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教)数列专项练习(


大理博奥教育精品资料系列

数列专项练习
一.选择题(共 10 小题) 1. (2014?辽宁)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{ A.d<0 B.d>0 }为递减数列,则( C.a1d<0 ) D.14 ) D.14 ) ) D.a1d>0

2. (2014?重庆)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a

7=( A.5 B.8 C.10

3. (2014?福建)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12

4. (2014?成都一模)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=( A.120 B.105 C.90 D.75 5. (2014?北海模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1) ,则 a6=( ) 4 4 4 A.3×4 B.3×4 +1 C .4 D.44+1 6. (2014?重庆三模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 A. B. C. D.

的前 100 项和为(



7. (2014?辽宁)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2 A.d>0 B.d<0

}为递减数列,则( C.a1d>0

) D.a1d<0

8. (2014?天津)设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1= ( ) A.2 B.﹣2 C. D. ﹣

9. (2014?重庆)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B. a2,a3,a6 成等比数列 C. a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 10. (2012?天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( )

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A.8 二.解答题(共 20 小题)

B.18

C.26

D.80

11. (2014?江苏)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn=am,则称{an}是“H 数列”. n * (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 (n∈N ) ,证明:{an}是“H 数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0,若{an}是“H 数列”,求 d 的值; * (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N )成立.

12. (2014?江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=

,n∈N .

*

(1)求数列{an}的通项公式; * (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列.
2

13. (2014?北京)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和.

14.已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (Ⅰ)求 an 及 Sn; 2 (Ⅱ)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比为 q 满足 q ﹣(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn.

3

15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=

,n∈N .

*

+(﹣1) an,求数列{bn}的前 2n 项和.

n

16 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n (Ⅱ)设 bn=a ,记 Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1) bn,求 Tn.

4

17. (2014?四川)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2 的图象上(n∈N ) . (1)若 a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2﹣ ,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

x

*

18. (2014?山东)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=(﹣1)
n﹣1

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

5

19. (2014?江西)已知首项是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N )满足 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= (2)若 bn=3 ,求数列{cn}的通项公式;
n﹣1

*

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

20. (2014?广西)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2. (Ⅰ)设 bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列; (Ⅱ)求{an}的通项公式.

6

21.设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+. (Ⅰ)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (Ⅱ)已知{bn}是等差数列,Tn 为前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20.

22.设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn.

7

23. (2010?四川)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n﹣1 * (Ⅱ)设 bn=(4﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

24. (2010?四川)已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2(m﹣n) (1)求 a3,a5; * (2)设 bn=a2n+1﹣a2n﹣1(n∈N ) ,证明:{bn}是等差数列; n﹣1 * (3)设 cn=(an+1﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

2

8

25. (2009?湖北)已知数列{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}和数列{bn}满足等式 an= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

26. 已知 ,

(Ⅰ)求 b1,b2,b3 的值; (Ⅱ)设 cn=bnbn+1,Sn 为数列{cn}的前 n 项和,求证:Sn≥17n; (Ⅲ)求证: .

9

27. (2008?四川)设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an﹣2 , (Ⅰ)求 a1,a4 n (Ⅱ)证明:{an+1﹣2a }是等比数列; (Ⅲ)求{an}的通项公式.

n

28. (2007?辽宁)已知数列{an},{bn}满足 a1=2,b1=1,且 (I)令 cn=an+bn,求数列{cn}的通项公式; (II)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式 Sn.

(n≥2)

10

29.已知函数 f(x)=x ﹣4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0) (n∈N*) ,其 中 x1 为正实数. (Ⅰ)用 xn 表示 xn+1; (Ⅱ)证明:对一切正整数 n,xn+1≤xn 的充要条件是 x1≥2 (Ⅲ)若 x1=4,记 ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.

2

11

30. 已知数列{an}和{bn}满足: a 为公比的等比数列. (Ⅰ)证明:aa+2=a1a ; (Ⅱ)若 a3n﹣1+2a2,证明数例{cx}是等比数例; (Ⅲ)求和: … .
2

.且{bn}是以

12

参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题) 1. (2014?辽宁)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{ A.d<0 B.d>0 }为递减数列,则( C.a1d<0 ) D.a1d>0

考点: 数列的函数特性. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 由于数列{2 }为递减数列,可得
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=

<1,解出即可.

