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对新课标卷中立体几何解答题的一点思考(改)


新课标卷立体几何解答题特点分析与复习建议 宁夏育才中学 马晓英

【摘要】立体几何是高中数学的重要内容,在高考中占有较大的比 重,高考试卷中立体几何把考查的立足点放在空间图形上,突出对 空间概念和空间想象能力的考查。宁夏自进入新课改以来,连续 8 年高考理科数学卷在立体几何大题考查中除了平行、垂直关系的证 明,均涉及到了空间角的求解。而解决空间角的问题,空间向量法 给我们带来了很大的方便。 【关键字】 空间角 立体几何 空间向量

一、新课标卷立体几何解答题考查情况分析 立体几何在高考中占据重要的地位,通过对新课标卷中立体几 何解答题的分析,可以发现新课标卷对立体几何问题的考查已经突 破了传统的框架:由逐步由封闭性向灵活性、开放性转变;由重结 果向重形成过程转变。因此,如何进一步把握复习的重点,提高复 习效率,从而快速的突破立体几何难点是高考复习过程中必须认真 考虑的问题。从新课标卷这 8 年(2007 年-2014 年)的立体几何解答 题来看,内容上主要考查:①直线与直线的垂直关系的证明;直线 与平面的平行、直线与平面垂直关系的证明;平面与平面平行、平 面与平面垂直关系的证明;②计算角的问题,主要是异面直线所成 的角,直线与平面所成的角,二面角;③求距离,主要是点到面的 距离。从能力上来看着重考察空间想象能力,即对空间几何题的观 察分析和抽象的能力,要求“四会”:①会画图——根据题设条件 画出适合提议的图形或画出自己想做的辅助线(面),作出的图形 要直观、虚实分明;②会识图——根据题目给出的图形,想象出立

体的形状和有关线面的位置关系;③会析图——对图形进行必要的 分解、组合;④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋 转、展开或实行割补术。 二、复习建议 1、空间中直线、平面间的位置关系,是立体几何的核心内容。 新课标高考始终把直线与直线的垂直(例如,新课标卷立体几何解 答题 09 年、10 年、11 年、12 年均考查到直线与直线的垂直关系的 证明),直线与平面的平行(新课标卷 13 年、14 年)、垂直(新 课标卷 07 年)关系作为考查的重点。尤其是以多面体(主要是柱体 和锥体)为载体的线面关系的论证是历年高考的必考内容。在复习 备考中,要加强对相关定义、定理的深刻理解,强化基础知识的训 练,熟练掌握符号语言、图形语言和文字语言的转换,还要注意在 解题的表述和符号的书写上力求规范。同时掌握定理在不同题目中 的用法,理解它的共性和特性。依据要证明的结论出发,寻找需要 的定理或公理。 2、空间角的考查是新课标卷中每年必考的内容,都是围绕着异 面直线所成角、线面所成角、二面角来考查的。解决空间角的问 题,我们可以运用几何法与空间向量法两种方法来解决。 利用几何方法求空间角的基本步骤是“一作二证三计算”,其 中做出空间角是关键。作异面直线所成角时,要注意“巧选点,作 平移”,该点常常选在所求相关线段的中点或端点,构造中位线或 平行四边形,同时注意平移后的角是所求角还是其补角;作二面角 平面角的方法有定义法和垂面法等;作直线与平面所成角时要注意

“找线面垂直、二足(垂足、斜足)相连”,从而将空间问题转化 为平面问题,最后通过解三角形求解。 利用空间向量的方法求空间角需要建立空间直角坐标系,对空 间想象能力及逻辑推理能力要求不高,但计算量大,需要学生细 心、谨慎的计算、书写,同时也要学会将向量结果正确的转化为立体 几何结论。 (1)利用向量方法求异面直线所成角 设两条异面直线所成角为 ? ,利用公式 cos a, b ?
a ?b ab

,借助这两

条异面直线的方向向量来求得。但要注意,异面直线所成角的范围
? 为 (0, ] ,故有 cos? ? cos ? a, b ? 。
2

(2)利用向量方法求直线与平面所成角 设直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? , n 是平面 ? 的法向量, AB 为直 线 l 的方向向量,则有 sin ? ?
AB ? n AB n



(3)利用向量方法求二面角,需要求解两个平面的法向量所成 角的余弦值,再根据图形判断二面角是锐二面角还是钝二面角。而 在二面角接近直二面角或图形位置摆放不恰当时,很容易估计错误. 因此建议学生在日常学习中求解空间角时,两种方法都尝试使用, 不要因为向量法有其一定的优越性而完全放弃几何法。一般情况 下,若几何体中存在空间直角坐标系的“支架”,如正方体,长方 体,从一个顶点发出的三条棱两两相互垂直的四面体,底面对角线 互相垂直的四棱锥等可优先考虑向量法。

对于新课改大背景下的高三教师而言,必须有敏锐的“嗅 觉”,使自己能够跻身于新课改的前沿,扑捉高考命题的微妙变 化,并整合到自己的日常教学当中,引领学生高效备考。


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