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浙江省杭州市2015-2016学年度八年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版


浙江省杭州市 2015-2016 学年度八年级数学上学期期中试题
一、选择题:每小题 3 分,共 30 分 1. 下面四个图形分别是节能、 节水、 低碳和绿色食品标志, 在这四个标志中, 是轴对称图形的是 ( )

A.

B.

C.

D.

2.下列命题是假命题的是

( ) A.有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形 B.等角的余角相等 C.钝角三角形一定有一个角大于 90° D.同位角相等 3.下列条件中,不能判定△ABC 是等腰三角形的是( A.a=3,b=3,c=4 B.a:b:c=2:3:4 C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A:∠B:∠C=1:1:2 )

4.关于 x 的不等式 3x﹣2a≤﹣2 的解集如图所示,则 a 的值为(



A.1

B.

C.﹣1 D. )

5.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( A.∠1=50°,∠2=40° B.∠1=50°,∠2=50° C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°,∠2=40°

6.如图,在△ABC 和△DEC 中,已知 AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的 一组条件是( )

A.BC=EC,∠B=∠E

B.BC=EC,AC=DC C.BC=EC,∠A=∠D )

D.∠B=∠E,∠A=∠D

7.已知 a>b>0,那么下列不等式组中无解的是(

A.

B.

C.

D.

1

8.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=4 若点 P 到 BD 的距离为 3,则点 P 的个数为( )

,CD=2

,点 P 在四边形 ABCD 的边上,

A.2

B.3

C.4

D.5

9.给出以下五种说法: 2 2 ①若 a,b,c 为实数,且 a>b,则 ac >bc ; ②已知一个直角三角形的两边长分别为 5 和 12,则该直角三角形的斜边上的中线长为 6.5; ③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题; ④如果一个等腰三角形的两边长为 4cm 和 9cm,那么它的周长是 17cm 或 22cm; ⑤如果关于 x 的不等式﹣k﹣x+6>0 的正整数解为 1,2,3,那么 k 应取值为 2≤k<3. 其中说法正确的是( ) A.①②⑤ B.③⑤ C.②③④ D.①②④⑤ 10.如图,四边形 ABCD 是正方形,直线 a,b,c 分别通过 A、D、C 三点,且 a∥b∥c.若 a 与 b 之 间的距离是 5,b 与 c 之间的距离是 7,则正方形 ABCD 的面积是( )

A.70

B.74

C.144 D.148

二、填空题:本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分 11.不等式(a﹣b)x<a﹣b 的解集是 x>1,则 a、b 的大小关系是:a 12.已知三角形三边长分别是 1、x、2,且 x 为整数,那么 x 的值是 .

b.

13.如图所示,∠C=∠D=90°,可使用“HL”判定 Rt△ABC 与 Rt△ABD 全等,则应添加一个条件 是 .

2

14.若关于 x 的不等式组

有解,则写出符合条件的一个 a 的值



15.等腰△ABC 的底边上高 AD 与底角平分线 CE 交于点 P,EF⊥AD,F 为垂足,若线段 EB=4,则线段 EF= .

16. 已知: 如图, BD 为△ABC 的角平分线, 且 BD=BC, E 为 BD 延长线上的一点, BE=BA, 过 E 作 EF⊥AB, F 为垂足,下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=EF=EC;④BA+BC=2BF,其中 正确的结论有 (填序号) .

三、解答题:本题共有 7 个小题,共 66 分 17. (1)解不等式:3x﹣1<2x+4

(2)不等式组

并将其解集在数轴上表示出来.

18.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°. (1)用尺规在边 BC 上求作一点 P,使 PA=PB(不写作法,保留作图痕迹) ;

3

(2)连结 AP,若 AC=4,BC=8 时,试求 BP 的长.

19.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 E 在 CA 延长线上,EP⊥BC 于点 P,交 AB 于点 F. (1)求证:∠E=∠AFE; (2)若 AF=3,BF=5,求 CE 的长并直接写出△ABC 周长的取值范围.

20.如图,△ABC 是边长为 5cm 的等边三角形,点 P,Q 分别从顶点 A,B 同时出发,沿线段 AB,BC 运动,且它们的速度都为 1cm/s.当点 P 到达点 B 时,P,Q 两点停止运动,设点 P 的运动时间为 t (s) . (1)当 t 为何值时,△PBQ 是直角三角形? (2)连接 AQ、CP,相交于点 M,则点 P,Q 在运动的过程中,∠CMQ 会变化吗?若变化,则说明理 由;若不变,请求出它的度数.

