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苏北四市2017一模数学试卷


苏北四市 2016-2017 学年度高三年级第二次调研测试 数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1、已知集合 A ? ??2,0? , B ? ??2,3? ,则 A ? B ? 2、已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为 . .

3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则剩下 4 个 分数的方差为 .

3 4 5

4 2 4 6 2 8

4、根据如图所示的伪代码,则输出 S 的值为



S ?0 I ?1 While I ≤ 5 I ? I ?1 S ?S?I End Whlie Pr int S
5、从 1, 2,3, 4,5,6 这六个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的和能被 3 整除的概率 为
2



x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点,则实数 a 的值为 6、若抛物线 y ? 8x 的焦点恰好是双曲线 2 ? a 3
. 7、已知圆锥的底面直径与高都是 2 ,则该圆锥的侧面积为 8、若函数 f ( x) ? sin(?? x ? . .

?

1 1 )(? ? 0) 的最小正周期为 ,则 f ( ) 的值为 6 5 3

1

9、已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 2a2 ? 3, S3 ? 2a3 ? 3 ,则公比 q 的值为 . 10、已知函数 f ( x ) 是定义 R 在上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 3 ,则不等式

f ( x) ≤ ?5 的解集为



11、若实数 x, y 满足 xy ? 3 x ? 3(0 ? x ?

1 3 1 ) ,则 ? 的最小值为 2 x y ?3



12、已知非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 2a ? b 夹角的余弦值为

? ?

?

?

? ?

?

? ?



P 是圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 13、 已知 A, B 是圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 上的动点, AB ? 3 ,
上的动点,则 PA ? PB 的取值范围为 14、已知函数 f ( x) ? ?

??? ? ??? ?



x ?1 ?sin x, ,若函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? x 有三 3 2 ? x ? 9 x ? 25x ? a, x ≥1


个不同的公共点,则实数 a 的取值集合为

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤)
15、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 2cos A(b cos C ? c cos B) ? a . (1)求角 A 的值; (2)若 cos B ?

3 ,求 sin( B ? C ) 的值. 5

16、如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,平面 EAB ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为矩形,
2

EA ? EB ,点 M , N 分别是 AE, CD 的中点.
求证: (1)直线 MN ∥平面 EBC ; (2)直线 EA ? 平面 EBC .

17、如图,已知 A, B 两镇分别位于东西湖岸 MN 的 A 处和湖中小岛的 B 处,点 C 在 A 的

3 ? , ?BCN ? .现计划铺设一条电缆联通 A, B 两镇,有 4 4 两种铺设方案:①沿线段 AB 在水下铺设;②在湖岸 MN 上选一点 P ,先沿线段 AP 在地 下铺设,再沿线段 PB 在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元∕ km 、 4 万元∕ km .
正西方向 1km 处, tan ?BAN ? (1)求 A, B 两镇间的距离; (2)应该如何铺设,使总铺设费用最低?

x2 y 2 18、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a b
3

2 ,且右焦点 F 到左准线的距离为 6 2 . 2
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 A 为椭圆 C 的左顶点, P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点,直线 PA 交 y 轴于点

M ,过点 F 作 MF 的垂线,交 y 轴于点 N .
(ⅰ)当直线的 PA 斜率为

1 时,求 ?FMN 的外接圆的方程; 2

(ⅱ)设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q ,求 ?APQ 的面积的最大值.

19、已知函数 f ( x) ?

x2 ? ax, g ( x) ? ln x ? ax, a ? R . 2e
4

(1)解关于 x( x ? R ) 的不等式 f ( x) ≤0 ; (2)证明: f ( x) ≥ g ( x) ; (3)是否存在常数 a , b ,使得 f ( x) ≥ ax ? b ≥ g ( x) 对任意的 x ? 0 恒成立?若存在,求 出 a , b 的值;若不存在,请说明理由.

n?N . 20、 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 a1 ? a,(an ? 1)(an?1 ? 1) ? 6(Sn ? n) ,
?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
5

(2)若对于 ?n ? N

?

,都有 Sn ≤n(3n ? 1) 成立,求实数 a 取值范围;

(3)当 a ? 2 时,将数列 ?an ? 中的部分项按原来的顺序构成数列 ?bn ? ,且 b1 ? a2 ,证明: 存在无数个满足条件的无穷等比数列 ?bn ? .

