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1994年全国高中数学联赛试题及解答


1994 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1994 年全国高中数学联赛试题
第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (C) (B ) (D)

/>a2+b2=c a2+b2>c

a2+b2<c

2、给出下列两个命题:⑴ 设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2>c2,则 a2+b2-c2>0;⑵设 a,b,c 都 是复数,如果 a2+b2-c2>0,则 a2+b2>c2.那么下述说法正确的是 (A)命题⑴正确,命题⑵也正确 (C)命题⑴错误,命题⑵也错误 (B)命题⑴正确,命题⑵错误 (D)命题⑴错误,命题⑵正确

1 3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 125 的最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

π log sina log cosa log cosa 4、已知 0<b<1,0<a< ,则下列三数:x=(sina) b ,y=(cosa) b ,z=(sina) b 4
(A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z

5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n-2 π,π) n

(B)(

n-1 π,π) n

(C)(0, ) 2

π

(D)(

n-2 n-1 π, π) n n

|x+y| |x-y| 6、在平面直角坐标系中,方程 + =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 2a 2b (A)三角形 (C)非正方形的长方形 (B)正方形 (D)非正方形的菱形

-1-

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二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(? -1,1)和(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与

PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是



? x3+sinx-2a=0, π π 2.已知 x,y∈[- , ],a∈R 且? 3 则 cos(x+2y) = 4 4 ?4y +sinycosy+a=0



5 5 3.已知点集 A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2≤( )2},B={(x,y)|(x-4)2+(y-5)2>( )2},则点集 A∩B 中的整 2 2 点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 4.设 0<θ<π, ,则 sin (1+cosθ)的最大值是 2 .

θ

. .

5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 α,则 sinα=

6.已知 95 个数 a1,a2,a3,…,a95, 每个都只能取+1 或-1 两个值之一,那么它们的两两之积的 和 a1a2+a1a3+…+a94a95 的最小正值是 .

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第二试 一、(本题满分 25 分) x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1,z2,m 均是复数,且 z -4z2=16+20i,设这
1 2

个方程的两个根 α、β,满足|α-β|=2

7,求|m|的最大值和最小值.

二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第 1000 项。

三、(本题满分 35 分) 如图,设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I, ∠B=60?,∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆 O 于 E. 证明:(1) IO=AE; (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R.
B

E

A

O I C

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四、 (本题满分 35 分) 给定平面上的点集 P={P1,P2,…,P1994}, P 中任三点均不共线,将 P 中的所有的 点任意分成 83 组,使得每组至少有 3 个点,且每点恰好属于一组,然后将在同一组的任两点用一条线段 相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案 G,不同的分组方式得到不同的图案,将图案 G 中所 含的以 P 中的点为顶点的三角形个数记为 m(G). (1)求 m(G)的最小值 m0. (2)设 G*是使 m(G*)=m0 的一个图案, G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种颜色染色,每条 若 线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为顶点的三边颜色相同的三角形.

-4-

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冯惠愚

1994 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (C) (B ) (D)

a2+b2=c

a2+b2<c

a2+b2>c a2+b2+c].故选 C.

解:asinx+bcosx+c=

a2+b2sin(x+φ)+c∈[- a2+b2+c,

2、给出下列两个命题:(1)设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2>c2,则 a2+b2-c2>0.(2)设 a,b,c 都 是复数,如果 a2+b2-c2>0,则 a2+b2>c2.那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确

解:⑴正确,⑵错误;理由:⑴a2+b2>c2,成立时,a2+b2 与 c2 都是实数,故此时 a2+b2-c2>0 成立; ⑵ 当 a2+b2-c2>0 成立时 a2+b2-c2 是实数,但不能保证 a2+b2 与 c2 都是实数,故 a2+b2>c2 不一定 成立.故选 B. 1 3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 125 的最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

1 1 解:(an+1-1)=- (an-1),即{ an-1}是以- 为公比的等比数列, 3 3 1 1-(- )n 3 1 1 1 1 ∴ an=8(- )n-1+1.∴ Sn=8· +n=6+n-6(- )n,?6· < ,?n≥7.选 C. 3 1 3 3n 125 1+ 3

π log sina log cosa log cosa 4、已知 0<b<1,0<a< ,则下列三数:x=(sina) b ,y=(cosa) b ,z=(sina) b 的大 4
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小关系是 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z

解:0<sina<cosa<1.logbsina>logbcosa>0. log sina log cosa log cosa ∴ (sina) b < (sina) b < (cosa) b 即 x<z<y.选 A. 5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n-2 π,π) n

(B)(

n-1 π,π) n

(C)(0, ) 2

π

(D)(

n-2 n-1 π, π) n n

解:设相邻两侧面所成的二面角为 θ,易得 θ 大于正 n 边形的一个内角

n-2 π,当棱锥的高趋于 0 时, n

θ 趋于 π,故选 A.
|x+y| |x-y| 6、在平面直角坐标系中,方程 + =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 2a 2b (A)三角形 (C)非正方形的长方形 (B)正方形 (D)非正方形的菱形

解:x+y≥0,x-y≥0 时,(一、四象限角平分线之间):(a+b)x+(b-a)y=2ab;

x+y≥0,x-y<0 时,(一、二象限角平分线之间):(b-a)x+(a+b)y=2ab; x+y<0,x-y≥0 时,(三、四象限角平分线之间):(a-b)x-(a+b)y=2ab; x+y<0,x-y<0 时,(二、三象限角平分线之间):-(a+b)x+(a-b)y=2ab.
四条直线在 a≠b 时围成一个菱形(非正方形).选 D. 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(? -1,1)和(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与

PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是



1 解:即 x+my+m=0 与 y= (x+1)+1 的交点的横坐标>2. 3
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1 4 7m 2 ∴ x+m( x+ )+m=0,(3+m)x=-7m.x=- >2.?-3<m<- . 3 3 m+3 3

? x3+sinx-2a=0, π π 2.已知 x,y∈[- , ],a∈R 且? 则 cos(x+2y) = 4 4 ?4y3+sinycosy+a=0
解:2a=x3+sinx=(-2y