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2016年高考文数热点题型和提分秘籍 专题26 一元二次不等式及其解法



【高频考点解读】 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系; 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 【热点题型】 题型一 一元二次不等式的解法

例 1、求下列不等式的解集: (1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0. 解 (1)因为 Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,

所以方程-x2+8x-3=0 有两个不相等的实根 x1=4- 13,x2=4+ 13. 又二次函数 y=-x2+8x-3 的图象开口向下, 所以原不等式的解集为{x|4- 13<x<4+ 13}.

1 当 a=0 时,解集为{x|x>1};当 0<a<1 时,解集为{x|1<x<a};当 a=1 时,解集为?;当 1 a>1 时,解集为{x|a<x<1}. 【提分秘籍】
1

含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数 进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不 等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 【举一反三】 1 1 (1)若不等式 ax2+bx+2>0 的解为-2<x<3,则不等式 2x2+bx+a<0 的解集是________. x-1 (2)不等式 ≤0 的解集是________. 2x+1 1 答案 (1)(-2,3) (2)(-2,1]

题型二

一元二次不等式的恒成立问题

例 2、设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 解 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立,

若 m=0,显然-1<0;
?m<0, ? 若 m≠0,则? ?-4<m<0. 2 ? ?Δ=m +4m<0

2

所以-4<m≤0. (2)要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,即

? 1? 3 m x-2 2+4m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. ? ?
有以下两种方法:

? 1? 3 方法二 因为 x2-x+1= x-2 2+4>0, ? ?
6 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 2 . x -x+1 6 因为函数 y= 2 = x -x+1 ? 6 6 6 1?2 3在[1,3]上的最小值为7,所以只需 m<7即可. ?x-2? +4
?

? 6? 所以,m 的取值范围是?m|m<7?. ?

【提分秘籍】 (1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区 间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下 方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是 主元,求谁的范围,谁就是参数. 【举一反三】 (1)若不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
3

)

C.(-∞,-1]∪[4,+∞)

D.[-2,5] )

(2)已知 a∈[-1,1]时不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为( A.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) 答案 (1)A (2)C 解析 (1)x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4, 所以 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立, 只需 a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. (2)把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4), 则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立, 易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0, 且 f(1)=x2-3x+2>0 即可, 联立方程解得 x<1 或 x>3. 题型三 题型三 一元二次不等式的应用 B. (-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,3)

例 3、某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 8 成=10%),售出商品数量就增加5x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10260 元,求 x 的取值范围.

【提分秘籍】 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
4

(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的 数学模型. (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果. 【举一反三】 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月 份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八 月份销售总额相等, 若一月份至十月份销售总额至少达 7000 万元, 则 x 的最小值是________. 答案 20 解析 由题意得, 3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000, 化简得(x%)2+3· x%-0.64≥0, 解得 x%≥0.2,或 x%≤-3.2(舍去).∴x≥20,即 x 的最小值为 20. 【高考风向标】 1.【2015 高考广东,文 11】不等式 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 的解集为 示) 【答案】 ? ?4,1?
2 2 【解析】由 ? x ? 3x ? 4 ? 0 得: ?4 ? x ? 1 ,所以不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为

. (用区间表

? ?4,1? ,所以答案应填: ? ?4,1? .
2. (2014· 全国卷)设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( A.(0,4] B.[0,4) )

C.[-1,0) D.(-1,0] 【答案】B 【解析】因为 M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以 M∩N={x|- 1<x<4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<4}. πx 2 3. (2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)= 3sin , 若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 +[f(x0)]2 m <m2,则 m 的取值范围是( A.(-∞,-6)∪(6,+∞)
5

)

B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 【答案】C 1? πx π 【解析】函数 f(x)的极值点满足 = +kπ,即 x=m? ?k+2?,k∈Z,且极值为± 3,问 m 2 1 2 1 2 1 1 2 k0+ ? +3<m2.因为?k+ ? 的最小值为 , 题等价于存在 k0 使之满足不等式 m2? 所以只要 m 2 2 ? ? ? ? 4 4 +3<m2 成立即可,即 m2>4,解得 m>2 或 m<-2,故 m 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).

