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2016届浙江省温州市十校联合体高三上学期期中联考数学理试题


2016 届浙江省温州市十校联合体高三上学期期中联考数学理试题
(满分 150 分,考试时间:120 分钟) 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。)

? x ? 2 ? 0} , B ? { y | y ? log2 x} ,则 (CR A) ? B ? ( A. (?2,1) B. [?2,1] C. (??,?2) ? (1,??) D. (?2,1] 1 1 2.已知 a ? R, b ? R ,则“ a ? b ”是“ ? ”成立的 ( ) a b
1.已知集合 A ? {x | x
2



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 ).

3.某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积为 ( A.

2? 3

B.

? 3

C.

16? 9

D.

2? 9

4.已知等比数列{ a n}首项为 1 ,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则下列结论正确的 是 ( )
?

A. ?n ? N , S n ? a n ?1 C. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?2 ? 2an0 ?1 5.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )


B. ?n ? N , an ? an?1 ? an? 2 D. ?n0 ? N ? ,
第3题

?

(? ? 0, ? ?

?

2

) 的最小正周期为 ? ,且其
)

图像向右平

A.关于直线 x ? C.关于点 (

? 个单位后得到函数 g ?x? ? sin??x ? 的图像,则函数 f ( x ) 的图像 ( 6 ? 5?
12
对称 B.关于直线 x ?

12

对称

?
12

, 0 ) 对称

D.关于点 (

5? , 0 ) 对称 12
)

?y ? 3 ? 6.若实数 x,y 满足不等式组 ?3 x ? 7 y ? 24 ? 0 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值是( ?x ? 3 y ? 8 ? 0 ?
A.6 B.7 C.8 D.9

7.若关于 x 的不等式 x ? x ? a ? 2 至少有一个正数解,则实数 a 的取值范围是(
2



9 , 2) 4 4 8.已知 A ? ? , AB ? 5 , AC ? 2 2 , 且 AB 与 ? 所成角的正弦值为 ,AC 与 ? 所成的角为 450, 5
A. (?2,2) B. ( ?2, ) C. ( ? , ) D. ( ?

9 4

9 9 4 4

点 B, C 在平面 ? 同侧,则 BC 长的范围为( A. [5 ? 2 2,5 ? 2 2 ]
第页

) C. [ 5, 61]
1

B. [ 5, 29]

D. [ 29, 61]

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。) 9.已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? 1 ,则 cos ? ? ______ ; cos 2? ? ______.

2

3

10.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a8 ? 8, a7 ? a11 ? 14 , ak ? 18 ,则 k ?

;数列 {an } 的前 n 项和

Sn ?

. ; 若直线 l 被

11.已知直线 l : mx ? y ? 4 ,若直线 l 与直线 x ? (m ? 1) y ? 1 垂直,则 m 的值为 圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 8 ? 0 截得的弦长为 4,则 m 的值为 .

12. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x)? ? 2 ,则 x ? a x? a? 1

f (? 2 ) ?
13.若 x ? [ ?

;若函数 f ( x ) 为 R 上的单调减函数,则 a 的取值范围是

.

? ?

3sin 2 x ? 2 , ] ,则 f ( x) ? 的最大值为 6 4 sin x cos x ? cos 2 x



14.已知向量 a, b ,且 b ? 2 , a ? b ? 2 ,则 t b ? (1 ? 2t )a (t ? R) 的最小值为



x2 y 2 2 15.已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,抛物线 C2 : y ? 2 px? p ? 0? 的焦 a b
点与双曲线 C1 的一个焦点重合, C1与C2 在第一象限相交于点 P,且 F1 F2 ? PF1 ,则双曲线的离心率 为 .

三.解答题(本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 16.(本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,且满足 2a sin( C ? (Ⅰ)求 A 的值; (Ⅱ)若 B ?

?
6

) ?b?c.

?
4

, b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

17.(本小题满分 15 分)如图,已知四边形 ABCD 为菱形,且 ?A ? 60 , E , F 分别为 AB , AD 的中点,现将 四边形 EBCD 沿 DE 折起至 EBHD . (Ⅰ)求证: EF // 平面ABH ; (Ⅱ)若平面 EBHD ⊥平面 ADE ,求二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值.
第页 2

?

B E A F D A C B B E B F

H

D

18.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C 的离心率为

2 ,右焦点为 F2 (1,0) ,过点 B(2,0) 作直线交椭圆 C 于 2

P、Q 两点,设直线 PF2 和 QF2 的斜率分别为 k1 , k2 .
(Ⅰ)求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求△PF2Q 面积 S 的最大值.

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1(a, b ? R) .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x)的值域为? , 且 f ( x ? 1) ? f (? x) ,求函数 f ( x) 解析式; ? ? ?, (Ⅱ) 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? ?0,2? ,都有 m ? f ( x) 恒成立,求 m 的最小值.

