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竞赛辅导专题1:有理数及其运算


北京十二中初一数学竞赛辅导

专题一:有理数及其运算(2 讲) 在小学学习整数,分数的基础上,引入有理数是对数的范围的巨大飞跃和拓宽。对于教材上 有理数的定义: “整数和分数统称为有理数”体现了这种数的发展模式。但只有深入了解有理数 的概念,才能解决有关于有理数的竞赛问题。 本讲从有理数的概念入手,体会数形结合的独特魅力,结合求相反数和绝对值简单运算,掌握关 于有理数的丰富多彩的运算策略。 (一) 有理数的概念 1、整数和分数统称为有理数。 2、能够表示成既约分数

m (n ? 0, m, n为互质整数 ) 的形式的数,称为有理数。 n

3、有理数的性质:1)有序性;2) 封闭性;3)稠密性。 (二) 有理数的表示 1、 任何一个有理数都是整数或者分数; 2、 任何一个有理数都可以转化成形如:

m (n ? 0, m, n为互质整数 ) 的数; n

3、 任何一个有理数都可以转化成有限小数或无限循环小数; 4、 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 基于第 4 种表示方法,可以得到: 1)|a|表示数 a 在数轴上对应的点到原点的距离; 2)|a-b|表示数轴上表示数 a,b 的点之间的距离; 3)|x-a|+|x-b|表示点 x 到点 a 和点 x 到点 b 之间的距离和。 (三) 有理数的运算 1、 有理数大小的比较 1)做差法:若 a-b >0,则 a>b;若 a-b =0,则 a=b;若 a-b <0,则 a<b.

? a ?若 b ? 1,则a ? b; ? ? a 2)做商法: 当a ? 0, b ? 0时, ?若 ? 1,则a ? b; ? b ?若 a ? 1,则a ? b; ? ? b

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2、公式与方法 1)等差数列 ?an ? ,首项为 a1 ,公差为 d: ①通项公式为: an ? a1 ? (n ? 1)d 通项公式描述第 n 项 an 与首项 a1 、公差 d 、项数 n 之间的关系。 ②前 n 项和公式为: S n = a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? 注:既然 an ? a1 ? (n ? 1)d ,则 S n =

( a1 ? a n ) n 2

[a1 ? a1 ? (n ? 1)d ]n n(n ? 1) ? na1 ? d。 2 2

2)等比数列{ bn },首项为 b1 ,公比为 q(其中 q≠1): ①通项公式为: bn ? a1q n?1 ②前 n 项和公式为: S n = b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ?
2 2 2

b1 ? bn q b1 (1 ? q n ) = 1? q 1? q
2 2

3)完全平方公式: (a ? b) ? a ? 2ab ? b ;平方差公式: (a ? b)(a ? b) ? a ? b ; 立方和(差)公式: a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) ;
3 3 2 2

完全立方公式: (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b 。
3 3 2 2 3

4) | ab |?| a | ? | b | , 5) a ? a
n m

|a| a ? , || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 。 |b| b
1 。 ap

? a n? m , a n ? a m ? a n?m , (a ? b) n ? a n ? b n , (a n ) m ? a nm , a ? p ?

6)对于有理数运算的技巧与方法主要有: ①数列求和法②凑整法;③分组法;④拆项相消法;⑤错位相减法;⑥倒序相加法;⑦运用公式 法。

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【练习提高】 一、有理数的概念 1、试证:设 a 为有理数,b 为大于 a 的有理数,试证:没有最小的 b 使 a<b。

2、若 a 是最大的负整数,b 是绝对值最小的有理数,则 a

2007

?

b 2009 等于 2008



3、下列四个命题: (1)任何有理数都有相反数; (2)一个有理数和它的相反数之间至少还有一 个有理数; (3)任何有理数都有倒数; (4)一个有理数如果有倒数,则它们之间至少还有一个有 理数; (5)数轴上点都表示有理数; (6)任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中,说法正 确的是 4、 若有理数 m, n, p 满足 ;

|m| |n| | p| 2m np ? ? ? 1 ,则 ? m n p | 3m np|



5、数轴上的 A,B,C 分别对应的数为 0,-1,x,C 与 A 的距离大于 C 与 B 的距离,求 x 的取值范 围为 ; 。

6、若有理数满足 a<-1,0<b<c<1,则下列命题正确的是

(1)abc<0; (2)|a-b|+|b-c|=|a-c|; (3) (a-b)(b-c)(c-a)>0; (4)|a|<1-bc。 7、若 a<b<0<c,则判断下列各式的大小关系: (1)-a-b+c 0;(2)a-b-c 0;(3)c+|-a-b| 0;(4)|a-c| b-c; 。

8、整数 a,b 满足:ab≠0,且 a+b=0,以下判断正确的是

A.a,b 之间没有正分数;B.a,b 之间没有负分数;C.a,b 之间至多有一个整数; D.a,b 之间至少有一个整数。 9、若|m|=m+1,则 (4m ? 1) 10、若 a 与
2

2009

?

