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沈阳市郊区联合体高二数学专题项目命题组高中数学导数综合练习参考答案


答案与评分标准 一.解答题(共 30 小题) 1.已知定义在正实数集上的函数 有公共点,且在该点处的切线相同. (I)用 a 表示 b,并求 b 的最大值; (II)求证:f(x)≥g(x) (x>0) . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题: 计算题。 分析: (I)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在切点处的导函

数值,再结合导数的几何 意义即可求出切线的斜率.最后用 a 表示 b,利用导数的工具求 b 的最大值,从而问题解决. (II)先设 F(x)=f(x)﹣g(x) ,利用导数研究此函数的单调性,欲证 f(x)≥g(x) (x>0) ,只须证明 F(x)在(0,+∞)上的最小值是 0 即可. 解答: 解: (Ⅰ)设 y=f(x)与 y=g(x) (x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同, ∵f′(x)=x+2a, , ,g(x)=3a lnx+b,其中 a>0,设两曲线 y=f(x) ,y=g(x)
2

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由题意 f(x0)=g(x0) ,f′(x0)=g′(x0)





得 x0=a,x0=﹣3a(舍去)即有

=

(3 分)



,则 h′(t)=2t(1﹣3lnt) 时,h'(t)>0; 时,h'(t)<0. 为增函数,在 为减函数, (6 分) , (10 分)

当 t(1﹣3lnt)>0,即 当 t(1﹣3lnt)<0,即 故 h(t)在

于是 h(t)在(0,+∞)的最大值为 (Ⅱ)设 F(x)=f(x)﹣g(x)= 则 F'(x)=

故 F(x)在(0,a)为减函数,在(a,+∞)为增函数, 于是函数 F(x)在(0,+∞)上的最小值是 F(a)=F(x0)=f(x0)﹣g(x0)=0. 故当 x>0 时,有 f(x)﹣g(x)≥0,即当 x>0 时,f(x)≥g(x) (12 分) 点评: 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率, 会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减 性得到函数的最值.考查化归与转化思想.属于中档题. 2.设函数 f(x)=x +ax +bx(x>0)的图象与直线 y=4 相切于 M(1,4) . (1)求 y=f(x)在区间(0,4]上的最大值与最小值;
3 2

(2)是否存在两个不等正数 s,t(s<t) ,当 s≤x≤t 时,函数 f(x)=x +ax +bx 的值域是[s,t],若存在,求出所有 这样的正数 s,t;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题: 综合题。 分析: (1)对 f(x)进行求导,根据 f(x)的图象与直线 y=4 相切于 M(1,4) ,可得 f′(1)=0 和 f(1)=0, 求出 f(x)的解析式,再求其最值; (2)根据函数的定义域是正数知,s>0,故极值点 x=3 不在区间[s,t]上分两种情况,若 f(x)=x ﹣6x +9x 3 2 在[s,t]上单调增;若 f(x)=x ﹣6x +9x 在[s,t]上单调减,从而进行判断; 解答: 解: (1)f'(x)=3x +2ax+b, 分) (1 依题意则有:
3 2 2 3 2

3

2

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,即

解得

(2 分)

∴f(x)=x ﹣6x +9x 2 令 f'(x)=3x ﹣12x+9=0,解得 x=1 或 x=3(3 分) 当 x 变化时,f'(x) ,f(x)在区间(0,4]上的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (0,1) + 单调递增↗ 1 0 4 (1,3) ﹣ 单调递减↘ 3 0 0 (3,4) + 单调递增↗ 4 4

(2)由函数的定义域是正数知,s>0,故极值点 x=3 不在区间[s,t]上; (5 分) ①若极值点 x=1 在区间[s,t],此时 0<s≤1≤t<3,在此区间上 f(x)的最大值是 4,不可能等于 t;故在区 间[s,t]上没有极值点; (7 分) ②若 f(x)=x ﹣6x +9x 在[s,t]上单调增,即 0<s<t≤1 或 3<s<t, 则 ,即 ,解得 不合要求; (10 分)
3 2

③若 f(x)=x ﹣6x +9x 在[s,t]上单调减,即 1<s<t<3,则
2

3

2



两式相减并除 s﹣t 得: (s+t) ﹣6(s+t)﹣st+10=0,① 2 2 两式相除可得[s(s﹣3)] =[t(t﹣3)] ,即 s(3﹣s)=t(3﹣t) ,整理并除以 s﹣t 得:s+t=3,② 由①、②可得 即存在 s= ,t= ,即 s,t 是方程 x ﹣3x+1=0 的两根, 不合要求. (13 分)
2

综上可得不存在满足条件的 s、t. (14 分) 点评: 此题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值,是一道综合性比较强,第二问难度比较大,存在性问题, 假设存在求出 s,t,计算时要仔细;
3 2 2

3.设函数 f(x)= x ﹣mx +(m ﹣4)x,x∈R. (1)当 m=3 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)=0 有三个互不相等的实根 0,α,β(α<β) ,求实数 m 的取值范围; (3)在(2)条件下,若对任意的 x∈[α,β],都有 f(x)≥﹣ 恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题: 综合题。

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分析: (1)根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=2 处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方 程,化成一般式即可; (2)由题意,等价于方程 x ﹣mx+(m ﹣4)=0 有两个不相等的实数根,从而其判别式大于 0,可以求出 实数 m 的取值范围; (3)恒成立问题转化为区间最小值≥﹣ 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ∴f′(x)=x ﹣2mx+m ﹣4 当 m=3 时,f′(2)=﹣3,f(2)= 所以所求的直线方程为 9x+3y﹣20=0. (2)∵函数 f(x)= =x[ ]
2 2 2 2

即可. .

若关于 x 的方程 f(x)=0 有三个互不相等的实根 0,α,β 则△ =m ﹣
2

>0,

解得:﹣4<0<4 故满足条件的实数 m 的取值范围为(﹣4,4) (3)∵f'(x)=x ﹣2mx+m ﹣4=[x﹣(m﹣2)][x﹣(m+2)], f(x)在(﹣∞,m﹣2)上递增,在(m﹣2,m+2)递减,在(m+2,+∞)递增, f(x)极大值=f(m﹣2)= (m﹣2) ﹣m(m﹣2) +(m ﹣4) (m﹣2)>0, f(x)极小值=f(m+2)= (m+2) ﹣m(m+2) +(m ﹣4) (m+2)<0, 得﹣4<m0 且 m ﹣4≠0,得﹣4<m<4,m≠±2. 若 m+2<0,即 m∈(﹣4,﹣2) ,当 x∈[α,β]时,f(x)min=0, ∴当 m∈(﹣4,﹣2)时,f(x)≥﹣ 恒成立. 恒成立,即 f(x)min=f(m+2)≥
2 3 2 2 3 2 2 2 2

若 m﹣2<0<m+2,即 m∈(﹣2,2)要使当 x∈[α,β]时,f(x)≥﹣ ﹣ .
3 2 2

f(m+2)= (m+2) ﹣m(m+2) +(m ﹣4) (m+2)≥﹣
2

,得 m(m ﹣12)≥0 恒成立.

2

∵m∈(﹣2,2)∴m ﹣12<0,∴m≤0,∴当﹣2<m≤0 时,f(x)≥﹣ 若 0<m﹣2,即 m∈(2,4) ,要使当 x∈[α,β]时,f(x)≥﹣ 即 f(x)min=f(m+2)≥﹣
2 3

恒成立,
2 2

,f(m+2)= (m+2) ﹣m(m+2) +(m ﹣4) (m+2)≥﹣

得 m(m ﹣12)≥0∵m∈(2,4) ∴2 ≤m<4 综上得:m 的取值范围是(﹣4,﹣2) .