?3 ?4

? ?

第页

3

20.(本小题满分 15 分)已知数列 ?a n ?满足 an ? 0 且 an ? (Ⅰ)证明: a n ?1 ?
2

2an ?1 (n ? N * ) . 1 ? an ?12

1 a (n ? N * ) ; 2 n
1 2 a1 . 3

(Ⅱ)令 bn ? ?an ?1 ? anan ?1 (n ? N * ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

第页

4

2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 (理)参考答案
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 B

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。) 9. 11. 13.

2 2 3
? 1 2 1 ? 2

7 9
?2

10.

20
3 ? 3a
1

n 2 ? 3n 2
a ? ?1
15.

12. 14.

2? 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,且满足 2a sin( C ? (Ⅰ)求 A 的值 (Ⅱ)若 B ?

?
6

) ?b?c.

?

4

, b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积。
3 1 ? cos C ? ) ? sin B ? sin C ,------------------------------2 2

解:(Ⅰ) 2 sin A(sin C ?

2分

即 3 sin A sin C ? sin A cos C ? sin B ? sin C , 所以 3 sin A sin C ? sin A cos C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C , 所以 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C , 所以 3 sin A ? cos A ? 1 , 所以 2 sin(A ? ) ? 1, ------------------------------------------------------ 6 分 6 ? 得A? . ---------------------------------------------------7 分 3 (Ⅱ)设△ABC 外接圆半径为 R,由正弦定理得: ------ 4 分

?

b ? c ? 2 R(sin B ? sin C ) ? 2 R(
? R ? 1.

2 3 ? )? 2? 3 2 2
--------------------------------------- 9 分

?A?? ? B?C ?

5? 12

? sin A ?

6? 2 4

--------------------------------------- 11 分

第页

5

1 1 6 ? 2 3? 3 . ------------------------- 14 分 ? S△ABC ? bcsin A ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 4 4
17. (本小题满分 15 分)如图,已知四边形 ABCD 为菱形,且 ?A ? 60 , E , F 分别为 AB , AD 的中点,现 将四边形 EBCD 沿 DE 折起至 EBHD 。 (Ⅰ)求证: EF // 平面ABH ; (Ⅱ)若平面 EBHD ⊥平面 ADE ,求二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值。 B E A F D 解:(Ⅰ)取 AH 的中点 G,连接 BG,FG,EF 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BE 平行且等于 C A H B B E B F
?

D

---------------------------2 分

1 HD 2 1 HD 2

又因为 FG 为三角形 ABH 的中位线,所以 FG 平行且等于

故 BE 平行且等于 FG,即 BEFG 为平行四边形, 因此 EF 平行 BG -----------------------------------4 分 所以 EF // 平面ABH
? (Ⅱ)因为 ?A ? 60 ,所以 DE ? AB

--------------------------------------- 5 分

故翻折之后 BE ? ED, AE ? ED ,因此 ? BED 为二面角 A-DE-H 的平面角, 故 ?BED ? 90? .因此 BE ? AE ----------------------7 分 建立直角坐标系,以 E 为坐标原点,以 AE 为 x 轴,DE 为 y 轴,且设菱形边长为 2, 则

A (, 10 , ), 0 D ( 0 , 3 ,B 0),

( 0H , 0 , 1) ,

(0, 3, 2)

??? ? ???? ? ???? ? 因此, AB=(-1 ,0,1), AH ? (?1, 3,2), DH ? (0,0,2) ?? 设平面 ABH 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则

?? ??? ? ?? ? ? ?? x ? z ? 0 ?m ? AB ? 0 即? ,取 m ? ( 3, ?1, 3) ------------------------------ 10 分 ? ? ?? ???? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?m ? AH ? 0 ?
? 同理,平面 ADH 的法向量为 n ? ( 3,1,0)
?? ? m?n ?? ? 7 于是, cos ? m, n ? ? ?? ? ? , 7 m?n

---------------------------------------1 2 分 --------------------------------------- 14 分

由题知,所求二面角为钝角,

第页

6

故二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值为 ?

7 。 7

--------------- 15 分

18.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C 的离心率为

2 ,右焦点为 F2 (1,0) ,过点 B(2,0) 作直线交椭圆 C 于 2

设直线 PF2 和 QF2 的斜率分别为 k1 , k2 . P、Q 两点, (Ⅰ)求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求△PF2Q 面积 S 的最大值.
O y

F2 Q

B x

解:(Ⅰ)由题意得椭圆方程为 ----------------------------------- 3 分

x2 ? y2 ? 1 2

P

设 PQ 直线方程为 y ? k ( x ? 2) ,代入椭圆方程得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 , 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? ??????????5 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

k1 ? k 2 ?

y1 y k ( x1 ? 2) k ( x2 ? 2) x ? x2 ? 2 ? 2 ? ? ? k[ 2 ? 1 ] ? 0 ?? 7 分 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

(Ⅱ)由 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,得

? ? 0 ,所以 k 2 ?