解答: 解:∵等差数列{an}的公差为 d,∴an+1﹣an=d, 又数列{2 ∴ = }为递减数列, <1,

∴a1d<0. 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法,属于 中档题. 2. (2014?重庆)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A.5 B.8 C.10 考点: 专题: 分析: 解答: ) D.14

等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由等差数列{an}中,a1=2,且有 a3+a5=10,利用等差数列的通项公式先求出公差 d,再求 a7. 解:∵等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10 ∴2+2d+2+4d=10, 解得 d=1, ∴a7=2+6×1=8. 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等差数列通项公式的合理运用.
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3. (2014?福建)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 由等差数列的性质和已知可得 a2,进而可得公差,可得 a6 解:由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12, 解得 a2=4,∴公差 d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴a6=a1+5d=2+5×2=12, 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题.
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) D.14

13

4. (2014?成都一模)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=( A.120 B.105 C.90 D.75 考点: 等比数列. 分析: 先由等差数列的性质求得 a2,再由 a1a2a3=80 求得 d 即可. 解答: 解:{an}是公差为正数的等差数列, ∵a1+a2+a3=15,a1a2a3=80, ∴a2=5, ∴a1a3=(5﹣d) (5+d)=16, ∴d=3,a12=a2+10d=35 ∴a11+a12+a13=105 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的运算.
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5. (2014?北海模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1) ,则 a6=( ) 4 4 4 A.3×4 B.3×4 +1 C .4 D.44+1 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 根据已知的 an+1=3Sn,当 n 大于等于 2 时得到 an=3Sn﹣1,两者相减,根据 Sn﹣Sn﹣1=an,得到数列的第 n+1 项等于第 n 项的 4 倍(n 大于等于 2) ,所以得到此数列除去第 1 项,从第 2 项开始,为首项是第 2 项,公 比为 4 的等比数列,由 a1=1,an+1=3Sn,令 n=1,即可求出第 2 项的值,写出 2 项以后各项的通项公式,把 n=6 代入通项公式即可求出第 6 项的值. 解答: 解:由 an+1=3Sn,得到 an=3Sn﹣1(n≥2) ,
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两式相减得:an+1﹣an=3(Sn﹣Sn﹣1)=3an, 则 an+1=4an(n≥2) ,又 a1=1,a2=3S1=3a1=3, 得到此数列除去第一项后,为首项是 3,公比为 4 的等比数列, 所以 an=a2q =3×4 (n≥2) 4 则 a6=3×4 . 故选 A 点评: 此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式,是一道基础题. 6. (2014?重庆三模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 A. B. C. D. 的前 100 项和为( )
n﹣2 n﹣2

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求 a1,d,进而可求 an,代入可得
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=

=

,裂项可求和

解答: 解:设等差数列的公差为 d 由题意可得, 解方程可得,d=1,a1=1 由等差数列的通项公式可得,an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n
14



=

=

=1﹣

=

故选 A 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方法的应用,属于基础试 题

7. (2014?辽宁)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2 A.d>0 B.d<0

}为递减数列,则( C.a1d>0

) D.a1d<0

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由数列递减可得 <1,由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得.
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解答:

解:∵数列{2 ∴ <1,即

}为递减数列, <1,



<1,

∴a1(an+1﹣an)=a1d<0 故选:D 点评: 本题考查等差数列的性质和指数函数的性质,属中档题. 8. (2014?天津)设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1= ( ) A.2 B.﹣2 C. D. ﹣

考点: 专题: 分析: 解答:

等比数列的性质;等差数列的性质. 等差数列与等比数列.

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由等差数列的前 n 项和求出 S1,S2,S4,然后再由 S1,S2,S4 成等比数列列式求解 a1. 解:∵{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, ∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6, 由 S1,S2,S4 成等比数列,得: 即 ,解得: , .

故选:D. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题. 9. (2014?重庆)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B. a2,a3,a6 成等比数列
15

C. a2,a4,a8 成等比数列 考点: 专题: 分析: 解答:

D.a3,a6,a9 成等比数列

等比数列的性质. 等差数列与等比数列. 利用等比中项的性质,对四个选项中的数进行验证即可.
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解:A 项中 a3=a1?q ,a1?a9=
2 2 2

2

?q , (a3) ≠a1?a9,故 A 项说法错误, ?q ,故 B 项说法错误, ?q ,故 B 项说法错误, ?q ,故 D 项说法正确,
10 8 6

8

2

B 项中(a3) =(a1?q ) ≠a2?a6= C 项中(a4) =(a1?q ) ≠a2?a8= D 项中(a6) =(a1?q ) =a3?a9=
2 5 2 2 3 2