点评: 本题考查了导数的几何意义及恒成立问题的处理策略,解题时,弄清题意,合理运用恒成立问题的处理策略 是关键

4.已知

x+c.

(1)如果 b=0,且 f(x)在 x=1 时取得极值,求 a 的值,并指出这个极值是极大值还是极小值,说明理由; (2)当 a=﹣1 时,如果函数 y=f(x)的图象上有三个不同点处的切线与直线 x+2y+3=0 垂直,求 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数在某点取得极值的条件。 专题: 计算题。 分析: (1)先求导数 f'(x)=x3+x2+ax,根据 x=1 是 f(x)的极值点,求出 a 值,从而得出 f'(x)=x3+x2﹣2x=x 2 (x ﹣x﹣2=x(x﹣1) (x+2) ,再讨论当 0<x<1 时,f'(x)<0,当 x>1 时,f'(x)>0,从而得出结论. (2)当 a=﹣1 时,f'(x)=x +x ﹣x+b,直线 x+2y+3=0 的斜率为
3 2 3 2

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,依题意,方程 x +x ﹣x+b=2 有三个

3

2

不等的实根.设 g(x)=x +x ﹣x+b﹣2,利用导数求得 g(x)极值,由函数的图象与直线有三个不同的交 点,寻求函数的极值点,得到极值,通过比较函数的极值与参数 b 之间的关系即可得到答案. 解答: 解: (1)由题意
3 2

x+c,b=0,

∴f'(x)=x +x +ax, ∵x=1 是 f(x)的极值点, ∴f'(1)=a+2=0,a=﹣2. 3 2 2 此时,f'(x)=x +x ﹣2x=x(x ﹣x﹣2)=x(x﹣1) (x+2) 所以 0<x<1 时,f'(x)<0,当 x>1 时,f'(x)>0 因此 f(x)在 x=1 处取得极小值. (2)当 a=﹣1 时,f'(x)=x +x ﹣x+b,直线 x+2y+3=0 的斜率为
3 2



依题意,函数 y=f(x)的图象上有三个不同点处的切线与直线 x+2y+3=0 垂直 3 2 ∴方程 x +x ﹣x+b=2 有三个不等的实根. 3 2 设 g(x)=x +x ﹣x+b﹣2,

由 g'(x)=3x +2x﹣1=(3x﹣1) (x+1)=0, 得 x1=﹣1,x2= . 当 x 变化时,g'(x) ,g(x)的变化状态如下表: x g'(x) g(x) (﹣∞,﹣1) ﹣1 + 递增 0 极大值 (﹣1, ) ﹣ 递减 , 0 极小值 ( ,+∞) + 递增

2

极大值为 g(﹣1)=b﹣1,极小值为 g( )=b﹣ 由 b﹣1>0,且 b﹣ <0, .

得 b 的取值范围:1<b<

点评: 本题考查函数的导数以及导数的几何意义, 利用导数求解函数的单调性和极值问题, 考查了二次函数的性质, 综合考查了函数与方程的思想,转化与化归的思想等数学思想,在求含参数的函数的单调区间时对学生的能 力有较高的要求.
2

5.已知 f(x)=2x﹣ x ,g(x)=logax(a>0 且 a≠1) (I)过 P(0,2)作曲线 y=f(x)的切线,求切线方程; (II)设 h(x)=f(x)﹣g(x)在定义域上为减函数,且其导函数 y=h′(x)存在零点,求实数 a 的值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性。 专题: 综合题。 分析: (I)把点 P 的坐标代入 f(x)中,判断得到点 P 不在曲线 y=f(x)上,然后设出切点坐标,求出 f(x)的 导函数,把横坐标代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率,把切点横坐标代入 f(x)中得到切点的 纵坐标,确定出切点坐标,根据切点坐标和斜率写出切线方程即可; (II)由 h(x)在 x 大于 0 是减函数,得到导函数小于等于 0 恒成立,由 x 大于 0 得到 0 恒成立,利用 x 的范围求出 2x﹣x 的最大值,进而得到
2 2

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≥2x﹣x 在 x>

2

大于等于求出的最大值,化简后得到一个关

系式, 记作①, 又导函数 y=h′ (x) 存在零点, 得到 lna?x ﹣2lna?x+1=0 有正根, 即根的判别式大于等于 0, , 列出关于 lna 的不等式,求出不等式的解集,记作②,由①②即可得到 lna 的值,进而得到 a 的值. 解答: 解: (I)∵f(0)=0,∴P(0,2)不在曲线 y=f(x)上,设切点为 Q(x0,y0) , ∵f′(x)=2﹣x,∴k=f′(x0)=2﹣x0,且 y0=f(x0)=2x0﹣ ,

∴切线方程为:y﹣2x0+

=(2﹣x0) (x﹣x0) ,即 y=(2﹣x0)x+



∵(0,2)在切线上,代入可得:x0=±2, ∴切线方程为 y=2 或 y=4x+2; (II)h(x)=2x﹣ x ﹣loga 在(0,+∞)递减, ∴h′(x)=2﹣x﹣ ≤0 在 x>0 恒成立,
2 x

∵x>0,∴

≥2x﹣x 在 x>0 恒成立,
2

2

由 x>0,得到 2x﹣x ∈(﹣∞,1],∴ 又 h′(x)=2﹣x﹣
2

≥1,即 0<lna≤1①,
2

存在零点,即方程 lna?x ﹣2lna?x+1=0 有正根,

∴△=4ln a﹣4lna≥0,∴lna≥1 或 lna<0②, 由①②,得 lna=1,∴a=e. 点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会根据导函数的正负判断函数的增减性,掌握不 等式恒成立时满足的条件,是一道中档题.

6.已知函数



(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 P(3,f(3) )处的切线方程; (2)当函数 y=f(x)在区间[0,1]上的最小值为 时,求实数 a 的值;

(3)若函数 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题: 综合题;分类讨论;转化思想。 分析: (1)当 a=2 时, ,求出切点的坐标与切点处的导数利用点斜式写出切线方程即可; 时,求出其导数,对参数 a 的值进行讨论确定出最值

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(2)当函数 y=f(x)在区间[0,1]上的最小值为 的大小,利用最小值为 时建立方程求 a.

(3)函数 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点,则 f(x)﹣g(x)=0 有三个根,利用导数研究相关 函数的极值,由图象确定出参数的范围即可. 解答: (1)a=2 时,
2

,f′(x)=x ﹣2x,

2

∴f(3)=0,f′(3)=3 ﹣2×3=3 故切点坐标是(3,0) ,切点处导数是 3 故曲线 y=f(x)在点 P(3,f(3) )处的切线方程是 y=3(x﹣3) ,即 3x﹣y﹣9=0 2 (2)f′(x)=x ﹣ax=x(x﹣a) 当 a<0 时,令导数大于 0 可得 x>0 或 x<a,故函数在[0,1]上是增函数,故最小值在 x=0 处取到 验证知不合题意 当 a>1 时,可解得函数在[0,1]上是减函数故最小值在 x=1 处取到,即 当 0<a<1 时,验证知,无解 故符合条件的值为 a= (3)函数 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点,则 f(x)﹣g(x)=0 有三个根, 令 F(x)=f(x)﹣g(x)= F′(x)=x ﹣ax﹣x+a=(x﹣1) (x﹣a) F(x)=f(x)﹣g(x)=0 有三个根,故 a≠1 且有 F(1)F(a)<0 故有 由于 3a ﹣3a+1>0 恒成立,故 a<0
2 2

,a= 符合要求

<0 即 a (3a ﹣3a+1)<0,

3

2

函数 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点,求实数 a 的取值范围是 a<0 点评: 本题考查利用导数研究函数某点处的切线的方程以及函数有三个交点的问题求参数, 本题的求解关键是对求 导公式的熟练掌握以及对函数最值的判断方法,两函数有三个交点求参数时问题的转化方向.
3 2

