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竞赛辅导专题1:有理数及其运算


北京十二中初一数学竞赛辅导

专题一:有理数及其运算( 专题一:有理数及其运算(2 讲) 在小学学习整数,分数的基础上,引入有理数是对数的范围的巨大飞跃和拓宽.对于教材上 有理数的定义: "整数和分数统称为有理数"体现了这种数的发展模式.但只有深入了解有理数 的概念,才能解决有关于有理数的竞赛问题. 本讲从有理数的概念入手,体会数形结合的独特魅力,结合求相反数和绝对值简单运算,掌握关 于有理数的丰富多彩的运算策略. (一) 有理数的概念 1,整数和分数统称为有理数. 2,能够表示成既约分数

m (n ≠ 0, m, n为互质整数) 的形式的数,称为有理数. n

3,有理数的性质:1)有序性;2) 封闭性;3)稠密性. (二) 有理数的表示 1, 任何一个有理数都是整数或者分数; 2, 任何一个有理数都可以转化成形如:

m (n ≠ 0, m, n为互质整数) 的数; n

3, 任何一个有理数都可以转化成有限小数或无限循环小数; 4, 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示. 基于第 4 种表示方法,可以得到: 1)|a|表示数 a 在数轴上对应的点到原点的距离; 2)|a-b|表示数轴上表示数 a,b 的点之间的距离; 3)|x-a|+|x-b|表示点 x 到点 a 和点 x 到点 b 之间的距离和. (三) 有理数的运算 1, 有理数大小的比较 1)做差法:若 a-b >0,则 a>b;若 a-b =0,则 a=b;若 a-b <0,则 a<b.

a 若 b > 1,则a > b; a 2)做商法: 当a > 0, b > 0时, 若 = 1,则a = b; b 若 a < 1,则a < b; b

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2,公式与方法 1)等差数列 {a n } ,首项为 a1 ,公差为 d: ①通项公式为: a n = a1 + ( n 1) d 通项公式描述第 n 项 a n 与首项 a1 ,公差 d ,项数 n 之间的关系. ②前 n 项和公式为: S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n = 注:既然 a n = a1 + ( n 1) d ,则 S n =

(a1 + a n )n 2

[a1 + a1 + (n 1)d ]n n(n 1) = na1 + d. 2 2

2)等比数列{ bn },首项为 b1 ,公比为 q(其中 q≠1): ①通项公式为: bn = a1 q
n 1

②前 n 项和公式为: S n = b1 + b2 + b3 + ... + bn =

b1 bn q b1 (1 q n ) = 1 q 1 q

3)完全平方公式: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ;平方差公式: ( a + b)( a b) = a 2 b 2 ; 立方和(差)公式: a 3 ± b 3 = ( a b)(a 2 ± ab + b 2 ) ; 完全立方公式: (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 4) | ab |=| a | | b | , 5) a a
n m

|a| a = , || a | | b ||≤| a + b |≤| a | + | b | . |b| b
1 . ap

= a n+ m , a n ÷ a m = a n m , (a b) n = a n b n , (a n ) m = a nm , a p =

6)对于有理数运算的技巧与方法主要有: ①数列求和法②凑整法;③分组法;④拆项相消法;⑤错位相减法;⑥倒序相加法;⑦运用公式 法.

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【练习提高】 一,有理数的概念 1,试证:设 a 为有理数,b 为大于 a 的有理数,试证:没有最小的 b 使 a<b.

2,若 a 是最大的负整数,b 是绝对值最小的有理数,则 a

2007

+

b 2009 等于 2008

;

3,下列四个命题: (1)任何有理数都有相反数; (2)一个有理数和它的相反数之间至少还有一 个有理数; (3)任何有理数都有倒数; (4)一个有理数如果有倒数,则它们之间至少还有一个有 理数; (5)数轴上点都表示有理数; (6)任何一个有理数的平方必是正数.上述命题中,说法正 确的是 4, 若有理数 m, n, p 满足 ;

|m| |n| | p| 2mnp + + = 1 ,则 = m n p | 3mnp |

;

5,数轴上的 A,B,C 分别对应的数为 0,-1,x,C 与 A 的距离大于 C 与 B 的距离,求 x 的取值范 围为 ; .

6,若有理数满足 a<-1,0<b<c<1,则下列命题正确的是

(1)abc<0; (2)|a-b|+|b-c|=|a-c|; (3) (a-b)(b-c)(c-a)>0; (4)|a|<1-bc. 7,若 a<b<0<c,则判断下列各式的大小关系: (1)-a-b+c 0;(2)a-b-c 0;(3)c+|-a-b| 0;(4)|a-c| b-c; .

