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步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义:9.4直线与圆、圆与圆的位置关系


§ 9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ. 方法 位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2 (r2>0). 方法 位置关系 相离 外切 相交
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几何法 d<r d=r d>r

代数法 Δ>0 Δ =0 Δ<0

几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

代数法: 两圆方程联立组成方程组的 解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

内切 内含

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的必要不充分条件. (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切. (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交. ( × ( × ( × ) ) )

(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. ( × (5)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2. ( √ ) )

(6)过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为 A,B,则 O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x+y0y=r2.
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( √

)

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2.(2013· 安徽)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 A.1 B.2 C.4 D.4 6 答案 解析 C

(

)

圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心(1,2)到直线 x+2y-5+ 5=0 的距离 d=1,截得弦长

l=2 r2-d2=4. 3.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有 ( A.1 条 答案 解析 B ⊙C1:(x+1)2+(y+1)2=4, B.2 条 C.3 条 D.4 条 )

圆心 C1(-1,-1),半径 r1=2. ⊙C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心 C2(2,1),半径 r2=2. ∴|C1C2|= 13,∴|r1-r2|=0<|C1C2|<r1+r2=4, ∴两圆相交,有两条公切线. c 4.两圆交于点 A(1,3)和 B(m,1),两圆的圆心都在直线 x-y+ =0 上,则 m+c 的值等于________. 2 答案 解析 ∴ 3 c 由题意,知线段 AB 的中点在直线 x-y+ =0 上, 2

1+m c -2+ =0,∴m+c=3. 2 2

5.若圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公共点,则实数 k 的取值范围为__________. 答案 解析 (- 3, 3) 由圆与直线没有公共点,可知圆的圆心到直线的距离大于半径,也就是 2 >1 ,解得- 3 k2+1

<k< 3,即 k∈(- 3, 3).

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题型一 例1

直线与圆的位置关系 已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12.

(1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. 思维启迪 直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数;最短弦长可用代数 法或几何法判定.
?y=kx+1, ? 方法一 (1)证明 由? 2 2 ??x-1? +?y+1? =12, ?

消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|= 1+k2|x1-x2| =2 8-4k+11k2 =2 1+k2 4k+3 11- , 1+k2

4k+3 令 t= ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 1+k2 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R, 4 所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, 4k+3 故 t= 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k2 方法二 (1)证明 圆心 C(1, -1)到直线 l 的距离 d= = |k+2| k2+4k+4 2 2 , 圆 C 的半径 R = 2 3 , R - d = 12 - 1+k2 1+k2

11k2-4k+8 ,而在 S=11k2-4k+8 中,Δ=(-4)2-4×11×8<0, 1+k2
[ 来源:中,国教,育 出,版网]

故 11k2-4k+8>0 对 k∈R 恒成立,
2 2

所以 R -d >0,即 d<R,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识, 知|AB|=2 R2-d2=2 8-4k+11k2 ,下同方法一. 1+k2

方法三 (1)证明 因为不论 k 为何实数,直线 l 总过点 P(0,1),而|PC|= 5<2 3=R,所以点 P(0,1)在 圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P. 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点.
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(2)解 由平面几何知识知过圆内定点 P(0,1)的弦,只有和 AC (C 为圆心)垂直时才最短,而此时点 P(0,1) 为弦 AB 的中点,由勾股定理,知|AB|=2 12-5=2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 思维升华 (1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系, 也可利用直线的方程与圆的方程联立 后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系; (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法. (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) A.在圆上 C.在圆内 B.在圆外 D.以上都有可能 ( ) ( )

(2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是 A.相离 C.相交 B.相切或相交 D.相切

(3)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 则实数 c 的取值范围是________. 答案 解析 (1)B (2)C (3)(-13,13) (1)由 1 <1,得 a2+b2>1,∴点 P 在圆外. a +b2
2

(2)圆 x2+y2-2y=0 的圆心是(0,1),半径 r=1,则圆心到直线 l 的距离 d= (3)根据题意知,圆心 O 到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1, ∴ |c| <1,∴|c|<13, 122+52

|k| <1.故直线与圆相交. 1+k2

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∴c∈(-13,13). 题型二 例2 圆的切线与弦长问题 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4.