7.已知函数 f(x)= x ﹣ (a+ )x +x(a∈R,a≠0) . (1)若 a>0,则 a 为何值时,f(x)在点(1,f(1) )处切线斜率最大?并求该切线方程; (2)当 a=2 时,函数 f(x)在区间(k﹣ ,k+ )内不是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)若 f(x)的图象不经过第四象限,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调 性。
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专题: 综合题。 分析: (1)求导函数,可得 (1) )处切线斜率最大,从而可求切线方程; (2)当 a=2 时,f(x)= x ﹣ x +x,求导函数 或 x>2 时,函数单调递增,
3 2

,利用基本不等式,可知 a=1 时,f(x)在点(1,f

,从而可知

时函数单调递减,要使函数 f(x)在区间(k﹣ ,k+ )内不

是单调函数,则



,从而可求实数 k 的取值范围;

(3)f(x)的图象不经过第四象限,即 f(x)≥0 在 x∈[0,+∞)恒成立.分类讨论:①当 a<0 时,f(x) 在[0,+∞)单调递增,符合题意;②当 a>0 时,f(x)min=min{f(0) ,f(a) ,f( )}≥0 即可,从而可求 a 的取值范围. 解答: 解: (1)求导函数,可得 ∵a>0,∴ ∴ ,当且仅当 a=1 时,等号成立

即当 a=1 时,f(x)在点(1,f(1) )处切线斜率最大,该切线方程为 y= ; (2)当 a=2 时,f(x)= x ﹣ x +x
3 2

令 f′(x)>0,可得 令 f′(x)<0,可得

或 x>2,此时函数单调递增; ,此时函数单调递减;

要使函数 f(x)在区间(k﹣ ,k+ )内不是单调函数,则







(3)f(x)的图象不经过第四象限,即 f(x)≥0 在 x∈[0,+∞)恒成立. 令 f′(x)=0 得 x1=a,x2= . ①当 a<0 时,f(x)在[0,+∞)单调递增,符合题意; ②当 a>0 时,∵x∈[0,+∞) , ∴f(x)min=min{f(0) ,f(a) ,f( )},

∵f(0)=0,∴



≤a≤

, ≤a≤ . (13 分)

综上所得,a 的取值范围是 a<0 或

点评: 本题重点考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查函数的最值,同时考查学生 分析解决问题的能力,综合性强.

8.已知函数:



(1)当 a=﹣3 时,求过点(1,0)曲线 y=f(x)的切线方程; (2)求函数 y=f(x)的单调区间; (3)函数是否存在极值?若有,则求出极值点;若没有,则说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值。 专题: 计算题。 分析: (1)当 a=﹣3 时,f(x)=﹣x3+1,对函数求导,由导数的几何意义可得,曲线在(1,0)处的切线的斜率 k=f′(1) ,可求切线方程 2 (2)对函数求导可得,f′(x)=ax +(a+3) ,结合 a 的范围可确定导数的符号,进而可判断函数的单调区 间 (3)由(2)可求函极小值,极大值的存在情况
3 解答: 解: (1)当 a=﹣3 时,f(x)=﹣x +1

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对函数求导可得,f′(x)=﹣3x 由导数的几何意义可得,曲线在(1,0)处的切线的斜率 k=f′(1)=﹣3 ∴过点(1,0)曲线 y=f(x)的切线方程为 y=﹣3(x﹣1)即 3x+y﹣3=0 2 (2)对函数求导可得,f′(x)=ax +(a+3) , ①当 a≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,+∞)单调递增 ②当 a≤﹣3 时,f′(x)≤0,f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减 ③当﹣3<a<0,由 f′(x)>0,可得 f′(x)≤0,f(x)在(﹣∞, ],[ ,即 f(x)在(﹣ +∞)单调递减 存在极小值,在 x= 存在极大值 ,+ )单调递增;

2

(3)由(2)得,当﹣3<a<0,函数在 x=﹣

点评: 本题主要考查了导数的集合意义的应用,导数在函数的单调区间及函数的极大与极小值的求解中的应用 9.已知实数 a≠0,函数 f(x)=ax(x﹣2) (x∈R) . (Ⅰ)若 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 27x+y﹣8=0 平行,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若对任意 x∈[﹣2,1],不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值;两条直线 平行的判定。
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专题: 计算题;综合题。 分析: (I)欲求函数 f(x)的极值,只须求出 a 值即可,故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值,再结合导数的 几何意义即可求出切线的斜率.从而可求出 a 值,先求出 f(x)的导数,根据 f′(x)>0 求得的区间是单 调增区间,f′(x)<0 求得的区间是单调减区间,求出极值. (II)题中条件:“对任意 x∈[﹣2,1],不等式 恒成立”应用是解题的关键,须对字母 a 进行讨 ,得到 a 的不等式即可解得实数

论:a<0 和 a>0.再分别求出函数 f(x)的最大值,最后让最大值小于 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=ax(x﹣2) =ax ﹣4ax +4ax, ∴ ∴f′(1)=﹣a=﹣27,得 a=27 ∴f(x)=27x(x﹣2) (x∈R) 分) (2 令 fn(x)=0 得 ∴ 或 x=2. 上为增函数, ,
2 2 3 2



又函数 f(x)在 在 上为减函数,

在(2,+∞)上为增函数. (4 分) ∴f(x)在 时取得极大值, .

在 x=2 时取得极小值 f(2)=0; 分) (6 (Ⅱ)由 当 a>0 时,函数 f(x)在 在 此时, 又对?x∈[﹣2,1],不等式 ∴ ∴ ,得 , 上是减函数. . 恒成立. ,知 上是增函数,

. (9 分)

当 a<0 时,函数 f(x)在 在 上是增函数.

上是减函数,

又 f(﹣2)=﹣32a,f(1)=a,此时,ymax=f(﹣2)=﹣32a. 又对?x∈[﹣2,1],不等式 ∴ 得 ,∴ 恒成立. . . (12 分)

故所求实数的取值范围是

点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数 的最值、两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 10.已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数 f(x)的极值点; (Ⅱ)若直线 l 过点(0,﹣1) ,并且与曲线 y=f(x)相切,求直线 l 的方程; (Ⅲ)设函数 g(x)=f(x)﹣a(x﹣1) ,其中 a∈R,求函数 g(x)在区间[1,e]上的最小值. (其中 e 为自然对数 的底数) 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题: 综合题。 分析: (I)先对函数求导,研究函数的单调区间,根据 F′(x)>0 求得的区间是单调增区间,F′(x)<0 求 得的区间是单调减区间,求出极值. (II)求出曲线方程的导函数,利用导函数中即可求出切线方程的斜率,根据求出的斜率和已知点的坐标写 出切线方程即可; (III)求导:g'(x)=lnx+1﹣a 解 g'(x)=0,得 x=e ,得出在区间(0,e )上,g(x)为递减函数, a﹣1 a﹣1 a﹣1 a﹣1 在区间(e ,+∞)上,g(x)为递增函数,下面对 a 进行讨论:当 e ≤1,当 1<e <e,当 e ≥e,从 而得出 g(x)的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)f'(x)=lnx+1,x>0,…(2 分) 由 f'(x)=0 得 ,…(3 分) 上单调递减,在区间 上单调递增.…(4 分)
a﹣1 a﹣1

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所以,f(x)在区间 所以,

是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在.…(5 分)

(Ⅱ)设切点坐标为(x0,y0) ,则 y0=x0lnx0,…(6 分) 切线的斜率为 lnx0+1, 所以, ,…(7 分)

