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福建省漳州市漳浦县三校2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析


福建省漳州市漳浦县三校 2014-2015 学年高一下学期期中数学试 卷
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)在△ ABC 中,若 A=60°,B=45°,a=3 A.4 B. 2 C.

,则 b=() D.

2. (5 分)若 a、b 是任意实数,且 a>b,则() A. a >b
2 2<

br />
B.

C. lg(a﹣b)>0

D.

3. (5 分)已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=﹣6,那么 a10 等于() A.﹣165 B.﹣33 C.﹣30 D.﹣21 4. (5 分)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 5. (5 分)已知△ ABC 的面积为 , A.30° B.60° ,则 A=() C.30°或 150° D.60°或 120°

*

6. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1?a9=16,则 a2?a5?a8 的值() A.16 B.32 C.48 D.64 7. (5 分)公比为 A.4 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a16=() B. 5 C. 6 D.7

8. (5 分)函数 y= A.(﹣∞,4)∪(1,+∞) 1) D. (﹣1,4) 9. (5 分)在△ ABC 中,AC= A. B.

的定义域为() B.(﹣4,1) C. (﹣4,0)∪(0,

,BC=2,B=60°则 BC 边上的高等于() C. D.

10. (5 分)已知 a1,a2∈(0,1) ,记 M=a1a2,M=a1+a2﹣1 则 M 与 N 的大小关系是() A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定. 11. (5 分)已知等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,且 am﹣1+am+1﹣am﹣1=0,S2m﹣ 1=39.则 m 等于() A.19 B.39 C.10 D.20 12. (5 分)若 a<1,则 a+ A.3 B. a 的最大值是() C.﹣1 D.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)在△ ABC 中,B=30°,C=120°,则 a:b:c=. 14. (4 分)若数列{an}中,a1=1,且满足 an+1=2an+1,则 a7=.

15. (4 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为.

16. (4 分)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值.

三、解答题(第 17、18、19、20、21 题各 12 分,22 题 14 分) 2 2 2 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,已知 b +c ﹣a =bc (1)求角 A 的值; (2)若 a= ,cosC= ,求边 c 的长.

18. (12 分)设公比 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和 Sn,若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,求 公比 q. 19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= n + n, (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 2015 项和 T2015.
2

20. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,B=

,cosA= ,b=

(1)求 sinC 的值; (2)求△ ABC 的面积. 21. (12 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生 产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的 生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) ,销售收入 R(x)满足 R(x) = , 假定该产品产销平衡, 那么根据上述统计规律:

(1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么 范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?此时每台产品售价为多少? 22. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2 (1)设 bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)在(1)的条件下,证明{ }是等差数列,并求 an;

(3)在(1)的条件下,求数列{an}的前 n 项和为 Sn.

福建省漳州市漳浦县三校 2014-2015 学年高一下学期期 中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)在△ ABC 中,若 A=60°,B=45°,a=3 A.4 B. 2 C.

,则 b=() D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知及正弦定理即可解得 b= 解答: 解:由正弦定理可得:b= = 的值. =2 .

故选:B. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用,属于基本知识的考查. 2. (5 分)若 a、b 是任意实数, 且 a>b,则() A.a >b
2 2

B.

C.lg(a﹣b)>0

D.

考点: 不等式比较大小. 专题: 综合题. 分析: 由题意可知 a>b,对于选项 A、B、C 举出反例判定即可. 解答: 解:a、b 是任意实数,且 a>b,如果 a=0,b=﹣2,显然 A 不正确; 如果 a=0,b=﹣2,显然 B 无意义,不正确; 如果 a=0,b=﹣ ,显然 C,lg >0,不正确; 满足指数函数的性质,正确. 故选 D. 点评: 本题考查比较大小的方法,考查各种代数式的意义和性质,是基础题. 3. (5 分)已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=﹣6,那么 a10 等于() A.﹣165 B.﹣33 C.﹣30 D.﹣21 考点: 数列的概念及简单表示法. 分析: 根据题目所给的恒成立的式子 ap+q=ap+aq,给任意的 p,q∈N ,我们可以先算出 a4, 再算出 a8,最后算出 a10,也可以用其他的赋值过程,但解题的原理是一样的. 解答: 解:∵a4=a2+a2=﹣12, ∴a8=a4+a4=﹣24, ∴a10=a8+a2=﹣30, 故选 C 点评: 这道题解起来有点出乎意料,它和函数的联系非常密切,通过解决探索性问题,进 一步培养学生创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. 4. (5 分)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 设数列{an}的公差为 d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得 d 的值. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解 得 d=2, 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题. 5. (5 分)已知△ ABC 的面积为 , A.30° B.60°
* *

,则 A=() C.30°或 150° D.60°或 120°

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题.

