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高中数学竞赛函数练习题1


高中数学竞赛

函数练习题

(幂函数、指数函数、对数函数)
一、选择题 1.定义在 R 上的任意函数 f(x)都可以表示为一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和,若 f(x)=lg(10x+1),则 A.g(x)=x, h(x)=lg(10x+10-x+2)

1 1 [lg(10x+1)+x], h

(x)= [lg(10x+1)-x] 2 2 1 1 C.g(x)= x, h(x)= lg(10x+1)- x 2 2 1 1 D.g(x)=- x, h(x)= lg(10x+1)- x 2 2
B.g(x)= 2.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则 A.x-y≥0 B.x+y≥0 C.x-y≤0 D.x+y≤0 2 3.已知 f(x)=ax -c 满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,那么 f(3)应该是 A.7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15
13 0 2

C.-1≤f(3)≤20

D.-

38 35 ≤f(3)≤ 3 3

4. 已知 f(n)=logn(n+1) (n?N*且 n≥2), 设

? log
n?2

1
f (n)

100

=

q (p,q?N*且(p,q)=1), p+q= 则 p

A.3 B.1023 C.2000 D.2001 5.如果 y=log56?log67?log78?log89?log910,则 A.y?(0,1) B.y=1 C.y?(1,2) D.y?[2,3] 2 2 6.若实数 a, x 满足 a>x>1,且 A=loga(logax),B=loga x, C=logax ,则 A.A>C>B B.C>B>A C.B>C>A D.C>A>B 2 7.设 a>0,a≠1,函数 f(x)=loga|ax -x|在[3,4]上是增函数,则 a 的取值范围是

1 1 1 1 ≤a< D.a>1 或 <a< 8 4 6 4 x 8.f(x)是同期为 2 的奇函数,当 x?[0,1)时,f(x)=2 -1,则 f( log1 24 )的值是
A.a>1 B.a>1 或 C.a>1 或
2

1 1 ≤a< 6 4

A.-

23 24

B.-

5 6

C.-

5 2

D.-

1 2

二、填空题 9.设 f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数,g(x)= 三、解答题
1

4x ? b 是奇函数,则 a+b 的值为 2x



10.已知奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(-x),且当 x?(-1,0)时,f(x)=2x。 ①证明:f(x+4)=f(x);②求 f( log1 18 )的值。
2

11.解方程 lg(4 +2)=lg2 +lg3。

x

x

?2 ? x ? 1 x ? 0 ? 12.设 f(x)= ? 1 ,解不等式 f(x)>1。 ? x 2    x ? 0 ?
13.设 f(x)=

1 2x ? 2

,求 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)。

14.求函数 f(x)=3?4x-2x (x≥0)的最小值。 15.设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b 且 f(a)>f(b),证明:ab<1。 16 . 设 不 等 式 2( log 1 x )2+9 log 1 x +9 ≤ 0 的 解 集 为 M , 求 当 x?M 时 , 函 数
2 2

x x )(log2 )的最大值、最小值。 2 8 t y 17.已知实数 t 满足关系式 loga 3 =logt 3 (a>0,a≠1) a a
f(x)=(log2 ①令 t=ax,求 y=f(x)的表达式; ②若 x?(0,2)时,ymin=8,求 a 和 x 的值。 18.解不等式|

3 1 +2|> 。 2 log 1 x
2

19.解不等式 log2 x ? 1 +

1 log1 x 3 +2>0。 2 2
3 5 , logcd= ,若 a-c=9,求 b-d。 2 4

20.已知 a、b、c、d 均为正整数,且 logab= 21.已知函数 f(x)=ln[3x- 3
( a 2 ?2 a ?2) x

]的定义域为(0,+∞),求实数 a 的取值范围。

22.解方程 log5(3x+4x)=log4(5x-3x)。 23. f(x)=lg 设

1 ? 2 x ? ? ? (n ? 1) x ? n x a , 其中 a 是实数, 是任意给定的自然数, n≥2。 n 且 n

如果 f(x)当 x?(-∞,1)时有意义,求 a 的取值范围。 24.f 是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件:对任何 x>1,y>1 及 u>0,v>0, 都有 f(x ?y )≤ f ( x)
u v

1 4u

? f ( y)

1 4v

成立,试确定所有这样的函数 f。
2

函数的最值
一、选择题 1.如果在区间[1,2]上,函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ f(x)在该区间上的最大值是 A.4+

1 在同一点取相同的最小值,那么 x2 13 2 +3 4 2
D.以上答案都不对

11 3 2 +3 4 2

B.4-

53 2 +3 4 2

C.1-

2.已知 x、y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u=

4 9 + 的最小值是 2 4 ? x 9 ? y2
D.

A.

8 5

B.

24 11

C.

12 7

12 5

2 3.已知 a、b、c?R*,则 f(x)= x 2 ? a + (c ? x) ? b 的最小值是

A. a + c 2 ? b

B. c 2 ? a + b D. c ? ( a ? b )
2 2

C.

