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高三数学教案:空间几何体的表面积与体积(3课时)


第一课时 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(一) 教学要求:了解柱、锥、台的表面积计算公式;能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有 教学要求 关实际问题. 教学重点:运用公式解决问题. 教学重点 教学难点:理解计算公式的由来. 教学难点 教学过程: 教学过程 一、复习准备: 复习准备: 1. 讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→ 正方体、长方体的表面积计算公式? 2. 讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图? → 圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式? 讲授新课: 二、讲授新课: 1. 教学表面积计算公式的推导: 教学表面积计算公式的推导: ① 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和) ② 练习:求各面都是边长为 10 的等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积. 一个三棱柱的底面是正三角形,边长为 4,侧棱与底面垂直,侧棱长 10,求其表面积. ③ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表) 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线) , 圆柱 S 圆柱侧 =2 π rl ,S 圆柱表 =2 π r (r + l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, l 为母线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面 圆锥 r 周长, 侧面展开图扇形中心角为 θ = × 3600 , 圆锥侧 = π rl , S 圆锥表 = π r (r + l ) , S l 其中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆 圆台 R?r × 3600 , 圆台侧 = π (r + R )l , S 台下底周长, 侧面展开图扇环中心角为 θ = l S 圆台表 = π (r 2 + rl + Rl + R 2 ) . ④ 练习:一个圆台,上、下底面半径分别为 10、20,母线与底面的夹角为 60°,求圆台的表 面积. (变式:求切割之前的圆锥的表面积) 2. 教学表面积公式的实际应用: 教学表面积公式的实际应用: ① 出示例:一圆台形花盆,盘口直径 20cm,盘底直径 15cm,底部渗水圆孔直径 1.5cm,盘壁 长 15cm.. 为美化外表而涂油漆, 若每平方米用 100 毫升油漆, 200 个这样的花盘要多少油漆? 涂 讨论:油漆位置?→ 如何求花盆外壁表面积? 列式 → 计算 → 变式训练:内外涂 ② 练习:粉碎机的上料斗是正四棱台性,它的上、下底面边长分别为 80mm、440mm,高是 200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积. 3. 小结 小结:表面积公式及推导;实际应用问题 巩固练习: 三、巩固练习: 1. 已知底面为正方形,侧棱长均是边长为 5 的正三角形的四棱锥 S-ABCD,求其表面积. 2. 圆台的上下两个底面半径为 10、 20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为 1:1,求截面的半径. (变式:r、R;比为 p:q) 3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,求这个圆锥的表面积. *4. 圆锥的底面半径为 2cm,高为 4cm,求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.

5. 面积为 2 的菱形,绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少? 6. 作业:P30 2、P32 习题 1、2 题. 第二课时 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(二) 教学要求:了解柱、锥、台的体积计算公式;能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算 教学要求 和解决有关实际问题. 教学重点:运用公式解决问题. 教学重点 教学难点:理解计算公式之间的关系. 教学难点 教学过程: 教学过程 复习准备: 一、复习准备: 1. 提问:圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式? 2. 练习:正六棱锥的侧棱长为 6, 底面边长为 4, 求其表面积. 3. 提问:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式? 讲授新课: 二、讲授新课: 1. 教学柱锥台的体积计算公式: 教学柱锥台的体积计算公式: ① 讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖暅(gèng,祖冲之的儿子)原理,教材 P34) ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? →给出柱体体积计算公式: V柱 = Sh (S 为底面面积,h 为柱体的高)→ V圆柱 = Sh = π r 2 h ③ 讨论: 等底、 等高的圆柱与圆锥之间的体积关系? 等底等高的圆锥、 棱锥之间的体积关系? ④ 根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式? 1 →给出锥体的体积计算公式: V锥 = Sh S 为底面面积,h 为高) 3 ⑤ 讨论:台体的上底面积 S’,下底面积 S,高 h,由此如何计算切割前的锥体的高? → 如何计算台体的体积? 1 ' ⑥ 给出台体的体积公式: V台 = ( S ' + S ' S + S )h (S, S 分别上、下底面积,h 为高) 3 1 ' 1 → V圆台 = ( S + S ' S + S )h = π (r 2 + rR + R 2 )h (r、R 分别为圆台上底、下底半径) 3 3 ⑦ 比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大为与 下底相同时,台成为柱。因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、锥的 相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 讨论:侧面积公式是否也正确? 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一? 2. 教学体积公式计算的运用: 教学体积公式计算的运用: ① 出示例: 一堆铁制六角螺帽, 共重 11.6kg, 底面六边形边长 12mm, 内空直径 10mm, 10mm, 高 估算这堆螺帽多少个?(铁的密度 7.8g/cm3) 讨论:六角螺帽的几何结构特征? → 如何求其体积? → 利用哪些数量关系求个数? → 列式计算 → 小结:体积计算公式 ② 练习:将若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形容器中,量得水面高度为 6cm;若将这 些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中,求水面的高度. 3. 小结 小结:柱锥台的体积公式及相关关系;公式实际运用. 巩固练习: 三、巩固练习:1. 把三棱锥的高分成三等分,过这些分点且平行于三棱锥底面的平面,把三棱 锥分成三部分,求这三部分自上而下的体积之比。

