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2016届福建省四地六校高三上学期第二次联考(11月)数学文


2016 届福建省四地六校高三上学期第二次联考(11 月)数学文
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? y y ? 2 x , x ? 0 , N ? x x 2 ? 3x ? 0 ,则 M ? N 为( A. ?1,3? B. ?1,??? C. ?3,??? D. ?1,3? )
D.4

?

?

?

?



2.已知向量 a ? ?1, x? , b ? ?x,3? ,若 a 与 b 共线,则 a ? (

A. 2
A.2 2 B.2

B. 3
) C.2 3 D. 2 6

C.2

3.若 logm n ? ?1 ,则 3m ? 2n 的最小值是 (

4. 下列判断正确的是(



A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. “ sin ? ?

? 3 ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 3 2

D. 命题“ ?x ? R, 2x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2x0 ? 0 ”
?4 x 2 ? 2,?2 ? x ? 0, 5.设 f ?x ? 是定义在 R 上的周期为 3 的函数,当 x ? ?? 2,1? 时, f ? x ? ? ? ? x,0 ? x ? 1,

?5? 则 f ? ? =( ?2?
A.0


B. ? 1

C.

1 2

D.1

6.在 ?ABC 中, A. 75?

a b c ? ? ,则 ?ABC 中最大角是( cos A cos B sin C

) D. 105? )

B. 90?

C. 60?

7.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a3 ? a7 ? 4 ,则 log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 a9 ? (
A.9 B.18 C .81 D.7

?x ? 0 ? 8.设变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 x ,若目标函数 z ? x ? y 的最大值为 4,则 a 值为( ? x ? ay ? 7 ?
A.1 B .4 C.2 D. ? 2



9.已知双曲线的一个焦点与抛物线 x 2 ? 24y 的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为 30? ,则 该双曲线的标准方程为(
A. x y ? ?1 9 27
2 2 2


C. y2 x2 ? ?1 12 24
1

B.

y x2 ? ?1 9 27

D.

y2 x2 ? ?1 24 12

10.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 。点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则

PA? PB ? PC 等于(
A. ? 4 B. ? 2

?

?


C.4 D. ? 1

11.已知函数 f ?x? ? a sin x ? bx ? 4?a ? R, b ? R? , f ?x ? 为 f ?x ? 的导函数,则 ? ? f ?? 2015? ? f ' ?2015? ? f ' ?? 2015? ? ( ) f ?2015 A.0 B.2014 C.2015 D.8 12.已知 f ?x? ? m?x ? m??x ? m ? 2? , g ?x? ? 2 x ? 2 。若对任意 x ? R , f ?x ? ? 0 或 g ?x ? ? 0 ,
3 '

则 m 的取值范围是( ) A. ?? 3,0? B. ?? 3,???

C. ?? 3,0?

D. ?? ?,?3?

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知幂函数 y ? f ?x ?的图像过点 A?2,8? ,则 f ?3? 等于 14.抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A, B 到焦点的距离之和为 8,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 a ? a7 15.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 S n , S n?1 , S n?1 成等差数列,则 5 等于 a3 ? a5
?? 1 ? x ?? ? ,0 ? x ? 2 16.已知 f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? ?? 2 ? ,若 ?log x, x ? 2 ? 16

y ? f 2 ?x? ? af ?x ? ? a ? 1的零点个数为 7,则实数 a 的取值范围
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且满足 b cos A ? ?2c ? a ?cos?? ? B? (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ?

21 , ?ABC 的面积为

,求 a ? c 的值.

18. (本小题满分 12 分)已知递增的等差数列 ?an ? 的前三项和为 6,前三项的积为 6。 (Ⅰ)求等差数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 。记 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn

2

? ? A 19. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, cos 2 x)( A ? 0) ,函数 2 ? ? f ( x) ? m · n 的最大值为 6.

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移
? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来 12

? ?? 的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 ?0, ? 上的值域. ? 2?