2 c+ a + b 2

二、填空题 4.f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上的最大值 M(a)的最小值为 。 5.函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在区间[-3,3]上的最小值是 。 6. 若不等式|x-4|+|x-2|+|x-1|+|x|≥a 对一切实数 x 成立, a 的最大可能值是 则 三、解答题 7.在区间[



1 x ,2]上,函数 f(x)=-x2+px+q 与 g(x)= 2 在同一点取得相同的最大值,求 2 x ?1 1 f(x)在区间[ ,2]上的最小值。 2
8. 已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数对(x,y)恒有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且当 x>0 时, f(x)<0, 又 f(1)=-

2 。 3 a x + 2 的最小值。 x x ?a

①求证:f(x)为奇函数;②求证:f(x)在 R 上是减函数;③求 f(x)在[-3,6]上的最值。 9.已知 a 为正常数,x>0,求函数 y=x+

10.已知 f(x)=ax2+bx+c,其中 a?N*,b?N,c?Z。 ①若 b>2a,且 f(sinx) (x?R)的最大值为 2,最小值为-4,试求 f(x)的最小值; ②若对任意实数 x,不等式 4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立,且存在 x0,使得 f(x0)<2(x02+1)成立, 试求 c 的值。
3

x 4 ? 4 x 3 ? 17x 2 ? 26x ? 106 11.求函数 y= 的最值,其中|x|≤1。 x 2 ? 2x ? 7
12.已知 f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (t?R 是参数),如果 x?[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求 参数 t 的取值范围。

13.已知函数 f(x)=log2

3x 2 ? 2 x ? n (m,n?R)。 m x2 ? 1

①若 m?N*,x?R 且 f(x)的最大值为 2,最小值为 1,求 m,n 的值; ②若 n=-1,且 f(x)的值域为 R,求 m 的取值范围。 14.求函数 f(x)= x 4 ? 3x 2 ? 6x ? 13 - x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。 15.设 f(x)=-x2+2tx-t, x?[-1,1],求[f(x)max]min。 16.设 f(x)=x2+px+q (p,q?R)。若|f(x)|在[-1,1]上的最大值为 M,求 M 的最小值。 17.设关于 x 的一元二次方程 2x2―tx―2=0 的两个根为????????。 ①若 x1、x2 为区间????]上的两个不同的点,求证:4x1x2-t(x1+x2)-4<0; ②设 f(x)=

4x ? t , f(x)在区间????]上的最大值和最小值分别为 fmin(x)和 fmax(x), g(t)=fmax(x) x2 ?1

-fmin(x),求 g(t)的最小值。

18.设实数 x、y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,求

1 S min

+

1 S max



19.若函数 f(x)=-

1 2 13 x+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]。 2 2

20.实数 a,b,c 和正数?使得 f(x)=x3+ax2+bx+c, f(x)=0 有三个实数根 x1、x2、x3,且满足: ①x2-x1=?;②x3>

1 2a 3 ? 27c ? 9ab (x1+x2);求 的最大值。 2 ?3

4

函数的方程迭代
一、填空题 1.已知 f(x)+2f(

1 )=3x,则 f(x)的解析式为 x



2.已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)= 。 二、解答题 3.设 f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。 ①求证:A?B;②如果 A={-1,3},求 B。 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(1)=1,对任意 x∈R 都有下列两式成立: ①f(x+5)≥f(x)+5;②f(x+1)≤f(x)+1。 若 g(x)=f(x)+1-x,求 g(6)的值。 5. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx (a,b 是常数, a≠0)满足条件: 且 f(x-1)=f(3-x), 且方程 f(x)=2x 有等根。 ①求 f(x)的解析式; ②是否存在实数 m,n (m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]?如果存在, 求出 m,n 的值;如果不存在,请说明理由。 6.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足:①f(2)=1;②f(xy)=f(x)+f(y),其中 x,y 为任意实数; ③任意正实数 x,y 满足 x>y 时,f(x)>f(y)。试求下列问题: (1)求 f(1), f(4); (2)试判断函数 f(x)的单调性; (3)如果 f(x)+f(x-3)≤2,试求 x 的取值范围。 7 . 已 知 函 数 f(x)=6x - 6x2 , 设 函 数 g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], ? , gn(x)=f[gn-1(x)], ?。 ①求证:如果存在一个实数 x0,满足 g1(x0)=x0,那么对一切 n∈N*, gn(x0)=x0 都成立; ②若实数 x0,满足 gn(x0)=x0,则称 x0 为稳定动点,试求所有这些稳定不动点。 ③设区间 A=(-∞,0),对于任意 x∈A,有 g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0,且 n≥2 时, gn(x)<0。 试问是否存在区间 B (A∩B≠?), 对于区间内任意实数 x, 只要 n≥2, 都有 gn(x)<0? 8. 对于函数 y=f(x), 若存在实数 x0, 满足 f(x0)=x0, 则称 x0 为 f(x)的不动点。 已知 F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], ?, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2)。 ①若 f(x)存在不动点,试问 F2(x), F3(x), ?,Fn(x)是否存在不动点?写出你的结论,并加以 证明。 ②设 f(x)=2x-x2。求使所有 Fn(x)<0 (n∈N*,n≥2)成立的所有正实数 x 值的集合。 9.设函数 f(x)的定义域是 R,对于任意实数 m,n,恒有 f(m+n)=f(m)?f(n),且当 x>0 时, 0<f(x)<1。 ①求证:f(0)=1,且当 x<0 时,有 f(x)>1; ②判断 f(x)在 R 上的单调性; ③设集合 A={(x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若 A∩B=?,求 a 的 取值范围。
5

10 设 p 为奇素数,试求

1 1 2 + = 的正整数解。 x y p

11 求方程组 ?

? xz ? 2 yt ? 3 的整数解。 ? xt ? yz ? 1

12 求方程 2x2y2+y2=26x2+1201 的正整数解(x,y)。 13 求 x2+y2=328 的正整数解。 14 解方程 4x2-20[x]+23=0。 15 求函数 f(x)=[x]+[2x]+[

5 x]+[3x]+[4x]在 0≤x≤100 上所取的不同的整数值的个数。 3

16 当 n 是怎样的最小自然数时,方程 ?

?10 n ? ? =1989 有整数解? ? x ?