8,整数 a,b 满足:ab≠0,且 a+b=0,以下判断正确的是

A.a,b 之间没有正分数;B.a,b 之间没有负分数;C.a,b 之间至多有一个整数; D.a,b 之间至少有一个整数. 9,若|m|=m+1,则 (4m + 1) 2009 = 10,若 a 与 ; ;

18 都是正整数,则 a= a + a 1
2

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11,有理数 a,b,c,d 满足|a-b|≤9,|c-d|≤16 和|a-b-c+d|=25,则|b-a|-|d-c|= 12,若有理数 a,b,c,d,e 满足|abcde|=-abcde,则 S =

; ;

|a| |b| |c| |d | |e| + + + + = a b c d e

13,已知 a,b,c 三个数中有两个奇数,一个偶数,n 是整数,若 S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3),则问 s 的奇偶性是 ; ; ;

14,已知 a≤2,b≥-3,c≤5,且 a-b+c=10,则 a+b+c 的值等于 15,已知 则

16,已知代数式

,当

时的值分别为 1-,2,2,而且

不等于 0,问当

时该代数式的值是多少?

17 , 有 理 数

均不为 0,且



试求代数式

2000 之值.

18,一辆公共汽车由起点站到终点站(含起点站与终点站在内)共行驶 8 个车站.已知前 6 个车 站共上车 100 人,除终点站外共下车总计 80 人,问从前 6 站上车而在终点下车的乘客共有多少 人?

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19,如图,在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动.已知甲于第 10 秒钟时追上乙, 在第 30 秒时追上丙,第 60 秒时甲再次追上乙,并且在第 70 秒时再次追上丙,问乙追上丙用了 多少时间?

20,用 min(a,b)表示 a,b 两数中较小者,max(a,b)表示 a,b 两数中较大者,例如 min (3,5)=3,min(3,3)=3,max(3,5)=5,max(5,5)=5.设 a,b,c,d 是不相等的自然 数,min(a,b)=P,min(c,d)=Q,max(P,Q)=X;max(a,c)=M,max(b,d)=N,min (M,N)=Y,判断 X,Y 的大小关系.

友情提示: 下一次课讲有理数的运算:涉及到七种方法,先提前尝试一下做下面的题目.

1 1 1 1 + 2 + 3 + + 100 ;2, ( 2 + 1)( 2 2 + 1)( 2 4 + 1)( 2 8 + 1)( 216 + 1) 2 2 2 2 3, 1 + 3 + 5 + 7 + + 99 ; 4, s = 1 2 + 3 4 + + 2001 2002
1, 1 + 5,

1 1 1 ;6,3998+2997+1996+195; + ++ 1× 2 2 × 3 10 × 11
1+

1 1 1 2 2 1 1 1 3 3 1 1 +1+ + + +1+ + + + + +1+ + + + 2 3 3 3 3 4 2 4 4 2 4 7, 2 1 1 3 19 19 1 + + + ++ +1+ ++ 20 10 20 20 20 20

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二,有理数的运算 1,计算: (1) 2007 {2006 [2007 (2006 2007 )]}= (2) ( 1) + (1) ( 1) × ( 1) ÷ ( 1) = (3) (1)
2006

; ;

+ (1) 2007 ÷ 1

2008

=

; (4) 2 ÷ ( ) + ( 2) =
2

1 2

;

(5) ( 1)1998 + ( 1)1999 + + ( 1) 2006 + ( 1) 2007 = (6)1-2+3-4+5-6+…+2003-2004+2005= (7) 2002 × (1 + (8) 3
2000

; ; ;

1 1 1 ) × (1 + ) × × (1 + )= 2 3 2002
;
2

5 × 31999 + 6 × 31998 =
2 2 2

2,计算: 1 + 2 + 3 + ……+ n = 那么 2 + 4 + 6 + ……+50 2 =
2 2 2

1 n(n + 1) (2n + 1) ,按以上式子, 6
.

3,a,b,c 都是质数,且满足 a+b+c+abc=99,则| 4,用" 么5

1 1 1 1 1 1 - |+| - |+| - |=_________ a b b c c a
b=b2+1.例如,7

.

"定义新运算:对于任意实数 a,b,都有 a 3=_________;当 m 为实数时,m (m

4=42+1=17,那

2)=__________.

5,有理数 a,b,c,d 在数轴上的对应点如图所示,则它们从小到大的顺序是 ____________________.

a+b =

;d +c =

;

cb =

;a d =

.

6,若正数 a 的倒数等于其本身,负数 b 的绝对值等于 3,且 c<a,c2=36, 代数式 2 (a-2b2)-5c 的值为_________ .
2 2000

7, 已知 a, 互为相反数, d 互为倒数, 的绝对值等于 2, x -(a+b+cd)x+(a+b) b c, x 则 的值为_________ . .