解得 x0=1,y0=0,…(8 分) 所以直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0.…(9 分) (Ⅲ)g(x)=xlnx﹣a(x﹣1) , 则 g'(x)=lnx+1﹣a,…(10 分) 解 g'(x)=0,得 x=e , a﹣1 所以,在区间(0,e )上,g(x)为递减函数, a﹣1 在区间(e ,+∞)上,g(x)为递增函数.…(11 分) a﹣1 当 e ≤1,即 a≤1 时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,
a﹣1

所以 g(x)最小值为 g(1)=0.…(12 分) 当 1<e <e,即 1<a<2 时,g(x)的最小值为 g(e )=a﹣e a﹣1 当 e ≥e,即 a≥2 时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数, 所以 g(x)最小值为 g(e)=a+e﹣ae.…(14 分)
a﹣1 a﹣1 a﹣1

.…(13 分)

综上,当 a≤1 时,g(x)最小值为 0;当 1<a<2 时,g(x)的最小值 a﹣e 为 a+e﹣ae.

a﹣1

;当 a≥2 时,g(x)的最小值

点评: 本题考查了导数的应用:利用导数判断函数的单调性及求单调区间;函数在区间上的最值的求解,其一般步 骤是:先求极值,比较函数在区间内所有极值与端点函数.若函数在区间上有唯一的极大(小)值,则该极 值就是相应的最大(小)值.

11.已知函数

,且函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 x+y+3=0 垂直.

(I)求 a 的值; (II)如果当 x∈(0,1)时,t?g(x)≤f(x)恒成立,求 t 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;直线的一般式方程与直 线的垂直关系。
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专题: 综合题。 分析: (I)函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,求导函数,利用导数的几何意义,结合函数 f(x) 在点(1,f(1) )处的切线与直线 x+y+3=0 垂直,可求 a 的值; (II) (I) 由 可得 , x∈ 当 (0, 时, (x) (x) 1) t?g ≤f 恒成立, 即

恒成立,进而构造函数 h(x)=tlnx﹣x+1(0<x<1) ,确定函数的单调性,分类讨论,从而可确定 t 的取值 范围. 解答: 解: (I)函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , ∴f′(1)=a ∵函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 x+y+3=0 垂直 ∴f′(1)=1 ∴a=1; (II)由(I)可得 , 恒成立

当 x∈(0,1)时,t?g(x)≤f(x)恒成立,即 ∴tlnx≤x﹣1(0<x<1)恒成立 显然 t≤0 时,式子不恒成立 t>0 时,式子 tlnx≤x﹣1(0<x<1)可化为 tlnx﹣x+1≤0(0<x<1) 构造函数 h(x)=tlnx﹣x+1(0<x<1) , ∴ 令 可得 0<x<t,令 可得 x>t,

∴t∈(0,1) ,h(t)>h(1)=0,h(x)=tlnx﹣x+1≤0(0<x<1)不恒成立 t∈[1,+∞) ,x∈(0,1)时,h(x)<h(1)=0,h(x)=tlnx﹣x+1≤0(0<x<1)恒成立 综上可得,t 的取值范围是[1,+∞) . 点评: 本题重点考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查构造法的运用,考查分类讨论的数学思想. 12.已知函数 f(x)=x ﹣3x. (1)求曲线 y=f(x)在点 x=2 处的切线方程;
3

(2)若过点 A(1,m) (m≠﹣2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围、 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题: 计算题。 分析: (1)先求导数 f'(x)=3x ﹣3,欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=2 处的导 函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 3 2 (2)先将过点 A(1,m) (m≠﹣2)可作曲线 y=f(x)的三条切线转化为:方程 2x ﹣3x +m+3=0(*)有 3 2 2 三个不同实数根,记 g(x)=2x ﹣3x +m+3,g'(x)=6x ﹣6x=6x(x﹣1) ,下面利用导数研究函数 g(x) 的零点,从而求得 m 的范围. 解答: 解: (1)f'(x)=3x ﹣3,f'(2)=9,f(2)=2 ﹣3×2=2(2 分) ∴曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线方程为 y﹣2=9(x﹣2) ,即 9x﹣y﹣16=0(4 分) (2)过点 A(1,m)向曲线 y=f(x)作切线,设切点为(x0,y0) 3 2 则 y0=x0 ﹣3x0,k=f'(x0)=3x0 ﹣3. 3 2 则切线方程为 y﹣(x0 ﹣3x0)=(3x0 ﹣3) (x﹣x0) 分) (6 3 2 将 A(1,m)代入上式,整理得 2x0 ﹣3x0 +m+3=0. ∵过点 A(1,m) (m≠﹣2)可作曲线 y=f(x)的三条切线 ∴方程 2x ﹣3x +m+3=0(*)有三个不同实数根、 分) (8 3 2 2 记 g(x)=2x ﹣3x +m+3,g'(x)=6x ﹣6x=6x(x﹣1) 、 令 g'(x)=0,x=0 或 1、 (10 分) 则 x,g'(x) ,g(x)的变化情况如下表 x g'(x) g(x) (﹣∞,0)0 + 递增 0 极大 (0,1) 1 ﹣ 递减 即 0 极小 (1,+∞) + 递增 时,
3 2 2 3 2

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由题意有,当且仅当

函数 g(x)有三个不同零点、 此时过点 A 可作曲线 y=f(x)的三条不同切线.故 m 的范围是(﹣3,﹣2) (14 分) 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.

13.已知函数



(1)当 m=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)当 m=1 时,证明方程 f(x)=g(x)有且仅有一个实数根; (3)若 x∈(1,e]时,不等式 f(x)﹣g(x)<2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的单调性;利用导数求 闭区间上函数的最值。
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专题: 计算题。 分析: (1)m=2 时, 斜式可求出切线方程; (2)m=1 时,令 上的单调性,然后判定 ,求出 h'(x) ,判定符号得到函数在(0,+∞) 的符号,根据根的存在性定理可得结论; ,求出导函数 f'(x) ,从而求出 f'(1)得到切线的斜率,求出切点,根据点

(3)

恒成立,即 m(x ﹣1)<2x+2xlnx 恒成立,讨论 x ﹣1 的符号将 m 分离出来,利

2

2

用导数研究不等式另一侧的最值,从而求出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)m=2 时, 切点坐标为(1,0) , ∴切线方程为 y=4x﹣4…(2 分) (2)m=1 时,令 , , ,

, ∴h(x)在(0,+∞)上为增函数.…(4 分) 又 ,

∴y=h(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点 ∴在(0,+∞)内 f(x)=g(x)有且仅有一个实数根 (或说明 h(1)=0 也可以) (3)
2 2

…(6 分)

恒成立,即 m(x ﹣1)<2x+2xlnx 恒成立, 恒成立,

又 x ﹣1>0,则当 x∈(1,e]时,



,只需 m 小于 G(x)的最小值,

, ∵1<x≤e,∴lnx>0,∴当 x∈(1,e]时 G'(x)<0, ∴G(x)在(1,e]上单调递减, ∴G(x)在(1,e]的最小值为 ,

则 m 的取值范围是



…(12 分)

点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及根的存在性和利用导数求闭区间上函数的最值,同 时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题. 14.已知曲线 C:y=x ﹣3x +2x (1)求曲线 C 上斜率最小的切线方程. (2)过原点引曲线 C 的切线,求切线方程及其对应的切点坐标. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的几何意义。 专题: 综合题。 分析: (1)求出曲线解析式的导函数,发现为一个二次函数,配方后当 x=1 时,即可求出二次函数的最小值,即 导函数的最小值,即为切线方程斜率的最小值,然后把 x=1 代入曲线方程求出对应的 y 值,确定出确定的坐 标,由切点坐标和斜率写出切线方程即可;
3 2