17 设 S=1+

1 2
3

+

1 3

+?+

1

,求[S]。

980100

18 已知 S= 1 ? 2 ? 3 3 ? ? ? 3 2006 ,求[S]。
3

单元练习题
1、 若{ a ,1}?{1,2,a}?{1,2,4,a2},求 a 的值。 2、 已知集合{0,-1,2a}={a-1,-|a|,a+1},求实数 a 的值。 3、 集合{x|-1≤ log1 10 <-
x

1 , x∈N}的真子集的个数是 2



4、 已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},求该集合具有下列性质的子集个数:每个子集至少含 有 2 个元素,且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于 1。

1 2 2004 4x 5、 设 f(x)= x ,求 f( )+f( )+?+ f( )。 2005 2005 2005 4 ?2
6、 函数 f(k)是定义在正整数集 N 上,在 N 中取值的严格增函数,且满足条件 f(f(k))=3k, 试求 f(1)+f(9)+f(96)的值。 、 7、 设函数 y=f(x)的定义域为[0,1],试求 G(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域。 8、 设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的函数,且是偶函数,已知当 x∈[2,3]时,f(x)=x, 求当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式。 9、 设函数 f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定负数 a,有一个最大正数 l(a),使得有整个区间 [0,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5 都成立。问 a 为何值时,l(a)最大?求出这个最大的 l(a),证
6

明你的结论。 10、求函数 y= 1998? x + x ? 1997的值域。 11、函数 f(x)=x2+3ax-2a+1 在区间[0,1]上的最小值为 0,求 a 的值。 12、 已知函数 f(x)=x2-2x+2, x∈[t,t+1]的最小值为 g(t),试写出函数 s=g(t)的解析式,并画 出函数的图象。 13、 函数 f 定义在实数集上且对于一切实数 x 满足等式:f(2+x)=f(2-x)和 f(7+x)=f(7-x), 设 x=0 是 f(x)=0 的一个根,记 f(x)=0 在区间[-1000,1000]中的根的个数为 N,求 N 的 最小值。 14、 已知 a、b、c 是实数,函数 f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b,当-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1。① 证明:|c|≤1;②证明:当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤2;③设 a>0,当-1≤x≤1 时,g(x) 的最大值为 2,求 f(x)。 15、 已知 x,y>10, xy=1000,求(lgx)(lgy)的取值范围。 16、 设 f(x)=2+logx25― log x 2 64― log x3 8,试确定 x 的取值范围,分别使 f(x)大于零,小 于零,等于零。 17、 设定义域为 R 的函数 f(x)满足下列条件:①对于任意实数 x,均有 f(x)≥2;②对于任 意实数 x1、x2,均有 f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)。试证:对于任意实数 x1、x2,均有 lgf(x1+x2) ≤lgf(x1)+lgf(x2)。 18、 求方程 lg2x―[lgx]―2=0 的实数根的个数。 19、 设 x、y、z 为非负的实数,且满足方程 4 的最大值与最小值的积。 20、 方程
5 x ?9 y ? 4 z

-68 2

5 x ?9 y ? 4 z

+256=0,求 x+y+z

lg 2 x =2 中,a 为何实数时,方程无解?有一解?有两解? lg( x ? a)

21、 已知 a>0, a≠1,试求方程 loga(x-ak)= loga 2 (x2-a2)有解时 k 的取值范围。 22、 解方程 log4x 4x 2 ? 5x ? 2 =

1 。 2

23、 求方程 2w+2x+2y+2z=20.625 的满足条件 w>x>y>z 的整数解。 24、 设?、?分别是方程 log2x+x-3=0 和 2x+x-3=0 的根,求???和 log2?+2?。 25、 解方程 lg2x-[lgx]-2=0。 26、 已知实数 x 满足方程 x= x ?

1 1 + 1 ? ,求[2x]。 x x

? 10 93 ? 27、 求正整数 ? 31 ? 的末两倍数字。 ?10 ? 3 ?
7

28、 前 1000 个正整数中可以表示成[2x]+[4x]+[6x]+[8x]的正整数有多少个?

8

答案 幂函数、指数函数、对数函数 1、C;2、B;3、C;4、A;5、C;6、B;7、B;8、D;9、 10、分析:① 证明:∵f(x+2)=f(-x)?f(x+2)=-f(x) ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x) ②f( log1 18 )=-f(log218)=-f(log218-4)=-f(log2
2

1 ; 2

9 8 8 )=f(log2 )= 8 9 9

11、分析:∵lg(4x+2)=lg2x+lg3? lg(4x+2)=lg(3?2x)?22x-3?2x+2=0?2x=1 或 2x=2?x=0 或 x=1 12、分析:∵ f(x)>1? ?

?x ? 0
?x ?2 ? 1 ? 1

或?

?x ? 0 ? ?x 2 ? 1 ?
1

?x<-1 或 x>1

∴所求不等式的解集为(―∞,―1)∪(1,+∞)。 13、分析:∵f(-x)+f(x+1)=

1 2
?x

? 2

+

1 2
x ?1

? 2

=

2 ? 2x ?1 2?2 ? 2
x

=

2 2

∴f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)=3 2 。

1 2 1000 4x 学生思考:设 f(x)= x ,求 f( )+f( )+?+f( )。 1001 1001 1001 4 ?2
分析:x+y=1?f(x)+f(y)=1 14、分析:∵f(x)=3?4x-2x=3(2x- ∵x≥0?2x≥1 ∴当 2x=1?x=0 时,f(x)min=2 15、分析:∵f(x)=|lgx|= ?