20. (本小题满分 12 分)已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P?2,0? ,边 AB 所在的直线的方程 为 x ? y ? 2 ? 0 ,点 ?? 1,1? 在边 AD 所在的直线上。 (Ⅰ)求矩形 ABCD 的外接圆方程; (Ⅱ)已知直线 l : ?1 ? 2k ?x ? ?1 ? k ?y ? 5 ? 4k ? 0?k ? R?,求证:直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆相 交,并求最短弦长。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

(Ⅰ)若 x ? 3 是函数 f ?x ? 的极值点,求 a 的值并求函数 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 f ?x ? ? 3 恒成立,求 a 的取值范围。

1 2 x ? ?a ? 1?x ? a ln x ? 3 。 2

3

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 线 x ? y ? 2 ? 0 经过椭圆的右顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

x2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? y 2 ? 1 的离心率互为倒数,且直 与双曲线 a 2 b2 3

(Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点 列,求△ OMN 面积的取值范围.

,且直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率依次成等比数

4

“华安、连城、泉港、永安、漳平一中,龙海二中”六校联考

2015-2016 学年上学期第二次月考 高三数学(文科)试题参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 D 5 B 6 B 7 A 8 C 9 B 10 A 11 D 12 A

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.27; 14.3 ; 15.4 ; 16.

?5 ? ? ,2 ? ?4 ?
?????????2 分

17.解: (Ⅰ) sin B cos A ? 2 sin C (? cos B) ? sin A(? cos B)

? sin B cos A ? sin A cos B ? ?2 sin C cos B

sin( A ? B) ? ?2 sin C cos B
? cos B ? ? ?B ?
(Ⅱ) S ?

??????????3 分

1 2

0? B ??
??????????5 分

2? 3
? ac ? 4

1 1 3 ac sin B ? ac ? ? 3 2 2 2
?a ? c ? 5

??????????6 分 ???????8 分 ???????10 分

又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 2ac ? ac ? 21

? (a ? c) 2 ? 25

18.解: (Ⅰ)依题意得 ?an ? 的前三项为 a2 ? d , a2 , a2 ? d ,则
?3a 2 ? 6 ? ?a 2 (a 2 ? d )( a 2 ? d ) ? 6

?a 2 ? 2 ?? ?d ? 1或d ? ?1(舍)
????????6 分

? an ? 2 ? (n ? 2) ?1 ? n
(Ⅱ) S n ?
a1 ? a n 1? n ?n ? ?n 2 2

? bn ?

2 1 1 ? 2( ? ) n(n ? 1) n n ?1

???8 分 ?12 分

? Tn ? 2(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ? ? ??? ? ? 2(1 ? )? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

? 3 ? π? A ? 1 ? ? 19.解:(Ⅰ)f(x)= m · n = 3Asinxcosx+ cos2x=A? sin2x+ cos2x?=Asin?2x+ ?. 6? 2 2 ? ?2 ? 因为 A>0,由题意知,A=6.
π? ? (Ⅱ)由(1)f(x)=6sin?2x+ ?. 6? ?
5

??????6 分

π? π ? ? π? π? ? 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y=6sin?2?x+ ?+ ?=6sin?2x+ ?的图象;再将所 3? 12 ? ? ? 12? 6 ? 得图象上各点横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? 6 sin ? x ?

? ?

??

? 的图象. 3?
??????9 分

因此, g ?x ? ? 6 sin? x ? 故 g ?x ? 在 ?0,

? ?

??

? ? ? 5? ? ? ?? ? 因为 x ? ?0, ? ,所以 x ? ? ? , ? . 3? 3 ?3 6 ? ? 2?
??????12 分

? ?? ? 上的值域为 ?3,6? . ? 2?

