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上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学(理)试题


2013 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科(理科)
一. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1 . 已 知 集 合 2014.4

? x?2 ? A ? ?x | ? 0? , B ? ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R? , 则 ? x?5 ?

A ? B ? ___

_________.
2.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的大小是____________. 3.函数 y ? cos ? 2 x ? 4.函数 y ? x ?

? ?

??

? 的单调递减区间是____________. 4?

2 ? x ? 2 ? 的值域是____________. x

5.设复数 z 满足 i ? z ?1? ? ?3 ? 2i ,则 z =____________. 6.某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层 抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知高一有 820 名学生,高二有 780 名学生,则在 该学校的高三应抽取____________名学生. 7.函数 f ? x ? ?

sin x ? cos x cos ?? ? x ? 2sin x cos x ? sin x
?1

的最小正周期 T =____________.

8.已知函数 f ( x) ? arcsin (2 x ? 1) ,则 f

( ) ? ____________. 6

?

9.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 900 , AA 1 ? 2, AC ? BC ? 1 ,则异面直

AC 所成角的余弦值是____________. 线A 1B 与

1? ? ?4 10.若 ?1 ? 2 ? ? n ? N ? , n ? 1? 的展开式中 x 的系数为 an , ? x ?
则 lim ?

n

?1 1 1? ? ? ? ? ? =____________. n ?? a an ? ? 2 a3

11.在极坐标系中,定点 A (2,

?
2

), 点 B 在直线 ? cos? ? ? sin ? ? 0 上运动,则点 A 和点 B

间的最短距离为____________. 12 . 如图 , 三 行三 列 的方 阵 中 有 9 个 数 aij (i ? 1 , 从 中任 取 三 个 数, , 2 , 3 ;j ? , 1, 2 3)

第1页

? a11 a12 a13 ? ? ? ? a21 a22 a23 ? ?a ? ? 31 a32 a33 ?
则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ____________. (结果用分数表 示) 13.如图所示,在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中,动圆 Q 的半径为 1, 圆心在线段 CD (含端点)上运动, P 是圆 Q 上及内部的动点,设向量

??? ? ??? ? ??? ? ,则 m ? n 的最大值为____________. AP ? mAB ? nAF (m, n 为实数)
14 . 对 于 集 合

A ? {a1 , a2 , ???, an } (

n ? N * , n ? 3)

, 定 义 集 合

S ? {x x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n} ,记集合 S 中的元素个数为 S ( A) .若 a1 , a2 , ???, an 是公差
大于零的等差数列,则 S ( A) =____________.

二.选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) 15 . 已 知 直 线 l ? 平 面 -------------( ① ? // ? ? l ? m ③ l // m ? ? ? ? A.②④
B C 16. 在 ?A

? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题,其中正确的是
② ? ? ? ? l // m ④ l ? m ? ? // ? C. ①③ D. ①②③

)

B. ②③④

b、 c, B、 C 的对边分别是 a 、 中, 角 A、 且 ?A ? 2?B , 则
B.

n s i B 等于------( n s i 3B



A.

a c

c b

C.

b a

D.

b c

2 17.函数 y ? 1 ? ( x ? 2) 图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下

不可能 成为公比的数是---------------------------------------------------------------------------------- ( ... A.



3 2

B.

1 2

C.

3 3

D. 3

18.设圆 O1 和圆 O2 是两个相离的定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹可 能是 ①两条双曲线;②一条双曲线和一条直线;③一条双曲线和一个椭圆.以上命题正确

第2页

的是--(

) B.② ③ C.① ② D.① ② ③

A.① ③

三. 解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,第(1)小题6分,第(2)小题6分) 如图,△ ABC 中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 30 , BC ? 3 ,在三角形内挖去一个半圆
0 0

AB 分别相切于点 C 、 M, (圆心 O 在边 BC 上, 半圆与 AC 、 与 BC 交于点 N ) , 将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.