1 2 1 )- 6 12

?lg x   x ? 1 0? ?? lg x   x ? 1

∵0<a<b 且 f(a)>f(b) ∴a、b 不能同时在区间[1,+∞)上 ∵0<a<b?a?(0,1) ∴若 b?(0,1),显然 ab<1 若 b?[1,+∞),则 f(a)>f(b)?-lga>lgb?lg(ab)<0?ab<1 16、分析:∵2( log 1 x )2+9 log 1 x +9≤0?―3≤ log 1 x ≤―
2 2 2

3 3 ? ≤log2x≤3?2 2 ≤x 2 2

9

≤8 ∴M=[2 2 ,8]

x x )(log2 )=(log2x-1)(log2x-3)=(log2x-2)2-1 2 8 3 ∵2 2 ≤x≤8? ≤log2x≤3 2
∵f(x)=(log2 ∴当 log2x=2?x=4 时,ymin=-1 当 log2x=3?x=8 时,ymax=0。 17、分析:①∵loga ∵t=ax?x=logat

t y =logt 3 ?logat-3=logty-3logta 3 a a

log a y 3 x 2 ?3 x ?3 - ?logay=x2-3x+3?y= a (x≠0) x x 3 3 ②令 u= x2-3x+3=(x- )2+ (x≠0),则 y=au 2 4
∴x-3= ∵x?(0,2]时,ymin=8 ∴当 0<a<1 时,y=au 有最小值,则 u=(x- 上不存在最值。 当 a>1 时,y=au 有最小值,则 u=(x-

3 2 3 ) + 在(0,2]上应有最大值,但 u 在(0,2] 2 4

3 2 3 ) + 在(0,2]上应有最小值 2 4

3 3 ∵当 x= 时,umin= ?ymin= a 4 2 4
3

3

∴ a 4 =8?a=16 ∴a=16, x= 18、分析:|

3 2

3 3 3 1 1 1 +2|> ? +2<- 或 +2> ?log2x<0 或 log2x>2 或 2 log 1 x 2 2 log 1 x log 1 x
2 2
2

2

7 0<log2x< ?0<x<1 或 x>4 或 1<x< 2 7 。 2
19、分析:∵ log2 x ? 1 + 令 t= log2 x ? 1 (t≥0)
10

1 3 log1 x 3 +2>0? log2 x ? 1 - log2x+2>0 2 2 2

∴t-

3 2 1 t + >0 (t≥0)?0≤t<1?0≤ log2 x ? 1 <1?1≤log2x<2?2≤x<4 2 2 3 5 b d , logcd= ?b= a 2 , d= c 4 ?a=( )2, c=( )4 (*)?a|b, c|d 2 4 a c
3 5

∴所求不等式的解集为[2,4) 20、分析:∵logab=

?b d 2 ?b ? ? 2 ? 1 ?a ? 5 b d b d b d ? ?a c ∵a-c=9?( )2-( )4=9?[ -( )2][ +( )2]=9? ? ?? 2 2 a a a c c c ?b ? d ? 9 ?d ? 4 ? c2 ?a c2 ? ?
∴代入(*)得: ?

?a ? 25 ?c ? 16 ,? ?b-d=93。 ?b ? 125 ?d ? 32

21、分析:依题意得: 3x- 3
( a 2 ?2 a ?2) x

>0?3x> 3

( a 2 ?2 a ?2) x

?x>(a2-2a-2)x? a2-2a-2<1

? a2-2a-3<0?-1<a<3。 ∴所求实数 a 的取值范围(-1,3)。 22、分析:设 y= log5(3x+4x)=log4(5x-3x) ∴5y=3x+4x, 4y=5x-3x ∴5y+4y=5x+4x ∵f(t)= 5t+4t 是单调递增函数 ∴f(y)=f(x)?y=x

3 x 4 x ) +( ) =1 5 5 3 4 3 4 ∵g(x)= ( )x+( )x 为单调递减函数且( )2+( )2=1 5 5 5 5
∴5x=3x+4x?( ∴x=2 是原方程的唯一解。 学生思考:解方程 10x+11x+12x=( 365 )。 23、分析:求 a 的取值范围,只需分离参数 a 与变量 x,化成 a>g(x)。 依题意得:1+2x+3x+?+(n-1)x+nxa>0?a>-[( ∵-(

1 x 2 x n ?1 x ) +( ) +?+( ) ] (x≤1) n n n

k x ) ,当 k=1,2,3,?,(n-1)时,在(-∞,1]上都是增函数 n 1 2 n ?1 x ∴g(x)=-[( )x+( )x+?+( ) ]在(-∞,1]上都是增函数 n n n

11

1 2 n ?1 n ?1 + +?+ )=- n n n 2 n ?1 n ?1 ∴a>- ,即 a 的取值范围为(- ,+∞)。 2 2
∴g(x)max=g(1)= -(
1

24、分析:取 x=y=a,u=v=b,则对任何 a>1,b>0 有 f(a2b)≤ f (a ) 2b 令 a=10, 2b=lgx,则对任何 x>1 有 f(x)≤ f (10)
1 lg x

1 再令 a=x, 2b= ,则对任何 x>1 有 f(x)≥ f (10) lg x lg x
∴满足条件 f 只能是 f(x)= f (10)
1 lg x
1 lg x

1

令 f(10)=c (c 为大于 1 的任何实数),则 f(x)= c 经检验知:f(x)= c
1 lg x

(c>1)