1. {?2,0,3} 9. 2

2. 2

3. 14 11. 8

4. 20 12.

5.

1 3

6. 1

7. 5π

8. ?

1 2

10. (??, ?3]

5 7 14
6

13. [7,13]

14. {?20, ?16}

15. (1)由正弦定理可知, 2cos A(sin B cos C ? sin C cos B) ? sin A , ??????2 分 即 2cos A sin A ? sin A ,因为 A ? (0, π) ,所以 sin A ? 0 , 所以 2cos A ? 1 ,即 cos A ? 又 A ? (0, π) ,所以 A ? (2)因为 cos B ?

1 , ??????????????????4 分 2

π . ????????????????????6 分 3

3 4 , B ? (0, π) ,所以 sin B ? 1 ? cos2 B ? ,???????8 分 5 5 24 7 2 所以 sin 2B ? 2sin B cos B ? , cos2B ? 1 ? 2sin B ? ? , ?????10 分 25 25 2π 2π 所以 sin( B ? C) ? sin[ B ? ( ? B)] ? sin(2B ? ) 3 3 2π 2π ? sin 2B cos ? cos2B sin ????????????12 分 3 3 24 1 7 3 ? ? ? ? (? ) ? 25 2 25 2 7 3 ? 24 ? .???????????????????14 分 50 16. (1)取 BE 中点 F ,连结 CF , MF , 1 又 M 是 AE 的中点,所以 MF ∥ ? AB , 2 又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点, 1 所以 NC ∥ ? NC , ? AB ,所以 MF ∥ 2
所以四边形 MNCF 是平行四边形,?4 分 所以 MN∥CF , 又 MN ? 平面 EBC , CF ? 平面 EBC , 所以 MN ∥平面 EBC .?????????????????????7 分 (2)在矩形 ABCD 中, BC ? AB , 又平面 EAB ? 平面 ABCD ,平面 ABCD ? 平面 EAB ? AB , BC ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 EAB ,?????????????????????10 分 又 EA ? 平面 EAB ,所以 BC ? EA , 又 EA ? EB , BC ? EB ? B , EB , BC ? 平面 EBC , 所以 EA ? 平面 EBC .?????????????????????14 分 17. (1)过 B 作 MN 的垂线,垂足为 D .

7

在 Rt△ ABD 中, tan ?BAD ? tan ?BAN ? 所以 AD ?

BD 3 ? , AD 4

4 BD , 3

在 Rt△BCD 中, tan ?BCD ? tan ?BCN ? 所以 CD ? BD . 则 AC ? AD ? CD ?

BD ?1 , CD

4 1 BD ? BD ? BD ? 1 ,即 BD ? 3 , 3 3 所以 CD ? 3 , AD ? 4 ,
由勾股定理得, AB ? AD2 ? BD2 ? 5 (km). 所以 A , B 两镇间的距离为 5 km.?????????????????4 分 (2)方案①:沿线段 AB 在水下铺设时,总铺设费用为 5 ? 4 ? 20 (万元).???6 分 方案②:设 ?BPD ? ? ,则 ? ? (?0 , ) ,其中 ?0 ? ?BAN ,

π 2

BD 3 BD 3 , BP ? , ? ? tan ? tan ? sin ? sin ? 3 所以 AP ? 4 ? DP ? 4 ? . tan ? 6 12 2 ? cos? 则总铺设费用为 2 AP ? 4BP ? 8 ? .???8 分 ? ? 8 ? 6? tan? sin? sin? sin 2 ? ? (2 ? cos ? ) cos ? 1 ? 2cos ? 2 ? cos? ? 设 f (? ) ? ,则 f '(? ) ? , sin 2 ? sin 2 ? sin ? π 令 f '(? ) ? 0 ,得 ? ? ,列表如下: 3 π π π π ? (?0 , ) ( , ) 3 3 2 3 0 f '(? ) ? ?
在 Rt△BDP 中, DP ?

f (? )



极小值



所以 f (? ) 的最小值为 f ( ) ? 3 . 所以方案②的总铺设费用最小为 8 ? 6 3 (万元),此时 AP ? 4 ? 3 . ??12 分 而 8 ? 6 3 ? 20 , 所以应选择方案②进行铺设,点 P 选在 A 的正西方向 (4 ? 3) km 处,总铺设费 用最低.????????????????????????????14 分