20. (本题满分 14 分) 如图所示, 某旅游景点有一座风景秀丽的山峰, 山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道 AC, 小王和小李打算不坐索道,而是花 2 个小时的时间进行徒步攀登.已知 ?ABC ? 120 ,
0

?ADC ? 1500 , BD ? 1 (千米) , AC ? 3 (千米) .假设小王和小李徒步攀登的速度为每
小时 1200 米,请问:两位登山爱好者能否在 2 个小时内徒 步登上山峰. (即从 B 点出发到达 C 点) D A B C

21. (本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 已知椭圆 x ? 2 y ? a (a ? 0) 的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 4.
2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程;

B 两点, (2) 已知直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于 A 、 试问, 是否存在 x 轴上的点 M ? m,0? ,
使得对任意的 k ? R , MA ? MB 为定值,若存在,求出 M 点的坐标,若不存在,说明理由.

???? ????

第3页

22. (本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 7 分) 定义:对于函数 f ? x ? ,若存在非零常数 M , T ,使函数 f ? x ? 对于定义域内的任意实数 x , 都有 f ? x ? T ? ? f ? x ? ? M ,则称函数 f ? x ? 是广义周期函数,其中称 T 为函数 f ? x ? 的广 义周期, M 称为周距. (1)证明函数 f ? x ? ? x ? ? ?1? 应周距 M 的值; (2)试求一个函数 y ? g ? x ? ,使 f ? x ? ? g ?x ? ?A sin ?? x ? ? ?? x ? R
x

? x ? Z ? 是以 2 为广义周期的广义周期函数,并求出它的相

?( A、?、? 为常

数, A ? 0, ? ? 0 )为广义周期函数,并求出它的一个广义周期 T 和周距 M ; (3)设函数 y ? g ? x? 是周期 T ? 2 的周期函数,当函数 f ? x ? ? ?2 x ? g ? x? 在 ?1,3? 上的 值域为 ? ?3,3? 时,求 f ? x ? 在 ? ?9,9? 上的最大值和最小值. 23. (本题满分 18 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 9 分,第(3)小题 6 分) 一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数 n ? 5 ) :第一行是以 4 为首项,4 为公差 的等差数列, 从第二行起, 每一个数是其肩上两个数的和, 例如:f ? 2,1? ? f ?1,1? ? f ?1,2? ;

f ? i, j ? 为数表中第 i 行的第 j 个数.
(1) 求第 2 行和第 3 行的通项公式 f ? 2, j ? 和 f ?3, j ? ; (2) 证明:数表中除最后 2 行外每一行的数都依次成等差数列,并求 f ? i,1? 关于 i ( i ? 1, 2,?, n )的表达式; (3)若 f ?i,1? ? ?i ?1?? ai ?1? , bi ?

1 ,试求一个等比数列 g ? i ?? i ? 1, 2,?, n? ,使 ai ai ?1
1 ? 1 1? ,且对于任意的 m ? ? , ? ,均存在实数 ? ?, 3 ? 4 3?

得 S n ? b1 g ?1? ? b2 g ? 2 ? ? ? ? bn g ? n ? ? 当 n ? ? 时,都有 Sn ? m .

f ?1,1?

f ?1, 2 ? ? f ?1, n ? 1? f ? 3,1? ? f ? 3, n ? 2 ? ?? f ? n,1?

f ?1, n ?

f ? 2,1?

f ? 2, 2 ? ? f ? 2, n ? 1?

第4页

2013 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科 (理科) 参考答案及评分标准
2014.4 二. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1. ? ?5, ?1? 2.

5? 6

3 . ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?
1 4

3? ? ?k ? Z ? 8 ? ?
9.

4. ?3, ?? ?

5. 1 ? 3i 11. 2

6.40 12.

7. ? 13.5

8. ?

6 6

10.2

13 14

14. 2n ? 3

二.选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.C 16.D 17.B 18.C

四. 解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 解: (1)连接 OM ,则 OM ? AB , 设 OM ? r ,则 OB ? 3 ? r , 在 ?BMO 中, sin ?ABC ?

OM r 1 ? ? , OB 3?r 2

所以 r ?

3 ,--------------------------(4 分) 3
2

所以 S ? 4? r ?

4 ? .-----------------(6 分) 3
? ?

