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2014年高考一轮复习数学教案:4.4 两角和与差、二倍角的公式(三)


4.4

两角和与差、二倍角的公式(三)

●知识梳理 1.化简要求 (1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数种数、项数尽量少;分母尽量不含三角函数;被开方式尽量不含三角函数. 2.化简常用方法 (1)活用公式(包括正用、逆用、变形用). (2)切割化弦、异名化同名、异角化同角等. 3.常用技巧 (1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化

. (2)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质. (3)注意利用角与角之间的隐含关系. (4)注意利用“1”的恒等变形. ●点击双基
3 +sinα sinβ 的一组α 、β 的值是 2 13π 3π π π A.α = ,β = B.α = ,β = 12 4 2 3

1.满足 cosα cosβ =

C.α =

π π ,β = 2 6

D.α =

π π ,β = 3 6

解析:由已知得 cos(α +β )= 答案:A 2.已知 tanα 和 tan( A.b=a+c C.c=b+a

3 ,代入检验得 A. 2

π -α )是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是 4 B.2b=a+c D.c=ab

π b ? ( ? ?tan ? ? tan 4 ? ?) ? a , ? 解析: ? ?tan ? tan π ? ?) c , ( ? ? 4 a ?
b ? π ∴tan = a =1. 4 1? c a

b c =1- . a a ∴-b=a-c.∴c=a+b. 答案:C
∴- 3.f(x)=

sin x cos x 的值域为 1 ? sin x ? cos x

A.(- 3 -1,-1)∪(-1, 3 -1) B.[ C.( D.[
? 2 ?1 2 ?1 ,-1)∪(-1, ] 2 2
? 3 ?1 3 ?1 , ) 2 2

? 2 ?1 2 ?1 , ] 2 2

解析:令 t=sinx+cosx= 2 sin(x+

π )∈[- 2 ,-1)∪(-1, 2 ] , 4

t2 ?1 2 ?1 ? 2 ?1 t ?1 则 f(x)= 2 = ∈[ ,-1)∪(-1, ]. 2 2 1? t 2

答案:B 4.已知 cosα -cosβ =

1 1 ,sinα -sinβ = ,则 cos(α -β )=_______. 2 3 1 1 , (sinα -sinβ )2= . 4 9

解析: (cosα -cosβ )2=

两式相加,得 2-2cos(α -β )= ∴cos(α -β )=

13 . 36

59 . 72

59 72 ●典例剖析
答案:

sin 2? ? ?) ( sin ? -2cos(α +β )= . sin? sin? 剖析:先转换命题,只需证 sin(2α +β )-2cos(α +β ) ·sinα =sinβ ,再利用角的 关系:2α +β =(α +β )+α , +β )-α =β 可证得结论. (α 证明:sin(2α +β )-2cos(α +β )sinα =sin[ +β )+α ]-2cos(α +β )sinα (α =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα -2cos(α +β )sinα =sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα =sin[ +β )-α ]=sinβ . (α 两边同除以 sinα 得 sin 2? ? ?) ( sin ? -2cos(α +β )= . sin? sin? 评述:证明三角恒等式,可先从两边的角入手——变角,将表达式中出现了较多的相异 的角朝着我们选定的目标转化, 然后分析两边的函数名称——变名, 将表达式中较多的函数 种类尽量减少,这是三角恒等变形的两个基本策略. 【例 2】 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,且∠PF1F2=α ,∠PF2F1=2α ,求证:椭 圆的离心率为 e=2cosα -1.
【例 1】 求证:

y

F O 1

F2

x

剖析:依据椭圆的定义 2a=|PF1|+|PF2|,2c=|F1F2|,∴e= 在△PF1F2 中解此三角即可得证. 证明:在△PF1F2 中,由正弦定理知

2c . 2a

| F1 F2 | | PF1 | | PF2 | = = . ( sin 2? sin? sin π ? 3?) | F F | | PF1 | ? | PF2 | 由比例的性质得 1 2 = sin 3? sin 2? ? sin? | F1 F2 | sin? cos 2? ? cos? sin 2? sin 3? = = ? e= | PF1 | ? | PF2 | sin 2? ? sin? sin? ? 2 sin? cos 2 ?
= =
sin?(2 cos 2 ? ? ? ? 2 sin? ? cos 2 ? ) sin 1 ? 2 cos ?) (

4 cos 2 ? ? 1 =2cosα -1. 2 cos ? ? ? 评述:恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.