(c>1)为所求的函数。 函数的最值

1、B;2、D;3、D;4、

1 ;5、4;6、5; 2

7、解析:∵g(x)=

x = x ?1
2

1 x? 1 x



1 2

∴当 x=1 时,gmax(x)= ∴f(x)=-(x-1)2+

1 2

1 2 1 。 2

∴当 x=2 时,fmin(x)=-

8、解析:①令 x=y=0,则 f(0)=0,令 y=-x 得 f(x)+f(-x)=f(0)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)为奇 函数 ②设 x1、x2?R 且 x1>x2,则 x1-x2>0?f(x1-x2)<0 ∴f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)= f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)= f(x1-x2)<0 ∴f(x)为减函数 ③由②知 fmin(x)=f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]=-3f(1)=2;fmax(x)=f(6)=6f(1)=-4。 9、解析:∵y=x+

a x a + 2 = x+ + x x ?a x

1 x? a x
12

∴令 t= x+

a x a ≥2 a x

∵a 为正常数,x>0? t= x+ ∴y=t+

1 (t≥2 a ) t 1 1 ∴①当 0<a≤ 时,t+ ≥2?当 t=1≥2 a 时,ymin=2; 4 t
②当 a>

1 1 1 时,t≥2 a ≥1, y=t+ 是增函数?当 t=2 a 时,ymin=2 a + ; 4 t 2 2 b <-1?f(x)在[-1,1]上的增函数 2a

10、解析:①∵b>2a?- ∵|sinx|≤1

∴fmin(sinx)=f(-1)=-4, fmax(sinx)=f(1)=2 ?a-b+c=-4, a+b+c=2 ?b=3 ∴a=1, c=-2 ∴f(x)=x2+3x-2=(x+

3 2 17 )- 2 4

∴当 x=-

3 17 时,fmin(x)=- 。 2 4

②令 x=1 代入 4x≤f(x)≤2(x2+1)得 f(1)=4?a+b+c=4 ∵4x≤f(x)?ax2+(b-4)x+c≥0 恒成立 ∴ ?≤0?(b-4)2-4ac≤0?(-a-c)2-4ac≤0?(a-c)2≤0?a=c ∵b?N?a+c≤4?2c≤4?c≤2?c=1 或 c=2 经检验 c=2 不合题意,应舍去 ∴c=1
13

64 x 4 ? 4 x 3 ? 17x 2 ? 26x ? 106 2 11、解析:∵y= =(x +2x+7)+ 2 -1 2 x ? 2x ? 7 x ? 2x ? 7
设 u= x2+2x+7=(x+1)2+6?[6,10] ∵y=u+

64 -1 在[6,8]上是减函数;在[8,10]上的增函数 u 47 3

∴ymin=15;ymax=

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? ? 12、解析:∵f(x)≤g(x)? ?2 x ? t ? 0 ? ?t ? ?2 x ? x ? 1 ? (2 x ? t ) 2 ? ? ?t ? ?2 x ? x ? 1
∴x?[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立? x?[0,1]时,t≥-2x+ x ? 1 恒成立

设 h(x)= -2x+ x ? 1 ,令 u= x ? 1 ?x=u2-1 (1≤u≤ 2 )

∴h(x)=-2(u-

1 2 17 )+ 4 8

∴当 u=1?x=0 时,hmax(x)=1 ∴t 的取值范围为[1,+∞)。

3x 2 ? 2 x ? n 13、解析:①令 t= ?(3-mt)x2+2x+n-t=0 2 mx ?1
∵?≥0?4-4(3-mt)( n-t)≥0?mt2-(3+mn)t+3n-1≤0 ∵2≤t≤4

9 ? m? 4m ? 2(3 ? mn) ? 3n ? 1 ? 0 m ?1 ? ? ? ? 8 ∴? ?? 或? (不符合题意,舍去) ?16m ? 4(3 ? mn) ? 3n ? 1 ? 0 ?n ? 3 ?n ? 10 ? 3 ?
14

3x 2 ? 2 x ? 1 ②∵t= ?(3-mt)x2+2x-1-t=0 2 mx ?1
∴?≥0?4-4(3-mt)( -1-t)≥0?mt2-(3-m)t-4≤0 (1)当 m=0 时,t≥-

4 ,符合题意 3

(2)当 m≠0 时,要使函数的值域包含(0,+∞),只须 m<0 时,方程 mt2-(3-m)t-4=0 有两个负 根

?m ? 0 ? 2 ?[?(3 ? m)] ? 4m(?4) ? 0 ? ∴ ?3 ? m ? 0 ?m≤-9 或-1≤m<0 m ? ? 4 ?? ? 0 ? m
∴所求 m 的联欢会范围为(-∞,9]∪[-1,0]。 14 、 解 析 : ∵ f(x)=

x 4 ? 3x 2 ? 6x ? 13 -

x 4 ? x 2 ? 1 = ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 2) 2 -

x 2 ? ( x 2 ? 1) 2
∴函数 y=f(x)的几何意义是抛物线 y=x2 上的点 P(x,x2)到两定点 A(3,2), B(0,1)的距离之差 ∴|PA|-|PB|≤|AB|= 10 15、解析:∵f(x)=-x2+2tx-t=-(x-t)2+t2-t, x?[-1,1] ①当 t≤-1 时,f(x)max=f(-1) ②当-1<t<1 时,f(x)max=f(t) ③当 t≥1 时,f(x)max=f(1)

15

?? 3t ? 1  t ? ?1 ?2 ∴f(x)max= ?t ? t    ? t ? 1 ?1 ?t ? 1   t ? 1 ?
∴[f(x)max]min=- 16、解析: 17、解析: 18、解析:∵x=y=0 不满足 4x2-5xy+4y2=5 ∴S≠0

1 。 4

x2 ? y2 ∵S=x +y ?1= S
2 2

∴4x2-5xy+4y2=5?4x2-5xy+4y2=5?

x2 ? y2 S

不妨设 y≠0

∴(4S-5)(

x 2 x ) -5S? +(4S-5)=0 y y



x ?R y
10 10 3 1 13 ≤S≤ ? ≤ ≤ 13 3 10 S 10

∴?≥0?(5S)2-4(4S-5)2≥0?