2. 已知圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,它的轴截面的面积为 4,求圆锥的体积. 2 3 *3. 高为 12cm 的圆台,它的中截面面积为 225πcm ,体积为 2800cm ,求它的侧面积。 4. 仓库一角有谷一堆, 1/4 圆锥形, 呈 量得底面弧长 2.8m, 母线长 2.2m, 这堆谷多重?720kg/m3 5. 作业:P30 3 题; P32 习题 3、4 题. 第三课时 1.3.2 球的体积和表面积 教学要求:了解球的表面积和体积计算公式;能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计 教学要求 算和解决有关实际问题. 教学重点:运用公式解决问题. 教学重点 教学难点:运用公式解决问题. 教学难点 教学过程: 教学过程 复习准备: 一、复习准备: 1. 提问:柱、锥、台的体积计算公式?圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式? 2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,求圆锥分成的三部分的侧面积之 比、三部分的体积之比. 讲授新课: 二、讲授新课: 1. 教学球的表面积及体积计算公式: 教学球的表面积及体积计算公式: ① 讨论:大小变化的球,其体积、表面积与谁有关? ② 给出公式: 4 V 球 = π R 3 ; S 球面 =4 π R2. (R 为球的半径) 3 →讨论:公式的特点;球面是否可展开为一个平面图形? (证明的基本思想是: “分割→求体积和→求极限→求得结果” 以后的学习中再证明球的公式) , ③ 出示例:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求球的体积与圆柱体积之比;证明球的表面 积等于圆柱的侧面积. 讨论:圆柱与球的位置关系?(相切) → 几何量之间的关系(设球半径 R,则…) → 师生共练 → 小结:公式的运用. → 变式:球的内切圆柱的体积 ④练习:一个气球的半径扩大 2 倍,那么它的表面积、体积分别扩大多少倍? 2. 体积公式的实际应用: 体积公式的实际应用: ① 出示例:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5.0cm,求它的内径. (钢密度 7.9g/cm3) 讨论:如何求空心钢球的体积? → 列式计算 → 小结:体积应用问题. ② 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放入一个半径为 R 的球,并 注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求此时容器中水的深度. ③ 探究阿基米德的科学发现: 图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示 的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中,球的体积是圆 2 2 柱体积的 ,球的表面积也是圆柱全面积的 . 3 3 巩固练习: 三、巩固练习:1. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 6cm,求这个球的表面积和体积。 2. 如果球的体积是 V 球,它的外切圆柱的体积是 V 圆柱,外切等边圆锥的体积是 V 圆锥,求这三个 几何体体积之比. A 2 D 3. 如图, 求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体 的表面积和体积。 4

B

5

C

*4.一个正方体的内切球的体积为 V,求正方体的棱长。若球与正方体的各棱相切,则正方体 的棱长是多少? 5. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比. 6. 已知球的一个截面的面积为 9π,且此截面到球心的距离为 4, 求此球的表面积和体积. 7. 作业: P32 练习 2 题; P40 5、10 题.



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