分析: 由题意可得

= ,由此求得 sinA=

,再根据 A 的范围求出 A 的值. = ,由此求得

解答: 解:由△ ABC 的面积为 , sinA= .

,则可得

再由 A∈(0°,180°) ,可得 A=60°,或 A=120°, 故选 D. 点评: 本题主要考查三角形中的几何计算,根据三角函数的值求角,求出 sinA= 解题的关键,属于基础题. 6. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1?a9=16,则 a2?a5?a8 的值() A.16 B.32 C.48 D.64 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等比数列的性质可得 a1?a9= , 结合 an>0 可求 a5, 然后由 a2?a5?a8= =16, 可求 ,是

解答: 解:由等比数列的性质可得 a1?a9= ∵an>0 ∴a5=4 ∴a2?a5?a8= =64

故选 D 点评: 本题主要考查了等比数列的性质的应用,属于基础试题

7. (5 分)公比为 A.4

的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a16=() B. 5 C. 6 D.7

考点: 等比数列的通项公式;对数的运算性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由公比为 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,知 ,故 a7=4,

=32,由此能求出 log2a16. 解答: 解:∵公比为 ∴ ∴a7=4, ∴ =32, , 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,

∴log2a16=log232=5. 故选 B. 点评: 本题考查等比数列的通项公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

8. (5 分)函数 y=

的定义域为() B.(﹣4,1) C. (﹣4,0)∪(0,

A.(﹣∞,4)∪(1,+∞) 1) D. (﹣1,4)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分式的分母不为 0,偶次方被开方数非负,求解即可. 2 解答: 解:要使函数有意义,可得﹣x ﹣3x+4>0, 解得 x∈(﹣4,1) . 函数 y= 的定义域为(﹣4,1)

故选:B. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,基本知识的考查. 9. (5 分)在△ ABC 中,AC= A. B. ,BC=2,B=60°则 BC 边上的高等于() C. D.

考点: 解三角形. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 在△ ABC 中,由余弦定理可得,AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB 可求 AB=3,作 AD⊥BC,则在 Rt△ ABD 中,AD=AB×sinB 2 2 2 解答: 解:在△ ABC 中,由余弦定理可得,AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB 把已知 AC= ,BC=2 B=60°代入可得,7=AB +4﹣4AB×
2 2 2 2 2

整理可得,AB ﹣2AB﹣3=0 ∴AB=3 作 AD⊥BC 垂足为 D Rt△ ABD 中,AD=AB×sin60°= 即 BC 边上的高为 故选 B ,

点评: 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,解答本题的关键是求出 AB,属于 基础试题 10. (5 分)已知 a1,a2∈(0,1) ,记 M=a1a2,M=a1+a2﹣1 则 M 与 N 的大小关系是() A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定. 考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作差即可比较出大小. 解答: 解:∵a1,a2∈(0,1) , ∴M﹣N=a1a2﹣(a1+a2﹣1)=(a1﹣1) (a2﹣1)>0, ∴M>N. 故选:A. 点评: 本题考查了“作差法”比较两 数的大小,考查了计算能力,属于基础题. 11. (5 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 m>1, 且 am﹣1+am+1﹣am﹣1=0, S2m﹣1=39. 则 m 等于() A.19 B.39 C.10 D.20 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和已知可得 am=1,再由求和公式和性质可得 S2m﹣
1=

=(2m﹣1)am=39,代值解关于 m 的方程可得.

