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2013届高考数学知识点复习测试题11


第1讲

弧度制与任意角的三角函数 ★知 识 梳理

1.任意角的概念:设角的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合, 终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、 负角和零角.象限 角:若角 ? 的终边在第 k 象限,则称 ? 为第 k 象限角;终边相同的角所 有与 ? 终边相同的角连同 ? 在内构成集合为 S ? ?? ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z ? 2. 弧度制的概念: 与半径等长的圆弧所对的圆心角称为 1 rad (弧度) 的角.
( 角度与弧度的互化公式: 1rad ? 180

?

? ? 57.3? ? 57?18' ; 1? ? )

?
180

rad

3 扇形的弧长公式:l ? ? r (扇形的圆心角为 ? 弧度,半径为 r ) ;扇 形的面积公式: S ?
1 1 ? lr ? ? r 2 2 2

4.

任意角的三角函数的定义:在角 ? 的终边上任取点 P( x, y) ,设
OP ? r(r ? 0)

则 sin ? ?
cot ? ?

x y y ; cos? ? ; tan ? ? r r x

x r r ,sec ? ? , csc ? ? y x y

5.

三角函数在各象限的符号:sin ? 上正下负横轴零,cos? 左负右

正纵轴零, tan ? 交叉正负横轴零. 6.三角函数的定义域

三角函数
y ? sin x
y ? cos x

定义域 R R
? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? tan x y ? cot x
y ? sec x
y ? csc x

?x x ? k? , k ? Z?
? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?x x ? k? , k ? Z?

★重 难 点 突 破

1.重点:掌握任意角的三角函数的定义和弧度制处理三角式的化简, 求值等问题。 2.难点:确定三角函数值的符号,理解弧度的概念及其与角度的关系 3.重难点:理解弧度的意义,正确地进行角度与弧度的换算. 掌握终 边相同的角的表示方法和扇形弧长和面积的计算. (1) 角的范围的确定应用不等式的性质和结合终边相同的角的表 达式。 α α 问题 1:若α 是第三象限角,试求 、 的范围. 2 3 α α 点拨:依据象限角的表示法将α 表示出来后,再确定 、 的 2 3

范围,再进一步判断

α α 、 所在的象限. 2 3

:∵α 是第三象限角 ∴k·360°+180°<α <k·360°+270°(k∈Z) (1)k·180°+90°< α <k·180°+135°(k∈Z) 2

α 当 k=2n(n∈Z)时,n·360°+90°< <n·360°+135° 2 当 k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+270°< ∴ α 为第二或第四象限角. 2 α <k·120°+90°(k∈Z) 3 α <n·360°+315° 2

(2)k·120°+60°<

α 当 k=3n(n∈Z)时,n·360°+60°< <n·360°+90°(n∈ 3 Z) α 当 k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+180°< <n·360°+210° 3 (n∈Z) α 当 k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+300°< <n·360°+330° 3 (n∈Z) ∴ α 为第一或第三或第四象限角. 3

(2)扇形弧长和面积的计算严格按公式进行转化。 问题 2. 一个扇形 OAB 的面积是 1 平方厘米, 它的周长是 4 厘米,

求∠AOB 和弦 AB 的长. 分析:欲求∠AOB,需要知道 的长和半径 OA 的长,用弧度制下 的弧长公式和扇形面积公式,结合已知条件,能比较容易地求得,之 1 后在△AOB 中求弦 AB 的长.作 OM⊥AB 交 AB 于 M,则 AM=BM= AB, 2 在 Rt△AMO 中求 AM. 解:设扇形的半径为 R cm.∠AOB=α rad.
?2 R ? aR ? 4 据题意 ? ?1 2 R ? ?1 ? ?2

解之得 ?

?R ? 1 ?? ? 2

过 O 作 OM⊥AB 交 AB 于 M. 1 则 AM=BM= AB. 2 在 Rt△AMO 中,AM=sin1,∴AB=2sin1 故∠AOB=2 rad.该 AB 的长为 2sin1 厘米.

