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10 第一节 多元函数的基本概念


第六章

多元函数微分学
推广

一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 注意: 善于类比 区别异同

第一节 多元函数的基本概念
一、 Rn 空间的有关概念 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性

一、 Rn 空间的有关概念
1、n维空间 — Rn 、 维空间
表示n元有序实数组 元有序实数组(x ???, 的全体构成的集合 的全体构成的集合. 用Rn表示 元有序实数组 1, x2,??? xn)的全体构成的集合 ??? 即 Rn={ (x1, x2,??? xn)| xk∈R , k =1,2,??? n }. ???, ???, ??? ??? 定义了线性运算的集合 Rn 称为 n 维(实)空间 空间. 实 空间 ???, 中的一个点或n维向量 维向量, 元素 x = (x1, x2,??? xn) 称为 Rn中的一个点或 维向量 ??? 个分量. 数 xk 称为 x 的第 k 个坐标或第 k 个分量 0= (0,0,…,0) 称为 n的坐标原点 称为R 的坐标原点.

说明:设x =(x1, x2??? xn), y =(y1, y2??? yn)∈Rn , λ, ?∈R. 说明: ???, ???, ∈ 1) Rn 中x与y的线性运算 λx + ?y 定义为 定义为: 与 的线性运算

λ x+? y =(λ x1+? y1, λ x2+? y2, ??? λ xn+? yn). ???,
2) Rn 中两点 x 与 y 之间距离为: 之间距离为

|| x ? y || = ( y1 ? x1 )2 + ( y2 ? x2 )2 + L + ( yn ? xn )2 .
当 n=1,2,3时, 分别为数轴、平面、空间两点间的距离. 时 分别为数轴、平面、空间两点间的距离. ? → 3) 设 a =(a1,a2??? n) 为 Rn中的定元 若 ||x?a||→0, ???,a 中的定元, 则称变元 x 在 Rn中趋于定元 a , 记为 x → a . x → a 的充要条件是 xk→ ak ( k=1,2,…,n) .

2、平面的有关概念 、
平面上的一个点, 是 平面上的一个点 1) 邻域 设P0(x0, y0)是xoy平面上的一个点 δ是某一 正数, 与点P 的全体, 正数 与点 0(x0, y0)距离小于 δ 的点 距离小于 的点P(x, y)的全体 的全体 称为点P 邻域, 记为U(P0, δ ), 称为点 0的 δ 邻域 记为

U ( P0 , δ ) = { P | PP0 |< δ }
= {( x , y ) | ( x ? x0 )2 + ( y ? y0 )2 < δ }. 圆邻域) (圆邻域)
P0点的去心δ邻域 记为 U ( P0 , δ ) 点的去心δ邻域,
。 。

δ

?

P0

U ( P0 , δ ) = { P 0 <| PP0 |< δ } = {( x , y ) | 0 < ( x ? x0 )2 + ( y ? y0 )2 < δ }.

说明: 也可写成U(P0). 说明:若不需要强调邻域半径δ ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为

0 < PP < δ 0

2) 内点、边界点和聚点 内点、
设点集E? 设点集 ? R2, 点P ∈R2 . 1) 若存在点 P 的一个邻域 的一个邻域U(P,δ) ?Ε , 的内点属于E. 则称点P为 的内点. 显然E的内点属于 则称点 为E的内点 显然 的内点属于
?P

?P

E

的某邻域U(P)∩E = ?,则称 为E 的外点 则称P 的外点. 若存在点 P 的某邻域 则称 2) 若在点 P 的任一邻域内都既有 的内点也有 的外点 任一邻域内都既有 的内点也有E的外点 邻域内都既有E的内点也有 的外点, 则称 P 为 E 的边界点 . E 的边界点的全体称为 的边界 记作?E. 的边界点的全体称为E 边界, 记作? 3) 若对任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域 U ( P0 , δ ) 内总有 聚点. E 中的点 则称点 P 是 E 的聚点 中的点, ( 聚点可以属于 E, 也可以不属于 ) 也可以不属于E 说明: 内点一定是聚点; 边界点可能是聚点; 说明: a) 内点一定是聚点; b) 边界点可能是聚点;


3) 开集与闭集

设点集 E ? R2

中每一点都是内点, 中的开集 开集. 若 E 中每一点都是内点 则称 E 是R2中的开集 的余集E 中的开集, 若E的余集 c是R2中的开集 则称 E是R2中的闭集 的余集 是 中的闭集. (若?E ? E , 则称 E 为闭集 若 为闭集) 即为开集. E1 = {( x , y ) 1 < x 2 + y 2 < 4} 即为开集. 例如 即为闭集. E 2 = {( x , y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} 即为闭集.
而 E3 = {( x , y ) 1 ≤ x 2 + y 2 < 4} 既非开集也非闭集 既非开集也非闭集.