(2)? ?ABC 中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 30 , BC ? 3 ,

第5页

? AC ? 1 ,-------------------------------(8 分)

1 4 1 4 3 5 3 (12 分) ?V ? V圆锥 ? V球 ? ? ? AC 2 ? BC ? ? r 3 ? ? ?12 ? 3 ? ? ( )3 ? ?. 3 3 3 3 3 27
20. (本题满分 14 分) 解:由 ?ADC ? 150 知 ?ADB ? 30 ,
0 0

由正弦定理得

1 AD ? ,所以, AD ? 3 .---------------------------------------(4 分) 0 sin 30 sin1200
2 2 2

0 在 ?ADC 中,由余弦定理得: AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC cos150 ,

即3 ?
2

? 3?

2

? DC 2 ? 2 ? 3 ? DC cos1500 ,即 DC 2 ? 3 ? DC ? 6 ? 0 ,

解得 DC ?

?3 ? 33 , -----------------------------------------------(10 分) ? 1.372 (千米) 2

,--------------------------------------------------------------------(12 分) ? BC ? 2.372 (千米) 由于 2.372 ? 2.4 ,所以两位登山爱好者能够在 2 个小时内徒步登上山峰.---(14 分) 21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 解: (1)设椭圆的短半轴为 b ,半焦距为 c , 则b ?
2

a2 a2 a2 2 2 2 2 2 ? , ,由 c ? a ? b 得 c ? a ? 2 2 2



x2 y2 1 ? b ? 2c ? 4 解得 a 2 ? 8, b 2 ? 4 ,则椭圆方程为 ? ? 1 . ----------(6 分) 2 8 4
? y ? k ( x ? 1) ?x ? 2 y ? 8
2 2

(2)由 ?

得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 8 ? 0,
2 2 2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 由韦达定理得: x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 8 , x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

???? ???? ? MA ? MB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)
= (k 2 ?1) x1x2 ? (m ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m2

5 ? 4m ? k 2 ? 8 ? 2k 2 ? 8 4k 2 2 2 2 ? (m ? k ) 2 ?k ?m =? = (k ? 1) ---------------(10 分) ? m2 , 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ???? ???? 11 11 7 当 5 ? 4m ? 16 ,即 m ? 时, MA ? MB ? ? 为定值,所以,存在点 M ( , 0) 16 4 4
2

第6页

使得 MA ? MB 为定值(14 分) . 22. (本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 7 分) 解: (1)? f ? x ? ? x ? ? ?1?
x

???? ????

?x? Z ?,
x?2

? f ? x ? 2? ? f ? x ? ? ?? x ? 2? ? ? ?1? ?
所以函数 f ? x ? ? x ? ? ?1?
x

? ? ? x ? ? ?1? x ? ? 2 , (非零常数) ? ? ?

? x ? Z ? 是广义周期函数,它的周距为 2.-----(4 分)

(2)设 g ? x ? ? kx ? b ? k ? 0? ,则 f ? x ? ? kx ? b ? A sin ?? x ? ? ?

2? ? ? f ?x? ? ?

? ? ? f ? x? ?

2? ? ?k?x? ? ?

? ? 2? ? ? ? b ? A sin ?? ? x ? ? ? ? ?

? 2k? ? ? ??? ? ? ?kx ? b ? A sin ?? x ? ? ?? ?? ? ? ?
2?

(非零常数) 所以 f ? x ? 是广义周期函数,且 T ?

?

,M ?

2 k?

?

.-----------------( 9 分)

(3)? f ? x ? 2? ? f ? x ? ? ?2 ? x ? 2? ? g ? x ? 2? ? 2x ? g ? x ? ? ?4 , 所以 f ? x ? 是广义周期函数,且 T ? 2, M ? ?4 .------------------------------------------(10 分) 设 x1 , x2 ??1,3? 满足 f ? x1 ? ? ?3, f ? x2 ? ? 3 , 由 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 4 得:

f ? x1 ? 6? ? f ? x1 ? 4? ? 4 ? f ? x1 ? 2? ? 4 ? 4 ? f ? x1 ? ? 4 ? 4 ? 4 ? ?3 ?12 ? ?15 ,
又? f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 4 ? f ? x ? 知道 f ? x ? 在区间 ? ?9,9? 上的最小值是 x 在 ?7,9? 上获得 的,而 x1 ? 6 ??7,9? ,所以 f ? x ? 在 ? ?9,9? 上的最小值为 ?15 .--------------------( 13 分) 由 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 4 得 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 4 得:

f ? x2 ?10? ? f ? x2 ? 8? ? 4 ? f ? x2 ? 6? ? 4 ? 4 ? ? ? f ? x2 ? ? 20 ? 23 ,
又? f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 4 ? f ? x ? 知道 f ? x ? 在区间 ? ?9,9? 上的最大值是 x 在 ? ?9, ?7? 上 获得的,