1 S min

+

1 S max

=

3 13 8 + = 10 10 5

19、解析:分三种情况讨论
16

①若 0≤a<b,则 f(x)在[a,b]上单调递减

∴?

? f (a) ? 2b ?a ? 1 ?? ? f (b) ? 2a ?b ? 3

②若 a<0<b,则 f(x)在[a,0]高单调递增递增,在[0,b]上单调递减

?a ? ?2 ? 17 ? f (0) ? 2b ? f (0) ? 2b ? ∴? 或? ?? 13 ? f (a) ? 2a ? f (b) ? 2a ?b ? 4 ?
③若 a<b≤0,则 f(x)在[a,b]上单调递增

∴?

? f (a) ? 2a 无解 ? f (b) ? 2b
13 ]。 4

∴所求的区间为[1,3]或[―2― 17 , 20、解析:∵f(x3)=0

∴f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b] ∴x1,x2 是方程 x2+(a+x3)x+x32+ax3+b=0 的两根?x1+x2=-(a+x3), x1x2=x32+ax3+b ∵x2-x1=??(a+x3)-4(x32+ax3+b)=???3x32+2ax3+?2+4b-a2=0 ?x3=

1 (-a+ 4a 2 ? 12b ? 3?2 ) (*)且 4a2-12b-3??≥0 (**) 3 a 3

注意:由条件①②可得 x3>-

∵f(x)=x3+ax2+bx+c=(x+

a 3 a2 a 2 3 1 ) -( -b)(x+ )+ a +c- ab 3 3 27 3 3

∵f(x3)=0?

1 2 3 a a a2 aba -c=(x3+ )3-( -b)(x3+ ) 3 27 3 3 3
17

(***)

由(*)得 x3+

1 1 a= 3 3

4a 2 ? 12b ? 3?2 =

2 3 3

a2 ?2 ?b? 3 4

令 p=

a2 -b 3
2 3 2 3 ?2 1 且 aba -c= 3 27 4 9

由(**)(***)得 p≥

p?

?2
4

(p-?2)

令 y=

p?

?2
4

∴y≥0 且

1 2 3 2 3 2 3 2 aba -c= y(y - ? ) 3 27 4 9

∵y(y2-

3 2 1 2 3 3 3 1 2 1 ? )+ ? =y - x y+ ? =(y- ?)2(y+?)≥0 4 4 4 4 2



1 2 3 3 3 3 3 3 2a 3 ? 27c ? 9ab 3 3 aba -c≥? ?2a3+27c-9ab≤ ?? ≤ 3 27 18 2 2 ?3

取 a=2 3 , b=2, c=0, ?=2,则 f(x)=x3+2 3 x2+2x 有艰- 3 -1, - 3 +1, 0 显然假设条件成立 且

2a 3 ? 27c ? 9ab 1 3 3 = (48 3 -36 3 )= 3 8 2 ?
∴(

2a 3 ? 27c ? 9ab

?

3

)max=

3 3 2
函数的方程迭代

1、f(x)=

2 -x x
18

2、f(x)=

1 2 1 x+ x 2 2

3、解析:①设 x0 是集合 A 中的任一元素,即有 x0∈A ∵A={x|x=f(x)} ∴x0=f(x0)?f[f(x0)]=f(x0)=x0?x0∈B ∴A?B ②∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x}={x|x2+(p-1)x+q=0} ∴?

?? 1 ? 3 ? ?( p ? 1) ? p ? ?1 ?? ?f(x)= x2-x-3 ?(?1) ? 3 ? q ?q ? ?3

∵f[f(x)]=x?x4-2x3-6x2+6x+9=0?(x2-2x-3)(x2-3)=0?x=-1 或 3 或 3 或- 3 ∴B={-1,3,- 3 , 3 }。 4、解析:反复利用② ∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5 ∴f(x+5)=f(x)+5 ∴由(*)可以得到 f(x+1)=f(x)+1 ∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=1 5、解析:①∵方程 f(x)=2x 有等根?⊿=0?b=2 ∵f(x-1)=f(3-x)?f(x)=f(2-x)?图象的对称轴为 x=∴f(x)=-x2+2x ②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n≤1?n≤

(*)

b =1?a=-1 2a

1 4

∵抛物线 y=-x2+2x 的对称轴为 x=1 ∴n≤

1 时,f(x)在[m,n]上为增函数 4

若满足题设条件的 m,n 存在,则

? f (m) ? 4m ?m ? 0或m ? ?2 ?? ? ? f ( n) ? 4n ?n ? 0或n ? ?2
∵m<n≤

1 4

∴m=-2,n=0,这时定义域为[-2,0],值域为[-8,0] ∴存在 m=-2,n=0,满足条件。 6、解析: ①f(1)=0, f(4)=2;②增函数;③(3,4]。
19

7、解析: ①数学归纳法:当 n=1 时,g1(x0)=x0 显然成立;当 n=k 时,在 gk(x0)=x0 (k∈N*)成立,则 gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0,即当 n=k+1 时,命题成立。 ∴对一切 n∈N*,若 g1(x0)=x0,则 gn(x0)=x0。 ②由①知,稳定不动点 x0 只需满足 f(x0)=x0, ∵f(x0)=x0?6x0-6x02=x0?x0=0 或 x0=

5 。 6

③∵f(x)<0?6x-2x2<0?x<0 或 x>1 ∴gn(x)<0?f[gn-1(x)]<0? gn-1(x)<0 或 gn-1(x)>1 要使一切 n∈N,n≥2,都有 gn(x)<0,必须有 g1(x)<0 或 g1(x)>1 ∵g1(x)<0?6x-2x2<0?x<0 或 x>1 g1(x)>1?6x-2x2>1?