故选 D. 点评: 本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断. 10. (2012?天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( )

A.8 考点: 专题: 分析: 解答:

B.18

C.26

D.80

数列的求和;循环结构. 计算题. 根据框图可求得 S1=2,S2=8,S3=26,执行完后 n 已为 4,故可得答案. 1 0 解:由程序框图可知,当 n=1,S=0 时,S1=0+3 ﹣3 =2; 同理可求 n=2,S1=2 时,S2=8; n=3,S2=8 时,S3=26;执行完后 n 已为 4, 故输出的结果为 26. 故选 C. 点评: 本题考查数列的求和,看懂框图循环结构的含义是关键,考查学生推理、运算的能力,属于基础题.
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二.解答题(共 20 小题) 11. (2014?江苏)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn=am,则称{an}是“H 数列”. n * (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 (n∈N ) ,证明:{an}是“H 数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0,若{an}是“H 数列”,求 d 的值; * (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N )成立.
16

考点: 数列的应用;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,当 n=1 时,a1=S1”即可得到 an,再利用“H”数列的意义即可得出. * * (2)利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn,对?n∈N ,?m∈N 使 Sn=am,取 n=2 和根据 d<0 即可得出; (3)设{an}的公差为 d,构造数列:bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1,cn=(n﹣1) (a1+d) ,可证明{bn}和{cn} 是等差数列.再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出. n n﹣1 n﹣1 解答: 解: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 =2 , 当 n=1 时,a1=S1=2. 当 n=1 时,S1=a1. 当 n≥2 时,Sn=an+1. ∴数列{an}是“H”数列.
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(2)Sn=
* *

=

, , ,

对?n∈N ,?m∈N 使 Sn=am,即 取 n=2 时,得 1+d=(m﹣1)d,解得

∵d<0,∴m<2, * 又 m∈N ,∴m=1,∴d=﹣1. (3)设{an}的公差为 d,令 bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1, * 对?n∈N ,bn+1﹣bn=﹣a1, cn=(n﹣1) (a1+d) , * 对?n∈N ,cn+1﹣cn=a1+d, 则 bn+cn=a1+(n﹣1)d=an,且数列{bn}和{cn}是等差数列. 数列{bn}的前 n 项和 Tn= 令 Tn=(2﹣m)a1,则 . ,

当 n=1 时,m=1;当 n=2 时,m=1. * 当 n≥3 时,由于 n 与 n﹣3 的奇偶性不同,即 n(n﹣3)为非负偶数,m∈N . * * 因此对?n∈N ,都可找到 m∈N ,使 Tn=bm 成立,即{bn}为 H 数列. 数列{cn}的前 n 项和 Rn= 令 cm=(m﹣1) (a1+d)=Rn,则 m=
* *

, .

∵对?n∈N ,n(n﹣3)为非负偶数,∴m∈N . * * 因此对?n∈N ,都可找到 m∈N ,使 Rn=cm 成立,即{cn}为 H 数列. 因此命题得证. 点评: 本题考查了利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,当 n=1 时,a1=S1”求 an、等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、 新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、构造法,属于难题.

12. (2014?江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=

,n∈N .

*

(1)求数列{an}的通项公式; * (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 考点: 等比关系的确定;数列递推式.

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17

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1;当 n=1 时,a1=S1”即可得出; (2) 对任意的 n>1, 假设都存在 m∈N , 使得 a1, an, am 成等比数列. 利用等比数列的定义可得 即(3n﹣2) =1×(3m﹣2) ,解出 m 为正整数即可. 解答: (1)解:∵Sn= ,n∈N .
* 2 *



∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=



=3n﹣2, (*)

当 n=1 时,a1=S1=

=1.

因此当 n=1 时, (*)也成立. ∴数列{an}的通项公式 an=3n﹣2. * (2)证明:对任意的 n>1,假设都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 则 ,
2

∴(3n﹣2) =1×(3m﹣2) , 2 化为 m=3n ﹣4n+2, ∵n>1, ∴m=3n ﹣4n+2=
2

≥6,
2 *

因此对任意的 n>1,都存在 m=3n ﹣4n+2∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 点评: 本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方 法,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了反证法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 13. (2014?北京)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即得结论; (Ⅱ)利用分组求和法,有等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列的和. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得
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d=

=

=3.

