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四川省自贡市2012届高三第一次诊断性考试(数学理)word版


四川省自贡市 2012 届高三第一次诊断性考试(数学理)

本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分,共 150 分。考试结束后,将答题卷和答 题卡一并交回,并分别密封装订,试题卷由学生自己保留。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他标号,不能答在试题卷上。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写一新的答案; 不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

(k=0,1,2,?,n)
2

球的表面积公式

S ? 4? R
V ? 4 3

其中 R 表示球的半径

球的体积公式 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 A={1,2},则满足 A ? B ? {1, 2, 3} 的集合的个数是 A.1 B.3 C.4 D.8 ( )

?R

3

?1 ? x , x ? R , f (x) ? ? 则 f ( f (1 ? i )) ? (1 ? i ) x , x ? R , 2.已知 等于





A. 3 ? i B.3
a ? 1

C.0

D.—3
x? a x ?1

3. “

4 ”是“对任意的正数 x,均有

”的





A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
{ a n }满 足 a 3 ? a13 ? a 8 ? 2, 则 { a n }

4.已知等差数列

的前 15 项和

S15

等于





-1-

A.60 5.已知

B.30

C.15

D.10
? ? ? 3 | a |, 则 co s ? a , b ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 0, 且 a与 c的 夹 角 为 6 0 , | b |?

等于 (



3

1

1

?

3 2
f (1 ? 2 ? x ) ? f (1) ?x

A. 2

B. 2

C.— 2 D.

f ( x ) ? 2 ln 3 x ? 8 x , 则 lim

6.已知函数

?x? 0

的值为





A.10 B.—10 C.—20 D.20 7.甲、乙两人喊拳,每人可以用手出 0,5,10 三种数字,每人则可喊 0,5,10,15,20 五种数字,当两人所出数字之和等于某人所喊时为胜,若甲喊 10,乙喊 15 时,则( ) A.甲胜的概率大 B.乙胜的概率大 C.甲、乙胜的概率一样大 D.不能确定
f ( x) ? 1 3 x ? a x ? ( a ? 1) x ? 1( a ? R , a ? 0 )
3 2 2

8.下列图像中,有且只有一个是函数
f '( x )

的导数

的图象,则 f ( ? 1) 的值为





y ? sin ( 2 x ?

?

9.已知函数
x? ?

) 3 ,下列结论正确的个数为





?
1 2 对称;

①图像关于

②函数在区间 [0, ? ] 上的最大值为 1;
? ? a ? (? , 0) 6 ③函数图像按向量 平移后所得图像关于原点对称。

A.0

B.1

C.2
x

D.3 ( )

10.已知函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ,则函数 y ? | f ( x ) | 的图像可能是

-2-

11.从 6 名学生中选出 4 人分别从事 A、B、C、D 四项不同的工作,若其中甲、乙两人不能 从事 A 种工作,则不同的选派方案共有 ( ) A.280 种 B.240 种 C.180 种 D.96 种
5 [ 2 ] ? 2, [ ] ? 1 * 4 表示不超过 x 的最大整数(如 ) ,对于给定的 n ? N ,定义

12.设
Cn ?
x

[x]

n ( n ? 1) ? ( n ? [ x ] ? 1) x ( x ? 1) ? ( x ? [ x ] ? 1)
16

, x ? [1, ? ? ), 则 当 x ? [

3 2

, 3)

时,函数

C8

x

的值域是





[

, 28]

[

16

, 56)

A. 3
( 4, 16 3 ]? ( 28 3

B. 3
, 2 8] ( 4, 28 3 ) ? [ 2 8, 5 6 )

C.

D.

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答,在试题卷上书写作答无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.若
C 23
3 n ?1

? C 23 ( n ? N ), 则 ( a ? b )
*

n ?6

n

的展开式中第 3 项的系数为



14.如图,已知线段 AB 的长度为 2,它的两个端点 在⊙O 的圆周上运动,则 A B ? A O =
??? ???? ?



15.

f (x)

1 1 f ( ) ? 1且 sin ? ? , 则 f ( 4 co s 2 ? ) 4 是以 4 为周期的奇函数, 2 =



16.在实数集 R 上定义一种运算“*” ,该运算具有性质: ①对任意 a , b ? R , a * b ? b * a ; ②对任意 a ? R , a * 0 ? a ; ③对任意 a , b , c ? R , ( a * b ) * c ? c * ( ab ) ? ( a * c ) ? ( b * c ) ? 2 c .