1 2

8(1 ? 2k 2 ) 1 1 1 --------------------------------10 分 S ? ? BF2 ? y1 ? y2 ? k x1 ? x2 ? k 2 2 2 1 ? 2k 2

? 2

(1 ? 2k 2 )k 2 ? t 2 ? 3t ? 2 1 3 1 = ? 2 ? 2 ? ( ? )2 ? ( t ? 1 ? 2k 2 ), 2 2 2 2t t 4 16 (1 ? 2k )
1 2 时, S 的最大值为 6 4
--------------------------------------- 15 分

2 所以 k ?

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1(a, b ? R) 。
2

?3 ? ?4 ? (Ⅱ)若 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? ?0,2? ,都有 m ? f ( x) 恒成立,求 m 的最小值。
(Ⅰ)若函数 f ( x)的值域为? , 且 f ( x ? 1) ? f (? x) ,求函数 f ( x) 解析式; ? ? ?, 解(Ⅰ)由已知得 a ? 0,
第页

4a ? b 2 3 b 1 ? , ? ,则 a ? 1, b ? 1 4a 4 2a 2
7

f ( x) ? x2 ? x ? 1

――――――――――

5分

(Ⅱ)①当 a=0 时, f ( x) ?| x ? 1 | 在[0,2]上的最大值为 1----------------- 7 分 ② 0 ? a ? 1 时,对称轴为 x ? 若

a ?1 >0, ? ? (a ? 1) 2 ? 0 2a

a ?1 1 ? 2 即 0 ? a ? 时, f ( x) max ? max{| f (0) |, | f (2) |} ? max{ 1, | 2a ? 1 |} , 2a 3
----------------------------------- 10 分

而 2a ? 1 ? 1 ,所以 f ( x) max ? 1 ③若

1 a ?1 ? 2 即 ? a ? 1, 3 2a

f ( x)max ? max{| f (0) |, | f (

a ?1 (a ? 1)2 ) |, | f (2) |} ? max{ 1, , | 2a ? 1 |} 2a 4a



1 (a ? 1)2 ? a ? 1, ? ? 1, | 2a ? 1 |? 1 ,所以 f ( x) max ? 1 ------------- 13 分 3 4a
------------------ 15 分
2an ?1 (n ? N * ) . 1 ? an ?12

综上: m ? 1

20.(本小题满分 15 分)已知数列 ?a n ?满足 an ? 0 且 an ? (Ⅰ)证明: a n ?1 ?
2

1 a (n ? N * ) ; 2 n
1 2 a1 . 3

(Ⅱ)令 bn ? ?an ?1 ? anan ?1 (n ? N * ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

解:(Ⅰ)由 a n ?

2a n ?1 1?
2 an ?1

, an ? 0 ,所以有 1 ? an?12 ? 0 ,

?0 ? 1 ? an?12 ? 1

因此 a n ? 2a n ?1 ,即 a n ?1 ? 1 a n 。 --------------- 7 分 2 1 1 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a n ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 ? ? ? n ?1 a1 ,即 a n ? n ?1 a1 ,---10 分 2 2 2 2 2 1 又 bn ? ?an ?1 ? anan ?1 , bn 是关于 an ?1 的二次函数,? a n ?1 ? a n 2 1 2 1 1 2 ? bn ? ? an ? an ? ( an ) ? an , --------------------------------- 12 分 4 2 4 1 1 2 由an ? n ?1 a1得 , bn ? n a1 2 4 1 1 2 1 ? Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1 ( ? 2 ? ? ? n ) 4 4 4 1 2 1 1 2 = a1 (1 ? n ) ? a1 ------------------------------------------ 15 分 3 4 3

第页

8

2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考数学(理)试卷细目表
考查点 参考 《指导意见》 、 《考 试说明》 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 集合的运算和不等式的运算 充要条件 三视图 逻辑连结词 三角函数 线性规划 函数问题 立体几何 三角函数求值 数列 直线与圆 函数与奇偶性 基本不等式 平面向量问题 离心率问题 三角与解三角形 立体几何综合应用 直线与椭圆的综合应用 函数性质的综合应用 数列综合问题 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 14 15 15 15 15 考查要求 A 了解 B 理解 C 应用 D 综合 B B C B B C C D B C C C C D D C D C D D 试题难度 I 容易 II 稍难 III 较难 I I I 1 2 II 3 III I 1 1 II II III III II II II III III 题目来源 (原创或改编) 改编 改编 改编 原创 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编

题号

分 值

选 择 题

填 空 题

12 13 14 15 16 17

解 答 题

18 19 20

第页

9


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