π 3

?c 2 ? , ? ? ?a ? 4, ?a 2 18. (1)由题意,得 ? 解得 ? 则b ? 2 2 , 2 ? ?c ? a ? 6 2, ?c ? 2 2, ? c ?
8

x2 y2 ? ? 1 . ???????????????4 分 16 8 (2)由题可设直线 PA 的方程为 y ? k ( x ? 4) , k ? 0 ,则 M (0, 4k ) ,
所以椭圆 C 的标准方程为

2 2 2 ( x ? 2 2) ,则 N (0, ? ) . 4k k 1 1 (i)当直线 PA 的斜率为 ,即 k ? 时, M (0, 2) , N (0, ?4) , F (2 2,0) , 2 2 因为 MF ? FN ,所以圆心为 (0, ?1) ,半径为 3 ,
所以直线 FN 的方程为 y ? 所以 △FMN 的外接圆的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 9 .???????????8 分 ? y ? k ( x ? 4), ? (ii)联立 ? x 2 y 2 消去 y 并整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 32k 2 ? 16 ? 0 , ? 1, ? ? ?16 8

4 ? 8k 2 4 ? 8k 2 8k P ( , ) ,????????10 分 ,所以 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 8k 2 ? 4 8k 1 ,? ), 直线 AN 的方程为 y ? ? ( x ? 4) ,同理可得, Q ( 2 1 ? 2 k 1 ? 2k 2 2k 所以 P , Q 关于原点对称,即 PQ 过原点. 1 16k 32 所以 △ APQ 的面积 S ? OA ? ( yP ? yQ ) ? 2 ? ? ≤ 8 2 ,??14 分 2 1 2 1 ? 2k 2k ? k 2 1 当且仅当 2k ? ,即 k ? 时,取“ ? ” . 2 k
解得 x1 ? ?4 或 x2 ? 所以 △ APQ 的面积的最大值为 8 2 .????????????????16 分 x2 19. (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ,所以 f ( x) ≤ 0 的解集为 {0} ; 2e 当 a ? 0 时, f ( x) ? x(

x ? a) , 2e 若 a ? 0 ,则 f ( x) ≤ 0 的解集为 [0, 2ea] ;
若 a ? 0 ,则 f ( x) ≤ 0 的解集为 [2ea,0] .

综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) ≤ 0 的解集为 {0} ; 当 a ? 0 时, f ( x) ≤ 0 的解集为 [0, 2ea] ; 当 a ? 0 时, f ( x) ≤ 0 的解集为 [2ea,0] . ????????4 分 x2 x 1 x2 ? e ? ln x ,则 h '( x) ? ? ? (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x ) ? . 2e e x ex 令 h '( x) ? 0 ,得 x ? e ,列表如下:

x
h '( x)

(0, e)

e
0

( e, ??)
?

?

h( x )



极小值
9



所以函数 h( x) 的最小值为 h( e) ? 0 , x2 ? ln x ≥ 0 ,即 f ( x) ≥ g ( x) .?????????????8 分 所以 h( x) ? 2e (3)假设存在常数 a , b 使得 f ( x) ≥ ax ? b ≥ g ( x) 对任意的 x ? 0 恒成立, x2 即 ≥ 2ax ? b ≥ ln x 对任意的 x ? 0 恒成立. 2e x2 1 1 1 而当 x ? e 时, ln x ? ? ,所以 ≥ 2a e ? b ≥ , 2e 2 2 2 1 1 所以 2a e ? b ? ,则 b ? ? 2a e , 2 2 2 2 x x 1 所以 ? 2ax ? b ? ? 2ax ? 2a e ? ≥ 0(*) 恒成立, 2e 2e 2 1 ①当 a ≤ 0 时, 2a e ? ? 0 ,所以 (*) 式在 (0, ??) 上不恒成立; 2 2 1 1 2 2 ②当 a ? 0 时,则 4a ? (2a e ? ) ≤ 0 ,即 (2a ? ) ≤0, e 2 e 1 1 所以 a ? ,则 b ? ? .????????????????????12 分 2 2 e 令 ? ( x) ? ln x ?
1 1 x ? ,则 ? '( x) ? 2 e