4) 有界集与无界集
对于点集 E , 若存在正数 K , 使一切点 P ∈ E 与某一定点 A 间的距离 | AP | 不超过 K , 即 | AP |≤ K 对一切 P ∈ E 成立 , 则称 E 为有界点集 , 否则 E 称为无界点集 .
是有界点集; 例如 {( x , y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} 是有界点集;

{( x , y ) | x + y > 0} 是无界点集. 是无界点集.

5) 区域、闭区域 区域、
设非空点集D 设非空点集 ? R2, 若 D 中任意两点都可用 一完全属于 D 的折线相连 ,则称 D 是连通的. 连通的 连通的开集称为开区域 简称区域 连通的开集称为开区域 , 简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 闭区域 例如 {( x , y ) | 1 < x 2 + y 2 < 4 }.
o
1

?

?

y
2

x

{( x , y ) | x + y > 0 } {( x , y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4}.
{( x , y ) | x + y ≥ 0}

开区域

y

闭区域

o

x

3、 n维空间 n中邻域、区域等概念 、 维空间 中邻域、 维空间R
邻域: 邻域: U ( P0 , δ ) = { P | PP0 |< δ , P ∈ R n } 空间中, 在R3空间中

U( P ,δ ) = {(x, y, z) 0
(球邻域) 球邻域) 内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义. 内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义.

}

二、多元函数的概念
引例 1) 圆柱体的体积

r
h

2) 定量理想气体的压强. 定量理想气体的压强.

设非空点集D 定义 设非空点集 ? Rn, 映射f 映射 : D →R称为定义在 D 上的 n 元函数 , 称为定义在 记作 称为函数的定义域 点集 D 称为函数的定义域 ; 称为函数的值域 数集 {u u = f ( P) ,P∈D} 称为函数的值域 . 多元函数中也有自变量、因变量等概念. 多元函数中也有自变量、因变量等概念 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数

多元函数由对应法则 和定义域D 两要素确定。 多元函数由对应法则 f 和定义域 两要素确定。 规定 多元函数的自然定义域是使算式所表达的函数 有意义的x … 所对应的点P(x … 有意义的 1,…, xn所对应的点 1,…, xn)的全体 . 的全体 例如 1. 二元函数 z = 1? x ? y
2 2

z

定义域为圆域 { (x, y) x + y ≤ 1}. 定义域为圆域
2 2

o
x

图形为中心在原点的上半球面. 图形为中心在原点的上半球面. 2. 三元函数 u = arcsin( x + y + z )
2 2 2

1 y

定义域为单位闭球 定义域为单位闭球

二元函数的几何意义: 二元函数的几何意义:
空间点集 {(x, y, z)| z =f (x, y), (x, y) ∈D}称为二元函 称为二元函 数的图形, 数的图形 一般为空间曲面 Σ .

的定义域. 例1 (1) 求 f ( x , y ) = ln( x + y ) 的定义域.

D = {( x , y ) | x + y > 0}.
1 (2) 求 f ( x , y ) = 的定义域. 的定义域. ln( x + y ) D = {( x , y ) | x + y > 0, 且 x + y ≠ 1}.
1 (3) 求 f ( x , y ) = 的定义域. 的定义域. ln( x + y ) D = {( x , y ) | x + y > 1}.

arcsin( 3 ? x ? y ) 的定义域. 例2 求 f ( x , y ) = 的定义域. 2 x? y
2 2



?| 3 ? x 2 ? y 2 |≤ 1 ? 2 ?x ? y > 0

?2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ? ? 2 ?x > y
所求定义域为 D = {( x , y ) | 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x > y 2 }.

例3 求函数的定义域 (r < R). .
u( x , y , z ) = 1 x + y +z ?r + R2 ? x 2 ? y 2 ? z 2
2 2 2 2

D = {( x , y , z ) | r 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 < R 2 }.

? xy ? 2 例4 设 f ( x , y ) = ? x + y 2 ?0 ?