-3-

f (x) ? x *

1 x

( x ? 0)

则1 * 2 =

;函数

的最小值是



三、解答题:共 6 小题,满分 74 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知向量
?? ? ?? ? m ? ( 3 sin 2 x ? 2, co s x ), n ? (1, 2 co s x ), 设 函 数 f ( x ) ? m ? n .

(I)求 f ( x ) 的最小正周期与单调递增区间; (II)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A ) ? 4, b ? 1, ? A B C 的面
3

积 2 ,求 a 的值。 18. (本小题满分 12 分) 某中学在高二开设了 4 门选修课,每个学生必须且只需选修 1 门选修课,对于该年级的甲、 乙、丙 3 名学生。 (I)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (II)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (III)求某一选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望。

19. (本小题满分 12 分)
{ a n }满 足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? an 3an ? 1

已知数列 (I)求数列 (II)记
{a n }

的通项公式;
x? ?

S n ? a1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? a n a n ? 1 , 求 lim S n .

-4-

20. (本小题满分 12 分) 已知 a ? R , 求 函 数 f ( x ) ? (2 ? 3 a ) x ? 2 x ? a 在区间[0,1]上的最小值。
2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 是 定 义 在 [ ? e , 0) ? (0, e ] 上的奇函数,当 x ? (0, e ]时 , f ( x ) ? a x ? ln x . (I)求 f ( x ) 的解析式; (II)是否存在实数 a,使得当 x ? [ ? e , 0 )时 , f ( x ) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值, 如果不存在,说明理由。

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为[0, 且同时满足: 1], ①对于任意 x ? [0,1] , 总有 f ( x ) ? 3 ;
x ? 0, x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? 1, 则 有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 3. ② f (1) ? 4 ;③若 1

(I)求 f (0) 的值; (II)求函数 f ( x ) 的最大值;

-5-

(III)设数列

{ a n }的 前 n 项 和 为 S n , 满 足 a 1 ? 1, S n ? ?

1 2

( a n ? 3), n ? N

*



f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? f ( a n ) ?

3 2

lo g 3

27 an
2

.

求证:

四川省自贡市 2012 届高三第一次诊断性考

参考答案及评分意见 一、 选择题(每小题 5 分 共 60 分): (理科)CBABD CABDD BC (文科)CBDAB DACDB BC 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) (理)13. 6 ;14. 2;15.-1;16. 5;3. (文)13. 0 ;14. 2;15.-1; 16. n ? 2 三、解答题:共 6 个题,共 74 分。
f ( x ) ? m ?n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos
2

n ?1

.

x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?3

17.解:(Ⅰ)
T ?
?
2 [k? ?

???(3 分)

2? 2 =? ,
, k? ?

∴ f ( x ) 的最小正周期为
2 k? ?

???(4 分)
? x ? k? ?

?
2

? 2x ?

?
6



? 2 k? ?

?
3

?
6

,


?
3

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 (Ⅱ) f ( A ) =4 得
0? A??

, k? ?

?
6

], k ? Z

???(6 分)
sin( 2 A ?

2 sin( 2 A ?

?
6

)?3? 4

?
6

)?

1 2


?

2A ?

?
6

?

5? 6


1


3 2

,即 A= 3
3 2

???(8 分)

bc sin A ?

3

c ?

又2

∴ 4
a
2


2

c ? 2

????(10 分)
1 2 ? 3

? b ? c ? 2 bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ?
2

在△ABC 中由余弦定理有 ∴
a ? 3

????(12 分)

18.解:(Ⅰ)3 名学生选择了 3 门不同的选修课的概率:

-6-

P1 ?

A4 4
3

3

?

4?3? 2 4?4?4

?

3 8



???文(6 分)理(3 分)

(Ⅱ) 恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率:
P2 ? C 4 C 3 A2 4
3 2 2 2

?

2?3?3? 2 4?4?4

?

9 16

???文(12 分)理(6 分) ??(7 分)

(Ⅲ) 设某一选修课被这 3 名学生选择的人数为 ? ,则 ? =0,1,2,3
3
3 3

P( ? =0)= 4

?

27 64

C33

1

2

P( ? =1)= 4
9 64

3

?

27 64

3?C3

1

P( ? =2)= 4
? 的分布列是

3

?

C3

3

P( ? =3)= 4
?

3

?

1 64

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3 ??(11 分) 1
64

P
27 64 27 64 9 64 1 64 3 4

E? ? 0 ?

? 1?

? 2?

? 3?

?