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(2)设出切点的坐标,代入曲线方程得到一个等式,代入导函数中得到切线方程的斜率,由设出的一点和 表示出的斜率表示出切线方程,把原点坐标代入切线方程,即可求出切点的横坐标,把求出的切点横坐标代 入化简得到的等式即可求出切点的纵坐标,从而确定出切点坐标,把求出的切点横坐标代入导函数中即可求 出相应的切线方程的斜率,由切点坐标和斜率写出切线方程即可. 解答: 解: (1)y'=3x ﹣6x+2=3(x﹣1) ﹣1, 所以,x=1 时,y'有最小值﹣1, 分) (3 把 x=1 代入曲线方程得:y=0,所以切点坐标为(1,0) , 故所求切线的斜率为﹣1,其方程为:y=﹣x+1. (2)设切点坐标为 M(x0,y0) ,则 y0=x0 ﹣3x0 +2x0, 2 切线的斜率为 3x0 ﹣6x0+2, 2 故切线方程为 y﹣y0=(3x0 ﹣6x0+2) (x﹣x0)(9 分) , 2 因为切线过原点,所以有﹣y0=(3x0 ﹣6x0+2) (﹣x0) , 3 2 2 即:x0 ﹣3x0 +2x0=x0(3x0 ﹣6x0+2) , 解之得:x0=0 或 . ,
3 2 2 2

所以,切点坐标为 M(0,0)或 相应的切线方程为:y=2x 或 即切线方程为:2x﹣y=0 或 x+4y=0.

点评: 此题考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,导数的几何意义,要求学生掌握求导法则,直线与曲 线相切的性质,及待定系数法的灵活运用. 15.已知函数 f(x)=x +ax +b 的图象在点(1,f(1) )处与直线 y=﹣4x+2 相切. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. (Ⅲ)求函数 f(x)在区间[﹣m,m](m>0)上的最大值和最小值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题: 计算题。 分析: (Ⅰ)把 x=1 代入切线方程求出 f(1)=﹣2,然后把(1,﹣2)代入到 f(x)中得到关于 a 与 b 的一个关 系式;求出 f'(x) ,根据切线方程得到斜率为﹣4,所以 f'(1)=﹣4,代入导函数即可得到关于 a 的方程, 求出 a 的值,代入到前面求的关系式中求出 b 即可; (Ⅱ)把第一问求得的 a 与 b 代入到 f(x)中,然后求出 f'(x)=0 时 x 的值,利用 x 的三个值分四个区间 讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间; (Ⅲ)根据第二问函数的增减性分区间分别求出函数的最大值和最小值即可. 解答: 解: (Ⅰ)f(1)=﹣4×1+2=﹣2? 1+a+b﹣2? a+b=﹣3, f'(x)=4x +2ax,f'(1)=﹣4? 2a+4=﹣4 ∴a=﹣4,b=1. 4 2 3 2 (Ⅱ)f(x)=x ﹣4x +1? f'(x)=4x ﹣8x=4x(x ﹣2) ,f'(x)=0 的根为 0,± . 在(﹣∞,﹣ )上,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减;在(﹣ ,0)上,f'(x)>0,函数 f(x)单 调递增; 在(0, )上,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减;在( ,+∞)上,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增; 故函数 f(x)的单调递增区间为(﹣ ,0)( +∞) 、 ;单调递减区间为(﹣∞,﹣ )(0, ) 、 . 4 2 (Ⅲ)f(﹣ )=f( )=﹣3,f(0)=1,由 f(x)=x ﹣4x +1=1 得,x=0,x=±2, 4 2 ∴当 0<m< 时,f(x)在[﹣m,m]上的最大值是 1,最小值是 f(m)=m ﹣4m +1; 当 ≤m≤2 时,f(x)在[﹣m,m]上的最大值是 1,最小值是 f( )=﹣3. 4 2 当 m>2 时,f(x)在[﹣m,m]上的最大值是 f(m)=m ﹣4m +1,最小值是 f( )=﹣3. 点评: 考查学生会利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率, 会利用导数研究函数的单调性以及利用函数的增减
3 4 2

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性求闭区间上函数的最值.

16.已知函数

(a∈R)

(1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)为增函数,求 a 的取值范围; (3)讨论方程 f(x)=0 解的个数,并说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的单调性与导数的关系。 专题: 计算题。 分析: (1)根据曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y=x+b,建立关于 a 和 b 的方程组,解之即可; (2) 处理函数的单调性问题通常采用导法好用, 若函数 f x) (1, ( 在 +∞) 为增函数, 则 在(1,+∞)上恒成立; (3)对 a 进行分类讨论:当 a=0 时,当 a<0 时,当 a>0 时.把 a 代入 f(x)中确定出 f(x)的解析式, 然后根据 f(x)的解析式求出 f(x)的导函数,分别令导函数大于 0 和小于 0 得到函数的单调区间,根据 函数的增减性得到 f(x)的最小值,根据最小值小于 0 得到函数没有零点即零点个数为 0. 解答: 解: (1)因为: (x>0) ,又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b

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所以

解得:a=2,b=﹣2ln2(3 分)

(2)若函数 f(x)在(1,+∞)上恒成立.则
2

在(1,+∞)上恒成立,

即:a≤x 在(1,+∞)上恒成立.所以有 a≤1(13 分) (3)当 a=0 时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于 0,此时方程无解; 分) (7 当 a<0 时, 在(0,+∞)上恒成立,所以 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函

数.∵



,所以方程有惟一解. 分) (8

当 a>0 时, 因为当 当 所以当 时,f'(x)>0,f(x)在 内为减函数; 时,f(x)在 内为增函数. 时,有极小值即为最小值 ,此方程无解; .此方程有惟一解 . . (10 分)

当 a∈(0,e)时, 当 a=e 时, 当 a∈(e,+∞)时, 因为 且

,所以方程 f(x)=0 在区间

上有惟一解, (12 分)

因为当 x>1 时, (x﹣lnx)'>0,所以 x﹣lnx>1 所以

因为

,所以

所以方程 f(x)=0 在区间 上有惟一解. 所以方程 f(x)=0 在区间(e,+∞)上有惟两解. (14 分) 综上所述:当 a∈[0,e)时,方程无解; 当 a<0 或 a=e 时,方程有惟一解; 当 a>e 时方程有两解. (14 分) 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的单调性,同时考查分类讨论的 思想,计算能力,属于中档题.此类题解答的关键是学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间,会根据 函数的增减性得到函数的最值,掌握函数零点的判断方法,是一道综合题.

17.已知函数

(a 为实数)

(I)若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围; (II)若 f(x)在 x=﹣1 时有极值,证明对任意的 x1,x2∈(﹣1,0) ,不等式 立. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题: 计算题。 分析: (I)先求函数 的导函数,函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,即导函数 恒成

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为零时有实数解,再令方程的判别式大于或等于零即可得 a 的范围; (II)先由 f′(﹣1)=0 求出 a 值,令导函数大于零,解不等式可得函数的增区间,令导函数小于零,解不 等式可得函数的减区间,然后求函数 f(x)在[﹣1,0]上的最大值和最小值,当这两个值差的绝对值小于 即可证得结论. 解答: 解:∵ ,∴ ,