1 1 x2 + y2 ≠ 0 , 求 f ( , ). x y 2 2 x + y =0 1 1 xy f( , )= 2 . 2 x y x +y

二元函数也有复合函数
例5 已知 f ( xy , x + y ) = x + y , 求 f ( x , y ) . f ( x, y) = y 2 ? 2 x.
2 2

例6

y f ( , x + y ) = x 2 + y 2 , 求 f ( x , y ). 已知 x

(1 + x 2 ) y 2 f ( x, y) = . 2 (1 + x )

1 例7 设 F ( x , y ) = f ( x ? y ) , F (1, y ) = y 2 ? 2 y , 求f ( x ) . x 2 f ( x ) = x ? 1.

多元函数也有单值性与多值性的概念. 多元函数也有单值性与多值性的概念. 例如 x + y + z = R
2 2 2 2

( D = {( x , y ) x 2 + y 2 ≤ R 2 })

z = R2 ? x 2 ? y 2 , 或 z = ? R2 ? x 2 ? y 2 . 单值分支

一元函数的单调性、 奇偶性、 周期性等性质的定义 一元函数的单调性 、 奇偶性 、 在多元函数中不再适用. 在多元函数中不再适用. 有界性的定义仍适用:设有n元函数 元函数y=f(x),其定义 但有界性的定义仍适用:设有 元函数 其定义 域为D? 集合 集合X? . 若垂存在正数M,使对 ∈ , 使对? 域为 ?Rn,集合 ?D. 若垂存在正数 使对 ? x∈X, 则称f(x)在 X上有界 称为 上有界,M称为 有 |f(x)|≤M,则称 ≤ 则称 在 上有界 称为f(x)在 X上的一 在 上的一 个界. 个界.

三、多元函数的极限
定义 设二元函数 f ( P ) = f ( x , y )的定义域为 D, , P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点,若对 ?ε > 0, ?δ > 0,只要点 是其聚点, 成立, 都有| f ( x , y ) ? A |< ε 成立,则称 A 为函数 f ( x , y ) 当 P ( x , y )(在 D 上)趋于 P ( x0 , y0 ) 时的极限,记为 时的极限 极限, lim f ( x , y ) = A lim f ( x, y) = A 或
P → P0 ( x , y )→ ( x 0 , y 0 )

P∈{(x, y) | 0 < (x ? x0)2 +( y ? y0)2 < δ }. P ∈ D I U ( P0 , δ ) ,

o

或者

f ( P ) → A ( P → P0 ), f ( x , y ) → A ( ( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ) . 说明: 的方式是任意的; 说明:(1) 定义中 P → P0 的方式是任意的;

(2) 二元函数的极限也叫二重极限 二元函数的极限也叫二重极限.

xy f (x, y) = 2 (x2 + y2 ≠ 0) 例1 设 x + y2
证明: 证明: lim 证
( x, y)→ 0,0) (

f (x, y) = 0.

当0 < x2 + y2 < δ时 , = ∴ ?ε > 0, ?δ= 2ε,
总有 故有
( x, y)→ 0,0) (

1 2 x + y2 ≤ 2

lim

f (x, y) = 0.

以不同方式趋于P 若当点 P(x, y) 以不同方式趋于 0 (x0, y0) 时,函数趋于不 函数趋于不 则可以断定函数极限不存在. 同值或有的极限不存在 , 则可以断定函数极限不存在.
? xy ? x2 + y2 例2 设 f ( x , y ) = ? ?0 ? x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0,

证明: )→( 不存在. 证明 ( x , ylim0 , 0 ) f ( x , y ) 不存在. 解 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有 k kx2 , lim f (x, y) = lim 2 2 2 = 2 x→ x + k x 0 x→ 0 1+ k
y=kx

k 值不同极限不同 , 故
( x, y)→ 0,0) (

lim

f (x, y) 不存在 不存在.

