距离的最大值为

5 ?1 5 ?1 ? 2 2

? 椭圆上方存在两个这样的 P 点,使得 ? A B P的面积 S?ABP ?
? t? 5 ? 1 ? 椭圆下方的点到直线 l 距离的最大值为 当0

2 5 ?2 ; 3

5 ?1 5 ?1 ? 2 2
2 5 ?2 ; 3

? 椭圆下方仅存在一个 P 点,使得 ? A B P的面积 S?ABP ?
综上,椭圆上存在这样的 P 点有三个

(II)解法一: bn ? 2 ?
n

1 1 1 ? 2(2 n ?1 ? n ?1 ) ? 2(2 n ?1 ? n ?1 ) ? 2bn ?1 (n ? 2) , n 2 2 2

所以

1 1 1 ? (n ? 2) , bn 2 bn ?1 1 2 4 ? ? , b1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ??? ? ? ( ? ??? ) ? ? Tn ? ? Tn , b1 b2 bn b1 2 b1 b2 bn?1 b1 2 3 2

当 n ? 1 时, T1 ?

当 n ? 2 时, Tn ? 从而 Tn ?

4 , 3
4 , n ? N?。 3

综上, Tn ? 解法二:

? 4n ? 1 ?

3 n ? 4 ,当且仅当 n ? 1 时,取等号 4

?

1 2n 4 ? 2n 4 1 n ? n ? ? ?( ) bn 4 ?1 3 ? 4n 3 2

2 4 ? 3 3 4 1 1 2 1 n 4 1 4 当 n ? 2 时, Tn ? [ ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? ? (1 ? n ) ? 3 2 2 2 3 2 3
当 n ? 1 时, Tn ? 解法三:

1 2n 2n ? 1 1 1 ? ? n ? n ? n? n bn 4 ?1 4 2 4
?Tn ? 1 1 1 1 4 ?? ? n ? ?? ? n ? 2 2 4 4 3

解法四:

?

1 2n 2n 1 1 ? n ? 2n?1 ? 2( n?1 ? n ) bn 4 ?1 2 2 2

4 3 2 4 8 1 1 1 1 1651 1 4 ? ? 2( 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ) ? ? n ?1 ? 当 n ? 4 时, Tn ? ? 3 15 63 2 2 2 2 1260 2 3
当 n ? 1, 2,3 时,计算得 Tn ?


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