★热 点 考 点 题 型 探 析 考点 1 角的概念问题

题型 1: 终边相同的角的表示方法 [例1] 写出 y ? ? x( x ? 0) 所夹区域内的角的集合。 【解题思路】任一与角α 终边相同的角,都可以表示成α 与整数个周 角的和. 解 : 当 ? 终 边 落 在 y ? x( x ? 0) 上 时 , 角 的 集 合 为 ?? | ? ? 45? ? k ? 360? , k ? Z ? ;
0 上 ) 时 , 角 的 集 合 为 当 ? 终 边 落 在 y ? ?(x x ? ? ? ?? | ? ? ?45 ? k ? 360 , k ? Z ? ;
所 以 , 按 逆 时 针 方 向 旋 转 有 集 合 :

S ? ?? | ?45? ? k ? 360? ? ? ? 45? ? k ? 360? , k ? Z ? .

【名师指引】把一条直线分成两部分,分别写出它们对应角的集合, 最后求并集即可.

题型 2:象限角的表示. [例 2]已知角 ? 是第二象限角,求: (1)角 是第几象限的角; (2) 角 2? 终边的位置。 【解题思路】依据已知条件先得出角的范围,再讨论 k 值确定象限角. 解析∵ k ? 360 ? 90 ? ? ? k ? 360 ? 180 ,∴
? ? ? ?

? 2

k ? 180 ? ? 45 ? ?

?
2

? k ? 180 ? ? 90 ?



? ? 当 k 为偶数时, 2 在第一象限,当 k 为奇数时, 2 在第三象限;

? ? ? ? ? 即: 2 为第一或第三象限角。∵ 2k ? 360 ? 180 ? 2? ? 2k ? 360 ? 360 ,

∴ 2? 的终边在下半平面。 【名师指引】已知 ? 所在象限,求 (n ? N* ) 所在象限问题,一般都要
n

?

分 n 种情况进行讨论. 【新题导练】 1.设 M={小于 90 ? 的角} ,N={第一象限的角} ,则 M ? N =( A、 {锐角} 以上都不对 解析:D [小于 900 的角是由锐角、零角及负角组成,第一象限的角 包括锐角及其它终边在第一象限的角,所以 M ? N 是由锐角和终边在 第一象限的负角组成的角] B、 {小于 90 ? 的角} C、 {第一象限的角} ) D、

2 . 写 出 -720 ° 到 720 ° 之 间 与 -1068 ° 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ___________________. 解析: ?? 708 ,?348 ,12 ,372 ?
? ? ? ?

3.已知 ? ?{? | ? ? k ?180? ? (?1)k ? 45?},判断 ? 所在的象限. 解析:? 在第一象限或第二象限[∵ ? ?{? | ? ? k ? 1800 ? (?1)k ? 450} ,∴可 设 若 k ? 2n , 则 ? ? 2n? 若 k ? 2n ? 1 , ? ? k? 1800 ? (?1)k ? 450 , k ? Z , 1800 ? 450 , n ? Z , 则 ? ? 2n? 1800 ? 1350 , n ? Z 故 ? 在第一象限或第二象限] 考点 2 弧度制与弧长公式

题型 1:角度制与弧度制的互化 例 3.(1)设 ?1 ? ?5700 ,?2 ? 7500 ,用弧度制表示它们,并指出它们各 自所在的象限. (2)设 ?1 ? ? , ? 2 ? ? ? ,用角度制表示它们,并在 ?7200 ~ 00 范 围内找出与它们有相同终边的所有角. 【解题思路】用互化公式.
19 5 ? ? ?2 ? 2? ? ? ,∴ ?1 在第二象限 180 6 6 ? 25 5 ?2 ? ? 750 ? ? ? 2 ? 2? ? ? ,∴ ? 2 在第一象限 180 6 6 3 180 3 ( 2 ) ? ? ( )0 ? ? ? 1080 , 与 它 终 边 相 同 的 角 可 表 示 为 5 ? 5

3 5

7 3

[解析] (1) ?1 ?

?

