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北京市普通高中2015年春季会考数学试题与评分标准


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2015 年北京市春季普通高中会考 数学试卷
1. 考生要认真填写考场号和座位序号。 考 生 须 知 2. 本试卷共 4 页,分为两部分,第一部分选择题, 20 个小题(共 60 分) ;第二 部分非选择题,二道大题(共 40 分). 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必 须用 2B 铅笔作答;第二部

分必须用黑色的签字笔作答. 4.考试结束后,考生应将试卷、答题卡及草稿纸放在桌面上,待监考员收回。

第一部分 选择题(每小题 3 分,共 60 分). 一、在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.

1,3,5?,那么 A 1.已知集合 A ? ?3,5,6,8?, B ? ?

B 等于(



1,3,5,6,8? A. ?

B. ?6,8?

C. ?3,5? )

1,6,8? D. ?

2. 平面向量 a,b 满足 b=2a 如果 a ? (1,1) ,那么 b 等于( A. ? (2,2) B. (?2,?2) C. (2,?2) D. ( 2,2) )

3. 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ,那么 f ( x) 的定义域是( A R B

3

?x x ? 1? C ?x x ? 1?
B. 40 C. 50 D. 60

D

?x x ? 0?


主视图
5

左视图

4.一个几何体的三视图如图所示,该集合体的体积是( A. 30

2

俯视图

5.如果 a ? 0 ,那么 A. 2

a?

1 ?2 a 的最小值为(
C.

) D. 4 )

B. 2 2

3

6.已知过两点 A(?1,1), B(4, a) 的直线斜率为 1 ,那么 a 的值是( A. ? 6 B. ? 4 C.

4

D. 6

tan
7.

5? 6 等于(



-1-

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A. ? 1 ;

?
B.

3 3 ;

2 C. 2 ;

D. 1 .

8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的图像是一条连续不断地曲线, 且有部分对应值如表所示, 那 么函数 f ( x) 一定存在零点的区间是( A. ) D. (3,??)

(??,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

x
f ( x)

1

?

3 2

2 ?1

3 3 2

y?
9.函数

1 2 x x , y ? x , y ? 3 , y ? log2 x 中,在区间 (0,??) 上单调递减的是(
1 x



y?
A

B

y ? x2

C y ?3

x

D y ? log2 x )

10.已知直线 x ? y ? 2 ? 0 与直线 mx ? y ? 0 垂直,那么 m 的值是( A. ? 2 B. ? 1 C.

1

D. 2

1 y ? ( )x 3 的图象( 11. 在同一坐标系中,函数 y ? 3 的图与
x



A.关于 x 轴对称; B.关于 y 轴对称; C.关于原点 y ? x 对称; D.关于直线 y ? x 对称. 12. 在等比数列 项和是( A. ? 31 ) B . 15 C. 31 D. 63

?an ?中,a1 ? 1, a4 ? 8 ,那么 ?an ? 的前 5

?x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? y?0 x , y 满足条件 ? 13.已知实数 ,那么目标函数
z ? x ? 2 y 的最小值是(
A. ? 6 B. ? 4 C. )

?2

D. 4 )

14. 某程序框图如图所示,执行该程序后输出的 S 的值是(
-2-

[键入文字]

A.

2 3

B.

3 4

C.

4 5

5 D. 6


2 15. 函数 y ? (sin x ? cos x) 的最小正周期是: (

? A. 2 ;

B. ? ;

3? C. 2 ;

D. 2? .
8

16. 已知函数 f ( x) 是定义在 [?4,0) ? (0,4] 上的奇函数,当时,

6

f ( x) 的图像如图所示,那么 f ( x) 的值域是(
A.



4

(?4,4)

B. [?6,6] D. [?6,?4) ? (4,6]
15 10 5

2

C. (?4,4) ? (4,6]

O
2

4

5

10

15

17.边长为 2 的正三角形的顶点和各边的中点共 6 个点,从中任选两点,所选出的两点之间距
4

离大于 1 的概率是( )

6

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 5

3 D. 5

18. 设 a , b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题: ① 如果 a // ? , b // ? ,那么 a // b ; ②如果 a ∥

? , a ? ? , b ? ? ,那么

a // b ;
③如果

? ? ? , a ? ? , 那么 a ? ? ;

④如果 a ? ? , a // b , b ? ? , 那么

? ??
其中正确命题的序号是( A. ① B. ② ) C. ③ D. ④ )A. 9 ;

19. 在 ?ABC 中,如果 AB ? 5, AC ? 3, BC ? 4 ,那么角 AB ? AC 等于: ( B. 12 ; C. 15 ; D. 20 .

20. 已知函数 ( )

f ( x) ? ax ? 1

与 g ( x) ? (a ? 1) x 的图像没有交点,那么实数的取值范围是

A.

(??,0]

1 (0, ) 2 B.

1 [ ,1) C. 2
-3-

D. [1,??)

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第二部分 非选择题(共 40 分). 二、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21.计算 9 ? log2 4 ? . 22.一家电讯公司在某大学对学生每月的手机话费进行抽样调查,随机抽取了 100 名学生,将 他们的手机话费情况进行统计分析,绘制成频率分布直方图(如图所示) 。如果该校有大学生
1 2

) 5000 人,请估计该校每月手机话费在 [50,70 的学生人数是
频率/组 0.0165 0.016 距



0.008 0.005 0.0045 元 1 3 5 7 9 110 0 AB 0 上任取一点 0 0 0 C ,那么线段 AC 的长度小于 2 的概率 23.在长度为 3 的线段 0



24.2014 年 12 月 28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价。 乘坐地铁(不包括机场线)具体方案如下:6 公里(含)内 3 元;6 公里至 12 公里(含) 4 元;12 公里至 22 公里(含)5 元;22 公里至 32 公里(含)6 元;32 公里以上部分每增加 1 元可乘坐 20 公里。使用市政交通一卡通刷卡,每自然月内每张卡支出累计满 100 元以后的乘 次,价格给予 8 折优惠;满 150 元以后的乘次,价格给予 5 折优惠;支出累计达到 400 元以 后的乘次,不再享受打折优惠。 小李上班时,需要乘坐地铁 15.9 公里到达公司,每天上下班共乘坐两次,每月按上班 22 天计算。 如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通, 那么小李每月第 21 次乘坐地铁时, 他刷卡支出的费用是 元;他每月上下班乘坐地铁的总费用是 元。 二、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25.(本小题满分 7 分)

AB ? BC , D, 如图, 在三棱锥 P - ABC 中,
E 分别是 AB,AC 的中点,且 PE ? 平面

P

ABC 。
求证:

BC ∥平面 PDE ;

A
-4-

E D B

C

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求证:

AB ? 平面 PDE .

26. (本小题满分 7 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .且 (1)求角 B 的大小; (2)如果函数 f ( x) ? sin x ? sin(x ? 2 B), 求函数 f ( x) 的单调递增区间。

a ? 2 3 , b ? 2, A ?

?
3

27. (本小题满分 7 分) 已知点 A(0,4) ,圆 O : x ? y ? 4 ,点 P 在圆 O 上运动。
2 2

若果 ?OAP 是等腰三角形,求点 P 的坐标;

AP ? AQ 若果直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q ,且

2

2

? 36

,求直线 AP 的方程。

28. (本小题满分 7 分)已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? an2 ? bn ? 1(a, b 为常数,

n? N*)
(1)如果 (2)如果

?an ?为等差数列,求 a, b 的值; ?an ?为单调递增数列,求 a ? b 的取值范围。

-5-

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-6-

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-7-

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-9-

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- 10 -

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- 11 -

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- 12 -


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