解答: 解:∵am﹣1+am+1﹣am﹣1=0, ∴由等差数列的性质可得 am﹣1+am+1=2am, 代入上式可得 2am﹣am﹣1=0,解得 am=1, ∴S2m﹣1= =39,



=(2m﹣1)am=39,

∴2m﹣1=39,解得 m=20 故选:D

点评: 本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题. 12. (5 分)若 a<1,则 a+ A.3 B. a 的最大值是() C.﹣1 D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴a+

基本不等式. 不等式. 变形利用基本不等式的性质即可. 解:∵a<1,∴1﹣a>0. =﹣≤﹣(2 ﹣1)=﹣1,

当且仅当 a=0 时取等号. 因此 a+ 的最大值是﹣1.

故选:C. 点评: 本题考查了运用基本不等式求最值,属于基础题. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分 )在△ ABC 中,B=30°,C=120°,则 a:b:c=1:1: 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 解三角形. 利用正弦定理即可得出. 解:∵B=30°,C=120°,∴A=30°. =1:1: .



由正弦定理可得:a:b:c=sinA:sinB:sinC=sin30°:sin30°:sin120°= : : 故答案为:1:1: . 点评: 本题考查了正弦定理,属于基础题. 14. (4 分)若数列{an}中,a1=1,且满足 an+1=2an+1,则 a7=127. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: an+1=2an+1,变形为 an+1+1=2(an+1) ,利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解:∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1) , ∴数列{an+1}是等比数列,首项为 2,公比为 2, n ∴an+1=2 , ∴
7

﹣1.

∴a7=2 ﹣1=127. 故答案为:127.

点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中 档题.

15. (4 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为 11.

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 先画出线性约束条件表示的可行域, 再将目标函数赋予几何意义, 最后利用数形结 合即可得目标函数的最值. 解答: 解:画出可行域如图阴影部分, 由 得 C(3,2)

目标函数 z=3x+y 可看做斜率为﹣3 的动直线,其纵截距越大 z 越大, 由图数形结合可得当动直线过点 C 时,z 最大=3×3+2=11 故答案为:11

点评: 本题主要考查了线性规划, 以及二元一次不等式组表示平面区域的知识, 数形结合 的思想方法,属于基础题

16. (4 分)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值.

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由题意 + =(x+y) ( 解答: )=13+ ,1 代换后直接利用基本不等式即可求解

解:∵x>0,y>0,且 x+y=1, )=13+ =25

+ =(x+y) (

当且仅当

即 x=

时取等号

则 + 的最小值 25 点评: 本题主要考查了基本不等式的应用,注意 1 的代换在变形中的应用. 三、解答题(第 17、18、19、20、21 题各 12 分,22 题 14 分) 2 2 2 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,已知 b +c ﹣a =bc (1)求角 A 的值; (2)若 a= ,cosC= ,求边 c 的长.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)结合已知由余弦定理可得 cosA= 的值. (2)由已知可得 sinC= ,根据正弦定理可得 c= 的值. = ,结合 0<A<π,可解得 A

解答: 解: (1)由余弦定理可得:cosA= 结合 0<A<π,可解得 A= (2)由已知可得:sinC= . = = ,

=

= ,

根据正弦定理可得:c=

=

=



点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数关系式的应用,属于基本知识 的考查. 18. (12 分)设公比 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和 Sn,若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,求 公比 q. 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 q 和 a1 的方程组,解方程组可得. 解答: 解:由题意可得 ,



,即



解得 q= 或 q=﹣1,由 q>0 可得 q= 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题.
2

19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= n + n, (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 2015 项和 T2015.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn= n + n,可得当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出. (2)bn= =
2 2

,利“裂项求和”即可得出.

解答: 解: (1)∵Sn= n + n, ∴当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= n + n﹣ 当 n=1 时上式也满足, ∴an=n. (2)bn= = = , +… + =1﹣
2

=n,

∴数列{bn}的前 2015 项和 T2015= = .

点评: 本题考查了“裂项求和”方法、递推式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 20. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,B= (1)求 sinC 的值; (2)求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1) 由题意可得 C= ﹣A, sinA= , 从而利用两角差的正 弦函数公式可求 sinC.

