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(同步辅导)2015高中数学《正切函数的图像与性质及其应用》导学课件 北师大版必修4


第7课时 正切函数的图 像与性质及其应用

1.了解利用正切线画出正切函数图像的方法. 2.了解正切曲线的特征,能利用正切曲线解决简单的问题.

3.掌握正切函数的性质.

常见的三角函数还有正切函数,前面我们利用单位圆中 的正弦线和余弦线,研究了正弦、余弦函数的图像,利用 正弦曲线、余弦曲线探讨了它们的性质,今天我

们使用类 似的方法来探讨正切函数的图像及性质.

问题1

问题2

(2)正切曲线不是连续的一条曲线,而是由一些 相互平行的直线 所隔开的无穷 多支曲线组成的,它不具有有界性,向上和向下 都是无限延伸的.

问题3

(1)作正切函数在一个周期内的图像的方法:类 似于“五点法”的“三点两线法”作简图,这里

三个点为 , , , 两线为直线 、 (其中 k∈Z),作出这三个点和这两条渐近线,便可得到 y=tan x在一个周期上的简图.
(2)正切曲线的对称性:正切函数的图像关于原 点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐 标是 .正切函数 对称轴.

问题4

正切函数的性质 (1)正切函数y=tan x的定义域是 ,值域为

R

.

(2)正切函数y=tan x的图像与x轴的交点的横坐标是 kπ(k∈Z) . (3)正切函数y=tan x在每一个开区间 内 单调递增,但不能说在整个定义域上是单调递增函数. (4)正切函数y=tan x在定义域上是 奇 函数.

1

已知角 α 的终边与单位圆交于点( ,- ),则 tan α 等
2 2

1

3

于( C ) A.
1 2

B.-

3 2

C.- 3

D.3 2 1 2

3 3

【解析】由正切函数的定义可知 tan α =
2

=- 3.

如果 x∈(0,2π),则函数 y= sin + -tan的定 义域是( C ) A.{x|0<x<π} C.{x| 2 <x≤π}
π

B.{x| <x<π} D.{x| 2 <x<2π}
2 3π

π

sin ≥ 0, sin ≥ 0, 【解析】由 得 又 x∈(0,2π ), -tan ≥ 0 tan ≤ 0, π 解得 <x≤π ,故选 C.
2

3

已知-tan( 6 +α)=8,则 tan(-6 -α)的值为
【解析】∵-tan( +α )=-tan(π + +α )=tan( +α )=tan(- -α ),∴tan(- -α )=8.
6 6 6 π 6 π 6 π 7π π



π

8

.

4

4.观察正切曲线写出满足 tan x>0 的 x 的取值范围.
【解析】画出 y=tan x 在(- , )上的图像,不难看出
2 2 π π

在此区间上满足 tan x>0 的 x 的范围为 0<x< ,
2

π

结合周期性,可知在 x∈R,且 x≠kπ + (k∈Z)上
2

π

满足 tan x>0 的 x 的取值范围为 (kπ ,kπ + )(k∈Z).
2 π

正切型函数的定义域、值域问题
函数 f(x)=
1 tan -1

的定义域是

π 2

.
+ kπ,∈Z,

【解析】要使函数有意义,应有
π 2 π 4

tan ≠ 1,

即 x≠ +kπ ,且 x≠ +kπ (k∈Z). 即定义域为{x|x∈R,且 x≠ +kπ ,x≠ +kπ ,k∈Z}.
2 4 π π

解含正切函数的不等式及求三角函数值
解不等式 tan x≤ 3 .
【解析】在同一坐标系中,作出 y=tan x,x∈(- , )
2 2 π π 3 π 6 3