; ;

18 都是正整数,则 a= a ? a ?1

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11、有理数 a,b,c,d 满足|a-b|≤9,|c-d|≤16 和|a-b-c+d|=25,则|b-a|-|d-c|= 12、若有理数 a,b,c,d,e 满足|abcde|=-abcde,则 S ?

; ;

|a| |b| |c| |d | |e| ? ? ? ? = a b c d e

13、已知 a,b,c 三个数中有两个奇数,一个偶数,n 是整数,若 S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3),则问 s 的奇偶性是 ; ; ;

14、已知 a≤2,b≥-3,c≤5,且 a-b+c=10,则 a+b+c 的值等于 15、已知 则

16、已知代数式

,当

时的值分别为 1-,2,2,而且

不等于 0,问当

时该代数式的值是多少?

17 、 有 理 数

均不为 0,且



试求代数式

2000 之值。

18、一辆公共汽车由起点站到终点站(含起点站与终点站在内)共行驶 8 个车站。已知前 6 个车 站共上车 100 人,除终点站外共下车总计 80 人,问从前 6 站上车而在终点下车的乘客共有多少 人?

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19、如图,在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第 10 秒钟时追上乙, 在第 30 秒时追上丙,第 60 秒时甲再次追上乙,并且在第 70 秒时再次追上丙,问乙追上丙用了 多少时间?

20、用 min(a,b)表示 a、b 两数中较小者,max(a,b)表示 a、b 两数中较大者,例如 min (3,5)=3,min(3,3)=3,max(3,5)=5,max(5,5)=5。设 a、b、c、d 是不相等的自然 数,min(a,b)=P,min(c,d)=Q,max(P,Q)=X;max(a,c)=M,max(b,d)=N,min (M,N)=Y,判断 X,Y 的大小关系。

友情提示: 下一次课讲有理数的运算:涉及到七种方法,先提前尝试一下做下面的题目。

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100 ;2、 (2 ? 1)(2 2 ? 1)(2 4 ? 1)(28 ? 1)(216 ? 1) 2 2 2 2 3、 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 99 ; 4、 s ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2001 ? 2002
1、 1 ? 5、

1 1 1 ;6、3998+2997+1996+195; ? ??? 1? 2 2 ? 3 10 ? 11
1?

1 1 1 2 2 1 1 1 3 3 1 1 ?1? ? ? ?1? ? ? ? ? ?1? ? ? ?? 2 3 3 3 3 4 2 4 4 2 4 7、 2 1 1 3 19 19 1 ? ? ? ??? ?1? ??? 20 10 20 20 20 20

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二、有理数的运算 1、计算: (1) 2007? ?2006? ?2007? ?2006? 2007 ???= (2) (?1) ? (?1) ? (?1) ? (?1) ? (?1) = (3) ( ?1)
2006

; ;

? ( ?1) 2007 ? ? 1

2008

=

; (4) ? 2 ? ( ? ) ? ( ?2) =
2

1 2



(5) (?1)1998 ? (?1)1999 ? ? ? (?1) 2006 ? (?1) 2007 = (6)1-2+3-4+5-6+?+2003-2004+2005= (7) 2002 ? (1 ? (8) 3
2000

; ; ;

1 1 1 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? )= 2 3 2002

2

? 5 ? 31999 ? 6 ? 31998 =

2 2 2 2、计算: 1 ? 2 ? 3 ? ??+ n ?

1 n(n ? 1) ? (2n ? 1) ,按以上式子, 6


那么 2 ? 4 ? 6 ? ??+50 =
2 2 2
2

3、a,b,c 都是质数,且满足 a+b+c+abc=99,则| 4、用“ 么5

1 1 1 1 1 1 - |+| - |+| - |=_________ a b b c c a
b=b2+1。例如,7



”定义新运算:对于任意实数 a,b,都有 a 3=_________;当 m 为实数时,m (m

4=42+1=17,那

2)=__________。

5、有理数 a,b,c,d 在数轴上的对应点如图所示,则它们从小到大的顺序是 ____________________。

a?b ?

;d ? c ?



c?b ?

;a ? d ?



6、若正数 a 的倒数等于其本身,负数 b 的绝对值等于 3,且 c<a,c2=36, 代数式 2 (a-2b2)-5c 的值为_________ 。
2 2000

7、 已知 a、 b 互为相反数, c、 d 互为倒数, x 的绝对值等于 2, 则 x -(a+b+cd)x+(a+b) 的值为_________ 。 .