? (-570) ??

k? 3600 ? 1080 , k ? Z ,

由 ?7200 ? k ?3600 ? 1080 ? 00 得 ?2

3 3 ? k ? ? ,∴ k ? ?2, ?1 , 10 10

即在 ?7200 ~ 00 范围内与 ?1 有相同终边的角是 ?6120 , ?2520 . 同 理 ?2 ? ?4200 且 在 ?7200 ~ 00 范 围 内 与 ?2 有 相 同 终 边 的 角 是

?600 .

【名师指引】 角度与弧度进行互化, 关键是对转化公式的理解和应用; 判断一个角所在象限,关键是在 [0, 2? ) 内找到与该角终边相同的角. [例 4]设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm 2 ,则扇形的圆心角的弧度 数是
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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【解题思路】用扇形面积和弧长公式. 解析: S ? (8 ? 2r )r ? 4, r 2 ? 4r ? 4 ? 0, r ? 2, l ? 4, ? ? ? 2 【名师指引】在扇形的弧长公式与弓形的面积公式中,所用到的角的 单位是弧度,不是角度. 【新题导练】 4. ?3000 化为弧度为( A、 ?
4? 3

1 2

l r


5? 3

B、 ?
?

C、 ?

7? 4

D、 ?

7? 6

解析.B [ ?3000 ?

5 ? (?300) ? ? ? ] 180 3

5.三角形三内角的比是 7∶8∶15,各内角的弧度数分别是_______. 解析:设三角形的三内角分别是 7 x,8 x,15 x ,则 7 x ? 8 x ? 15 x ? ? 故 x ?

?
30

所以各内角的弧度数分别是

7? 8? ? , , 30 30 2

考点 3

三角函数的定义与三角函数的符号

题型 1:判断三角函数值的符号 例 5. 确定下列三角函数值的符号 π (1)cos250° (2) sin (- ) 4 11π tan 3 (3) tan (-672°) (4)

【解题思路】 直接根据三角函数的符号法则确定。

解:(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°<0 π π (2)∵- 是第四象限角,∴sin(- )<0 4 4 (3)tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而 48°是第一象限角,∴tan(-672°)>0 11π 5π 5π (4)tan =tan( +2π )=tan 3 3 3 而 5π 11π 是第四象限角,∴tan <0. 3 3

【名师指引】三角函数值的符号由角所在的象限确定 题型 2:由三角函数的定义求值 [例 6]已知角 ? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零) , 求 2sin ? +cos ? 的值. 【解题思路】直接根据三角函数的定义求值.
3 4 5 5 3 ?4 2 ? ; 若角 ? 终边过点 P?? 4,3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? ? 5 5 5 ?3 ?4 ? ?2 ; 若角 ? 终边过点 P?? 4,?3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? ? 5 5 ?3 4 2 若角 ? 终边过点 P?4,?3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? ? ? ? . 5 5 5

解析:若角 ? 终边过点 P?4,3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? ? ? 2 ;

【名师指引】 若点 ( x, y ) 是角α 终边上异于原点的一点, 求角α 的三角 函数值只需用定义即可.

【新题导练】 6.(佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)如图,角 ? 的顶点 原点 O,始边在 y 轴的正半轴、终边经过点 P(?3,?4) .角 ? 的顶点在原 y Q 点 O,始边在 x 轴的正半轴,终边 OQ 落在第二象限,且 tan ? ? ?2 ,则 x o cos ?POQ 的值为 A.
5 5

B. ?

11 5 25

C.

11 5 5 D. ? 25 5

P

解析:D 7.(2008·深圳市高三年级第一次调研考试)
若?

π ? ? ? 0 ,则点 Q(cos ? , sin ? ) 位于( ) 2

A.第一象限 四象限

B.第二象限

C.第三象限

D .第

[解析]直接根据正弦函数、余弦函数在第四象限的符号判定.选 D.

★抢 分 频 道
基础巩固训练 1. 已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin 是( A、
5? 6

2? 2? , cos ) , 则角 ? 的最小正角 3 3


2? 3

11? 6 2? cos 3 ?? 3] 解析.D [角 ? 在第四象限且 tan ? ? 2? 3 sin 3

B、

C、

5? 3

D、

2.若 ? 是第二象限的角,且 | cos |? ? cos ,则 是(
2 2

?

