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江西省宜春市奉新县第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


奉新一中 2017 届高二下学期第一次月考数学(理)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 i 为虚数单位,复数 z ? A.第一象限

1 ? 2i ,则复数 z 在复平面上的对应点位于( 1? i
C.第三象限 D.第四象限



B.第二象限

2.如图

,由函数 f ( x) ? ex ? e 的图象,直线 x ? 2 及 x 轴所围成的阴影部分面积等于 ( ) A. e ? 2e ? 1
2

B. e ? 2e
2

e2 ? e C. 2

D. e ? 2e ? 1
2

( x ? 1) 在 点 (0 , f (0)) 处 的 切 线 方 程 为 ( 3 . 曲 线 f ( x) ? l n 2
B. y ? x ? 1 C. y ? 2 x D. y ? 2 x ? 1

) A. y ? x

4. 已知 z1 ? (m 2 ? m ? 1) ? (m 2 ? m ? 4)i (m ? R) ,z 2 ? 3 ? 2i , 则 “ m ? 1” 是 “ z1 ? z 2 ” 的( )条件 B.必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要

A.充分不必要

5.从不同号码的三双靴中任取 4 只,其中恰好有一双的取法种数为 ( ) A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 6 .用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? n) ? 2 ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) (n ? N * ) ,从 k 到
n

k ? 1 时,左端需增乘的代数式为(
A. 2k ? 1 B. 2(2k ? 1)

) C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

7.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个 小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )种 A.10 B.8 C.9 D.12 8. 用反证法证明命题: 若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理数根, 那么 a 、
2

b 、 c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( ) A.假设 a 、 b 、 c 都是偶数 B.假设 a 、 b 、 c 都不是偶数 C.假设 a 、 b 、 c 至多有一个偶数 D.假设 a 、 b 、 c 至多有两个 偶数
9. 以图中的 8 个点为顶点的三角形的个数是 A.42 B.45 C.48 ( D.56 )

10. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 上有一只蚂蚁,从 A 点出发沿正 方体 的棱前进,要它走 进的第 n ? 2 条棱与第 n 条棱是异面的,则这只蚂蚁走过第 2016 条棱之后的位置是在 ( ) A.点 A1 处 B.在点 A 处 C.在点 D 处 D.在点 B 处

1

11.已知函数 f ( x) 的定义域 为 (a , e) ,下图是 f ( x) 的导函数 f ' ( x) 的图像,则下列结 论中正确的有( )

①函数 f ( x) 在 (a , b) 上单调递增; ②函数 f ( x) 在 (a , c) 上单调 递减; ③函数 f ( x) 在 (c , d ) 上单调递减; ④函数 f ( x) 在 (d , e) 上单调递增; A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 12. 如图所示,连结棱长为 2 cm 的正方体各面的中心得一个多面体容器,从顶点 A 处向该 容器 内注水,注满为止.已知顶点 B 到水面的高度 h 以每秒 1 cm 匀速上升,记该容器内水 的体积 V (cm3 ) 与时间 t ( s ) 的函数关系是 V (t ) ,则函数 V (t ) 的导函数 y ? V ?(t ) 的图像 大致是( )

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

ax 。 ? a ? 0 ? , 若? 10 f ? x ? dx ? 1 ? ln2 ,则 a 的值为 x ?1 x y 5 ? ? 14、设 x , y 为实数,且 ,则 x ? y ? . 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i 1 2 3 15、设函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 5 ,若对任意 x ? [ ?1 , 2] 都有 f ( x) ? m 成立,则实 2 数 m 的取值范围是_______. ? 1 ? 2? 1 ? 2? 3? 1 16.已知 cos ? , cos cos ? , cos cos cos ? ,根据以上等式,可 3 2 5 5 4 7 7 7 8
13、设函数 f ? x ? ? 猜想出的一般结论是____. 三、解答题(本大题共 6 题,共计 10+12*5=70 分) 17、设复数 z ? (m ? 2m ? 15) ? (m ? 4m ? 3)i ,试求实数 m 的值,使:
2 2

(1)z 是实数;

(2)z 是纯虚数.

18、有甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学, 求: (1) 5 位同学站成一排,有多少种不同的方法?
2

(2) 5 位同学站成一排,要求甲乙必须相邻,丙丁不能相邻,有多少种不同的方法? (3)将 5 位同学分配到三个班,每班至少一人,共有多少种不同的分配方法?

19、已知 f ( x ) 为一次函数,且 f ( x) ? x (1)求 函数f ( x) 的解析式;

?

2

0

f (t )dt ? 1 ,

(2) 若g( x) ? x ? f ( x), 求曲线y ? g ( x)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一周

所得到的旋转体的体积 .

20 、 已 知 函 数 f ( x) ? ln(x ? 1) , g ( x ) ? a ? bx ?

