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高中数学解三角形中的难题


1.(2013?福州模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,ω >0,|φ |<

? )的图象如图所示,为 2

了得到 g(x)=sin3x 的图象,则只要将 f(x)的图 象( )

(A)向右平移

? 个单位长度 4

(B)向右

平移

? 个单位长度 12

(C)向左平移

? 个单位长度 4

(D)向左平移

? 个单位长度 12

2.(浙江省调研)曲线 y=2sin(x+

? ? 1 )cos(x- )与直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小 4 4 2

到大依次记为 P1、P2、P3、…,则|P2P4|等于( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π 2 2 3.(2012?长沙模拟)若 a、b、c 是△ABC 的三边,直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相离,则△ABC 一定是( ) (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 4.(易错题)若α ,β ∈(0, 的值等于( )

? ? 1 ? 3 ),cos (α - )= ,sin( -β )=- ,则 cos(α +β ) 2 2 2 2 2

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

1 (C) 2

(D)

3 2
)

5.已知 tanα 和 tan(

? 2 -α )是方程 ax +bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是( 4

(A)b=a+c (B)2b=a+c (C)c=b+a (D)c=ab 6.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树尖的仰角 为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60 m,则树的高度为( )

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(A)(30+30 3 )m (C)(15+30 3 )m

(B)(30+15 3 )m (D)(15+15 3 )m

7.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) >0,|φ |< (ω f(0)=_______.

? )的图象如图所示,则 2

8.在△ABC 中, 为边 BC 上一点, D BD= 则∠BAC=________.

1 CD, ∠ADB=120°, AD=2.若△ADC 的面积为 3- 3 , 2

9.定义一种运算: 1, 2) ? (a3, 4)=a1a4-a2a3, (a a a 将函数 f(x)=( 3 , 2sinx) ? (cosx, cos2x) 的图象向左平移 n(n>0)个单位长度, 所得图象对应的函数为偶函数, n 的最小值为_______. 则 10.(2012?龙岩模拟)已知函数 y=Asin(ω x+φ )+m(A>0,ω >0,|φ |<

? )的最大值为 4,最小 2

值为 0,最小正周期为 _________.

? ? ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是 2 3

11.(13 分)(2012?宜春模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0, |φ |<

? )的部分图象如图所示: 2

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(1)求函数 f(x)的解析式并写出其所有对称中心; (2)若 g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 P(4,0)对称,求 g(x)的单调递增区间.

答案解析 1.【解析】选 B.由函数 f(x)的图象知 A=1,

T=4 ? (

5? ? 2 2? 2? ? ) ? ?,?? ? ? ? 3, 12 4 3 T 2? 3

? 3? ? f ? x ? ? sin(3x ? ?), 又f ( ) ? 0即sin( ? ?) ? 0, 4 4 ? ? ? ? 又 | ? |? ,?? ? ,? f ? x ? ? sin(3x ? ) ? sin[3(x ? )], 2 4 4 12 ? 向右平移 个单位长度,即得g ? x ? ? sin3x的图象,故选B. 12
2.【解析】选 A.2sin(x+

? ? ? ? 2 )cos(x- )=2sin (x+ )=1-cos[2(x+ )]=1+sin2x,其最小正 4 4 4 4

周期为π ,又|P2P4|显然是一个周期,故选 A. 3.【解析】选 D.由题设知 即 a +b <c ,即 a +b -c <0,
2 2 2 2 2 2

c a ? b2
2

? 1,

a 2 ? b2 ? c2 于是 cosC ? ? 0, 2ab
所以 C 为钝角,故△ABC 为钝角三角形. 4.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得α - 作出判断,进而求得 cos(α +β ). 【解析】选 B.∵α ,β ∈(0,

? ? 和 -β 的度数,再根据条件 2 2

? ), 2

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? ? ? ? ? ? ?- ? ?- ? ,- ? -? ? , 4 2 2 2 2 4
由 cos (α -

? ? 1 3 )= 和 sin ( -β )= ? , 2 2 2 2

可得α -

? ? ? ? =± , -β =- , 2 2 6 6

当α -

? ? ? ? =- , -β =- 时, 2 6 2 6
? )矛盾; 2

α +β =0 与α ,β ∈(0,

当α -

? ? ? ? ? = , -β =- 时,α =β = , 2 6 2 6 3 1 . 2 ? -α )与系数 a,b,c 的关系,再利用 4

此时 cos (α +β )= ?

5.【解题指南】利用根与系数的关系得到 tanα 和 tan( 正切的两角和公式得到 a,b,c 的关系.

? b ? ? tan?+tan( 4 -?)=- a ? 【解析】选 C. ? , ? tan?tan( ? -?)= c ? 4 a ?
b - ? ? ? tan =tan[( -?)+?]= a = , 1 c 4 4 1- a b c ?- = - , -b=a-c, c=a+b. 1 ? ? a a
6.【解析】选 A.在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m, sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? , 2 2 2 2 4

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由正弦定理得:

PB AB ? , sin30? sin15?

1 ? 60 2 ? PB ? ? 30 6? 2 4

?

6? 2 ,

?

∴树的高度为 PBsin45°= 30

?

6? 2 ?

?

2 =(30+30 3 )m. 2

7.【解析】由图象知最小正周期 T ? ( 故ω =1, 又 x=

2 13? ? 2? ? ) 2? ? , ? 3 4 4 ?