+(-cd)

2001

999 119 8、已知 p ? 99 , Q ? 90 , 则 P, Q 的大小关系为_________ 9 9

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9、若-3<x<1,化简:y=|x-1|+|x-2|+|x+3|=_________

. 。 。 )

10、设 3x3-x=1,则 9x4+12x3-3x2-7x+2001 的值为_________

11、已知 a1+a2=1,a2+a3=2,a3+a4=3,?,a99+a100=99,a100+a1=100,那么 a1+a2+a3+?a100= 12、如果 4 个不同的正整数 m,n,p,q 满足(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4,那么 m+n+p+q=( 1898a2+99b2 13、若 a 与(-b)是互为相反数, =( 1997ab ) 。

14、 x ? 1 ? x ? 2 的最小值为_________ ,此时, x 的取值范围为_________ . 15、已知实数 a, b, c 满足 ? 1 ? c ? 0 ? a ? b, 且 b ? c ? a , 则 c ? 1 ? a ? c ? a ? b 的值为 _________ . 16、计算 (1) 2002

1 1 1 1 1 1 ? 2001 ? 2000 ? 1999 ? ? ? 2 ? 1 . 2 2 2 2 2 2

(2)2-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 +2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(3)

1 1 3 1 3 5 1 3 97 ? ( ? ) ? ( ? ? ) ??? ( ? ??? ) 2 4 4 6 6 6 98 98 98

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(4)

1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 6 ? 7 ? 14 ? 21 1 ? 3 ? 5 ? 2 ? 6 ? 10 ? 7 ? 21 ? 35

(5)

2000 ? 1990 ? 1980 ? 1970 ? ? ? 20 ? 10 1 1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) 2 3 4 998 999 1000

(6)

12 22 k2 992 ? ? ? ? ? ? ? 12 ? 100 ? 5000 2 2 ? 200 ? 5000 k 2 ? 100k ? 5000 992 ? 9900? 5000

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17、有一个数列{an}是按以下规律组成的: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、? 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 27 问: (1) 是数列中的第几项? 50 (2)第 200 项是哪个分数?

1 1 1 得到一个数,再加上所得的数的 又得到一个数,再加上这次得到的 又得 2 3 4 1 到一个数,? ,依次类推,一直加到上一次得数的 ,最后得到的数是多少? 2007
18、2007 加上它的

19、有一种“二十四点”的 游戏,其游戏规则是这样的:任取四个 1 至 13 之间的 自然数,将 这四个(每个数用且只用一次)进行加减四则运算与 4 ? (1 ? 2 ? 3) 应视作相同方法的运算,现 有四个有理数 3,4,-6,10.运用上述规则写出三种不同方法的运算,使其结果等于 24,运算式: (1)_______________________; (2)________________________; (3)________________________;

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20、黑板上写有 1,2,3,?,1997,1998 这 1998 个自然数,对它们进行操作,每次操作规则 如下:擦掉写在黑板上的三个数后,再添写上所擦掉三个数之和的个位数字,例如:擦掉 5,13 和 1998 后,添加上 6;若再擦掉 6,6,38,添上 0,等等。如果经过 998 次操作后,发现黑板 上剩下两个数,一个是 25,求另一个数.

21、现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活中的一部分,有一种密码的明文(真 实文)按计算机键盘字母排列分列,其中 Q、W、E、?、N、M 这 26 个字母依次对应 1、2、3、?、 25、26 这 26 个正整数(见下表): Q 1 F 14 W 2 G 15 E 3 H 16 R 4 J 17 T 5 K 18 Y 6 L 19 U 7 Z 20 I 8 X 21 O 9 C 22 P 10 V 23 A 11 B 24 S 12 N 25 D 13 M 26

给出一个变换公式:

x ,(x 是正整数,1≤x≤26,x 被 3 整除); 3 x?2 x’= +17,(x 是正整数,1≤x≤26,x 被 3 除余 1); 3 x ?1 x’= +8,(x 是正整数,1≤x≤26,x 被 3 除余 2). 3
x'= 将明文转换成密文,如:

4?2 +17=19,即 R 变为 L; 3 11 ? 1 11→ +8=12,即 A 变为 S. 3
4→ 将密文转换成明文,如:21→3×(21-17) -2=10,即 X 变为 P; 13→3×(13-8) -1=14,即 D 变为 F.

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相信你已经读懂了吧,那么请解答下面各题: ⑴按上述方法将明文 NOIC 译为密文; ⑵按上述方法将明文译成的密文为 FOR ,请找出它的明文。

22、 (1)阅读下面材料: 点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b,A、B 两点之间的距离表示为∣AB∣。当 A、B 两点 中有一点在原点时,不妨设点 A 在原点,∣AB∣=∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣;当 A、B 两点都不 在原点时,点 A、B 都在原点的右边∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣; ① ∣; ② 点 A、B 在原点的两边,∣AB∣=∣OB∣+∣OA∣=∣a∣+∣b∣= a +(-b)=∣a-b∣; 点 A、B 都在原点的左边,∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b

(2)回答下列问题: ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_________,数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是 _________,数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是_______; ②数轴上表示 x 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是_____,如果∣AB∣=2,那么 x 为_ ___ ; ③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣取最小值时,相应的 x 的值是___________; ④此时代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣的值是_____________.


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