21.在△ABC 中,AC=AB=5,一边上高为 3,求底边 BC 的长(注意:请画出图形) . 22.某公交公司有 A,B 型两种客车,它们的载客量和租金如下表: A B 载客量(人/辆) 45 30 租金(元/辆) 400 280 红星中学根据实际情况,计划租用 A,B 型客车共 5 辆,同时送 2015~2016 学年度七年级师生到基 地校参加社会实践活动,设租用 A 型客车 x 辆,根据要求回答下列问题:

4

(1)用含 x 的式子填写下表: 车辆数(辆) 载客量 租金(元) A x 45x 400x B 5﹣x (2)若要保证租车费用不超过 1900 元,求 x 的最大值; (3)在(2)的条件下,若 2015~2016 学年度七年级师生共有 195 人,写出所有可能的租车方案, 并确定最省钱的租车方案. 23.如图 1,等边△ABC 边长为 6,AD 是△ABC 的中线,P 为线段 AD(不包括端点 A、D)上一动点, 以 CP 为一边且在 CP 左下方作如图所示的等边△CPE,连结 BE. (1)点 P 在运动过程中,线段 BE 与 AP 始终相等吗?说说你的理由; (2)若延长 BE 至 F,使得 CF=CE=5,如图 2,问: ①求出此时 AP 的长; ②当点 P 在线段 AD 的延长线上时,判断 EF 的长是否为定值,若是请直接写出 EF 的长;若不是请简 单说明理由.

5

浙江省杭州市 2015~2016 学年度八年级上学期期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:每小题 3 分,共 30 分 1. 下面四个图形分别是节能、 节水、 低碳和绿色食品标志, 在这四个标志中, 是轴对称图形的是 (



A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折 叠后可重合. 2.下列命题是假命题的是( ) A.有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形 B.等角的余角相等 C.钝角三角形一定有一个角大于 90° D.同位角相等 【考点】命题与定理. 【分析】根据等边三角形的判定方法对 A 进行判断;根据余角的定义对 B 进行判断;根据钝角三角 形的定义对 C 进行判断;根据平行线的性质对 D 进行判断. 【解答】解:有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形是真命题;等角的余角相等是真命题;钝 角三角形一定有一个角大于 90°是真命题;两直线平行,同位角相等,则同位角相等是假命题. 故选 D. 【点评】本题考查了命题:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命 题. 3.下列条件中,不能判定△ABC 是等腰三角形的是( ) A.a=3,b=3,c=4 B.a:b:c=2:3:4 C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A:∠B:∠C=1:1:2 【考点】等腰三角形的判定. 【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理,即可求得答案. 【解答】解:A、∵a=3,b=3,c=4, ∴a=b, ∴△ABC 是等腰三角形; B、∵a:b:c=2:3:4 ∴a≠b≠c,

6

∴△ABC 不是等腰三角形; C、∵∠B=50°,∠C=80°, ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°, ∴∠A=∠B, ∴AC=BC, ∴△ABC 是等腰三角形; D、∵∠A:∠B:∠C=1:1:2, ∵∠A=∠B, ∴AC=BC, ∴△ABC 是等腰三角形. 故选 B. 【点评】此题考查了等腰三角形的判定.此题比较简单,注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边 的判定定理是解题的关键. 4.关于 x 的不等式 3x﹣2a≤﹣2 的解集如图所示,则 a 的值为( )

A.1 B. C.﹣1 D. 【考点】在数轴上表示不等式的解集. 【分析】首先用 a 表示出不等式的解集,然后解出 a. 【解答】解:根据图示知,原不等式的解集是:x≤﹣1; 又∵3x﹣2a≤﹣2,

∴x≤





=﹣1,

解得,a=﹣ ; 故选 D. 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集.不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>” 空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点 向左画折线. 5.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( A.∠1=50°,∠2=40° B.∠1=50°,∠2=50° C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°,∠2=40° 【考点】命题与定理. 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件,但不满足结论的例子. 【解答】解:A、满足条件∠1+∠2=90°,也满足结论∠1≠∠2,故 A 选项错误; B、不满足条件,故 B 选项错误; )