(1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值. 思维启迪 在求过某点的圆的切线方程时,应首先确定点与圆的位置关系,再求直线方程.若点在圆上, 则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.在处理 直线和圆相交所得的弦的弦长问题时,常考虑几何法. 解 (1)圆心 C(1,2),半径 r=2,

当直线的斜率不存在时,方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知, 此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3),
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即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 2 4 k +1 3 ∴圆的切线方程为 y-1= (x-3), 4 即 3x-4y-5=0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| 4 (2)由题意得 =2,解得 a=0 或 a= . 2 3 a +1 (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 ∴( |a+2|
2

|a+2|

, a2+1

[ 来源:中教网]

2 32 3 )2+( ) =4,解得 a=- . 2 4 a +1

思维升华 (1)求过某点的圆的切线问题时, 应首先确定点与圆的位置关系, 再求直线方程.若点在圆上(即 为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切 线. (2)求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形,利用勾股定理来解 决问题. 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. 解 (1)如图所示,|AB|=4 3,将圆 C 方程化为标准方程为(x+2)2+

(y-6)2=16, ∴圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB, ∴|AD|=2 3,|AC|=4.C 点坐标为(-2,6). 在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. |-2k-6+5| 3 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 2 2 =2,得 k=4. k +?-1? 故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 则 CD⊥PD,即CD· PD=0,
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∴(x+2,y-6)· (x,y-5)=0,

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化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0. 题型三 例 3 圆与圆的位置关系 (1)已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线

方程是________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的条数是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0,⊙O′的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′所引 的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是________. 思维启迪 求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系,然后将等量关系用坐标表示出来. 答案 解析 3 (1)x-2y+4=0 (2)2 (3)x= 2 (1)两圆的方程相减得:x-2y+4=0.

(2)两圆圆心距 d= 74< 66+ 64, ∴两圆相交,故有 2 条切线. (3)⊙O 的圆心为(0,0),半径为 2,⊙O′的圆心为(4,0),半径为 6,设点 P 为(x,y),由已知条件和圆 3 切线性质得 x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,化简得 x= . 2 思维升华 判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一 般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2,y2 项得到. 已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则以两圆公共弦为直 径的圆的方程是________________. 答案 (x+2)2+(y-1)2=5

解析 圆 C1 的圆心为(1,-5),半径为 50,圆 C2 的圆心为(-1,-1),半径为 10,则两圆心连线的 直线方程为 2x+y+3=0,由两圆方程作差得公共弦方程为 x-2y+4=0,两直线的交点(-2,1)即为所求 圆的圆心,由垂径定理可以求得半径为 5,即所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.

高考中与圆交汇问题的求解
[ 来源:中国 教育出 版网 zzstep.com]

一、圆与集合的交汇问题 典例:(5 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0}, 则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________、________. 思维启迪 本题条件 M∩N≠?反映了两个集合所表示的曲线之间的关系,即半圆与圆之间的关系,因此 可以直接利用数形结合的思想求解. 解析 因为集合 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},

所以集合 M 表示以 O(0,0)为圆心,半径为 r1= 2a 的上半圆. 同理,集合 N 表示以 O′(1, 3)为圆心,半径为 r2=a 的圆上的点. 这两个圆的半径随着 a 的变化而变化,但|OO′|=2.如图所示,
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当两圆外切时,由 2a+a=2,得 a=2 2-2; 当两圆内切时,由 2a-a=2,得 a=2 2+2. 所以 a 的最大值为 2 2+2,最小值为 2 2-2. 答案 2 2+2 2 2-2

温馨提醒 本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识, 考查考生综合运用知识解决问题的能力. 借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷,在求解时要注意对 M∩N≠?的意义的理解,若题中未指明 集合非空时,要考虑到空集的可能性,例如 A?B,则 A=?或 A≠?两种可能,应分类讨论.本题的设计 亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来. 二、圆与线性规划的交汇问题 2x-y+2≥0, ? ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ? ?x+y-2≤0 为________. 思维启迪 求解本题应先画出点 P 所在的平面区域, 再画出点 Q 所在的圆, 最后利用几何意义将问题转 化为圆上的点到定直线的距离的最值问题,即可求出|PQ|的最小值.

上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上,那么|PQ|的最小值

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2x-y+2≥0, ? ? 解析 由点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ? ?x+y-2≤0

上, 画出点 P 所在的

平面区域.由点 Q 在圆 x2+(y+2)2=1 上,画出点 Q 所在的圆,如 图所示.
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由题意,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离减去半径 1. |0-2×?-2?+1| 又圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离为 = 5,此时垂足(-1,0)在满足条件的平面 12+22 区域内,故|PQ|的最小值为 5-1. 答案 5-1

温馨提醒 本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识,并考查考生综合应用知识解决问题的能力. 本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来,为我们展现了数学知识相互交汇的新天地, 求解时既要注意使用线性规划的基本思想,又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提 升,即利用线性或非线性函数的几何意义,通过作图来解决最值问题. 三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m +n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 思维启迪 圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质,即圆内点、圆外点的性质,直线与圆相交、 相离的性质,圆与圆的相交、相离的性质等,这些问题反映在代数上就是不等式的形式. 解析 圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为 |m+n|
2

(

)

?m+1? +?n+1?