????(12 分)
1 ? 1 an
1 ? 1 ? ( n ? 1) 3

a n ?1 ?

an 3a n ? 1

? 3

19.解:(Ⅰ) 由
1



a n ?1

????(3 分)
an ? 1 3n ? 2 ?

∴数列{ (6 分)

an

}是首项为 1, 公差为 3 的等差数列 ∴

an



a n a n ?1 ?

1 ( 3 n ? 2 )( 3 n ? 1)
1 7 1 7 1 10

? (

1 3n ? 2

?

1 3n ? 1

)?

1 3

(Ⅱ)
Sn ? 1 3


[( 1 ? 1 4 n 3n ? 1 )?( 1 4

???? 分) (9
)]

?

)?(

?

)?? ? (

1 3n ? 2 1

?

1 3n ? 1


1 (1 ?

1 3n ? 1

) ?

=3

???文(12 分)∴
a ? 2 3

lim S n ?

3 ???(12 分)

20.解:当 2 ? 3 a ? 0 ∴
f min ( x ) ? f (1) ? ? 4 3

f ( x) ? ?2 x ?

2 3



时,

在[0,1] 上递减

???(2 分)

-7-

当 2 ? 3a ? 0 即

a ?

2 3 时, f ( x ) 为二次函数 2 3 时,
f (x)

???(3 分)
x ? 1 2 ? 3 a ???(4 分)

若 2 ? 3a ? 0 即

a ?

的开口向上,其对称轴为
1 2 ? 3a )? 3a
2

当 2 ? 3a ? 1 即

a ?

1 3 1


? a ? 2

f m i n( x ) ? f (

? 2a ? 1

3a ? 2

???(6 分)

当 0 ? 2 ? 3a ? 1

即3
a ? 2 3 时,

3 时, f min ( x ) ? f (1) ? ? 2 a x ? 1

???(8 分)

若 2 ? 3a ? 0



f (x)

的开口向下,其对称轴为

2 ? 3a

??(9 分) ??(10 分)

f min ( x ) ? f (1) ? ? 2 a

f min

综上可得:

? 3a 2 ? 2 a ? 1 1 (a ? ) ? ? 3a ? 2 3 ( x) ? ? 1 ? ? 2a (a ? ) ? 3 ?

??(12 分)
f ( ? x ) ? ? ax ? ln( ? x )

(理)21.解:(Ⅰ)设 x ? ? ? e , 0 ?, 则 ? x ? ?0 , e ?



又 f ( x ) 为奇函数, f ( x ) =- f ( ? x ) ? ax ? ln( ? x )
? ax ? ln( ? x ), f (x) ? ? ? ax ? ln x ,

x ? ?? e , 0 ? x ? ?0 , e ?

∴ 函数 f ( x ) 的解析式为

????(4 分)

f '(x) ? a ?

1 x 1 x

(Ⅱ) 假设存在实数 a 符合题意,先求导
a ? ? 1 e ,由于

① 当 ∴

x ? ?? e , 0 ?

f `( x ) ? a ?

? 0

,则

f ( x ) ? ax ? ln( ? x )

是 ?? e , 0 ? 上的增函数,
a ? ? 4 e 1 x ? ? 1 e



f min ( x ) ? f ( ? e ) ? ? ae ? 1 ? 3



(舍去) ??(8 分)

a ? ?

1 e 时

?e ? x ?

1 a

② 当

?

f `( x ) ? a ?

? 0

-8-

1 a

? x ? 0

?

f '(x) ? a ?

1 x

? 0

1? ? ?? e, a ? l ( ? 上递减, , f ( x ) ? ax ? n ? x ) 在 ? 则

?1 ? ? a ,0 ? ? 上递增,∴ 在?

1 1 f min ( x ) ? f ( ) ? 1 ? ln( ? ) ? 3 a a

解得

a ? ?e

2

2 综合①、②可知存在实数 a ? ? e 使得当 x ? ?? e , 0 ? 时, f ( x ) 有最小值 3.