7

C、满足条件,不满足结论,故 C 选项正确; D、不满足条件,也不满足结论,故 D 选项错误. 故选:C. 【点评】理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键. 6.如图,在△ABC 和△DEC 中,已知 AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的 一组条件是( )

A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC C.BC=EC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D 【考点】全等三角形的判定. 【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可. 【解答】解:A、已知 AB=DE,再加上条件 BC=EC,∠B=∠E 可利用 SAS 证明△ABC≌△DEC,故此选 项不合题意; B、已知 AB=DE,再加上条件 BC=EC,AC=DC 可利用 SSS 证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意; C、已知 AB=DE,再加上条件 BC=DC,∠A=∠D 不能证明△ABC≌△DEC,故此选项符合题意; D、已知 AB=DE,再加上条件∠B=∠E,∠A=∠D 可利用 ASA 证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意; 故选:C. 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法, 判定两个三角形全等的一般方法有: SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL.注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两 边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 7.已知 a>b>0,那么下列不等式组中无解的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】不等式的解集. 【分析】利用求不等式解集的方法判定, 【解答】解:A、x 的解集为﹣b<x<a,故 A 有解; B、x 的解集为 x>﹣b,故 B 有解; C、无解, D、x 的解集为﹣a<x<b.故 D 有解; 故选:C. 【点评】此题主要考查了解不等式组,关键是正确理解解集的规律:同大取大;同小取小;大小小 大中间找;大大小小找不到.

8.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=4 若点 P 到 BD 的距离为 3,则点 P 的个数为( )

,CD=2

,点 P 在四边形 ABCD 的边上,

8

A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】勾股定理;点到直线的距离. 【分析】首先作出 AB、AD 边上的点 P(点 A)到 BD 的垂线段 AE,即点 P 到 BD 的最长距离,作出 BC、 CD 的点 P(点 C)到 BD 的垂线段 CF,即点 P 到 BD 的最长距离,由已知计算出 AE、CF 的长与 3 比较 得出答案. 【解答】解:过点 A 作 AE⊥BD 于 E,过点 C 作 CF⊥BD 于 F, ∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=4 ∴∠ABD=∠ADB=45°, ∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°, ∵sin∠ABD= , ?sin45°=4>3, ,CD=2 ,

∴AE=AB?sin∠ABD=4

CF= CD═2<3,所以在 AB 和 AD 边上有符合 P 到 BD 的距离为 3 的点 2 个, 故选 A.

【点评】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离,解题的关键是先求出各边上点到 BD 的最大距 离比较得出答案. 9.给出以下五种说法: 2 2 ①若 a,b,c 为实数,且 a>b,则 ac >bc ; ②已知一个直角三角形的两边长分别为 5 和 12,则该直角三角形的斜边上的中线长为 6.5; ③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题; ④如果一个等腰三角形的两边长为 4cm 和 9cm,那么它的周长是 17cm 或 22cm; ⑤如果关于 x 的不等式﹣k﹣x+6>0 的正整数解为 1,2,3,那么 k 应取值为 2≤k<3. 其中说法正确的是( ) A.①②⑤ B.③⑤ C.②③④ D.①②④⑤ 【考点】命题与定理. 【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案. 2 2 【解答】解:①若 a,b,c 为实数,且 a>b,则 ac ≥bc ,故原命题错误; ②已知一个直角三角形的两边长分别为 5 和 12,则该直角三角形的斜边上的中线长为 6.5 或 6,故

9

原命题错误; ③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题,正确; ④如果一个等腰三角形的两边长为 4cm 和 9cm,那么它的周长是 22cm,故原命题错误; ⑤如果关于 x 的不等式﹣k﹣x+6>0 的正整数解为 1,2,3,那么 k 应取值为 2≤k<3,正确. 其中说法正确的是③⑤, 故选:B. 【点评】此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题 的真假关键是要熟悉课本中的性质定理. 10.如图,四边形 ABCD 是正方形,直线 a,b,c 分别通过 A、D、C 三点,且 a∥b∥c.若 a 与 b 之 间的距离是 5,b 与 c 之间的距离是 7,则正方形 ABCD 的面积是( )

A.70 B.74 C.144 D.148 【考点】全等三角形的判定与性质;平行线之间的距离;勾股定理;正方形的性质. 【分析】 过 A 作 AM⊥直线 b 于 M, 过 D 作 DN⊥直线 c 于 N, 求出∠AMD=∠DNC=90°, AD=DC, ∠1=∠3, 根据 AAS 推出△AMD≌△CND,根据全等得出 AM=CN,求出 AM=CN=5,DN=7,在 Rt△DNC 中,由勾股定 2 理求出 DC 即可.