深化拓展
求 cot10°-4cos10°的值. 分析:给出非特殊角,怎样化为特殊角或非特殊角,互相抵消、约分求出值. 提示:cot10°-4cos10° =

cos10? cos10? ? 2 sin 20? -4cos10°= sin10? sin10?

3 1 cos 20? ? sin 20? ? 2 sin 20? cos 30? ? 20?) 2 sin 20? ( ? 2 = = 2 sin10? sin10? 3 3 cos 20? ? sin 20? 3 sin 30? ? 20?) ( 2 2 = = = 3. sin10? sin10?

答案: 3 . ●闯关训练 夯实基础 1.(2003 年高考新课程卷)已知 x∈(- A.

π 4 ,0) ,cosx= ,则 tan2x 等于 5 2
C.

7 24

B.-

7 24

24 7

D.-

24 7

解析:∵cosx= ∴sinx=-

4 π ,x∈(- ,0) , 5 2

3 3 .∴tanx=- . 5 4

3 2 =- 3 × 16 =- 24 . ∴tan2x= = 2 2 7 7 1 ? tan x 1 ? 9 16

2 tan x

?

答案:D 2.(2004 年春季北京)已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中 必定成立的是

? ? <cot 2 2 ? ? C.sin <cos 2 2
A.tan 解析:由已知得 sinθ >0,cosθ <0,

? ? >cot 2 2 ? ? D.sin >cos 2 2
B.tan

? ? 则 tan -cot = 2 2
∴tan

? ? cos 2 - 2 =- 2 cos? >0. ? ? sin? cos sin 2 2
sin

? ? >cot . 2 2

答案:B 3.下列四个命题中的假命题是 A.存在这样的α 、β ,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 、β ,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对于任意的α 、β ,cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 、β ,使得 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ 解析:由 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ =cosα cosβ -sinα sinβ ,得 sinα sinβ =0.∴α =kπ 或β =kπ (k∈Z). 答案:B 4.函数 y=5sinx+cos2x 的最大值是_______. 解析:y=5sinx+cos2x=5sinx+1-2sin2x=-2(sinx-

5 2 33 )+ . 4 8

∴sinx=1 时,ymax=4. 答案:4 5.求周长为定值 L(L>0)的直角三角形的面积的最大值. 解法一:a+b+ a 2 ? b 2 =L≥2 ab + 2ab . ∴ ab ≤ . 2? 2 L 1 1 ∴S= ab≤ ( )2 2 2 2? 2
(2 ? 2)L 2 3 ? 2 2 2 1 · [ ]= L. 2 4 2 解法二:设 a=csinθ ,b=ccosθ .
L

=

c ?

a

b

∵a+b+c=L, ∴c(1+sinθ +cosθ )=L. ∴c= ∴S=

L . 1 ? sin? ? cos?
L2 sin? cos? 1 2 c sinθ cosθ = . 2 2 ( ? sin? ? cos?) 2 1

设 sinθ +cosθ =t∈(1, 2 ] ,
t2 ?1 2 2 2 L 2 = L · t ? 1 = L (1- 2 )≤ L (1- 2 )= 3 ? 2 2 L2. 则 S= · 2 2 (1 ? t) 4 4 4 t ?1 4 t ?1 2 ?1
2

6.(2004 年湖南,17)已知 sin( 2sin2α +tanα -cotα -1 的值. 解:由 sin( α )=

π π 1 π π +2α ) ·sin( -2α )= ,α ∈( , ) ,求 4 4 4 4 2

π π π π 1 π +2α ) ·sin( -2α )=sin( +2α ) ·cos( +2α )= sin( +4 2 4 4 4 4 2

1 1 1 cos4α = ,得 cos4α = . 2 4 2

又α ∈(

π π 5π , ) ,所以α = . 4 2 12

sin 2 ? ? cos 2 ? ?2 cos 2? =-cos2α + sin ? cos ? sin 2? 5π 5π =-(cos2α +2cot2α )=-(cos +2cot ) 6 6

于是 2sin2α +tanα -cotα -1=-cos2α +

=-(- 培养能力

3 5 -2 3 )= 2 2

3.

? 2 . 7.求证: = ? 2 ? ? ? 2 sin 1 ? tan 2 2
1 ? sin?