(I)∵函数 f(x)的图象有与 x 轴平行的切线, ∴f′(x)=0 有实数解 所以 a 的取值范围是 (2)∵f′(﹣1)=0,∴ ∴ 由 f'(x)>0 得 x<﹣1 或 由 ∴f(x)的单调递增区间是 单调减区间为 ∴f(x)的最大值为 , ; ; , , , ,

f(x)的极小值为 ∴f(x)在[﹣1,0]上的最大值 最小值 恒有

,又 ,

∴对任意 x1,x2∈(﹣1,0) ,

点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的单调性,同时考查了计算能力 和转化的思想,属于中档题. 18.已知函数 f(x)=x +bx +cx+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程为 6x﹣y+7=0, 求函数 y=f(x)解析式. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题: 计算题。 分析: 因为函数的图象经过 P 点,所以把 P 点的坐标代入函数关系式中即可求出 d 的值,把 d 的值代入 f(x)确 定出函数的关系式,求出 f(x)的导函数,把(﹣1,f(﹣1) )代入导函数得到 f(﹣1)的值,又因为切线 方程的斜率为 6,所以得到 x=﹣1 时导函数的值为 6,分别列出关于 b 与 c 的两个方程,联立即可求出 b 与 c 的值,把 a,b 和 c 的值代入即可确定出 f(x)的解析式. 解答: 解:由 f(x)的图象经过 P(0,2) ,知 d=2, 所以 f(x)=x +bx +cx+2,则 f'(x)=3x +2bx+c. 由在 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程是 6x﹣y+7=0,知﹣6﹣f(﹣1)+7=0, 即 f(﹣1)=1,f'(﹣1)=6 ∴ ,即 ,
3 2 2 3 2

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解得 b=c=﹣3, 3 2 故所求的解析式是 f(x)=x ﹣3x ﹣3x+2. 点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用待定系数法求函数的解析式,是一道综合 题. 19.设 a∈R,函数 f(x)=e (a+ax﹣x ) 是自然对数的底数) (e . (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程; (Ⅱ)判断 f(x)在 R 上的单调性. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性。 专题: 计算题。 分析: (Ⅰ)先求出 f′(x) ,把 a=1 代入 f′(x)确定其解析式,根据曲线 y=f(x)的切点(﹣1,f(﹣1) )得 到切线的斜率 k=f′(﹣1) ,把 x=﹣1 代入 f(x)中求出 f(﹣1)得到切点的坐标,利用切点坐标和斜率写 出切线方程即可; (Ⅱ)令 f′(x)=0 解出 x 的值为 0 和 a+2,分 a+2 大于 0,小于 0,等于 0 三个区间讨论 f′(x)的正负 时 x 的取值范围即可得到函数的单调区间. 解答: 解:∵f(x)=e x(a+ax﹣x2) ﹣x ﹣x ﹣x 2 ∴f′(x)=﹣e (a+ax﹣x )+e (a﹣2x)=e x[x﹣(a+2)] ﹣x (Ⅰ)当 a=1 时 f′(x)=e x(x﹣3) , 2 则 f′(﹣1)=﹣e(﹣1﹣3)=4e,f(﹣1)=e(1﹣1﹣1 )=﹣e, 所以切点坐标为(﹣1,﹣e) ,切线斜率 k=4e
﹣ ﹣x

2

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则切线方程为 y+e=4e(x+1)即 4ex﹣y+3e=0; (Ⅱ)令 f′(x)=0 得 x=0,x=a+2 ∴当 a+2>0 即 a>﹣2 时,f′(x)>0 ∴f(x)在(﹣∞,0)(a+2,+∞)单调递增,在(0,a+2)单调递减; , 当 a+2<0 即 a<﹣2 时,f′(x)<0 ∴f(x)在(﹣∞,a+2)(0,+∞)单调递增,在(a+2,0)单调递减; , 当 a+2=0,即 a=﹣2 时, f′(x)=e x ≥0,f(x)在 R 上单调递增. 点评: 此题是一道综合题,要求学生会根据导数求曲线上某点切线的斜率以及会根据一点和斜率写出切线的方程, 会利用导数研究函数的单调性.
﹣x

2

20.已知函数

, (其中 a∈R,e 为自然对数的底数

(1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在(0,f(0) )处的切线方程; (2)当 x≥1 时,若关于 x 的不等式 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性。 专题: 计算题。 分析: (1)当 a=0 时求出 f(x)的解析式,根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=0 处的导数,从而求出切线 的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成斜截式即可.

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(2)将 a 分离出来得 a≤

,设

,然后利用导数研究函数 g(x)在[1,+∞)

上单调性,求出 g(x)的最小值,使 a≤g(x)min 即可. 解答: 解: (1)当 a=0 时 分) ,∴f'(x)=e ﹣x,∴f(0)=0,f'(0)=1,∴切线方程为 y=x. (4
x

(2)∵x≥1,∴

≥0? a≤

, 分) (5



,则

, 分) (7



,则 ?'(x)=x(e ﹣1)>0, 分) (9

x

∴? (x)在[1,+∞)上为增函数,∴? (x)≥

,∴





在[1,+∞)上为增函数,∴g(x)≥

,∴a≤

. (12 分)

点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及函数恒成立问题等有关知识, 同时考查了计算能力, 属于中档题. 21.已知函数 f(x)=mx +nx 的图象在点(﹣1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行. (1)求函数 f(x)在[﹣4,0]的值域; (2)若 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,求实数 t 的取值范围.
3 2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题: 计算题。

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分析: (1)先对函数 f(x)进行求导,又根据 f'(﹣1)=﹣3,f(﹣1)=2 可得到关于 m,n 的值,代入函数 f(x) 可得 f'(x) ,然后研究函数在[﹣4,0]上的单调性,从而可求出函数的值域; (2)根据(1)求 f'(x)<0 时 x 的取值区间,即为减区间,[t,t+1]为减区间的子集,从而解决问题. 解答: 解:由已知条件得 f'(x)=3mx2+2nx, 由 f'(﹣1)=3,∴3m﹣2n=﹣3. 又 f(﹣1)=2,∴﹣m+n=2, ∴m=1,n=3 3 2 2 ∴f(x)=x +3x ,∴f'(x)=3x +6x. 2 (1)令 f'(x)=3x +6x=0 解得 x=0 或 x=﹣2 当 x∈[﹣4,﹣2]时,f'(x)>0,当 x∈[﹣2,0]时,f'(x)<0 ∴f(x)max=f(﹣2)=4,f(﹣4)=﹣64+48=﹣16,f(0)=0 ∴函数 f(x)在[﹣4,0]的值域为[﹣16,4] (2)令 f'(x)<0,即 x +2x<0, 函数 f(x)的单调减区间是(﹣2,0) . ∵f(x)在区间[t,t+1]上单调递减, 则[t,t+1]? [﹣2,0] ∴实数 t 的取值范围是[﹣2,﹣1]. 点评: 本题主要考查通过求函数的导数来求函数增减区间的问题、利用导数研究曲线上某点切线方程,同时考查了 运算求解的能力,属于中档题.
2

22.已知函数



(1)若函数 f(x)在 x=3 处的切线方程是 y=4x+b,求 a,b 的值; (2)在(1)条件下,求函数 f(x)的极值; (3)若函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题: 综合题;分类讨论。 分析: (1)求出 f′(x) ,根据切线方程 y=4x+b 得到切线的斜率为 4,得到 f′(3)=4,代入即可求出 a 的值, 然后把 a 代入到 f(x)确定其解析式,把 x=3 代入解析式中求出 f(3)的值即可得到切点坐标,把切点坐 标代入到切线方程中即可得到 b 的值; (2)把(1)中 a=﹣2 代入到函数解析式中得到 f(x) ,然后令 f′(x)=0 解出 x 的值,利用 x 的值讨论导 函数的正负即可得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的极值即可; (3)求出 f′(x) ,分①根的判别式小于等于 0 即可求出 a 的取值范围;②根的判别式大于 0 时,得到 f′ (x)=0 的两个解设为 x1、x2,且 x2>x1,根据韦达定理可知 ,根据方程根的定义得到 a 的值,代
2