1 2 1 3 x ? x , 函 数 y ? f ( x) 与 函 数 2 3

y ? g ( x) 的图像在交点(0,0)处有公共切线。
(1)求 a , b 的值; (2)证明: f ( x) ? g ( x)

21、如图, P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y 2 ) ,?, , P n ( xn , y n ) ( 0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n )是曲线
3 P3

y

C: y 2 ? 3x( y ? 0) 上的 n 个点,点 Ai (ai , 0)(i ? 1 , 2 , 3,? , n) 在 x 轴的正半轴 上,且 ?Ai ?1 Ai Pi 是正三角形( A0 是坐标原点) 。 (1)求 a1 , a2 , a3 的值,并猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想。

22、已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)当 a ?

a x?2

25 时,求 f ( x ) 的单调递减区间; 4

(2)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证: ln(n ? 1) ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N ? ) 3 5 7 2n ? 1

奉新一中 2017 届高二下学期第一次月考数学(理)答案 一、选择题

4

题号 1 答案 C 二、填空题

2 B

3 C

4 A

5 A

6 B

7 D

8 B

9 A

10 B

11 D

12 D

13、1;14、4;15、 m ? 7 ;16、 cos 三、解答题

?
2n ? 1

cos

2? 3? n? 1 cos ? cos ? n 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2
6分

17、(1)∵z 为实数,∴ m +4m+3=0,∴m=-1 或 m=-3. (2 )∵z 为纯虚数,∴ m ? 2m ? 15 ? 0 且 m ? 4m ? 3 ? 0 ,
2 2

2

即?

2 ? ?m ? 2m ? 15 ? 0 ,解得 m=5,∴m=5 时,z 为纯虚数. ?m 2 ? 4 m ? 3 ? 0 ?

12 分

5 18、(1) A5 =120.

???????3 分

(2) 5 位同学站成一排,要求甲乙必须相邻,丙丁不能相邻
2 2 故有 A2 A2 A32 ? 24 . 3 3 (3)人数分配方式有① 3 ? 1 ? 1 有 C5 A3 ? 60 种方法

???????7 分

② 2 ? 2 ?1有

C52C32 3 A3 ? 90 种方法 2 A2
??????? 12 分 6分

所以,所有方法总数为 60 ? 90 ? 150 种方法 19、解:(1) 设f ( x) ? kx ? b, 可得 y ? -2x ? 1 ; (2)g(x)= xf ( x) ? ?2 x ? x ,
2

V= ?

?

1 2 0

[ xf ( x)]2 dx ?

?
240

12 分 4分

20、 (1) a ? 0 , b ? 1

1 3 1 2 (2)证明:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x ? x( x ? ?1) 3 2
则 h ( x) ?
'

1 ? x3 x ? 1 ' ? x2 ? x ?1 ? 。由 h ( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0 x ?1 x ?1

? h( x) 在 ( ?1 , 0) 上为增函数,在 (0 , ? ?) 上为减函数。

? hmax ( x) ? h(0) ? 0 ? h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) 。

12 分

21、 (1) a1 ? 2 , a 2 ? 6 , a3 ? 12;由此猜想: an ? n(n ? 1)

4分

5

( 2 ) 依 是 意 , 得 xn ?

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 2 , yn ? 3 ? n , 由 此 及 yn ? 3x n 得 : 2 2
6分

( 3?

a n ? a n ?1 2 3 ) ? (a n ? a n ?1 ) ,即 (an ? an?1 ) 2 ? 2(an?1 ? an ) 。 2 2

下面用数学归纳法证明猜 想:①当 n ? 1 时,猜想显然成立。 ② 假 设 当 n ? k (k ? N * ) 时 , 猜 想 成 立 , 即 ak ? k (k ? 1) , 则 当 n ? k ? 1 时 ,

? (ak ?1 ? ak ) 2 ? 2(ak ? ak ?1 ) ,?[ak ?1 ? k (k ? 1)]2 ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,
即 ak ?1 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)]? [(k ? 1)(k ? 2) ? 0 , 解得 ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2)(ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去) 即当 n ? k ? 1 时,猜想也成立。 由①②可知,对一切的 n ? N 猜想均成立。
*

2

11 分 12 分

22 、 (1)当 a ?

25 4x 2 ? 9x ? 9 (4 x ? 3)(x ? 3) 时, f ' ( x) ? ? 2 4 4( x ? 1)(x ? 2) 4( x ? 1)(x ? 2)

3 ? f ( x) 的单调递减区为 ( ? , 3) 4分 4 a ? 1 得 a ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ln(x ? 1) (2)由 ln( x ? 1) ? x?2 x?2 1 ' ? ? ln( x ? 1) ? 令 g ( x) ? ( x ? 2)[1 ? ln(x ? 1)] 则 g ( x) ? 1 ? ln( x ? 1) ? x ?1 x ?1
' 当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,

? g ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递减
故a ? 2 8分

? g ( x) ? g (0) ? 2 ,
(3)由(2)知 ln( x ? 1) ?

2 ? 1( x ? 0) , x?2

? ln( x ? 1) ?

x x?2

1 k ?1 1 1 ? 得 ln( ? 1) ? ,即 ln 1 k k 2k ? 1 k ?2 k 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ? ln ? ln ? ln ? ? ? ln ? ? ? ??? 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1 1 1 1 1 (n ? N * ) 。 即 ln( n ? 1) ? ? ? ? ? ? 3 5 7 2n ? 1
取x ?

1 k

12 分

6


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