【解答】解:如图: 过 A 作 AM⊥直线 b 于 M,过 D 作 DN⊥直线 c 于 N, 则∠AMD=∠DNC=90°, ∵直线 b∥直线 c,DN⊥直线 c, ∴∠2+∠3=90°, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=DC,∠1+∠2=90°, ∴∠1=∠3, 在△AMD 和△CND 中

∴△AMD≌△CND, ∴AM=CN, ∵a 与 b 之间的距离是 5,b 与 c 之间的距离是 7,

10

∴AM=CN=5,DN=7, 2 2 2 2 2 在 Rt△DNC 中,由勾股定理得:DC =DN +CN =7 +5 =74, 即正方形 ABCD 的面积为 74, 故选 B. 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,正方形的性质的应用,解此题的关键是能正确作出 辅助线,并进一步求出△AMD≌△CND,难度适中. 二、填空题:本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分 11.不等式(a﹣b)x<a﹣b 的解集是 x>1,则 a、b 的大小关系是:a < b. 【考点】不等式的性质. 【分析】本题需先根据不等式不等式(a﹣b)x<a﹣b 的解集是 x>1,的解集是 x<1,得出 a﹣b 的关系,即可求出答案. 【解答】解:∵不等式(a﹣b)x<a﹣b 的解集是 x>1, ∴a﹣b<0, ∴a<b, 则 a 与 b 的大小关系是 a<b. 故答案为:<. 【点评】本题主要考查了不等式的解集,在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时, 不等号的方向改变. 12.已知三角形三边长分别是 1、x、2,且 x 为整数,那么 x 的值是 2 . 【考点】三角形三边关系. 【分析】根据三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求解即可. 【解答】解:∵三角形的三边长分别为 1,x,2, ∴第三边的取值范围为:1<x<3 ∵x 为整数, ∴x=2. 故答案为:2. 【点评】考查了三角形的三边关系,此类求范围的问题,实际上就是根据三角形三边关系定理列出 不等式,然后解不等式即可,确定 x 的值. 13.如图所示,∠C=∠D=90°,可使用“HL”判定 Rt△ABC 与 Rt△ABD 全等,则应添加一个条件是 AC=AD .

【考点】直角三角形全等的判定. 【专题】开放型. 【分析】此题是一道开放型的题目,答案不唯一,还可以是 BC=BD. 【解答】解:条件是 AC=AD,

11

∵∠C=∠D=90°, 在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中

∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL) , 故答案为:AC=AD. 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用,能熟记定理是解此题的关键,注意:直角三角 形全等的判定定理有 SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

14.若关于 x 的不等式组

有解,则写出符合条件的一个 a 的值 6 .

【考点】解一元一次不等式组. 【专题】开放型. 【分析】表示出不等式组的解集,根据不等式组有解确定出 a 的值即可.

【解答】解:不等式整理得:



由不等式组有解,得到 a>5, 则满足题意 a 的值为 6. 故答案为:6. 【点评】此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 15.等腰△ABC 的底边上高 AD 与底角平分线 CE 交于点 P,EF⊥AD,F 为垂足,若线段 EB=4,则线段 EF= 2 .

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质. 【分析】延长 EF 交 AC 于点 Q,利用 EF∥CD,且 CE 平分∠ACD,可得∠QCE=∠QEC,所以 QE=CE,结 合等腰三角形的性质可得 QE=2EF,且 QC=BE,可得出结论. 【解答】解:如图,

12

延长 EF 交 AC 于点 Q, ∵EF⊥AD,AD⊥BC ∴EQ∥BC ∴∠QEC=∠ECB ∵CE 平分∠ACB ∴∠ECB=QCE ∴∠QEC=∠QCE ∴QE=QC ∵QE∥BC,且△ABC 为等腰三角形 ∴△AQE 为等腰三角形 ∴AQ=AE,QE=2EF, ∴CQ=BE=QE, ∴EF= BE=2. 故答案为:2. 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和判定及平行线的性质的应用,解题的关键是作出辅助线, 找到 BE 和 CQ 的数量关系,进一步寻找 BE 和 EF 的数量关系. 16. 已知: 如图, BD 为△ABC 的角平分线, 且 BD=BC, E 为 BD 延长线上的一点, BE=BA, 过 E 作 EF⊥AB, F 为垂足,下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=EF=EC;④BA+BC=2BF,其中 正确的结论有 ①②④ (填序号) .