3? 3 3? 3 <x< 6 6

∴对于区间(-∞,0), (

3? 3 3? 3 , )和(1,+∞)内的任意 x, 只要 n≥2,n∈N*, 都有 gn(x)<0。 6 6

8、解析: ①y=f(x)存在不动点 x0,则 f(x0)=x0,下证 x0 是 Fn(x)的不动点。 ∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0 ∴x0 也是 F2(x)的不动点。 若 Fn-1(x)存在不动点 x0,即 Fn-1(x0)=x0 ∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0? Fn(x)存在不动点 x0 综上所述:对于任意 n∈N*,n≥2,Fn(x)都存在不动点,并且有相同的不动点。 ②方法一: ∵f(x)<0?2x-x2<0?x<0 或 x>2 ∵要使 Fn(x)<0 (n≥2)?f[Fn-1(x)]<0?2Fn-1(x)-[Fn-1(x)]2<0?Fn-1(x)<0 或 Fn-1(x)>2 依此类推,要使 F2(x)<0?f[F1(x)]<0?f[f(x)]<0?2f(x)-[f(x)]2<0?f(x)<0 或 f(x)>2?2x- x2<0 或 2x-x2>2?x<0(舍去)或 x>2 或 x∈??x>2 ∴所求 x 的取值范围为(2,+∞)。 9、解析: ①∵f(m+n)= f(m)?f(n) 且当 x>0 时,0<f(x)<1 ∴f(1)=f(1)f(0)?f(0)=1 设 m=x<0,n= -x>0 ∴f(0)=f(x)f(-x)?f(x)=

1 >1 f (? x)

②设 x1<x2?x2-x1>0?0<f(x2-x1)<1 ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0
20

∴f(x)在 R 上单调递减 ③∵f(x2)?f(y2)>f(1)?f(x2+y2)>f(1)? x2+y2<1 ∵f(ax-y+2)=1=f(0)? ax-y+2=0 ∵A∩B=? ∴

2 a ?1
2

≥1?a2+1≤4?- 3 ≤a≤ 3 。

10、解析:∵

1 1 2 + = ?p(x+y)=2xy?4xy-2p(x+y)+p2=p2?(2x-p)(2y-p)=p2 x y p

∵p 是素数,x>0, y>0 ∴?

?2 x ? p ? 1
2 ?2 y ? p ? p

或?

?2 x ? p ? p ? 2 x ? p ? p 2 或? ?2 y ? p ? p ? 2 y ? p ? 1

p ( p ? 1) p ?1 ? ? ?x ? ?x ? 2 ?x ? p ? ? 2 ?? 或? 或? ? y ? p ( p ? 1) ? y ? p ? y ? p ? 1 ? ? 2 2 ? ?
11、解析:∵ ?

? xz ? 2 yt ? 3 ?(xz-2yt)2+(xt+yz)2=11?(x2+2y2)(z2+2t2)=11 ? xt ? yz ? 1

∴x2+2y2=1 或 z2+2t2=1 ①x2+2y2=1?x=± y=0 1, ∵xt+yz=1?t=± 1 ∴z=± 3 2 ②z +2t2=1?t=0, z=± 1 ∴y=± x=± 1, 3 ∴所求方程组有 4 组解:(1,0,3,1)、(-1,0,―3,―1)、(3,1,1,0)、(―3,―1,―1,0)。 12、解析:∵2x2y2+y2=26x2+1201?(2x2+1)(y2-13)=1188=22?33?11 ∴2x2+1 与 y2-13 均为 22?33?11 的因数 ∵2x2+1 为奇数?2x2+1 为 33?11 的因数 由下表可知,所求的正整数为(4,7)和(7,5)。 2x2+1 x y2-13 y 3 1 396 / 9 2 132 /
21

11 /

27 /

33 4 36 7

99 7 12 5

297 /

13、解析:显然 x≠y,不妨设 x>y>0 ∵328 是偶数?x、y 的奇偶性相同?x± 是偶数 y 令 x+y=2u1, x-y=2v1 (u1、v1∈Z, u1>v1>0)?x=u1+v1, y=u1-v1 ∴u12+v12=164 同理,令 u1+v1=2u2, u1-v1=2v2 (u2、v2∈Z, u2>v2>0)?u1=u2+v2, u1=u2-v2 ∴u22+v22=82 同理,令 u2+v2=2u3, u2-v2=2v3 (u3、v3∈Z, u3>v3>0)?u2=u3+v3, u2=u3-v3 ∴u32+v32=41?u3、v3 必为一奇一偶,且 0<v3<u3≤[ 41 ]=6 依次取 v3=1,2,3,?,5 代入 u32+v32=41 得 u3=5, v3=4?x=18, y=2 ∴所求的解为 x=18,y=2 或 x=2, y=18。 注意:合理分层换元是解决本题的关键。 14、分析:这个方程不是二次方程,但可利用不等式 x-1<[x]≤x 把方程化为不等式,先 求出 x 的范围,再在给定的范围内把方程转化为二次方程求解。 解析:∵x-1<[x]≤x?-20x≤-20[x]<-20(x-1) ∴4x2-20x+23≤4x2-20[x]+23<4x2-20(x-1)+23 ∵4x2-20x+23≤0?