3? 时,f(x)=2, 4 3? ? +φ )=2,可得φ =- +2kπ ,k∈Z 4 4 ? ? ,∴φ =- . 2 4 ? ? ) ,f(0)=2sin(- )=- 2 . 4 4

即 2sin(

又∵|φ |<

所以 f(x)=2sin(x-

答案:- 2 8.【解析】由∠ADB=120°知∠ADC=60°, 又因为 AD=2,所以 S△ADC=

1 AD?DC?sin60°=3- 3 , 2

所以 DC=2( 3 -1), 又因为 BD=

1 DC,所以 BD= 3 -1, 2

过 A 点作 AE⊥BC 于 E 点, 则 S△ADC=

1 DC?AE=3- 3 , 2

所以 AE= 3 ,又在直角三角形 AED 中,DE=1,
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所以 BE= 3 ,在直角三角形 ABE 中,BE=AE, 所以△ABE 是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°, 在直角三角形 AEC 中,EC=2 3 -3, 所以 tan∠ACE=

AE 3 = =2+ 3, EC 2 3-3

所以∠ACE=75°, 所以∠BAC=180°-75°-45°=60°. 答案:60° 【方法技巧】巧解三角形 解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成,这种方法是最基本的,也是很重要的方 法.有些三角形问题,除了常规方法外,还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想,往往 可以构造设计一个恰当的三角形,借助于平面几何、解三角形等知识去解决. 9.【解析】由题意可得 A=2,m=2, ? ? ∴y=2sin(4x+φ )+2. 又直线 x=

2? ? 4, T

? 是其图象的一条对称轴, 3

?4?

? ? 5? ? ? ? k? ? (k ? Z),?? ? k? ? (k ? Z). 3 2 6 ? ? 又 | ? |? ,?? ? , 2 6

∴所求函数解析式为 y=2sin(4x+

? )+2. 6

答案:y=2sin(4x+

? )+2 6

10.【解题指南】(1)先由图象直接得 A,求得周期 T 进而求得ω ,代入点求得φ ,这样得解析 式求得对称中心. (2)利用对称中心为 P(4,0) ,求得 g(x)的解析式,再求单调递增区间. 【解析】(1)由图可得,A= 2 ,

T =6-(-2)=8, 2

所以,T=16,ω =

? , 8

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则此时 f(x)= 2 sin(

? x+φ ), 8 ? . 4

将点(2, 2 )代入,可得φ =

∴f(x)= 2 sin(

? ? x+ ); 8 4

对称中心为(8k-2,0)(k∈Z). (2)由 g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 P(4,0)对称,得 g(x)=-f(8-x), ∴g(x)=- 2 sin[

? ? (8-x)+ ] 8 4

=- 2sin(

5? ? ? 5? - x)= 2sin( x- ), 4 8 8 4

令 2k?-

? ? 5? ? ? x- ? 2k?+ , 得 16k+6≤x≤16k+14, 2 8 4 2

即 g(x)的单调递增区间为[16k+6,16k+14](k∈Z).

1. (西安模拟)某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后 朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好是 3 km,那么 x 的值为 ( ) A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3

解析:如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30°, 由正弦定理 = , sin∠CAB sin30° 得∠CAB=60°或 120°, 当∠CAB=60°时,∠A CB=90°,AB=2 3; 当∠CAB=120°时,∠ACB=30°,AB= 3,故选 C. 答案:C 2. (合肥市质检)一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条 直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向, 另一灯塔在船的南偏西 75° 方向,则这只船的速度是每小时( ) A.5 海里 B.5 3海里

BC

AC

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C.10 海里 D.10 3海里 解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA 5 =10,在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 =10(海里/小时). 0.5 答案:C 3. (云南师大附中月考)如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距 离为( ) A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 2 2 2 解析:利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ABC 中,由余弦定理得 AB =AC +BC

? 1? 2 2 2 -2AC?BCcos120°=2a -2a ??- ?=3a ,∴AB= 3a. ? 2?
答案:B 4. (2013 新课标数学压题卷)有一长为 1 千米的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改 为 10°,则斜坡长为( ) A.1 千米 B.2sin10°千米 C.2cos10°千米 D.cos20°千米 答案:C 5.(大同调研)若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A=60°,则 BC 边的长是( A.5 B.6 C.7 D.8 )

1 1 解析:依题意及面积公式 S= bcsinA,得 10 3= bcsin60°,得 bc=40.又周长为 20,故 a 2 2 +b+c=20,b+c=20-a,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60°= b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,故 a2=(20-a)2-120,解得 a=7.故答案为 C. 答案:C C 6.(九江一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,已知 sinC+cosC=1-sin . 2 (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. C 解析:(1)由已知得 sinC+sin =1-cosC, 2 C ? C? C ∴sin ?2cos +1?=2sin2 . 2 ? 2? 2 C C C 由 sin ≠0,得 2cos +1=2sin , 2 2 2 C C 1 ∴sin -cos = . 2 2 2

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1 3 两边平方,得 1-sinC= ,∴sinC= . 4 4 C C 1 π C π π 3 7 (2)由 sin -cos = >0,得 < < ,即 <C<π ,则由 sinC= 得 cosC=- . 2 2 2 4 2 2 2 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8 得(a-2)2+(b-2)2=0,则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2bccosC=8+2 7, 所以 c= 7+1.

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