3

和 y= 的图像,如图所示,它们的交点为( , ),满足
3 3

tan x≤ 的 x 的取值范围为(- , ].
3 2 6

3

π π

∴原不等式的解为{x|- +kπ <x≤ +kπ ,k∈Z}.
2 6

π

π

正切型函数的单调性问题
求函数 y=tan(-3x- )的单调区间.
3 π

【解析】y=tan(-3x- ),由- +kπ <-3x- < +kπ ,得- - <x<3 2 3 2 3 18 π 3

π

π

π π

π 5π

+ (k∈Z).
18

π

所以函数 y=tan(-3x- )的单调递减区间为(- - ,3 3 18 π 3

π

π 5π

+ )(k∈Z).
18

π

[问题]求函数 y=Atan(ω x+φ )的单调区间时,注意了 A、 ω 的符号对单调性的影响吗? [结论]注意此处 x 的系数为负.

于是,正确解答如下: y=tan(-3x- )=-tan(3x+ ).
3 3 π π π π π

由- +kπ <3x+ < +kπ , 得 - <x< + (k∈Z).
3 18 3 18 2 π 5π 3 2 π π

所以函数 y=tan(-3x- )的单调递减区间为
3

π

( - , + )(k∈Z).
3 18 3 18

π 5π π

π

求函数 y=tan(x+ )的定义域.
3

π

【解析】由 x+ ≠kπ + (k∈Z)得,x≠kπ + (k∈Z),
3 2 6

π

π

π

∴y=tan(x+ )的定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ + ,k∈Z}.
3 6

π

π

已知角 α 终边上一点坐标为(3,-4),求
2sin ( -π )+3tan (3π - )sin ( - ) 4cos ( -3π )
π 2

的值.
4 3

【解析】∵α 终边上一点的坐标为(3,-4),∴tan α =- , ∴ = =
2sin ( -π ) +3tan (3π - )sin ( - ) 4cos ( -3π )
π 2 π 2

-2sin (π - ) +3tan (- )[-sin ( -α )] 4cos (π - ) -2sin +3tan cos -4cos

=

-2sin +3sin -4cos

=- tan α = .
4 3

1

1

求函数 y=tan(x+ )的单调区间.
3

π

【解析】由 x+ ≠kπ + (k∈Z)得,x≠kπ + (k∈Z),
3 2 6

π

π

π

∴y=tan(x+ )的定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ + ,k∈Z}.
3 6

π

π

又由 y=tan x 在每个区间(kπ - ,kπ + )(k∈Z)上是增函数可知,
2 2

π

π

当 kπ - <x+ <kπ + ,即 kπ - <x<kπ + (k∈Z)时,y=tan(x+ )是
2 3 2 6 6 3

π

π

π



π

π

增函数. ∴y=tan(x+ )的单调递增区间为(kπ - ,kπ + )(k∈Z).
3 6 6 π 5π π

1.函数 y=tan( +x)的定义域是( D ). 4 A.{x|x≠4 ,x∈R}

π 2 π 4

π

π

B.{x|x≠-4 ,x∈R}
π
π 4

π

C.{x|x≠kπ+ 4 ,x∈R} D.{x|x≠kπ+ 4 ,x∈R}
【解析】由 +x≠ +kπ 得,x≠ +kπ (k∈Z),故选 D.

2.函数 y=sin x·tan x 是( B ). A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

【解析】f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=(-sin x)·(-tan x)= sin xtan x=f(x),故 f(x)是偶函数,故选 B.

3 3.tan 2 与 tan 3 的大小关系是tan 2<tan .
【解析】由于 <2<3< ,所以 tan 2<tan 3.
2 2 π 3π

4.求函数 y=-2tan(3x+ )的定义域、值域,并指
3

π

出它的奇偶性和单调性.
【解析】由 3x+ ≠kπ + 得,x≠ + (k∈Z),
3 2 3 18 π π π π π 3 π

∴所求的函数定义域为{x|x≠ + ,k∈Z,x∈R} ,
18

值域为 R,它既不是奇函数,也不是偶函数, 在区间( - , + )(k∈Z)上是单调递减函数.
3 18 3 18 π 5π π π


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