?

? 2



A、第一象限角 四象限角 解析 C
2 k? ?

B、第二象限角

C、第三象限角

D、第

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

当 k ? 2n,(n ? Z ) 时, 三象限; 而 cos
?
2 ? ? cos

? ? 在第一象限;当 k ? 2n ? 1, (n ? Z ) 时, 在第 2 2

?
2

? cos

?
2

? 0 ,?

?
2

在第三象限;

3 已知角 ? 的终边与函数 5x ? 12y ? 0, ( x ? 0) 决定的函数图象重合,求
cos ? ? 1 1 ? = tan ? sin ?





:





?













P(?12,5), r ? 13, cos ? ? ?

12 5 5 , tan ? ? ? ,sin ? ? 13 12 13

故 cos ? ?

77 1 1 ? =? 13 tan ? sin ?
5

4.(湛江市实验中学 2009 届高三第四次月考)已知 cos? ? 3 ,且角 ? 在 第一象限,那么 2 ? 在( A.第一象限 D.第四象限 解析:B? cos? ? 3 ?
5 2 ? ? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? 2 4 2

) B.第二象限 C.第三象限

,?4k? ? ? ? 2? ? 4k? ? ? 故 2 ? 在
2

第二象限. 5.(2008 广东省佛山市普通高中高三教学质量检测) 如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正
3 4? 半轴的交点,A 点的坐标为 ? ? , ?, ?5 5?

y

三角形.

B O

3 4 ( , ) A5 5

△ AOB 为 正

C x

(1)求 sin ?COA ; (2)求 cos ?COB .

? [ 解析 ] ( 1 )因为 A 点的坐标为 ? ? , ? ,根据三角函数定义可知 ?5 5? 3 4
sin ?COA ? 4 5

(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 600 ,
sin ?COA ? 4 3 , cos ?COA ? , 5 5

所以 cos ?COB = cos(?COA ? 600 )

? cos ?COA cos 600 ? sin ?COA sin 600

= ? ? ?

3 1 5 2

4 3 3?4 3 . ? 5 2 10

[点评]该考题主要考查三角函数定义与和差公式.

综合拔高训练 6.在扇形 AOB 中,?AOB ? 90° ,弧 AB 的长为 l ,求此扇形内切圆的面积.

解:设扇形 AOB 所在圆半径为 R ,此扇形内切圆的 半径为 r ,如图所示, 则有 R ? r ?
π 2r , ? AB ? l ? · R . 2
2 ? 1)l π

由此可得 r ? 2(


2 π l2 .

则内切圆的面积 S ? πr 2 ? 12 ? 8

7.圆弧长度等于其内接正三角形的边长,求其圆心角的弧度数. 解析: 如右图所示, 设正三角形的边长为 a ,半径为 r ,取 BC 的中点 D.

连接 OD, 则 OD ? BC , OC ? r , CD ? , ?OCD ? 30 0 ,
a 3 在 Rt ?ODC 中, cos300 ? 2 ,? r ? a. r 3
? 圆心角弧度数为
a 3 a 3 ? 3,
B

a 2

A

O
D

C

8.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与

单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为

2 2 5 , 10 5

y A B x

(1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2? 的值。 【解析】 :本小题考查三角函数的基本概念、三角函数 的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式, O 考查运算求解能力。
2 2 5 ,cos ? ? 10 5 7 2 5 ??、? 为锐角,? sin ? ? ,sin ? ? 10 5 1 ? tan ? ? 7, tan ? ? 2 1 7? tan ? ? tan ? 2 ? ?3 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2

由条件得 cos ? ?

(2)
4 1 7? 2 tan ? 3 ? ?1 2 ? 4 ? tan(? ? 2? ) ? tan ? ? tan 2? ? tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 3 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? 7 ? 4 2 3 3? 3? ?? ? 2 ? ? ??、? 为锐角,? 0 ? ? ? 2? ? 2 4 2?


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