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】易证△ABD≌△EBC,可得∠BCE=∠BDA,AD=EC 可得①②正确,再根据角平分线的性质可求 得∠DAE=∠DCE,即 AD=AE=EC,根据 AD=AE=EC 可求得④正确. 【解答】解:①∵BD 为△ABC 的角平分线, ∴∠ABD=∠CBD, 在△ABD 和△EBC 中,

, ∴△ABD≌△EBC(SAS) , ∴①正确; ②∵BD 为△ABC 的角平分线,BD=BC,BE=BA, ∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA, ∵△ABD≌△EBC, ∴∠BCE=∠BDA,

13

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°, ∴②正确; ③∵∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA, ∴∠DCE=∠DAE, ∴△ACE 为等腰三角形, ∴AE=EC, ∵△ABD≌△EBC, ∴AD=EC, ∴AD=AE=EC, ∵BD 为△ABC 的角平分线,EF⊥AB,而 EC 不垂直与 BC, ∴EF≠EC, ∴③错误; ④过 E 作 EG⊥BC 于 G 点,

∵E 是 BD 上的点,∴EF=EG, 在 RT△BEG 和 RT△BEF 中,

, ∴RT△BEG≌RT△BEF(HL) , ∴BG=BF, 在 RT△CEG 和 RT△AFE 中,

, ∴RT△CEG≌RT△AFE(HL) , ∴AF=CG, ∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF, ∴④正确. 故答案为:①②④. 【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中 熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键. 三、解答题:本题共有 7 个小题,共 66 分 17. (1)解不等式:3x﹣1<2x+4

(2)不等式组

并将其解集在数轴上表示出来.
14

【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式. 【分析】 (1)移项、合并同类项可得解集; (2)分别求出每个不等式解集,找到其公共部分即可的不等式组解集,并表示在数轴上. 【解答】解: (1)移项,得:3x﹣2x<4+1, 合并同类项,得:x<5;

(2)解不等式组: 解不等式①,得:x>﹣6, 解不等式②,得:x<6, ∴不等式组的解集为:﹣6<x<6, 表示在数轴上如下所示:



【点评】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组的能力,严格遵循解不等式的基本步骤是关键. 18.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°. (1)用尺规在边 BC 上求作一点 P,使 PA=PB(不写作法,保留作图痕迹) ; (2)连结 AP,若 AC=4,BC=8 时,试求 BP 的长.

【考点】作图—复杂作图;线段垂直平分线的性质. 【专题】应用题;作图题. 【分析】 (1)作 AB 的垂直平分线交 BC 于 P 点,则 PA=PB; 2 2 2 (2)设 BP=x,则 AP=x,CP=BC﹣PB=8﹣x,然后在 Rt△ACP 中根据勾股定理得到(8﹣x) +4 =x , 再解方程即可. 【解答】解: (1)如图,点 P 为所作;

(2)设 BP=x,则 AP=x,CP=BC﹣PB=8﹣x, 2 2 2 在 Rt△ACP 中,∵PC +AC =AP , 2 2 2 ∴(8﹣x) +4 =x ,解得 x=5, 即 BP 的长为 5.

15

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合 了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图 形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 19.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 E 在 CA 延长线上,EP⊥BC 于点 P,交 AB 于点 F. (1)求证:∠E=∠AFE; (2)若 AF=3,BF=5,求 CE 的长并直接写出△ABC 周长的取值范围.

【考点】等腰三角形的判定与性质. 【分析】 (1)根据等边对等角得出∠B=∠C,再根据 EP⊥BC,得出∠C+∠E=90°,∠B+∠BFP=90°, 从而得出∠D=∠BFP,再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE; (2)根据等角对等边即可得出 CE,然后又三角形的三边关系即可得到结论. 【解答】解: (1)∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵EP⊥BC, ∴∠C+∠E=90°,∠B+∠BFP=90°, ∴∠E=∠BFP, 又∵∠BFP=∠AFE, ∴∠E=∠AFE; (2)∵∠E=∠AFE, ∴AF=AE, ∴△AEF 是等腰三角形. 又∵AF=3,BF=5, ∴CA=AB=8,AE=3, ∴CE=11;∵0<BC<16, ∴16<△ABC 的周长<32. 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质,三角形的三边关系,解题的关键是证明∠E=∠AFE, 注意等边对等角,以及等角对等边的使用. 20.如图,△ABC 是边长为 5cm 的等边三角形,点 P,Q 分别从顶点 A,B 同时出发,沿线段 AB,BC 运动,且它们的速度都为 1cm/s.当点 P 到达点 B 时,P,Q 两点停止运动,设点 P 的运动时间为 t (s) . (1)当 t 为何值时,△PBQ 是直角三角形? (2)连接 AQ、CP,相交于点 M,则点 P,Q 在运动的过程中,∠CMQ 会变化吗?若变化,则说明理 由;若不变,请求出它的度数.