2=1,所以

1 m+n+1=mn≤ 4

(m+n)2, 所以 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2. 答案 D 温馨提醒 直线与圆位置关系的考查,一般是已知位置关系求参数值,基本不等式的考查一般是给出参 数关系,利用基本不等式求最值或范围.而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系,利用 基本不等式转化,结合换元法把关系转化为一元二次不等式, 从而求得 m+n 的取值范围,这一交汇命题新颖独特,考查知识全面,难度中等,需要 注意各知识应熟练掌握才能逐一化解.

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方法与技巧 1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
[ 来源:中国教育出 版网 zzstep.com]

1 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率 k 不存在,则由图形写出切线方程 x=x0. 2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半 径,即可得出切线方程. (2)代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ= 0,求得 k,切线方程即可求出. 3.两圆公共弦所在直线方程的求法 若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 4.圆的弦长的求法 l ?2 2 2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ?2? =r -d .
?y=kx+b, ? (2)代数法:设直线与圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,解方程组? 消 y 后得关 2 2 2 ? ??x-x0? +?y-y0? =r ,

于 x 的一元二次方程,从而求得 x1+x2,x1x2,则弦长为 |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2](k 为直线斜率). 失误与防范 1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或 斜率之积为-1 列方程来简化运算. 2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑 运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解.

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A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+(y-3)2=1 的内公切线有且仅有 A.1 条 答案 解析 B 圆心距为 3,半径之和为 2,故两圆外离,内公切线条数为 2. ) B.2 条 C.3 条 D.4 条 ( )
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2.(2012· 重庆)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是( A.相离 C.相交但直线不过圆心 答案 解析 C ∵x2+y2=2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离 B.相切 D.相交且直线过圆心

|0-0+1| 1 d= ≤1, 2 = 1+k 1+k2 又∵r= 2,∴0<d<r. ∴直线与圆相交但直线不过圆心. 3.直线 l 过点 A(2,4)且与圆 x2+y2=4 相切,则 l 的方程为 A.3x-4y+10=0 C.x-y+2=0 答案 D 解析 显然 x=2 为所求切线之一; B.x=2 D.x=2 或 3x-4y+10=0 ( )

另设 y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0, 而 |4-2k|
2

3 =2,k= ,即切线为 3x-4y+10=0, 4 k +1

∴x=2 或 3x-4y+10=0 为所求. 4.(2013· 山东)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 ( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 答案 A B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0 )
[ 来源:中*国教* 育出* 版网]

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解析

1 如图所示:由题意知:AB⊥PC,kPC= ,∴kAB=-2,∴直线 2

AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0. 5.已知直线 y=kx+b 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,当 b= 1+k2 → → 时,OA· OB等于 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

答案 A 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=kx+b 代入 x2+y2=1 得(1+k2)x2+2kbx+b2-1=0,

b2-1 2kb 故 x1+x2=- , x x = , 1+k2 1 2 1+k2 → → 从而OA· OB=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2 2k2b2 2b2 2 =b2-1- + b = -1=1. 1+k2 1+k2 二、填空题 6.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是________. 答案 解析 1-2 2≤b≤3 由 y=3- 4x-x2,得(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3).

∴曲线 y=3- 4x-x2是半圆,如图中实线所示. 当直线 y=x+b 与圆相切时, |2-3+b| =2.∴b=1± 2 2. 2 由图可知 b=1-2 2. ∴b 的取值范围是[1-2 2,3]. 7.若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范围为______________. 答案 解析 3? (-∞,-3)∪? ?1,2? 圆方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,
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?3-2a>0 ? 3 由已知可得? 2 ,解得 a<-3 或 1<a< . 2 ? ?a >3-2a

8.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 答案 解析 1 方程 x2+y2+2ay-6=0 与 x2+y2=4. 1 22-? 3?2= , a

1 相减得 2ay=2,则 y= .由已知条件 a 即 a=1. 三、解答题

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2 9.已知以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点. t (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 4 (1)证明 ∵圆 C 过原点 O,∴OC2=t2+ 2. t 2 4 设圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 2, t t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ; t 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, 1 1 4 ∴S△OAB= OA· OB= ×| |×|2t|=4, 2 2 t 即△OAB 的面积为定值. (2)解 ∵OM=ON,CM=CN,∴OC 垂直平分线段 MN. 1 ∵kMN=-2,∴kOC= . 2 2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 10.已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0),边 AB 所在直线的方程为 x-3y-6=0,点(-1,1)在边 AD 所在 的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证:直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相交,并求 出相交的弦长最短时的直线 l 的方程. 解 (1)∵lAB:x-3y-6=0 且 AD⊥AB, 9 > 5. 5 1 < 5, 5
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点(-1,1)在边 AD 所在的直线上, ∴AD 所在直线的方程是 y-1=-3(x+1), 即 3x+y+2=0.