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入到 f(x)中得到值大于 0,列出关于 x2 的不等式,求出解决得到 x2 的范围,根据 a=﹣x2 +x2 即可得到 a 的取值范围;同理根据韦达定理得到 x1< ,此时的 f(x)小于 0,解出 x1 的取值范围即可求出 a 的取值范 围.
2 解答: 解: (1)f(x)'=x ﹣x+a,由切线方程 y=4x+b 得到切线的斜率等于 4 则把 x=3 代入到 f′(x)中得到 f(3) '=4, 代入得 9﹣3+a=4,解得 a=﹣2,



,当 x=3 时,





代入 y=4x+b,得到 12+b=

,解得



(2)把 a=﹣2 代入得到 由 f'(x)=x ﹣x﹣2=0 得:x1=2,x2=﹣1 当 x<﹣1 时,f'(x)>0;当﹣1<x<2 时,f'(x)<0;当 x>2 时,f'(x)>0; ∴f(x)极大值为 (3)f'(x)=x ﹣x+a, ①由△ =1﹣4a≤0 可得: ;
2 2

,f(x)极小值为 f(2)=0;

②当△ >0 时,设 f'(x)=0 的根为 x1、x2,且 x2>x1,由 x1+x2=1 得 ∴由方程根的定义知,a=﹣x2 +x2, = ∴4x2 ﹣13x2+10<0 可得
2 2

,而 a=x2 ﹣x2 得: ,

2

;同理

∴x1(x1﹣2) 1﹣5)>0,即 (4x 综上,a 的取值范围为

或 x1>2,由 x1+x2=1, .

得:

,∴



点评: 此题是一道中档题,要求学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程,掌握函数在某点取得极值的条件,会 利用导数求闭区间上函数的最值.以及灵活运用分类讨论的数学思想解决实际问题.

23.设函数 f(x)=p(x﹣ )﹣2lnx,g(x)=

. 是实数,e 是自然对数的底数) (p

(1)当 p=2 时,求与函数 y=f(x)的图象在点 A(1,0)处相切的切线方程; (2)若 f(x)在其定义域内为单调递增函数,求 p 的取值范围; (3)若在[1,e]上至少存在一点 xo,使得 f(x0)>g(x0)成立,求 p 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性。 专题: 综合题。 分析: (1) 求导 要使“f (x) 为单调增函数”, 转化为“f’ (x) 恒成立”, ≥0 再转化为“p≥ =

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恒成立”, 由最值法求解. 同理, 要使“f x) ( 为单调减函数”, 转化为“f’ (x) 恒成立”, ≤0 再转化为“p≤

=

恒成立”,由最值法求解,最后两个结果取并集. 2 (2)由“函数 f(x)的图象相切于点(1,0”求得切线 l 的方程,再由“l 与 g(x)图象相切”得到(p﹣1)x ﹣(p﹣1)x﹣e=0 由判别式求解即可. (3)因为“在[1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)>g(x0)成立”,要转化为“f(x)max>g(x)min”解决, 易知 g(x)= 在[1,e]上为减函数,所以 g(x)∈[2,2e],①当 p≤0 时,f(x)在[1,e]上递减;②当 p≥1

时,f(x)在[1,e]上递增;③当 0<p<1 时,两者作差比较.

解答: 解: (1)∵ 即 px ﹣2x+p≥0 恒成立,即 p≥
2

,要使 f(x)为单调增函数,须 f’(x)≥0 恒成立, = 恒成立,又 ≤1,

所以当 p≥1 时,f(x)在(0,+∞)为单调增函数. 要使 f(x)为单调减函数,须 f’(x)≤0 恒成立,即 px ﹣2x+p≤0 恒成立,即 p≤
2

=

恒成立,又

>0,所以当 p≤0 时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数. 综上所述,f(x)在(0,+∞)为单调函数,p 的取值范围为 p≥1 或 p≤0 (2)∵ , ,∴f’(1)=2(p﹣1) ,设直线 l:y=2(p﹣1) (x﹣1) ,
2

∵l 与 g(x)图象相切,∴y=2(p﹣1) (x﹣1)得(p﹣1) (x﹣1)= ,即(p﹣1)x ﹣(p﹣1)x﹣e=0 y= 当 p=1 时,方程无解;当 p≠1 时由△ =(p﹣1) ﹣4(p﹣1) (﹣e)=0,得 p=1﹣4e,综上,p=1﹣4e 在[1,e]上为减函数,所以 g(x)∈[2,2e]
max 2

(3)因 g(x)=

①当 p≤0 时,由(1)知 f(x)在[1,e]上递减? f(x) =f(1)=0<2,不合题意 ②当 p≥1 时,由(1)知 f(x)在[1,e]上递增,f(1)<2,又 g(x)在[1,e]上为减函数, 故只需 f(x)max>g(x)min,x∈[1,e], 即:f(e)=p(e﹣ )﹣2lne>2? p> ③当 0<p<1 时,因 x﹣ ≥0,x∈[1,e]

所以 f(x)=p(x﹣ )﹣2lnx≤(x﹣ )﹣2lnx≤e﹣ ﹣2lne<2 不合题意 综上,p 的取值范围为( ,+∞)

点评: 本题主要考查用导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数为增函数时,导数大于等于零;当函数为减 函数时,导数小于等于零,已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题.

24.设 a>0 且 a≠0,函数



(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在(3,f(3) )处切线的斜率; (2)求函数 f(x)的极值点. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值。 专题: 综合题。 分析: (1)由已知中函数 ,根据 a=2,我们易求出 f(3)及 f′(3)的值,代

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入即可得到切线的斜率 k=f′(3) . (2)由已知我们易求出函数的导函数,令导函数值为 0,我们则求出导函数的零点,根据 m>0,我们可将 函数的定义域分成若干个区间,分别在每个区间上讨论导函数的符号,即可得到函数函数 f(x)的极值点. 解答: 解: (1)由已知 x>0(2 分) 当 a=2 时, (4 分)

所以



曲线 y=f(x)在(3,f(3) )处切线的斜率为 , 分) (6

(2) 由 f'(x)=0 得 x=1 或 x=a, 分) (9 ①当 0<a<1 时, 当 x∈(0,a)时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(a,1)时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点(10 分) ②当 a>1 时, 当 x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(a,1)时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增 此时 x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点(13 分) 综上,当 0<a<1 时,x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点; 当 a=1 时,f(x)没有极值点; 当 a>1 时,x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点

(8 分)

点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知函数的 解析式求出导函数的解析式是解答本题的关键,还考查利用导函数来研究函数的极值.在利用导函数来研究 函数的极值时,分三步①求导函数,②求导函数为 0 的根,③判断根左右两侧的符号,若左正右负,原函数 取极大值;若左负右正,原函数取极小值.
3 2

25.已知函数 f(x)= x ﹣2ax +3x(x∈R) . (1)若 a=1,点 P 为曲线 y=f(x)上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程; (2)若函数 y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数 a. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性。 专题: 综合题。 分析: (1)设出切线的斜率 k,得到 k 等于 f′(x)并把 a=1 代入到 f(x)中求出解析式,根据二次函数求最小 值的方法,求出 k 的最小值,然后把 x=1 代入到 f(x)中求出 f(1)的值即可得到切点坐标,根据斜率和 切点坐标写出切线方程即可; (2)求出 f′(x) ,要使 f(x)为单调递增函数,必须满足 f'(x)>0,即对任意的 x∈(0,+∞) ,恒有 f′ (x)大于 0,解出 a 小于一个关系式,利用基本不等式求出这个关系式的最小值,得到关于 a 的不等式, 求出解集即可得到 a 的取值范围,在范围中找出满足条件的最大整数即可.
2 2 解答: 解: (1)设切线的斜率为 k,则 k=f′(x)=2x ﹣4x+3=2(x﹣1) +1,当 x=1 时,kmin=1.