∴an=a1+(n﹣1)d=3n(n=1,2,…) , 设等比数列{bn﹣an}的公比为 q,则 q=
3

=

=8,∴q=2,
n﹣1 n﹣1

∴bn﹣an=(b1﹣a1)q =2 , n﹣1 ∴bn=3n+2 (n=1,2,…) . n﹣1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn=3n+2 (n=1,2,…) .
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∵数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1) ,数列{2
n

n﹣1

}的前 n 项和为 1×

=2 ﹣1,

n

∴数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2 ﹣1. 点评: 本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,考查学生的基本的运算能力, 属基础题. 14. (2014?重庆)已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (Ⅰ)求 an 及 Sn; 2 (Ⅱ)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比为 q 满足 q ﹣(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)直接由等差数列的通项公式及前 n 项和公式得答案;
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(Ⅱ)求出 a4 和 S4,代入 q ﹣(a4+1)q+S4=0 求出等比数列的公比,然后直接由等比数列的通项公式及前 n 项和公式得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1. ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得,a4=7,S4=16. 2 2 ∵q ﹣(a4+1)q+S4=0,即 q ﹣8q+16=0, 2 ∴(q﹣4) =0,即 q=4. 又∵{bn}是首项为 2 的等比数列, ∴ .

2

. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查了等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式的求法,是基础题.
*

15. (2014?湖南)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=

,n∈N .

+(﹣1) an,求数列{bn}的前 2n 项和.

n

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用公式法即可求得; (Ⅱ)利用数列分组求和即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=s1=1,
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当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=



=n,

∴数列{an}的通项公式是 an=n. n n (Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=2 +(﹣1) n,记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 1 2 2n T2n=(2 +2 +…+2 )+(﹣1+2﹣3+4﹣…+2n)
19

=

+n=2

2n+1

+n﹣2.
2n+1

∴数列{bn}的前 2n 项和为 2 +n﹣2. 点评: 本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法,考查学生的运算能力,属中 档题. 16. (2014?山东)在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n (Ⅱ)设 bn=a ,记 Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1) bn,求 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由于 a 是 a 与 a 的等比中项,可得 2 1 4
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,再利用等差数列的通项公式即可得出.
n

(Ⅱ)利用(Ⅰ)可得 bn=a
n

=n(n+1) ,因此 Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1) bn=﹣1×(1+1)+2×

(2+1)﹣…+(﹣1) n?(n+1) .对 n 分奇偶讨论即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)∵a2 是 a1 与 a4 的等比中项, ∴ ,

∵在等差数列{an}中,公差 d=2, ∴ 化为 ,解得 a1=2. ,即 ,

∴an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)×2=2n. (Ⅱ)∵bn=a =n(n+1) , ∴Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1) bn=﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1) n?(n+1) . * 当 n=2k(k∈N )时,b2k﹣b2k﹣1=2k(2k+1)﹣(2k﹣1) (2k﹣1+1)=4k Tn=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣b2k﹣1) =4(1+2+…+k)=4×
* n n

=2k(k+1)=



当 n=2k﹣1(k∈N )时, Tn=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣2﹣b2k﹣3)﹣b2k﹣1 = n(n+1)

=﹣



故 Tn=



点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、分类讨论思想方法,属于中档题.
20

17. (2014?四川)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2 的图象上(n∈N ) . (1)若 a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2﹣ ,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

x

*

考点: 数列的求和;数列与函数的综合. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: x (1)由于点(a8,4b7)在函数 f(x)=2 的图象上,可得
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,又等差数列{an}的公差为 d,利用等差

数列的通项公式可得

=2 .由于点

d

(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,可得 前 n 项和公式即可得出.

=b8,进而得到

=4=2 ,解得 d.再利用等差数列的

d

(2)利用导数的几何意义可得函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程,即可解得 a2.进而得到 an, bn.再利用“错位相减法”即可得出. x 解答: 解: (1)∵点(a8,4b7)在函数 f(x)=2 的图象上, ∴ ,

又等差数列{an}的公差为 d, ∴ = =2 ,
d

∵点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上, ∴
d

=b8, =4=2 ,解得 d=2.
2



又 a1=﹣2,∴Sn=
x x

=﹣2n+

=n ﹣3n.

(2)由 f(x)=2 ,∴f′(x)=2 ln2, ∴函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为 又 ∴ ,令 y=0 可得 x= ,解得 a2=2. , ,

∴d=a2﹣a1=2﹣1=1. ∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n, n ∴bn=2 . ∴ .