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?x-3y-6=0, ? 由? 得 A(0,-2). ?3x+y+2=0, ?

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∴|AP|= 4+4=2 2, ∴矩形 ABCD 的外接圆的方程是(x-2)2+y2=8. (2)直线 l 的方程可化为 k(-2x+y+4)+x+y-5=0, l 可看作是过直线-2x+y+4=0 和 x+y-5=0 的交点(3,2)的直线系, 即 l 恒过定点 Q(3,2), 由(3-2)2+22=5<8 知点 Q 在圆 P 内, 所以 l 与圆 P 恒相交. 设 l 与圆 P 的交点为 M,N, 则|MN|=2 8-d2(d 为 P 到 l 的距离), 设 PQ 与 l 的夹角为 θ,则 d=|PQ|· sin θ= 5sin θ, 当 θ=90° 时,d 最大,|MN|最短. 1 此时 l 的斜率为 PQ 的斜率的负倒数,即- , 2 1 故 l 的方程为 y-2=- (x-3),x+2y-7=0. 2 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 ( A.x2+y2-2x-3=0 C.x2+y2+2x-3=0 答案 D 解析
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)

B.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0

设圆心为(a,0),且 a>0,

则(a,0)到直线 3x+4y+4=0 的距离为 2, 即 |3×a+4×0+4| 14 =2?3a+4=± 10?a=2 或 a=- (舍去), 3 32+42

则圆 C 的方程为(x-2)2+(y-0)2=22, 即 x2+y2-4x=0.

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2.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有 A.1 个 答案 解析 C |9+12-11| 因为圆心到直线的距离为 =2, 5 B.2 个 C.3 个 D.4 个

(

)

又因为圆的半径为 3,所以直线与圆相交,由数形结合知, 圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个. 3.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、 B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 A. 3 3 B 1 ∵S△AOB= |OA||OB|sin∠AOB 2 B.- 3 3 C.± 3 3 D.- 3 ( )

答案 解析

1 1 = sin∠AOB≤ . 2 2 π 当∠AOB= 时, 2 S△AOB 面积最大.
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此时 O 到 AB 的距离 d=

2 . 2

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0), 即 kx-y- 2k=0.由 d= | 2k| 2 3 = 得 k=- . 2 2 3 k +1 3 ). 3

(也可 k=-tan∠OPH=-

4.(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是______. 答案 解析 4 3 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).

由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2, 即 |4k-2|
2

4 ≤2.整理,得 3k2-4k≤0.解得 0≤k≤ . 3 k +1

4 故 k 的最大值是 . 3

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5.已知集合 A={(x,y)|x-y+m≥0},集合 B={(x,y)|x2+y2≤1}.若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是 ________. 答案 m<- 2 解析 如图, A={(x, y)|x-y+m≥0}表示直线 x-y+m=0 及其右下方

区域, B={(x, y)|x2+y2≤1}表示圆 x2+y2=1 及其内部, 要使 A∩B=?, |0-0+m| 则直线 x-y+m=0 在圆 x2+y2=1 的下方, 即 >1, 故 m<- 2. 2 6.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a). (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程. (2)若 a= 2,过点 M 的圆的两条弦 AC,BD 互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值. 解 (1)由条件知点 M 在圆 O 上,
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所以 1+a2=4,则 a=± 3.

当 a= 3时,点 M 为(1, 3),kOM= 3,k 切=- 此时切线方程为 y- 3=- 即 x+ 3y-4=0, 3 (x-1). 3

3 , 3

当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切= 此时切线方程为 y+ 3= 3 (x-1).即 x- 3y-4=0. 3

3 . 3

所以所求的切线方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0. (2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0),
2 2 则 d2 1+d2=OM =3. 2 又有|AC|=2 4-d2 1,|BD|=2 4-d2, 2 所以|AC|+|BD|=2 4-d2 1+2 4-d2. 2 2 2 则(|AC|+|BD|)2=4×(4-d1 +4-d2 2+2 4-d1 · 4-d2) 2 2 2 =4×[5+2 16-4?d2 1+d2?+d1d2] 2 2 =4×(5+2 4+d1 d2).

9 2 2 2 因为 2d1d2≤d2 1+d2=3,所以 d1d2≤ , 4 当且仅当 d1=d2= 6 5 2 时取等号,所以 4+d2 1d2≤ , 2 2

5 所以(|AC|+|BD|)2≤4×(5+2× )=40. 2 所以|AC|+|BD|≤2 10,即|AC|+|BD|的最大值为 2 10.

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