20.解(Ⅰ)依题意得 AB ? AD

? k AD ? 1
?2 分 即 A(0,2) ??4 分

? AD 的方程 : y ? 1 ? x ? 1即y ? x ? 2

?x ? y ? 2 ? 0 联立得 ? ?x ? y ? 2 ? 0

?x ? 0 ?? ?y ? 2

矩形 ABCD 的外接圆以 P(2,0) 为圆心, AP ? 2 2 为半径的圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 8 ???6 分 (Ⅱ) l : ( x ? y ? 5) ? k ? ( y ? 2 x ? 4) ? 0

?x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 即线 l 过定点 M (3,2) ? ? ? ? y ? 2x ? 4 ? 0 ?y ? 2 又点 M (3,2) 在圆内,? 线 l 与圆相交
圆心 P 与定点 M 的距离 d ? 5

????8 分 ???10 分

? 最短弦长 ? 2 8 ? 5 ? 2 3
21.解:(Ⅰ)? f ' ( x) ? x ? (a ? 1) ?
? f ' (3) ? 3 ? (a ? 1) ?
'

??12 分
a x

a ?0 3

解得 a ? 3

??????3 分

3 x 2 ? 4 x ? 3 ( x ? 1)(x ? 3) f ( x) ? x ? 4 ? ? ? ( x ? 0) x x x

令 f ' ( x) ? 0

得 x ? 3或0 ? x ? 1 ;令 f ' ( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 3 ???6 分

? 函数 f ( x) 的单调递增区间为 (3,??) 和 (0,1)
函数 f ( x) 的单调递减区间为 (1,3)
1 (Ⅱ) f ( x) ? 3即 x 2 ? (a ? 1) x ? a ln x ? 0 2 1 设 h( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ln x 2

? h ' ( x) ? x ? (a ? 1) ?

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)(x ? a) ? ? x x x

???????8 分

当 a ? 0 时, x ? 1, h ' ( x) ? 0;0 ? x ? 1, h ' ( x) ? 0
6

? h( x) min ? h(1) ? ? 0 ? ?a ? 1 2

1 1 ? a ? 1 ? ?a ? 2 2 1 2

则a ? ?

???10 分 不符合题意 ????12 分

当 a ? 0 时, h(1) ? ? a ?

1 ?0 2

1? ? 综上可得 a 的值取范围是 ? ? ?,? ? 2? ?
22. (Ⅰ)∵双曲线的离心率为

2 3 c 3 ,所以椭圆的离心率 e ? ? , 3 a 2 又∵直线 x ? y ? 2 ? 0 经过椭圆的右顶点,
∴右顶点为 ?2,0? ,即 a ? 2 ∴c ? ??2 分 ??4 分

3, b ? 1

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆方程为 4

(Ⅱ)由题意可设直线 l 的方程为: y ? kx ? m ? (k ? 0, m ? 0), M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 )

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y 并整理得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4(m 2 ? 1) ? 0 ??5 分 2 ? ? y ?1 ?4
则 x1 ? x 2 ? ?
8km 4(m 2 ? 1) x x ? , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

于是 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 又直线 OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列

????? 6 分

?

y1 y 2 k 2 x1 x1 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 8k 2 m 2 ? ? ? k 2? ? ? ? ? m 2 ? 0 ????8 分 2 x1 x2 x1 x2 1 ? 4k
1 1 ?k ?? 4 2

由 m ? 0 得: k 2 ?

又由 ? ? 64k 2 m 2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m 2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 ,得: 0 ? m 2 ? 2 显然 m 2 ? 1 (否则: x1 x2 ? 0 ,则 x1 , x 2 中至少有一个为 0,直线 OM 、ON 中至少有一 个斜率不存在,与已知矛盾) 设原点 O 到直线 l 的距离为 d ,则 10 分

S ?OMN ?

1 1 m 1 MN d ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? m ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? (m 2 ? 1) 2 ? 1 2 2 1? k 2 2
?????12

? 故由 m 的取值范围可得 ?OMN 面积的取值范围为 (0,1)


7


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