第7页

而 x2 ?10 ???9, ?7? ,所以 f ? x ? 在 ? ?9,9? 上的最大值为 23.-----------------------(16 分) 23. (本题满分 18 分;第(1)小题 3 分,第(2)小题 9 分,第(3)小题 6 分. ) 解: (1) f ? 2, j ? ? f ?1, j ? ? f ?1, j ?1? ? 2 f ?1, j ? ? 4 ? 8 j ? 4 ? j ? 1,2,?, n ?1?

f ?3, j ? ? f ? 2, j ? ? f ? 2, j ?1? ? 2 f ? 2, j ? ? 8 ? 2 ?8 j ? 4? ? 8 ? 16 j ?16 ? j ? 1,2,?, n ? 2?
.--------------------------------------------------------------------------------------------------------(3 分) (2)由已知,第一行是等差数列,假设第 i ?1 ? i ? n ? 3? 行是以 d i 为公差的等差数列, 则由

f ? i ? 1, j ? 1? ? f ? i ? 1, j ? ? ? ? f ? i, j ? 1? ? f ? i, j ? 2 ? ? ??? ? f ? i, j ? ? f ? i, j ? 1? ? ?

? f ?i, j ? 2? ? f ?i, j ? ? 2di (常数)知第 i ?1?1 ? i ? n ? 3? 行的数也依次成等差数列,且
其公差为 2d i .综上可得,数表中除最后 2 行以外每一行都成等差数列;------------(7 分) 由于 d1 ? 4, di ? 2di ?1 ? i ? 2? ,所以 di ? 4 ? 2i ?1 ? 2i ?1 ,所以

f (i,1) ? f (i ?1,1) ? f (i ?1, 2) ? 2 f (i ?1,1) ? di ?1 ,由 di ?1 ? 2i ,
得 f ? i,1? ? 2 f (i ?1,1) ? 2 ,
i

(9 分)

于是

f ? i,1? f ? i ? 1,1? ? ?1 , 2i 2i ?1



? f ? i,1? ? f ? i,1? f ? i ? 1,1? f ?1,1? 4 ? ? 1 ,又因为 ? ? 2 ,所以,数列 ? i ? 是以 2 为首项, i i ?1 1 2 2 2 2 ? 2 ?

1 为公差的等差数列, 所以, ( i ? 1, 2,?, n ) . (3) f ?i,1? ? ?i ?1?? ai ?1? ? ai ?

f ? i,1? i ? 2 ? ? i ? 1? ? i ? 1 , 所 以 f ? i, 1 ? ? ? i? 1 ? ?2 2i
(12 分)

f ? i,1? ? 1 ? 2i ? 1 , i ?1

? bi ?

1 1 1? 1 1 ? ? i ?1 ? i? i ? i ?1 ? , i ai ai ?1 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

第8页

令 g (i) ? 2i ? bi g (i ) ?

1? 1 1 ? 1 1 ,-----------------(14 分) ? i ?1 ? ? 2i ? i ? i ?1 i ? i 2 ? 2 ?1 2 ?1? 2 ?1 2 ?1

1 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? . ? Sn ? ? ? 2 ??? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n?1 ? ? ? n ?1 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1 ? 3 2 ?1 3

1 1 1 1 1 ? 3m ? n?1 ? m ? n?1 ? ?m? , 3 2 ?1 2 ?1 3 3 1 ? 1 1? m ? ? , ? ? 0 ? 1 ? 3m ? , 4 ? 4 3? 3 ? 3 ? ? 2n?1 ? 1 ? ? n ? log 2 ? ? 1? ? 1 , 1 ? 3m 1 ? 3 m ? ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------(15 分)

Sn ? m ?

令 ? ? log 2 ?

? 3 ? ? 1? ,则当 n ? ? 时,都有 Sn ? m , ? 1 ? 3m ?

? 适合题设的一个等比数列为 g (i) ? 2i .-------------------------------------------------------(18 分)

第9页


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