21

∴Tn= ∴2Tn=1+ +

+…+

+



+…+



两式相减得 Tn=1+

+…+



=



=

=



点评: 本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公 式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”,属于难题. 18. (2014?山东)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=(﹣1)
n﹣1

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;数列的函数特性;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出;
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(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn= 解答: 解: (Ⅰ)∵等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn, ∴Sn= =n ﹣n+na1,
2

.对 n 分类讨论“裂项求和”即可得出.

∵S1,S2,S4 成等比数列, ∴ ∴ ∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1. n﹣ (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn=(﹣1)
1

, ,化为 ,解得 a1=1.

= ﹣ + ﹣ +…+ +

= . +…+ ﹣



∴Tn=

当 n 为偶数时,Tn= ﹣ = .

=1

当 n 为奇数时,Tn= +



+ =1+ =

+…﹣ .
22

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能 力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法,属于难题. 19. (2014?江西)已知首项是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N )满足 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= (2)若 bn=3 ,求数列{cn}的通项公式;
n﹣1 *

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0,en=
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,可得数列{cn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,即可求数列

{cn}的通项公式; (2)用错位相减法来求和. 解答: 解: (1)∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0,cn= ,

∴cn﹣cn+1+2=0, ∴cn+1﹣cn=2, ∵首项是 1 的两个数列{an},{bn}, ∴数列{cn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴cn=2n﹣1; (2)∵bn=3
n﹣1

,cn=
n﹣1



∴an=(2n﹣1)?3 , 0 1 n﹣1 ∴Sn=1×3 +3×3 +…+(2n﹣1)×3 , 1 2 n ∴3Sn=1×3 +3×3 +…+(2n﹣1)×3 , 1 2 n﹣1 n n ∴﹣2Sn=1+2?(3 +3 +…+3 )﹣(2n﹣1)?3 =﹣2﹣(2n﹣2)3 , n ∴Sn=(n﹣1)3 +1. 点评: 本题为等差等比数列的综合应用,用好错位相减法是解决问题的关键,属中档题. 20. (2014?广西)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2. (Ⅰ)设 bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列; (Ⅱ)求{an}的通项公式. 考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)将 an+2=2an+1﹣an+2 变形为:an+2﹣an+1=an+1﹣an+2,再由条件得 bn+1=bn+2,根据条件求出 b1,由等 差数列的定义证明{bn}是等差数列; (Ⅱ)由(Ⅰ)和等差数列的通项公式求出 bn,代入 bn=an+1﹣an 并令 n 从 1 开始取值,依次得(n﹣1)个 式子,然后相加,利用等差数列的前 n 项和公式求出{an}的通项公式 an. 解答: 解: (Ⅰ)由 an+2=2an+1﹣an+2 得, an+2﹣an+1=an+1﹣an+2, 由 bn=an+1﹣an 得,bn+1=bn+2, 即 bn+1﹣bn=2, 又 b1=a2﹣a1=1,
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23

所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1, 由 bn=an+1﹣an 得,an+1﹣an=2n﹣1, 则 a2﹣a1=1,a3﹣a2=3,a4﹣a3=5,…,an﹣an﹣1=2(n﹣1)﹣1, 所以,an﹣a1=1+3+5+…+2(n﹣1)﹣1 = =(n﹣1) ,
2

又 a1=1, 2 2 所以{an}的通项公式 an=(n﹣1) +1=n ﹣2n+2. 点评: 本题考查了等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式,及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中 档题. 21. (2013?重庆)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+. (Ⅰ)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (Ⅱ)已知{bn}是等差数列,Tn 为前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20. 考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)可得数列{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,代入求和公式和通项公式可得答案; (Ⅱ)可得 b1=3,b3=13,进而可得其公差,代入求和公式可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得数列{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, n﹣1 n﹣1 故可得 an=1×3 =3 ,
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由求和公式可得 Sn=

=



(Ⅱ)由题意可知 b1=a2=3,b3=a1+a2+a3=1+3+9=13, 设数列{bn}的公差为 d,可得 b3﹣b1=10=2d,解得 d=5 故 T20=20×3+ =1010

点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,属中档题. 22. (2011?重庆)设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)由{an}是公比为正数的等比数列,设其公比,然后利用 a1=2,a3=a2+4 可求得 q,即可求得{an}的通 项公式 (Ⅱ)由{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 可求得 bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,然后利用等比数列与等 差数列的前 n 项和公式即可求得数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)∵设{an}是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为 q,q>0 ∵a3=a2+4,a1=2 2 ∴2×q =2×q+4 解得 q=2 或 q=﹣1 ∵q>0 ∴q=2
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∴{an}的通项公式为 an=2×2 =2 (Ⅱ)∵{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列
24

n﹣1

n

∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1 ∴数列{an+bn}的前 n 项和 Sn= + =2
n+1