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【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【专题】动点型. 【分析】 (1)需要分类讨论:分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况; (2)∠CMQ=60°不变.通过证△ABQ≌△CAP(SAS)得到:∠BAQ=∠ACP,由三角形外角定理得到 ∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°. 【解答】解: (1)设时间为 t,则 AP=BQ=t,PB=5﹣t ①当∠PQB=90°时, ∵∠B=60°, ∴PB=2BQ,得 5﹣t=2t,t= ; ②当∠BPQ=90°时, ∵∠B=60°, ∴BQ=2BP,得 t=2(5﹣t) ,t= ∴当第 秒或第 ;

秒时,△PBQ 为直角三角形.

(2)∠CMQ=60°不变. 在△ABQ 与△CAP 中,

, ∴△ABQ≌△CAP(SAS) , ∴∠BAQ=∠ACP, ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质.掌握判定三角形全等的方法, 分类讨论是解决问题的关键.

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21.在△ABC 中,AC=AB=5,一边上高为 3,求底边 BC 的长(注意:请画出图形) . 【考点】勾股定理;等腰三角形的性质. 【专题】分类讨论. 【分析】分三种情况:①当底边 BC 边上的高为 3 时;②当腰上的高 BD=3 时;③当高在△ABC 的外 部时;根据勾股定理先求得 AD,根据线段的和差求得 BD,根据勾股定理求得底边 BC 的长. 【解答】解:分三种情况: ①当底边 BC 边上的高为 3 时,如图 1 所示, ∵在△ACD 中,AB=AC=5,高 AD=3, ∴BD=CD= =4,

∴BC=2BD=8; ②当腰上的高 BD=3 时,如图 2 所示: 则 AD= ∴CD=5﹣4=1, ∴BC= = = ; =4,

③当高在△ABC 的外部时,如图 3 所示: ∵在△BCD 中,AB=AC=5,高 BD=3, ∴AD= ∴CD=4+5=9, ∴BC= = =3 ; 或3 . =4,

综上所述:底边 BC 的长是 8 或

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【点评】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质.注意熟练运用勾股定理:在任何一个直角三角 形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方. 22.某公交公司有 A,B 型两种客车,它们的载客量和租金如下表: A B 载客量(人/辆) 45 30 租金(元/辆) 400 280 红星中学根据实际情况,计划租用 A,B 型客车共 5 辆,同时送 2015~2016 学年度七年级师生到基 地校参加社会实践活动,设租用 A 型客车 x 辆,根据要求回答下列问题: (1)用含 x 的式子填写下表: 车辆数(辆) 载客量 租金(元) A x 45x 400x B 5﹣x 30(5﹣x) 280(5﹣x) (2)若要保证租车费用不超过 1900 元,求 x 的最大值; (3)在(2)的条件下,若 2015~2016 学年度七年级师生共有 195 人,写出所有可能的租车方案, 并确定最省钱的租车方案. 【考点】一元一次不等式的应用. 【分析】 (1)根据题意,载客量=汽车辆数×单车载客量,租金=汽车辆数×单车租金,列出代数表 达式即可; (2)根据题意,表示出租车总费用,列出不等式即可解决; (3)由(2)得出 x 的取值范围,一一列举计算,排除不合题意方案即可. 【解答】解: (1)∵载客量=汽车辆数×单车载客量,租金=汽车辆数×单车租金, ∴B 型客车载客量=30(5﹣x) ;B 型客车租金=280(5﹣x) ; 故填:30(5﹣x) ;280(5﹣x) . (2)根据题意,400x+280(5﹣x)≤1900,解得:x≤4 , ∴x 的最大值为 4; (3)由(2)可知,x≤4 ,故 x 可能取值为 0、1、2、3、4, ①A 型 0 辆,B 型 5 辆,租车费用为 400×0+280×5=1400 元,但载客量为 45×0+30×5=150<195, 故不合题意舍去; ②A 型 1 辆,B 型 4 辆,租车费用为 400×1+280×4=1520 元,但载客量为 45×1+30×4=165<195, 故不合题意舍去; ③A 型 2 辆,B 型 3 辆,租车费用为 400×2+280×3=1640 元,但载客量为 45×2+30×3=180<195, 故不合题意舍去; ④A 型 3 辆,B 型 2 辆,租车费用为 400×3+280×2=1760 元,但载客量为 45×3+30×2=195=195, 符合题意; ⑤A 型 4 辆,B 型 1 辆,租车费用为 400×4+280×1=1880 元,但载客量为 45×4+30×1=210,符合 题意; 故符合题意的方案有④⑤两种,最省钱的方案是 A 型 3 辆,B 型 2 辆. 【点评】此题主要考查了一次不等式的综合应用,由题意得出租用 x 辆甲种客车与总租金关系是解 决问题的关键. 23.如图 1,等边△ABC 边长为 6,AD 是△ABC 的中线,P 为线段 AD(不包括端点 A、D)上一动点,