???(12 分) ???(1 分)

(文)21.解:(Ⅰ) f ' ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b
2



f (x)



x ?1

处有极值 10
? a ? 4 ? b ? ? 11 解得 ?
2



?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ? ? 3 ? 2a ? b ? 0

?a ? ?3 ? ? b ? 3

???(3 分)

当 a ? 4 , b ? ? 11 时, f ' ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 11 ,其中 ? ? 0 ,所以函数有极值点,??(4 分) 当 a ? ? 3 , b ? 3 时, f ' ( x ) ? 3 ( x ? 1) ? 0 , 所以函数无极值点,
2

?? (5 分)

∴ (Ⅱ)

b 的值为-11

??(6 分) 对任意 a ? ?? 4 , ? ? ? , x ? ?0 , 2 ? 都成立 ??(7 分)

f ' ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ? 0
2 2

则 F ( a ) ? 2 xa ? 3 x ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4 , ? ? ? , x ? ?0 , 2 ? 都成立 ∵ ∴ (9 分)
b ? ( ? 3 x ? 8 x ) max
2

x ? 0

∴ F ( a ) 在 a ? ?? 4 , ? ? ? 上单调递增或为常函数 = F ( ? 4 ) ? ? 8 x ? 3 x ? b ? 0 对任意 x ? ?0 , 2 ? 恒成立
2

F ( a ) min

??

? 3 x ? 8 x ? ? 3( x ?
2

4 3

) ?
2

16 3

?

16 3


x ? 4 3

,又



时取得最大值
2

??(11 分)

? 16 ? ? 3 ,? ? ? ? ∴ b 的取值范围 ?

??(12 分)

另解(Ⅱ) f ' ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4 , ? ? ? , x ? ?0 , 2 ? 都成立
2 b ? ( ? 3 x ? 2 ax ) max 即 b ? ? 3 x ? 2 ax 对任意 a ? ?? 4 , ? ? ? , x ? ?0 , 2 ? 都成立,即 ??(8

2

分)
F ( x ) ? ? 3 x ? 2 ax ? ? 3 ( x ?
2

a 3

) ?
2

a

2



3

F ( x ) max ? F ( 0 ) ? 0 当a ? 0 时 ,∴ b ? 0 ?(9

-9-

分)
F ( x ) max ? a
2

当- 4 ? a ? 0 时, 分)

b ?

a

2

(

a

2

3 ∴

3 ??(10 分)又

3

) max ?

16 3 ∴

b ?

16 3 ?(11

? 16 ? ? 3 ,? ? ? ? 综上可知 b 的取值范围是 ?

??(12 分)
f (0) ? 3

22.解:(Ⅰ) 令 x 1 ? x 2 ? 0 又对任意 分)

则有 f ( 0 ) ? 2 f ( 0 ) ? 3 ,即 总有 f ( x ) ? 3 ∴

x ? ?0 ,1?

f (0) ? 3

???? (3

(Ⅱ) 任取 x 1 、 x 2 ? ?0 ,1? , x 1 ? x 2

f ( x 2 ) ? f [ x 1 ? ( x 2 ? x 1 )]

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? 3

∵ 0 ? x 2 ? x 1 ? 1 ∴ f ( x 2 ? x 1 ) ? 3 ∴ f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? 3 ? 3 ? f ( x 1 ) ,即 f ( x ) 在 [0,1] 上递 增. ∴ 当 x ? ?0 ,1? 时, f ( x ) ? f (1) ? 4
a n ? S n ? S n ?1 ? ? 1 2

∴ f ( x ) 的最大值为 4
( a n ? 3) ? 1 2 ( a n ?1 ? 3 )

????(6 分)
an ? 1 3

(Ⅲ) 当 n ? 1 时,

,∴
? 3 1

a n ?1

??(7 分)

an ?a ? ∴ 数列 n 是以 1 为首项,公比为 3 的等比数列,∴ f (1) ? f [ 3
n ?1

1

n ?1

??(8 分)

? 3

1
n ?1

]


1 3
n ?1

f[ 3

1
n ?1

? (3

n ?1

? 1) ?

]

?

f( 3

1
n ?1

) ? f [( 3

n ?1

? 1) ? 3

1
n ?1

]?3

?

?

即 4?

3

n ?1

f( 3

1
n ?1

)?3 ?3
n

????(10 分)
? 3? 3 1
n ?1

f(

1 3
n ?1

)?

3 ?1
n



3

n ?1

,即

f (a n ) ? 3 ?

1 3
n ?1

????(11 分)
1 3
n ?1



f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? f ( a n ) ? (3 ?

1 3
1 ?1

) ? (3 ? 3

1
2 ?1

) ? ? ? (3 ?

)

- 10 -

1 n 1 ? [1 ? ( ) ] 3 1 3 3 3n ? ? 3n ? ? ? 3n ? n ?1 1 2 2?3 2 1? 3 = ???(文)14 分??(13 分)
3 27
3

log



2

a

2 n

?

3 2

log 3 ( 3 ? 3
3

2n?2

) ?

3 2

( 2 n ? 1) ? 3 n ?

3 2

∴原不等式成立 ??(14 分)

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- 11 -

- 12 -

- 13 -



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