﹣2+n =2

2

n+1

+n ﹣2

2

点评: 本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和,注意题目条件的应用.在用等比数列的前 n 项和公式时注 意辨析 q 是否为 1,只要简单数字运算时不出错,问题可解,是个基础题. 23. (2010?四川)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n﹣1 * (Ⅱ)设 bn=(4﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (1)设{an}的公差为 d,根据等差数列的求和公式表示出前 3 项和前 8 项的和,求的 a1 和 d,进而根据等 差数列的通项公式求得 an. (2)根据(1)中的 an,求得 bn,进而根据错位相减法求得数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)设{an}的公差为 d,
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由已知得 解得 a1=3,d=﹣1 故 an=3+(n﹣1) (﹣1)=4﹣n; n﹣1 (2)由(1)的解答得,bn=n?q ,于是 0 1 2 n﹣1 Sn=1?q +2?q +3?q +…+n?q . 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 1 2 3 n qSn=1?q +2?q +3?q +…+n?q . 将上面两式相减得到 (q﹣1)Sn=nq ﹣(1+q+q +…+q =nq ﹣
n n 2 n﹣1



于是 Sn=

若 q=1,则 Sn=1+2+3+…+n=

所以,Sn=



点评: 本小题主要考查数列的基础知识和划归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力. 24. (2010?四川)已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2(m﹣n) (1)求 a3,a5; * (2)设 bn=a2n+1﹣a2n﹣1(n∈N ) ,证明:{bn}是等差数列; n﹣1 * (3)设 cn=(an+1﹣an)q (q≠0,n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;数列的求和.
* 2

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25

专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)欲求 a3,a5 只需令 m=2,n=1 赋值即可. (2)以 n+2 代替 m,然后利用配凑得到 bn+1﹣bn,和等差数列的定义即可证明. (3)由(1) (2)两问的结果可以求得 cn,利用乘公比错位相减求{cn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)由题意,令 m=2,n=1,可得 a3=2a2﹣a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3﹣a1+8=20 * (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1﹣a2(n+1)﹣1]﹣(a2n+1﹣a2n﹣1)=8 即 bn+1﹣bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列 (3)由(1) (2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3﹣a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n﹣2,即 a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2 另由已知(令 m=1)可得 an= ﹣(n﹣1) .
2

那么 an+1﹣an=
n﹣1

﹣2n+1=

﹣2n+1=2n

于是 cn=2nq . 当 q=1 时,Sn=2+4+6++2n=n(n+1) 0 1 2 n﹣1 当 q≠1 时,Sn=2?q +4?q +6?q +…+2n?q . 两边同乘以 q,可得 1 2 3 n qSn=2?q +4?q +6?q +…+2n?q . 上述两式相减得 (1﹣q)Sn=2(1+q+q +…+q =2? ﹣2nq
n 2 n﹣1

)﹣2nq

n

=2?

所以 Sn=2?

综上所述,Sn=



点评: 本小题是中档题,主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问 题的能力.同时考查了等差,等比数列的定义,通项公式,和数列求和的方法. 25. (2009?湖北)已知数列{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}和数列{bn}满足等式 an= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

考点: 等差数列的通项公式;数列的求和.

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26

专题: 计算题. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,分别表示出 a2a6=55,a2+a7=16 联立方程求得 d 和 a1 进而根据等差数列通 项公式求得 an. (2)令 cn= ,则有 an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得 cn+1 等于常数 2,进而可得 bn,进而

根据 b1=2a1 求得 b1 则数列{bn}通项公式可得,进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上 b1. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则依题意可知 d>0 由 a2+a7=16, 得 2a1+7d=16① 由 a3a6=55,得(a1+2d) (a1+5d)=55② 由①②联立方程求得 得 d=2,a1=1 或 d=﹣2,a1= ∴an=1+(n﹣1)?2=2n﹣1 (2)令 cn= ,则有 an=c1+c2+…+cn (排除)

an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得 an+1﹣an=cn+1,由(1)得 a1=1,an+1﹣an=2 ∴cn+1=2,即 cn=2(n≥2) , 即当 n≥2 时, n+1 bn=2 ,又当 n=1 时,b1=2a1=2 ∴bn= 于是 Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+2 +2 +…2 . 点评: 本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质.考查了对数列问题的综合把握.
3 4 n+1

=2

n+2

﹣6,n≥2,

26. (2009?重庆)已知 (Ⅰ)求 b1,b2,b3 的值; (Ⅱ)设 cn=bnbn+1,Sn 为数列{cn}的前 n 项和,求证:Sn≥17n; (Ⅲ)求证: .