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把 a=1 代入到 f(x)中得:f(x)= x ﹣2x +3x,所以 f(1)= ﹣2+3= ,即切点坐标为(1, ) ∴所求切线的方程为 y﹣ =x﹣1,即 3x﹣3y+2=0. (2)f′(x)=2x ﹣4ax+3,因为 y=f(x)为单调递增函数,则对任意的 x∈(0,+∞) ,恒有 f′(x)>0, 2 f′(x)=2x ﹣4ax+3>0, ∴a< = + ,而 + ≥ ,当且仅当 x= 时,等号成立.
2

3

2

所以 a<

,则所求满足条件的最大整数 a 值为 1.

点评: 此题是一道综合题,要求学生会根据导数求出切线的斜率,掌握不等式恒成立时所取的条件,利用会利用基 本不等式求函数的最小值及会求二次函数的最小值. 26.已知函数 f(x)= ,g(x)=alnx,a∈R. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; (2)设函数 h(x)=f(x)﹣g(x) ,当 h(x)存在最小值时,求其最小值 φ(a)的解析式; (3)对(2)中的 φ(a) ,证明:当 a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值。 专题: 综合题。 分析: (1)对 f(x) ,g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线,从而解出 a 的值及该切线的方程; (2)由条件知 h(x)= ﹣alnx(x>0) ,对 h(x)进行求导,分两种情况进行讨论:①a>0;②a≤0,从 而求其最小值 φ(a)的解析式; (3)由(2)知 φ(a)=2a(1﹣ln 2﹣ln a) ,对 φ(a)进行求导,令 φ′(a)=0,求出极值点,及单调性, 求出 φ(a)在(0,+∞)上的最大值,从而进行证明; 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= f′(x)= ,g(x)=alnx,a∈R. ,g′(x)= (x>0) ,

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由已知得

解得

∴两条曲线交点的坐标为(e ,e) . 切线的斜率为 k=f′(e )= ∴切线的方程为 y﹣e= (2)由条件知 h(x)= ∴h′(x)= ﹣ =
2

2


2

(x﹣e ) . ﹣alnx(x>0) , ,
2

①当 a>0 时,令 h′(x)=0,解得 x=4a . 2 ∴当 0<x<4a 时,h′(x)<0, 2 h(x)在(0,4a )上单调递减; 2 当 x>4a 时,h′(x)>0, 2 h(x)在(4a ,+∞)上单调递增. 2 ∴x=4a 是 h(x)在(0,+∞)上的惟一极值点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值点. 2 2 ∴最小值 φ(a)=h(4a )=2a﹣aln(4a )=2a[1﹣ln (2a)]. ②当 a≤0 时,h′(x)= >0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值.

故 h(x)的最小值 φ(a)的解析式为 φ(a)=2a[1﹣ln (2a)](a>0) . (3)证明:由(2)知 φ(a)=2a(1﹣ln 2﹣ln a) , 则 φ′(a)=﹣2ln (2a) . 令 φ′(a)=0,解得 a= . 当 0<a< 时,φ′(a)>0,

∴φ(a)在(0, )上单调递增; 当 a> 时,φ′(a)<0, ∴φ(a)在( ,+∞)上单调递减. ∴φ(a)在 a= 处取得极大值 φ( )=1. ∵φ(a)在(0,+∞)上有且只有一个极值点, ∴φ( )=1 也是 φ(a)的最大值. ∴当 a∈(0,+∞)时,总有 φ(a)≤1. 点评: 此题主要考查利用导数求函数的单调性,第二问和第三问难度比较大,解题的关键是能够对函数能够正确求 导,此题是一道中档题; 27.设 a 为实常数,函数 f(x)=﹣x +ax ﹣4. (1)若函数 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1) )处的切线的倾斜角为 (2)若存在 x0∈(0,+∞) ,使 f(x0)>0,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性。 专题: 计算题;综合题。 分析: (1)求出 f(x)的导函数,把 x=1 代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率,然后再根据切线的倾斜 角求出切线的斜率,两个斜率相等即可求出 a 的值,把 a 的值代入导函数确定出导函数,令导函数大于 0, 求出 x 的取值范围即为函数的递增区间,令导函数小于 0 求出 x 的范围即为函数的递减区间; (2)求出 f(x)的导函数,当 a 小于等于 0 时,由 x 大于 0,得到导函数小于 0,即函数在(0,+∞)上为 减函数,又 x=0 时 f(x)的值为﹣4 且当 x 大于 0 时,f(x)小于﹣4,所以当 a 小于等于 0 时,不存在 x0 >0,使 f(x0)>0;当 a 大于 0 时,分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得 到 f(x)的最大值,让最大值大于 0,列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集即可得到 a 的取值范围,综 上,得到满足题意的 z 的取值范围. 解答: 解: (1)f′(x)=﹣3x +2ax.根据题意 f′(1)=tan ∴﹣3+2a=1,即 a=2.∴f′(x)=﹣3x +4x=﹣3x 当 f′(x)>0,得 x ∴f′(x)的单调递增区间是 (2)f′(x)=﹣3x .
2 2 3 2

,求函数 f(x)的单调区间;

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=1, . >0,即 x<0 或 x> . ;

<0,即 0<x< ;当 f′(x)<0,得 x ,单调递减区间是(﹣∞,0)∪

①若 a≤0,当 x>0 时,f′(x)<0,从而 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 又 f(0)=﹣4,则当 x>0 时,f(x)<﹣4. ∴当 a≤0 时,不存在 x0>0,使 f(x0)>0; ②当 a>0,则当 0<x< 从而 f(x)在 时,f′(x)>0,当 x> 上单调递增,在 =﹣ + 时,f′(x)<0. 上单调递减. ﹣4= ﹣4.

∴当 x∈(0,+∞)时,f(x)max=f

据题意,

﹣4>0,即 a >27,∴a>3.

3

故 a 的取值范围是(3,+∞) . 点评: 此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调性,是一道中档题. 28.已知 b>﹣1,c>0,函数 f(x)=x+b 的图象与函数 g(x)=x +bx+c 的图象相切. (1)设 b=? (c) ,求 ? (c) ; (2)是否存在常数 c,使得函数 H(x)=f(x)g(x)在(﹣∞,+∞)内有极值点.若存在,求出 c 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值。 专题: 综合题。 分析: (1)根据导数的几何意义可知 f'(x)=g'(x) ,即 2x+b=1,得到 点的坐标,得
2 2

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为切点横坐标,再根据图象的公共 .

,化简得(b+1) =4c.解方程,得
2 3 2 2

(2)将已知函数代入,得:H(x)=(x+b) +bx+c)=x +2bx +(b +c)x+bc,求导数得 H′(x)是一 (x 个二次函数,要使函数 H(x)在(﹣∞,+∞)内有极值点,说明方程 H′(x)=0 有两个不同的根,再用 根的判别式得到: 故存在常数 c,使得函数 H(x)在(﹣∞,+∞)内有极值点. 解答: 解: (1)依题设可知 f'(x)=g'(x) ,即 2x+b=1, ∴ 于是 为切点横坐标, ,化简得(b+1) =4c.
2

, 结合 c>0, ∴



得 . 2 3 2 2 (2)由 H(x)=(x+b) +bx+c)=x +2bx +(b +c)x+bc, (x 2 2 可得 H'(x)=3x +4bx+(b +c) . 2 2 令 3x +4bx+(b +c)=0,依题设欲使函数 H(x)在(﹣∞,+∞)内有极值点, 则须满足 亦即 , 又 c>0,∴ 故存在常数 ,使得函数 H(x)在(﹣∞,+∞)内有极值点. 点评: 本题考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调区间与极值,属于中档题.


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