5? 2 5? 2 ≤x≤ 2 2

4x2-20(x-1)+23>0?4x2-20x+43>0?x∈R ∴

5? 2 5? 2 ≤x≤ 2 2 5? 2 ≤x<2 时,[x]=1,4x2-20[x]+23=0?4x2+3=0?x∈?; 2 17 ; 2

①当

②当 2≤x<3 时,[x]=2,4x2-20[x]+23=0?4x2-17=0?x=

③当 3≤x<

5? 2 37 时,[x]=3,4x2-20[x]+23=0?4x2-37=0?x= ; 2 2 17 37 和 x= 。 2 2
1 (4x2+23)的图象,找交点所在的范围求解。 20

∴原方程的解为 x=

学生思考:画出 y=[x]及 y=

15、分析:[x]是一种跳跃取值的函数,由于[x]、[2x]、[3x]、[4x]在 0≤x<1 时可分别取到
22

5 x]则在 0≤x<3 上可取到 5 个值。但在 0≤x<3 上,当 x=0 时, 3 1 这 5 个取整函数同时“跳跃” ,在 x=1、2 时,[x]、[2x]、[3x]、[4x]同时“跳跃” ,在 x= 、 2 3 5 、 时,[2x]、[4x]同时“跳跃” ,故在在 0≤x<3 上 f(x)可以取到 22 个不同的值。 2 2
0、1、2、3、4 个值,而[ 解 0, 析 : 在 0 ≤ x<3 时 , 当 x 递 增 依 次 经 过

1 1 1 3 2 3 6 5 4 3 5 7 9 9 7 12 5 8 11 , , , , , ,1, , , , , , , ,2, , , , , , 时, f(x)的值发生跳跃变 4 3 2 5 3 4 5 4 3 2 3 4 5 4 3 5 2 3 4

化,在 x∈[0,3)时,f(x)取得 22 个不同的值; 同样在 x∈[3,6)时,f(x)取得 22 个不同的值; ∴在 x∈[0,99)时,f(x)取得 22×33=726 个不同的值; 在 x∈[99,100]时,f(x)取得 8 个不同的值; ∴在 x∈[0,100]时,f(x)取得 726+8=734 个不同的值; 16、分析:利用[x]≤x<[x]+1。

?10 n ? 1 1 10n 解析:∵ ? <1990? ×10n<x≤ ×10n ? =1989?1989≤ x ? 1990 1989 x ?


1 1 =0.00050251?, =0.00050276? 1990 1989

∴当 n=7 时,5025.1?<x<5027.6?此时方程有整数解 x=5026 及 x=5027 ∴n 的最小值为 7。 17、分析:如能把 S 限制在两个相邻整数之间,则 S 的值可以确定,因此应对 S 的值适当 放缩以使其较易确定其取值范围。 解析:∵

1 n

<

2 2 n

<

2 n ?1 ? n

=2( n - n ? 1 )

∴ S=1+

1 2

+

1 3

+?+

1 980100

<1+2(

2 - 1)+2( 3 - 2 )+ ? +2( 980100-

980099)=1+2(990-1)=1997


1 n

<

2 2 n 1 2
+

>

2 n ?1 ? n

=2( n ? 1 - n )

∴ S=1+

1 3

+?+

1 980100

>1+2(

3 - 2 )+2( 4 - 3 )+ ? +2( 980101-

980100)=1+2( 980100- 2 )=1981-2 2 >1978
23

∴1978<S<1979 ∴[S]=1978 18、分析:估算出所求数的大致范围,只要能说明该数介于两个相邻整数之间即可。 解析:∵123=1278<2006<2197=133?12< 3 2006 <13?2017<2005+ 3 2006 <2018 ?12< 3 2005 ? 3 2006 <13?2016<2004+ 3 2005 ? 3 2006 <2017 ?12< 2004? 3 2005? 3 2006 <13???
3

?11< 1715? 3 1716? ? ? 3 2006 <12???
3

?1< 1 ? 2 ? 3 3 ? ? ? 3 2006 <2
3 3

∴[S]=1。

单元练习题
1、a=0,4 2、a=1 或 a=-1 3、290-1 4、133 5、1002 6、197

1 1 ≤a≤0 时,G(x)的定义域为[-a,1+a];当 0<a≤ 0 时,G(x)的定义域为[a,1- 2 2 1 1 a];而当 a<- 或 a> 时,G(x)不存在。 2 2
7、当- 8、f(x)=3-|x+1| 9、当 a=-8 时,l(a)max= 10、[1, 2 ] 11、-2

1 ( 5 +1) 2

?t 2 ? 1    t ? 0 ? 0? 12、g(t)= ?t       t ? 1 ?t 2 ? 2t ? 2   t ? 1 ?
13、Nmin=401 14、①|f(x)|≤1?|c|≤1;②|g(x)|≤max{|g(1)|,|g(-1)|}=2;③f(x)=2x2-1

24

15、(2,

9 ] 4 4 4 4 或 x>1 时,f(x)>0;当 <x<1 时,f(x)<0;当 x= 时,f(x)=0。 5 5 5

16、当 0<x< 17、 18、3 19、4 20、当 a≥

1 1 时,方程无解;当 0<a< 时,方程有两解;当 a≤0 时,方程有一解。 2 2

21、(-∞,-1)∪(0,1) 22、x=2 23、∵2w+2x+2y+2z=20.625=24+22+2-1+2-3?w=4,x=2,y=-1,z=-3 24、?????和 log2?+2???。 25、x=

1 3 ,x= 10 ,x=100 10

26、3 27、08 28、600

25


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