+(-cd)

2001

99 9 119 8,已知 p = 99 , Q = 90 , 则 P, Q 的大小关系为_________ 9 9

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9,若-3<x<1,化简:y=|x-1|+|x-2|+|x+3|=_________

. . . )

10,设 3x3-x=1,则 9x4+12x3-3x2-7x+2001 的值为_________

11,已知 a1+a2=1,a2+a3=2,a3+a4=3,…,a99+a100=99,a100+a1=100,那么 a1+a2+a3+…a100= 12,如果 4 个不同的正整数 m,n,p,q 满足(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4,那么 m+n+p+q=( 1898a2+99b2 =( 13,若 a 与(-b)是互为相反数, 1997ab ) .

14, x + 1 + x 2 的最小值为_________ ,此时, x 的取值范围为_________ . 15,已知实数 a, b, c 满足 1 < c < 0 < a < b, 且 b > c > a , 则 c 1 + a c a b 的值为 _________ . 16,计算 (1) 2002

1 1 1 1 1 1 2001 + 2000 1999 + + 2 1 . 2 2 2 2 2 2

(2)2-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 +2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(3)

1 1 3 1 3 5 1 3 97 + ( + ) + ( + + ) ++ ( + ++ ) 2 4 4 6 6 6 98 98 98

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(4)

1 × 2 × 3 + 2 × 4 × 6 + 7 × 14 × 21 1 × 3 × 5 + 2 × 6 × 10 + 7 × 21 × 35

(5)

2000 1990 + 1980 1970 + + 20 10 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) 2 3 4 998 999 1000

(6)

12 22 k2 99 2 + 2 ++ 2 ++ 2 12 100 + 5000 2 200 + 5000 k 100k + 5000 99 9900 + 5000

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17,有一个数列{an}是按以下规律组成的: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 , , , , , , , , , , , , , , , ,… 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 27 问: (1) 是数列中的第几项? 50 (2)第 200 项是哪个分数?

1 1 1 得到一个数,再加上所得的数的 又得到一个数,再加上这次得到的 又得 2 3 4 1 到一个数,… ,依次类推,一直加到上一次得数的 ,最后得到的数是多少? 2007
18,2007 加上它的

19,有一种"二十四点"的 游戏,其游戏规则是这样的:任取四个 1 至 13 之间的 自然数,将 这四个(每个数用且只用一次)进行加减四则运算与 4 × (1 + 2 + 3) 应视作相同方法的运算,现 有四个有理数 3,4,-6,10.运用上述规则写出三种不同方法的运算,使其结果等于 24,运算式: (1)_______________________; (2)________________________; (3)________________________;

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20,黑板上写有 1,2,3,…,1997,1998 这 1998 个自然数,对它们进行操作,每次操作规则 如下:擦掉写在黑板上的三个数后,再添写上所擦掉三个数之和的个位数字,例如:擦掉 5,13 和 1998 后,添加上 6;若再擦掉 6,6,38,添上 0,等等.如果经过 998 次操作后,发现黑板 上剩下两个数,一个是 25,求另一个数.

21,现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活中的一部分,有一种密码的明文(真 实文)按计算机键盘字母排列分列,其中 Q,W,E,…,N,M 这 26 个字母依次对应 1,2,3,…, 25,26 这 26 个正整数(见下表): Q 1 F 14 W 2 G 15 E 3 H 16 R 4 J 17 T 5 K 18 Y 6 L 19 U 7 Z 20 I 8 X 21 O 9 C 22 P 10 V 23 A 11 B 24 S 12 N 25 D 13 M 26

给出一个变换公式:

x ,(x 是正整数,1≤x≤26,x 被 3 整除); 3 x+2 x' = +17,(x 是正整数,1≤x≤26,x 被 3 除余 1); 3 x +1 x' = +8,(x 是正整数,1≤x≤26,x 被 3 除余 2). 3
x'= 将明文转换成密文,如:

4+2 +17=19,即 R 变为 L; 3 11 + 1 11→ +8=12,即 A 变为 S. 3
4→ 将密文转换成明文,如:21→3×(21-17) -2=10,即 X 变为 P; 13→3×(13-8) -1=14,即 D 变为 F.

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相信你已经读懂了吧,那么请解答下面各题: 相信你已经读懂了吧,那么请解答下面各题: ⑴按上述方法将明文 NOIC 译为密文; ⑵按上述方法将明文译成的密文为 FOR ,请找出它的明文.

22, (1)阅读下面材料: 点 A,B 在数轴上分别表示实数 a,b,A,B 两点之间的距离表示为∣AB∣.当 A,B 两点 中有一点在原点时,不妨设点 A 在原点,∣AB∣=∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣;当 A,B 两点都不 在原点时,点 A,B 都在原点的右边∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣; ① 点 A,B 都在原点的左边,∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣; ② 点 A,B 在原点的两边,∣AB∣=∣OB∣+∣OA∣=∣a∣+∣b∣= a +(-b)=∣a-b∣; (2)回答下列问题: ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_________,数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是 _________,数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是_______; ②数轴上表示 x 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是_____,如果∣AB∣=2,那么 x 为_ ___ ; ③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣取最小值时,相应的 x 的值是___________; ④此时代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣的值是_____________.

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