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2008年高考试题与答案-全国卷2数学文


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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+ 文科数学(必修+选修 I)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 10 页. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 参考公式: 参考公式: 球的表面积公式 如果事件 A,B 互斥,那么

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( Ai B ) = P ( A)i P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

V=

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pk (k ) = Cnk p k (1 ? p ) n ? k (k = 0,2, ,n) 1, ?

其中 R 表示球的半径

一、选择题 1.若 sin α < 0 且 tan α > 0 是,则 α 是( A.第一象限角 B. 第二象限角

) C. 第三象限角 D. 第四象限角 )

2.设集合 M = {m ∈ Z | ?3 < m < 2} , N = {n ∈ Z | ?1 ≤ n ≤ 3},则M ∩ N = ( A. {0, 1} B. {?1 0, ,1} C. {0,2} 1, ) D. 5 ) D. {?1 0,2} ,1,

3.原点到直线 x + 2 y ? 5 = 0 的距离为( A.1 4.函数 f ( x) = B. 3 C.2

1 ? x 的图像关于( x

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A. y 轴对称 C. 坐标原点对称

B. 直线 y = ? x 对称 D. 直线 y = x 对称 ) D. b < c < a )

?1 3 1) 5.若 x ∈ (e ,,a = ln x,b = 2 ln x,c = ln x ,则(

A. a < b < c

B. c < a < b

C. b < a < c

? y ≥ x, ? 6.设变量 x,y 满足约束条件: ? x + 2 y ≤ 2, ,则 z = x ? 3 y 的最小值为( ? x ≥ ?2. ? A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8
2

7.设曲线 y = ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 = 0 平行,则 a = ( A.1 B.



1 2

C. ?

1 2

D. ?1

8.正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,侧棱与底面所成的角为 60° ,则该棱锥的体积为( A.3 9. (1 ? B.6 C.9 D.18 ) D.4 ) D.2



x ) 4 (1 + x ) 4 的展开式中 x 的系数是(
B. ?3 C.3

A. ?4

10.函数 f ( x ) = sin x ? cos x 的最大值为( A.1 B.

2

C. 3

11.设 △ ABC 是等腰三角形, ∠ABC = 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离 心率为( A. ) B.

1+ 2 2

1+ 3 2

C. 1 +

2

D. 1 + 3

12.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2, 则两圆的圆心距等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修 选修 I) 文科数学 必修+选修 必修 第Ⅱ卷
小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 填空题: 13.设向量 a = (1,,b = (2, ,若向量 λ a + b 与向量 c = ( ?4, 7) 共线,则 λ = 2) 3) ? .

14.从 10 名男同学,6 名女同学中选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学 又有女同学的不同选法共有 种(用数字作答) 15.已知 F 是抛物线 C:y 2 = 4 x 的焦点, A,B 是 C 上的两个点,线段 AB 的中点为

M (2, ,则 △ ABF 的面积等于 2)



16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17. (本小题满分 10 分) 在 △ ABC 中, cos A = ?

5 3 , cos B = . 13 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC = 5 ,求 △ ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a4 = 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 {an } 前 20 项的和 S 20 .

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19. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知,甲击 中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.4,0.4,0.2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 AB = 4 ,点 E 在 CC1 上且 C1 E = 3EC . (Ⅰ)证明: A1C ⊥ 平面 BED ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? DE ? B 的大小. A1 D1 B1

C1

E D A 21. (本小题满分 12 分) 设 a ∈ R ,函数 f ( x ) = ax 3 ? 3 x 2 . (Ⅰ)若 x = 2 是函数 y = f (x ) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x ) = f ( x ) + f ′( x),x ∈ [0, ,在 x = 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. 2] B C

22. (本小题满分 12 分) 设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B (0, 是它的两个顶点,直线 y = kx (k > 0) 与 AB 相交 0) 1) 于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED = 6 DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题( 选修Ⅰ 文科数学试题(必修 + 选修Ⅰ)参考答案和评分参考
评分说明: 评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 .本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 .对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时, 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. .解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. .只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题 1.C 2.B 3.D 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.A 10.B 11.B 12.C 二、填空题 13.2 14.420 15.2 16.两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边 形. 注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 三、解答题 17.解:

5 12 ,得 sin A = , 13 13 3 4 由 cos B = ,得 sin B = . ······························································································· 2 分 5 5 16 所以 sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B = . ··············································· 5 分 65 4 5× BC × sin B 5 = 13 . ······················································ 8 分 (Ⅱ)由正弦定理得 AC = = 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 所以 △ ABC 的面积 S = × BC × AC × sin C = × 5 × × = . ··························· 10 分 2 2 3 65 3
(Ⅰ)由 cos A = ? 18.解: 设数列 {an } 的公差为 d ,则

a3 = a4 ? d = 10 ? d , a6 = a4 + 2d = 10 + 2d , a10 = a4 + 6d = 10 + 6d . ····································································································· 3 分
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由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3 a10 = a6 ,
2

即 (10 ? d )(10 + 6d ) = (10 + 2d ) 2 , 整理得 10d ? 10d = 0 ,
2

解得 d = 0 或 d = 1 . ············································································································· 7 分 当 d = 0 时, S 20 = 20a4 = 200 . ························································································· 9 分 当 d = 1 时, a1 = a4 ? 3d = 10 ? 3 ×1 = 7 , 于是 S 20 = 20a1 + 19.解: 记 A1,A2 分别表示甲击中 9 环,10 环,

20 ×19 d = 20 × 7 + 190 = 330 . ·························································· 12 分 2

B1,B2 分别表示乙击中 8 环,9 环,
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数, C1,C2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.
(Ⅰ) A = A1 ? B1 + A2 ? B1 + A2 ? B2 , ············································································· 2 分

P ( A) = P ( A1 i B1 + A2 i B1 + A2 i B2 )

= P ( A1 i B1 ) + P ( A2 i B1 ) + P ( A2 i B2 ) = P ( A1 )i P ( B1 ) + P ( A2 )i P ( B1 ) + P ( A2 )i P ( B2 ) = 0.3 × 0.4 + 0.1× 0.4 + 0.1× 0.4 = 0.2 . ············································································· 6 分
(Ⅱ) B = C1 + C2 , ············································································································· 8 分

P (C1 ) = C32 [ P ( A)]2 [1 ? P ( A)] = 3 × 0.2 2 × (1 ? 0.2) = 0.096 , P (C2 ) = [ P ( A)]3 = 0.23 = 0.008 , P ( B ) = P (C1 + C2 ) = P (C1 ) + P (C2 ) = 0.096 + 0.008 = 0.104 .···································· 12 分
20.解法一: 依题设, AB = 2 , CE = 1 . (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD ⊥ AC . 由三垂线定理知, BD ⊥ A1C . ···························································································· 3 分

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在平面 A1CA 内,连结 EF 交 A1C 于点 G ,

AA1 AC 由于 = =2 2, FC CE
故 Rt△ A1 AC ∽ Rt△FCE , ∠AA1C = ∠CFE ,

D1 A1 B1

C1

∠CFE 与 ∠FCA1 互余.
D 于是 A1C ⊥ EF . A F

HE G C B

A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,
所以 A1C ⊥ 平面 BED . ······································································································· 6 分 (Ⅱ)作 GH ⊥ DE ,垂足为 H ,连结 A1 H .由三垂线定理知 A1 H ⊥ DE , 故 ∠A1 HG 是二面角 A1 ? DE ? B 的平面角. ······································································ 8 分

EF = CF 2 + CE 2 = 3 ,
CG = CE × CF 2 3 2 2 , EG = CE ? CG = . = EF 3 3

EG 1 1 EF × FD 2 = , GH = × . = EF 3 3 DE 15
又 A1C =

AA12 + AC 2 = 2 6 , A1G = A1C ? CG =
A1G =5 5. HG

5 6 . 3

tan ∠A1 HG =

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arctan 5 5 . ······························································· 12 分 解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz . 依题设, B (2, 0) C (0, 0) E (0,1) A1 (2, 4) . 2,, 2,, 2,, 0, D A x B A1 z D1 B1 C1

E C y

DE = (0,1) DB = (2, 0) , A1C = (?2, ? 4), 1 = (2, 4) . ······································ 3 分 2,, 2, 2, DA 0,

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(Ⅰ)因为 A1C i DB = 0 , A1C i DE = 0 , 故 A1C ⊥ BD , A1C ⊥ DE . 又 DB ∩ DE = D , 所以 A1C ⊥ 平面 DBE . ········································································································ 6 分 (Ⅱ)设向量 n = ( x,y,z ) 是平面 DA1 E 的法向量,则

n ⊥ DE , n ⊥ DA1 .
故 2 y + z = 0 , 2x + 4z = 0 .