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以 CP 为一边且在 CP 左下方作如图所示的等边△CPE,连结 BE. (1)点 P 在运动过程中,线段 BE 与 AP 始终相等吗?说说你的理由; (2)若延长 BE 至 F,使得 CF=CE=5,如图 2,问: ①求出此时 AP 的长; ②当点 P 在线段 AD 的延长线上时,判断 EF 的长是否为定值,若是请直接写出 EF 的长;若不是请简 单说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】 (1)先证明∠ACP=∠BCE,然后依据 SAS 证明△ACP≌△BCE,由全等三角形的性质可得到 BE=AP; (2)过点 C 作 CH⊥BE,垂足为 H,先依据等腰三角形三线合一的性质求得∠CAD=30°,然后由 △ACP≌△BCE 可求得∠CBH=30°,依据含 30°直角三角形的性质可求得 CH 的长,从而可求得 BH 的 长,然后在△ECH 中依据勾股定理可求得 EH 的长,故此可求得 BE 的长,最后根据 AP=BE 求解即可; (3) 首先根据题意画出图形, 过点 C 作 CH⊥BE, 垂足为 H. 先证△ACP≌△BCE, 从而得到∠CBH=30°, 由含 30°直角三角形的性质可求得 CH 的长,依据勾股定理可求得 FH 的长,然后由等腰三角形三线 合一的性质可得到 HE=FH,故此可求得 EF 的长. 【解答】解: (1)BE=AP. 理由:∵△ABC 和△CPE 均为等边三角形, ∴∠ACB=∠PCE=60°,AC=BC,CP=CE. ∵∠ACP+∠DCP=∠DCE+∠PCD=60°, ∴∠ACP=∠BCE.

∵在△ACP 和△BCE 中,



∴△ACP≌△BCE. ∴BE=AP. (2)如图 2 所示:过点 C 作 CH⊥BE,垂足为 H.

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∵AB=AC,AD 是 BC 的中点, ∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°. ∵由(1)可知:△ACP≌△BCE, ∴∠CBE=∠CAD=30°,AP=BE. ∵在 Rt△BCH 中,∠HBC=30°, ∴HC= BC=3,NH= BC=3 . ∵在 Rt△CEH 中,EC=5,CH=3, ∴EH= ∴BE=HB﹣EH=3 ∴A=3 ﹣4. =4. ﹣4.

(3)如图 3 所示:过点 C 作 CH⊥BE,垂足为 H.

∵△ABC 和△CEP 均为等边三角形, ∴AC=BC,CE=PC,∠ACB=∠ECP. ∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+BCP,即∠BCE=∠ACP.

∵在△ACP 和△BCE 中, ∴△ACP≌△BCE. ∴∠CBH=∠CAP=30°. ∵在 Rt△BCH 中,∠CBH=30°,



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∴HC= BC=3. ∵FC=CE,CH⊥FE, ∴FH=EH. ∴FH=EH= =4.

∴EF=FH+EH=4+4=8. 【点评】 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、 勾股定理的应用、 等边三角形的性质、 含 30° 三角形的性质,证得△ACP≌△BCE 是解题的关键.

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