,cosA= ,b=

(2)由(1)及正弦定理可求得 a=

的值,从而根据三角形面积公式即可得解. ,cosA= ,

解答: 解: (1)∵在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,B= ∴C= ﹣A,sinA= , ﹣A)= cosA+ sinA= . .

∴sinC=sin(

(2)由(1)可知,sinA= ,sinC= 又∵B= ,b= ,

∴在三角形 ABC 中,由正弦定理可得:a= ∴S△ ABC= absinC= × =

= .

点评: 本题主要考查了两角差的正弦函数公式, 正弦定理的综合应用, 属于基本知识的考 查. 21. (12 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生 产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的 生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) ,销售收入 R(x)满足 R(x) = , 假定该产品产销平衡, 那么根据上述统计规律:

(1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?此时每台产品售价为多少? 考点: 分段函数的应用. 分析: (1)根据利润=销售收入﹣总成本,列出解析式;要使工厂有赢利,即解不等式 f (x)>0,分 0≤x≤5 时和 x>5 时分别求解即可; (2)分别求出 0≤x≤5 时和 x>5 时 f(x)的最大值,取最大的即可. 解答: 解:依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x) ,则 f(x)=R(x)﹣G(x)= (1)要使工厂有赢利,即解不等式 f(x)>0,当 0≤x≤5 时, 2 解不等式﹣0.4x +3.2x﹣2.8>0. 2 即 x ﹣8x+7<0. ∴1<x<7,∴1<x≤5. (2 分) 当 x>5 时,解不等式 8.2﹣x> 0,得 x<8.2. ∴5<x<8.2. 综上,要使工厂赢利,x 应满足 1<x<8.2, 即产品应控制在大于 100 台,小于 820 台的范围内.

(2)0≤x≤5 时,f(x)=﹣0.4(x﹣4) +3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时,f(x)<8.2﹣5=3.2 所以,当工厂生产 400 万台产品时,赢利最多. 又 x=4 时, =240(元/台) ,

2

故此时每台产品售价为 240(元/台) . 点评: 本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识.新 2015 届高考中的重要的理念就 是把数学知识运用到实际生活中, 如何建模是解决这类问题的关键. 同时要熟练地掌握分段 函数的求最值问题及解不等式问题. 22. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2 (1)设 bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)在(1)的条件下,证明{ }是等差数列,并求 an;

(3)在(1)的条件下,求数列{an}的前 n 项和为 Sn. 考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)Sn+1=4an+2,a1=1,当 n=1 时,1+a2=4×1+2,解得 a2;当 n≥2 时,an+1=Sn+1 ﹣Sn,变形为 an+1﹣2an=2(an﹣2an﹣1) ,即可证明; (2)由(1)可得:bn=an+1﹣2an=3×2
n﹣1

,变形为

= ,利用等差数列的通项公式

即可得出; (3)利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: (1)证明:∵Sn+1=4an+2,a1=1, ∴当 n=1 时,1+a2=4×1+2,解得 a2=5; 当 n≥2 时,an+1=Sn+1﹣Sn=4an+2﹣(4an﹣1+2) ,化为 an+1=4an﹣4an﹣1, ∴an+1﹣2an=2(an﹣2an﹣1) , ∴数列{bn}是等比数列,首项为 a2﹣2a1=3,公比为 2; n﹣1 (2)证明:由(1)可得:bn=an+1﹣2an=3×2 , ∴ = ,

∴{

}是等差数列,首项为

= ,公差为 .

= ∴an=(3n﹣1)×2 (3)解:Sn=

=
n﹣2




2 n﹣2

+5×1+8×2+11×2 +…+(3n﹣1)×2



∴2Sn=2+5×2+8×2 +…+(3n﹣4)×2 +(3n﹣1)×2 2 n﹣2 n﹣1 ∴﹣Sn=1+3+3×2+3×2 +…+3×2 ﹣(3n﹣1)×2 =1+3× ﹣(3n﹣1)×2
n﹣1 n﹣1

2

n﹣2

n﹣1



=(4﹣3n)×2

n﹣1

﹣2,

∴Sn=(3n﹣4)×2 +2. 点评: 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式、等差数列的通项公式、递推 式的应用,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.


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