e?x ,令 ? '( x) ? 0 ,得 x ? e , ex

当 0 ? x ? e 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 在 (0, e) 上单调增; 当 x ? e 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 在 ( e, ??) 上单调减. 1 1 所以 ? ( x) 的最大值 ? ( e) ? 0 .所以 ln x ? x ? ≤ 0 恒成立. 2 e 1 1 所以存在 a ? , b ? ? 符合题意.???????????????16 分 2 2 e 20. (1)当 n = 1 时, (a1 + 1)(a2 + 1) = 6(S1 + 1) ,故 a2 = 5 ; 当 n ≥ 2 时, (an- 1 + 1)(an + 1) = 6( Sn- 1 + n - 1) , 所以 (an + 1)(an +1 +1 ) - (an- 1 + 1)(an + 1) = 6(Sn + n) - 6(Sn- 1 + n - 1) , 即 (an + 1)(an+ 1 - an- 1 ) = 6(an + 1) , 又 an > 0 ,所以 an+ 1 - an- 1 = 6 ,??????????????????3 分 所以 a2 k - 1 = a + 6(k - 1) = 6k + a - 6 , a2k = 5+6(k - 1) = 6k - 1 , k ? N* , ì ? 3n + a - 3, n为奇数, n ? N* , 故 an = ? ????????????????5 分 í ? n为偶数, n ? N*. ? ? 3n - 1, (2)当 n 为奇数时, Sn =

1 (3n + a - 2)(3n + 3) - n , 6 3n 2 + 3n + 2 由 Sn ≤ n(3n + 1) 得, a ≤ 恒成立, n+ 1
10

令 f ( n) =

3n 2 + 9n + 4 3n 2 + 3n + 2 ,则 f (n + 1) - f (n) = > 0, n+ 1 (n + 2)(n + 1)

所以 a ≤ f (1) = 4 .???????????????????????8 分

1 ?3n(3n a+1) - n , 6 由 Sn ≤ n(3n + 1) 得, a ≤ 3(n + 1) 恒成立,
当 n 为偶数时, Sn = 所以 a ≤ 9 . 又 a1 = a > 0 ,所以实数 a 的取值范围是 (0, 4] .???????????10 分 (3)当 a = 2 时,若 n 为奇数,则 an = 3n - 1 ,所以 an = 3n - 1 . 解法 1:令等比数列 {bn } 的公比 q = 4m (m ? N* ) ,则 bn = b1q n- 1 = 5? 4m( n- 1) . 4k - 1 设 k = m(n - 1) ,因为 1 + 4 + 42 + ? + 4 k - 1 = , 3 所以 5? 4m( n- 1)

5? [3(1 4 + 42 + ?+ 4k - 1 ) + 1] ,
= 3[5(1 + 4 + 42 + ?+4k - 1 ) + 2] - 1 ,??????????14 分

因为 5(1 + 4 + 42 + ?+4k - 1 ) + 2 为正整数, 所以数列 {bn } 是数列 {an } 中包含的无穷等比数列, 因为公比 q = 4m (m ? N* ) 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列, 故无穷等比数列 {bn } 有无数个.??????????????????16 分 解法 2:设 b2 = ak2 = 3k2 - 1(k2 ≥ 3) ,所以公比 q = 因为等比数列 {bn } 的各项为整数,所以 q 为整数, 取 k2 = 5m + 2(m ? N* ) ,则 q = 3m + 1 ,故 bn = 5 ?(3m 1)n- 1 , 由 3kn - 1 = 5 ?(3m 1)n- 1 得, kn = 而当 n ≥ 2 时, kn - kn- 1 =

3k2 - 1 . 5

1 [5(3m + 1)n- 1 + 1](n ? N* ) , 3

5 [(3m + 1)n- 1 - (3m + 1)n- 2 ] = 5m(3m + 1)n- 2 , 3

即 kn = kn- 1 + 5m(3m + 1)n- 2 ,???????????????????14 分 又因为 k1 = 2 , 5m(3m + 1)n- 2 都是正整数,所以 k n 也都是正整数, 所以数列 {bn } 是数列 {an } 中包含的无穷等比数列, 因为公比 q = 3m + 1(m ? N* ) 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列, 故无穷等比数列 {bn } 有无数个.??????????????????16 分

11



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