考 数列递推式;数列的求和;不等式的证明. 点: 专 计算题;证明题;压轴题. 题: 分 析: (Ⅰ)根据 a2 和 a1 及题设中递推式求得 a3,进而求得 a4,代入
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求得 b1,b2,b3 的值;

27

(Ⅱ) 整理 an+2=4an+1+an 得

, 进而求得关于 bn 的递推式, 进而推断出 bn>4, 且 cn=bnbn+1=4bn+1

>17 进而推断出 Sn=c1+c2++cn≥17n. (Ⅲ)先看当 n=1 时把 b1 和 b2 代入结论成立;在看当 n≥2 时,把(2)中求得的递推式代入|b2n﹣bn|,进而根 据(2)中 Sn≥17n 的结论推断出|b2n﹣bn|< |使原式得证. 解: (Ⅰ)∵a2=4,a3=17,a4=72,
﹣1

,进而根据|b2n﹣bn|≤|bn+1﹣bn|+|bn+2﹣bn+1|+…+|b2n﹣b2n

解 答:

所以

(Ⅱ)由 an+2=4an+1+an 得



所以当 n≥2 时,bn>4 于是 c1=b1,b2=17,cn=bnbn+1=4bn+1>17(n≥2) 所以 Sn=c1+c2++cn≥17n (Ⅲ)当 n=1 时,结论 当 n≥2 时,有 成立

所以|b2n﹣bn|≤|bn+1﹣bn|+|bn+2﹣bn+1|+…+|b2n﹣b2n﹣ 1|

点 本题主要考查了数列的递推式.数列的递推式与不等式,函数等知识综合考查是近几年高考的热点,平时的训 评: 练应注意知识的综合运用. 27. (2008?四川)设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an﹣2 , (Ⅰ)求 a1,a4 n (Ⅱ)证明:{an+1﹣2a }是等比数列; (Ⅲ)求{an}的通项公式. 考点: 等比关系的确定;等比数列的通项公式;数列递推式. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (Ⅰ)令 n=1 得到 s1=a1=2 并推出 an,令 n=2 求出 a2,s2 得到 a3 推出 a4 即可; n+1 n n+1 n n (Ⅱ)由已知得 an+1﹣2an=(Sn+2 )﹣(Sn+2 )=2 ﹣2 =2 即为等比数列; n﹣2 n﹣1 n﹣1 (Ⅲ)an=(an﹣2an﹣1)+2(an﹣1﹣2an﹣2)+…+2 (a2﹣2a1)+2 a1=(n+1)?2 即可. 解答: 解: (Ⅰ)因为 a1=S1,2a1=S1+2,所以 a1=2,S1=2 n n+1 n+1 由 2an=Sn+2 知 2an+1=Sn+1+2 =an+1+Sn+2 n+1 得 an+1=sn+2 ① 2 2 3 3 4 所以 a2=S1+2 =2+2 =6,S2=8a3=S2+2 =8+2 =16,S2=24a4=S3+2 =40
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n

28

(Ⅱ)由题设和①式知 an+1﹣2an=(Sn+2 )﹣(Sn+2 )=2 ﹣2 =2 n 所以{an+1﹣2a }是首项为 2,公比为 2 的等比数列. n﹣2 n﹣1 n﹣1 (Ⅲ)an=(an﹣2an﹣1)+2(an﹣1﹣2an﹣2)+…+2 (a2﹣2a1)+2 a1=(n+1)?2 点评: 此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的特定项,通项公式等,同时考查学生掌握数列的递 推式以及等比数列的通项公式的能力.

n+1

n

n+1

n

n

28. (2007?辽宁)已知数列{an},{bn}满足 a1=2,b1=1,且 (I)令 cn=an+bn,求数列{cn}的通项公式; (II)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式 Sn.