确定极限不存在的方法: 确定极限不存在的方法: 不存在的方法
[方法一 点P(x, y)沿某条特殊路径趋向于 0(x0, y0), 方法一] 沿某条特殊路径趋向于 方法一 沿某条特殊路径趋向于P 若极限值不存在, 则可断言极限不存在. 若极限值不存在 则可断言极限不存在 [方法二 [方法二] 点P(x, y)沿不同路径趋向于P0(x0, y0), 若 方法二] y)沿不同路径趋向于P 沿不同路径趋向于 极限值存在但不相等, 则可断言极限不存在. 极限值存在但不相等 则可断言极限不存在 趋向于P 点P(x, y)沿某些特殊路径 (如 y = kx ) 趋向于 0(x0, y0), 沿某些特殊路径 如 若极限值与k有关 则可断言极限不存在. 有关, 若极限值与 有关 则可断言极限不存在

从极限定义可知, 从极限定义可知 多元函数的极限与一元函数极限 相同, 二元函数的极限运算法则与一元函数类似. 相同 二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
sin xy sin xy ; ( 2) lim . 例3 求 (1) ( x , ylim2 , 0 ) )→ ( ( x , y )→ ( 0 , 0 ) y y

例4 例5



( x , y )→ ( 0 , 0 )

lim

1 + xy ? 1 . xy

x+ y lim . 求 ( x , y )→( +∞ , +∞ ) 2 2 x +y

四、多元函数的连续性
定义 设 n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D, P0 是其 聚点且 P0 ∈ D , 若 lim f ( P ) = f ( P0 ) 则称 n 元函数
P → P0

f (P ) 在点 P0 处连续. P0 称为函数 f (P ) 的连续点. 连续. 连续点.
的定义域的聚点, 设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点 如果 f (P ) 在点 P0 处不连续 则称 P0 是函数 f (P ) 的间断点 处不连续, 间断点.

若函数在D上各点处都连续,则称此函数在 上连续 上连续. 若函数在 上各点处都连续,则称此函数在D上连续. 上各点处都连续

例1

? xy , x2 + y2 ≠ 0 ? x2 + y2 函数 f ( x , y ) = ? ?0, x2 + y2 = 0 ?

在点(0,0)极限不存在 故函数在点 极限不存在, 故函数在点(0,0)处不连续. 处不连续. 在点 极限不存在 处不连续 点(0,0)为其间断点. 为其间断点. 为其间断点 例2 函数 上间断. 在 {(x, y) | x2 + y2 = 1}上间断

由多元函数极限的四则运算可得多元函数的 四则运算连续性及复合函数的连续性. 四则运算连续性及复合函数的连续性 多元基本初等函数: 多元基本初等函数:C , x ? , y ? , a x , a y , log a x ,

log a y , sin x , sin y ,L , arcsin x , arcsin y ,L
这些函数看作多元函数, 叫做多元基本初等函数 多元基本初等函数. 这些函数看作多元函数 叫做多元基本初等函数 多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数经 多元初等函数: 过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一 个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 多元初等函数. 个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.

一般地 , 求 lim f ( P ) 时 , 如果 f ( P ) 是初等函数 ,
P → P0

P0 是 f ( P ) 的定义域的内点 , 则 f ( P ) 在点 P0 处 连续 , 则有 lim f ( P ) = f ( P0 ).
P → P0

lim 例 3 求 ( x , y )→ ( 1 , 3 )

1 + xy ? 1 xy



1+ 3 ?1 1 原式 = = . 3 3

闭区域上连续函数的性质 与一元函数类似) 闭区域上连续函数的性质(与一元函数类似 (1) 有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数在 上必有界 有界闭区域 上的多元连续函数在D上必有界. 上的多元连续函数在 上必有界. (2) 最大值和最小值定理 有界闭区域D上的多元连续函数在 上存在最大值 有界闭区域 上的多元连续函数在D上存在最大值 上的多元连续函数在 和最小值. 和最小值. (3) 介值定理 有界闭区域D上的多元连续函数 如果在D上取得 有界闭区域 上的多元连续函数, 如果在 上取得 上的多元连续函数 两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值之 两个不同的函数值 则它在 上取得介于这两值之 间的任何值至少一次. 间的任何值至少一次.

五、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
(注意趋近方式的任意性) 注意趋近方式的任意性 注意趋近方式的任意性

多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质

思考题 若点 ( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时,函数 f ( x , y )都趋向于 A,能否断定 ,
( x , y )→ ( x0 , y 0 )

lim

f ( x, y ) = A?



x3 y2 例 f ( x , y ) = 2 4 2 , ( x , y ) → ( 0,0 ) (x + y )

不能. 不能

x3 ? k 2 x2 y = kx , f ( x , kx ) = 2 4 4 2 ?x →0→ 0 ? ? 若取 ( x +k x ) y6 y2 1 y→0 若取 x = y2, f ( y 2 , y ) = ?? → . ? 4 4 2 4 (y +y ) 不存在. 故 lim f ( x , y ) 不存在
( x , y )→ ( 0 , 0 )


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