1, 令 y = 1 ,则 z = ?2 , x = 4 , n = (4, ? 2) . ··································································· 9 分

< n,1C > 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角, A
cos < n,1C >= A ni A1C n A1C
=

14 . 42
14 . ······························································ 12 分 42

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos 21.解: (Ⅰ) f ′( x ) = 3ax 2 ? 6 x = 3 x ( ax ? 2) .

因为 x = 2 是函数 y = f ( x) 的极值点,所以 f ′(2) = 0 ,即 6(2a ? 2) = 0 ,因此 a = 1 . 经验证,当 a = 1 时, x = 2 是函数 y = f ( x) 的极值点.···················································· 4 分 (Ⅱ)由题设, g ( x ) = ax 3 ? 3 x 2 + 3ax 2 ? 6 x = ax 2 ( x + 3) ? 3 x ( x + 2) . 当 g ( x ) 在区间 [0, 上的最大值为 g (0) 时, 2]

g (0) ≥ g (2) ,
即 0 ≥ 20a ? 24 . 故得 a ≤

6 . ························································································································· 9 分 5 6 反之,当 a ≤ 时,对任意 x ∈ [0, , 2] 5 6 g ( x) ≤ x 2 ( x + 3) ? 3 x( x + 2) 5

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3x (2 x 2 + x ? 10) 5 3x = (2 x + 5)( x ? 2) 5 =

≤0 ,
而 g (0) = 0 ,故 g ( x ) 在区间 [0, 上的最大值为 g (0) . 2] 综上, a 的取值范围为 ? ?∞, ? . ······················································································ 12 分

? ?

6? 5?

22. (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

x2 + y 2 = 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x + 2 y = 2 , y = kx ( k > 0) .················································ 2 分 如图,设 D ( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 < x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 + 4k 2 ) x 2 = 4 , 故 x2 = ? x1 = y B D O E A

F x

2 1 + 4k
2

.①

由 ED = 6 DF 知 x0 ? x1 = 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 = 由 D 在 AB 上知 x0 + 2kx0 = 2 ,得 x0 = 所以

1 5 10 (6 x2 + x1 ) = x2 = ; 7 7 7 1 + 4k 2

2 . 1 + 2k

2 10 = , 1 + 2 k 7 1 + 4k 2
2

化简得 24k ? 25k + 6 = 0 ,

2 3 或 k = . ············································································································ 6 分 3 8 ( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为
解得 k =

h1 =

x1 + 2kx1 ? 2 5 x2 + 2kx2 ? 2 5

=

2(1 + 2k + 1 + 4k 2 ) 5(1 + 4k 2 )



h2 =

=

2(1 + 2k ? 1 + 4k 2 ) 5(1 + 4k 2 )

. ····································································· 9 分

又 AB =

22 + 1 = 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

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S=

1 AB (h1 + h2 ) 2

1 4(1 + 2k ) = i 5i 2 5(1 + 4k 2 )
= 2(1 + 2k ) 1 + 4k 2

=2

1 + 4k 2 + 4k 1 + 4k 2

≤2 2 ,
当 2k = 1 ,即当 k =

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ······························· 12 分 2

解法二:由题设, BO = 1 , AO = 2 . 设 y1 = kx1 , y2 = kx2 ,由①得 x2 > 0 , y2 = ? y1 > 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S = S△ BEF + S△ AEF
= x2 + 2 y2 ······························································································································ 9 分

= ( x2 + 2 y2 ) 2
2 2 = x2 + 4 y2 + 4 x2 y2

≤ 2( x22 + 4 y22 )
=2 2,
当 x2 = 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .·················································· 12 分

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