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2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第1讲任意角蝗制及任意角的三角函数理


第四章

三角函数、解三角形

第 1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题 1.sin 2cos 3tan 4 的值( A.小于 0 ). C.等于 0 D.不存在

B.大于 0

解析 ∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2cos 3tan 4<0. 答案 A 5π 3π 2.已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ ∈[0,2π ),则 θ 是第________ 4 4 象限角.( A.一 C.三 解析 因 P 点坐标为(- 答案 C 3.若一扇形的圆心角为 72°,半径为 20 cm,则扇形的面积为 A.40π cm
2

) B.二 D.四 2 2 ,- ),∴P 在第三象限. 2 2

( D.80cm
2

).

B.80π cm

2

C.40cm

2

2π 1 2 1 2π 2 2 解析 72°= ,∴S 扇形= α R = × ×20 =80π (cm ). 5 2 2 5 答案 B 4.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关; ④若 sin α =sin β ,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ <0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ).

解析 由于第一象限角 370°不小于第二象限角 100°, 故①错; 当三角形的内角为 90° 时, 其既不是第一象限角, 也不是第二象限角, 故②错; ③正确; 由于 sin π 5π =sin , 6 6

π 5π 但 与 的终边不相同,故④错;当 θ =π ,cos θ =-1<0 时既不是第二象限角,又 6 6

1

不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A 5.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点, 2 5 且 sin θ =- ,则 y= 5 A.-8 B.8 C.-4 D.4 ( ).

解析 根据题意 sin θ =-

2 5 <0 及 P(4,y)是角 θ 终边上一点,可知 θ 为第四象限 5 2 5 =- ,又∵y<0,∴y=-8(合题意),y=8(舍 5 4 +y
2 2

角.再由三角函数的定义得, 去).综上知 y=-8. 答案 A

y

2π 2 2 6.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标 3 为( ). B.?- D.?-

3? ? 1 A.?- , ? ? 2 2? 3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2

? ? ? ?

3 1? ,- ? 2 2? 3 1? , ? 2 2?

解析 设 α =∠POQ,由三角函数定义可知,Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos α ,

y=sin α ,∴x=- ,y=
答案 A

1 2

3 3? ? 1 ,∴Q 点的坐标为?- , ?. 2 2 2 ? ?

二、填空题 3π ? ? 3π 7.若 β 的终边所在直线经过点 P?cos ,sin ?,则 sin β =________, 4 4 ? ? tan β =________. 3π ? ? 3π 解析 因为 β 的终边所在直线经过点 P?cos ,sin ?,所以 β 的终边所在直线为 4 4 ? ?

y=-x,则 β 在第二或第四象限.
所以 sin β = 答案 2 2 或- ,tan β =-1. 2 2 -1

2 2 或- 2 2

8.已知点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则角 α 的终边在第______象限.

2

解析 ∵点 P(tan α ,cos α )在第三象限,∴tan α <0,cos α <0. ∴角 α 在第二象限. 答案 二 9.设扇形的周长为 8 cm,面积为 4 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是________. 1 2 解析 由题意得 S= (8-2r)r=4,整理得 r -4r+4=0,解得 r=2.又 l=4,故|α | 2 = =2(rad). 答案 2 10.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 解析 1 ∵2cos x-1≥0,∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示). π π? ? ∴x∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3? ? π π? ? 答案 ?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 3 3? ? 三、解答题 11. (1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤α <720° 的元素 α 写出来: ①60°;②-21°. (2) 试 写 出 终 边 在 直 线 y = - 3 x 上 的 角 的 集 合 S , 并 把 S 中 适 合 不 等 式 - 180°≤α <180°的元素 α 写出来. 解 (1)①S={α |α =60°+k·360°,k∈Z},其中适合不等式-360°≤α <720°的 元素 α 为-300°,60°,420°; ②S={α |α =-21°+k·360°,k∈Z},其中适合不等式-360°≤α <720°的元素 α 为-21°,339°,699°. (2)终边在 y=- 3x 上的角的集合是 S={α |α =k·360°+120°,k∈Z}∪{α |α =
2

l r

k·360°+300°, k ∈ Z} = {α |α = k·180°+120°, k ∈ Z} ,其中适合不等式-
180°≤α <180°的元素 α 为-60°,120°. tan?-3? 12.(1)确定 的符号; cos8·tan5 (2)已知 α ∈(0,π ),且 sinα +cosα =m(0<m<1),试判断式子 sinα -cosα 的符 号.

3

解析 (1)∵-3,5,8 分别是第三、第四、第二象限角, ∴tan(-3)>0,tan5<0,cos8<0,

∴原式大于 0. π (2)若 0<α < ,则如图所示,在单位圆中,OM=cosα ,MP=sinα , 2 ∴sinα +cosα =MP+OM>OP=1. π 若 α = ,则 sinα +cosα =1. 2

?π ? 由已知 0<m<1,故 α ∈? ,π ?. ?2 ?
于是有 sinα -cosα >0. 13.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4, ∴圆心角 α = =2. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 rad. ∴AH=1·sin 1=sin 1 (cm),∴AB=2sin 1 (cm). 14. 如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C
? ?r=1, ?l=2. ?
2

解得?

l r

?3 4? 是圆与 x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为? , ?,△AOB 为正 ?5 5?
三角形. (1)求 sin∠COA;(2)求 cos∠COB. 4 解 (1)根据三角函数定义可知 sin∠COA= . 5 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60°, 4 3 又 sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60°) =cos∠COAcos 60°-sin∠COAsin 60°

4

3 1 4 3 3-4 3 = · - · = . 5 2 5 2 10

5



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