4. (2013· 安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 1 x<-1 或 x> ,则 f(10x)>0 的解集为( 2 A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 【答案】D 1 1 【解析】根据已知可得不等式 f(x)>0 的解是-1<x< ,故-1<10x< ,解得 x<-lg 2. 2 2 5. (2013· 广东卷)不等式 x2+x-2<0 的解集为________. 【答案】{x|-2<x<1} 【解析】x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1.故不等式的解集是{x|-2<x<1}. 6. (2013· 四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么, 不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 【答案】(-7,3) )

2 ? ?-x +2x,x≤0, ? 7.(2013 年高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)= 若|f(x)|≥ax,则 a ? ?ln?x+1?,x>0.

的取值范围是(

)
6

A.(-∞,0] C.[-2,1]

B.(-∞,1] D.[-2,0]

解析:当 x≤0 时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,所以|f(x)|≥ax 化简为 x2-2x≥ax,即 x2≥(a+2)x,因为 x≤0,所以 a+2≥x 恒成立,所以 a≥-2;当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)>0,所 以|f(x)|≥ax 化简为 ln(x+1)>ax 恒成立,由函数图象可知 a≤0,综上,当-2≤a≤0 时,不等式 |f(x)|≥ax 恒成立,选择 D. 【答案】D 【高考押题】 1.函数 f(x)= A.[-2,1] C.[-2,1) 答案 B 解析 1-x x-1 ≥0? ≤0 x+2 x+2 1-x 的定义域为( x+2 )

B.(-2,1] D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

??x-1? ? ?-2≤x≤1, x+2? ≤0 , ? ? ?? ?? ?-2<x≤1. ? ? ?x+2≠0 ?x≠-2 ?x2-4x+6,x≥0, ? 2.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ?x+6,x<0, ?

)

A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) 答案 A 解析 由题意得?
?x≥0, ?
2

B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)

?x<0, ? 或? ? ? ?x -4x+6>3 ?x+6>3,

解得-3<x<1 或 x>3. 3.设 a>0,不等式-c<ax+b<c 的解集是{x|-2<x<1},则 a∶b∶c 等于( A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 答案 B 解析 ∵-c<ax+b<c,又 a>0, )

7

b+c c-b ∴- <x< . a a ∵不等式的解集为{x|-2<x<1}, c =-2, ?-b+ a ∴? c-b ? a =1,

?b=2, ∴? 3 ?c=2a,

a

a 3a ∴a∶b∶c=a∶ ∶ =2∶1∶3. 2 2 4.若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 对任意 x 都成立,则实数 m 的取值范围是( A.(-2,2] B.(-2,2) D.(-∞,2] )

C.(-∞,-2)∪[2,+∞) 答案 A

5.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是( A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}

)

C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 答案 D 解析 由题意知 a=0 时,满足条件.
?a>0, ? a≠0 时,由? 得 0<a≤4,所以 0≤a≤4. 2 ?Δ=a -4a≤0 ?

1? ? 6. 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x>2?, 则 f(10x)>0 的解集为________.
? ?

答案

{x|x<-lg2}

1 1 解析 由已知条件 0<10x< ,解得 x<lg =-lg2. 2 2 1 7.若 0<a<1,则不等式(a-x)(x- )>0 的解集是________________. a

8

答案

1 {x|a<x< } a

1 解析 原不等式即(x-a)(x- )<0, a 1 1 由 0<a<1 得 a< ,∴a<x< . a a 8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集 用区间表示为________________. 答案 解析 (-5,0)∪(5,+∞) 由 已 知 得 f(0) = 0 , 当 x<0 时 , f(x) = - f( - x) = - x2 - 4x , 因 此 f(x) =

?x2-4x,x≥0, ? ? 2 ? ?-x -4x,x<0. ? ? ?x≥0, ?x<0, 不等式 f(x)>x 等价于? 2 或? 2 ?x -4x>x, ? ? ?-x -4x>x.

解得:x>5,或-5<x<0. 9.已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a、b 的值.

10.某农贸公司按每担 200 元收购某农产品,并每 100 元纳税 10 元(又称征锐率为 10 个百分点),计划可收购 a 万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率 降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加 2x 个百分点. (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式;
9

(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%,试确定 x 的取值范围. 解 (1)降低税率后的税率为(10-x)%,

农产品的收购量为 a(1+2x%)万担, 收购总金额为 200a(1+2x%)万元. 依题意得 y=200a(1+2x%)(10-x)% = 1 a(100+2x)(10-x)(0<x<10). 50

(2)原计划税收为 200a· 10%=20a(万元). 1 依题意得 a(100+2x)(10-x)≥20a× 83.2%, 50 化简得 x2+40x-84≤0, 解得-42≤x≤2. 又∵0<x<10,∴0<x≤2. 即 x 的取值范围为(0,2].

10


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