(n≥2)

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (I)根据题意可求得 cn=cn﹣1+2,进而根据等差数列的定义可推断出{cn}是首项为 a1+b1=3,公差为 2 的等 差数列,进而求得其通项公式.
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(II) 令 dn=an﹣bn, 则可知

进而推断出{dn}是首项为 a1﹣b1=1, 公比为 的等比数列,

则其通项公式可求,进而根据 an﹣bn 和 an+bn 的表达式,联立方程求得 an,进而根据等差数列和等比数列 的求和公式求得答案. 解答: 解: (I)由题设得 an+bn=(an﹣1+bn﹣1)+2(n≥2) ,即 cn=cn﹣1+2(n≥2) 易知{cn}是首项为 a1+b1=3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 cn=2n+1 (II)解:由题设得 ,令 dn=an﹣bn,则 、

易知{dn}是首项为 a1﹣b1=1,公比为 的等比数列,通项公式为



解得



求和得 点评: 本小题主要考查等差数列,等比数列等基础知识,考查基本运算能力. 29. (2007?四川)已知函数 f(x)=x ﹣4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0) (n∈N*) ,其中 x1 为正实数. (Ⅰ)用 xn 表示 xn+1; (Ⅱ)证明:对一切正整数 n,xn+1≤xn 的充要条件是 x1≥2 (Ⅲ)若 x1=4,记 ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.
2

考点: 数列递推式;导数的几何意义;数列的概念及简单表示法;用数学归纳法证明不等式. 专题: 计算题;证明题;综合题;压轴题. 分析: (1)先对函数 f(x)=x2﹣4 进行求导,进而可得到过曲线上点(x0,f(x0) )的切线方程,然后令 y=0 得 2 到关系式 xn +4=2xnxn+1,整理即可得到答案.
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29

(2)先由 xn+1≤xn 得到 x2≤x1,再结合(1)中的结果可得到 的证明; 由 用数学归纳法可证明 xn+1≤xn 对一切正整数 n 成立.

,最后根据 x1>0 可得到必要性

(3)先由

得到



,然后两式相除可得到

后再两边取对数,求得 an+1=2an,进而可知数列{an}成等比数列,根据等比数列的

通项公式求得 an,代入

即可求得数列{xn}的通项公式.

解答: 解: (Ⅰ)由题可得 f′(x)=2x 所以过曲线上点(x0,f(x0) )的切线方程为 y﹣f(xn)=f′(xn) (x﹣xn) , 即 y﹣(xn﹣4)=2xn(x﹣xn) 2 2 令 y=0,得﹣(xn ﹣4)=2xn(xn+1﹣xn) ,即 xn +4=2xnxn+1 显然 xn≠0∴

(Ⅱ)证明: (必要性) 若对一切正整数 n,xn+1≤xn,则 x2≤x1,即 ,而 x1>0,∴x1 ≥4,即有 x1≥2
2

(充分性)若 x1≥2>0,由

用数学归纳法易得 xn>0,从而 又 x1≥2∴xn≥2(n≥2) 于是 即 xn+1≤xn 对一切正整数 n 成立 =

,即 xn≥2(n≥2)



(Ⅲ)由

,知

,同理,



30

从而

,即 an+1=2an

所以,数列{an}成等比数列,故





,从而

=

所以



点评: 本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决问题的能力. 30. (2007?湖北)已知数列{an}和{bn}满足: a 为公比的等比数列. (Ⅰ)证明:aa+2=a1a ; (Ⅱ)若 a3n﹣1+2a2,证明数例{cx}是等比数例; (Ⅲ)求和: … .
2

.且{bn}是以

考点: 数列递推式;等比关系的确定;数列的求和. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: 2 (Ⅰ)由 ,知 ,由此可得 an+2=anq (n∈N*) .
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(Ⅱ)由题意知 a2n﹣1=a1q 公比的等比数列. (Ⅲ)由题设条件得

2n﹣2

,a2n=a2q

n ﹣2

,所以 cn=a2n﹣1+2a2n=5q ,所以

2n﹣2

.由此可知{cn}是首项为 5,以 q 为

2



=

=

.由

此可知

解答: 解: (Ⅰ)证:由 ,

有 ∴an+2=anq (n∈N ) .
2 *



(Ⅱ)证:∵an=qn﹣2q , 2 2n﹣2 ∴a2n﹣1=a2n﹣3q =a1q ,
31

2

a2n=a2n﹣2q =a2q , 2n﹣2 2n﹣2 2n﹣2 2n﹣2 ∴cn=a2n﹣1+2a2n=a1q +2a2q =(a1+2a2)q =5q . 2 ∴{cn}是首项为 5,以 q 为公比的等比数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)得 , ,于是

2

n﹣2

=

=

=



当 q=1 时,

=



当 q≠1 时,

=

=





点评: 本题主要考查等比数列的定义,通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能,考查分析问题能力和 推理能力.

32


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