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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(18)


加试模拟训练题(18) 1 、圆 S1 , S 2 , S3 均与圆 S 外切,切点分别为 A1 , B1 , C1 , 并且它们还分别与 ?ABC 的两 条边相切,证明 AA1 , BB1 , CC1 三线共点。 2、已知 a, b, c ? (0, ? ?) ,且 abc ? 1 , 证明: (a ? b)(b ? c)(c ? a ) ? 4(a ? b ? c ? 1

). 3、 某个团体有 n 个成员(n≥5),并且有 n+1 个三人委员会,其中没有两个委员会有 完全相同的成员.证明:有两个委员会恰好有一个成员相同. 4.证明:对于任意正整数 n ,数 12005 ? 22005 ? ? ? n 2005 不能被 n ? 2 整除。 加试模拟训练题(18) 1、圆 S1 , S 2 , S3 均与圆 S 外切,切点分别为 A1 , B1 , C1 ,并且它们还分别与 ?ABC 的两 条边相切,证明 AA1 , BB1 , CC1 三线共点。 (20 届全俄) 证明 设 ?ABC 的内切圆的圆心为 I ,半径为 R , ? r ? H ? A, 1 ? ? R? ? r? H ? A1 , ? ? r1 ? ? S , S1 , S 2 , S3 的半径分别为 PS r ? , PI R r , r1 , r2 , r3 ,则 I ???? ? S1 ???? ? S 。设 P 为 SI 上的一点,且满足 则 r? ? H ? P ,? ? R? ? I ???? ? S, 从而有 A, A1 , P 在一条直线上。 同理 B, B1 , P 与 C , C1 , P 均三点共线, 即 AA1 , BB1 , CC1 三线共点。 2、已知 a, b, c ? (0, ? ?) ,且 abc ? 1 , 证明: (a ? b)(b ? c)(c ? a ) ? 4(a ? b ? c ? 1). 证明:不妨设 a ? 1 ,①式等价于 a 2 (b ? c) ? b 2 (a ? c) ? c 2 (a ? b) ? 6 ? 4(a ? b ? c), 即 (a ? 1)(b ? c) ? (b ? 1)(a ? c) ? (c ? 1)(a ? b) ? 6 ? 4a ? 3(b ? c). 因 2 2 2 (a ? 1)(b ? c) ? 4 abc ? 4 ,只须证明: 4(a ? 1) ? b 2 (a ? c) ? c 2 (a ? b) ? 6 ? 4a ? 3(b ? c), 即证: 2 ? a (b ? c ) ? (3 ? bc)(b ? c) ? 0 2 2 ② 因 2(b ? c ) ? (b ? c) , 对于②式,只须证明: 2 2 2 a (b ? c) 2 ? (3 ? bc)(b ? c) ? 0. 2 2 ③ 把③左边看作 b ? c 的二次函数,判别式 ? ? (3 ? bc) ? 4a. 即证 (3 ? bc) ? 4a ? 0 ,即证: (3 ? 2 3 2 1 2 ) ? 4a. a 2 即 4a ? 9a ? 6a ? 1 ? 0, 分解因式可得 (a ? 1) (4a ? 1) ? 0 , 此不等式显然成立. 所以③式成立,即原不等式成立. 3、 某个团体有 n 个成员(n≥5),并且有 n+1 个三人委员会,其中没有两个委员会有 完全相同的成员.证明:有两个委员会恰好有一个成员相同. 【题说】 第八届(1979 年)美国数学奥林匹克题 5. 【证

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