1 ? tan

? ? ? ? 2 (sin ? cos ) cos ? sin 1 ? sin? 2 2 , 2 2 = 证明:左边= = ? ? ? ? cos? cos ? sin cos 2 ? sin 2 2 2 2 2

? 2 1? ? ? ? cos ? sin cos 2 2 , 2 = 右边= ? ? ? cos ? sin sin 2 2 2 1? ? cos 2 ∵左边=右边,∴原式成立.
sin

8.(2005 年春季北京,15)在△ABC 中,sinA+cosA=

2 ,AC=2,AB=3,求 tanA 的值 2

和△ABC 的面积. 分析:本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,考查运算能力. 解法一:∵sinA+cosA= 2 cos(A-45°)=
2 , 2

1 . 2 又 0°<A<180°, ∴A-45°=60°,A=105°.
∴cos(A-45°)= ∴tanA=tan(45°+60°)=
1? 3 1? 3

=-2- 3 .

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°) =sin45°cos60°+cos45°sin60°= ∴S△ABC= =
2? 6 . 4

1 AC·ABsinA 2

2? 6 1 ·2·3· 4 2 3 = ( 2 + 6 ). 4

解法二:∵sinA+cosA= ∴(sinA+cosA)2=

2 , 2



1 1 .∴2sinAcosA=- . 2 2 ∵0°<A<180°,∴sinA>0,cosA<0. ∴90°<A<180°.
∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= ∴sinA-cosA= ①+②得 sinA= ①-②得 cosA=
6 . 2 2? 6 . 4 2? 6 . 4

3 , 2


∴tanA=

4 2? 6 sin A = · =-2- 3 . 4 cos A 2? 6

(以下同解法一) 探究创新 9.锐角 x、y 满足 sinycscx=cos(x+y)且 x+y≠ 解:∵sinycscx=cos(x+y) , ∴sinycscx=cosxcosy-sinxsiny, siny(sinx+cscx)=cosxcosy. ∴tany=
tan x 2 sin x cos x tan x cos x sin x cos x = = = ≤ = , 2 2 2 4 sin x ? csc x 1 ? sin x 2 sin x ? cos x 1 ? 2 tan x 2 2 tan x

π ,求 tany 的最大值. 2

当且仅当 tanx=

2 时取等号. 2 2 . 4

∴tany 的最大值为

●思悟小结 1.证明三角恒等式的基本思路,是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁 为简、左右归一、变更命题等方法,使等式两端的“异”化为“同”. 2.条件等式的证明,通过认真观察,发现已知条件和待证等式之间的关系,选择适当的 途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法(即从已知条件出发,以待证式为 目标进行代数或三角恒等变形,逐步推出待证式) 、分析法等. 3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值,这首先应将原函数通过降幂、辅 助角公式等化成 y=Asin(ω x+ ? ) (A≠0,ω >0)的形式,或者通过换元转化成二次函数, 然后再求之. ●教师下载中心 教学点睛 1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程. 2.有条件的三角函数求值有两个关键: ①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条 件的合理应用:注意条件的整体功能,注意将条件适当简化、整理或重新改造组合,使其与 所计算的式子更加吻合. 3.注意方程思想的应用. 拓展题例 【例 1】 试证:

tan?( ? sin?) sin? tan? ? sin? 1 ? = . tan?( ? sin?) sin? 1 ? tan? sin?

sin? ( ? sin?) sin? 1 ? 证明:左边= cos? sin? ( ? sin?) sin? 1 ? cos?
1 ? sin? ? cos? = = ? ? sin? ? cos?

? ? ? ? 2 sin cos ? 2 cos 2 cos 2 2 2 = 2 =cot ? , ? ? ? ? 2 2 sin cos ? 2 sin 2 sin 2 2 2 2

sin? ? sin? 1 ? cos? 右边= cos ? = sin? sin? ? sin? cos ? 2 cos 2

?
2

=
2 sin

?
2

cos

?
2

=cot

? ,∴原等式成立. 2
π ? ? ) ,3sinβ =sin(2α +β ) ,4tan =1-tan2 .求α + 4 2 2

【例 2】 已知α 、β ∈(0, β 的值. 解:∵4tan

?
2

=1-tan2

?
2



1 . 2 ∵3sinβ =sin(2α +β ) , ∴3sinβ =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα . ∴3sin(α +β )cosα -3cos(α +β )sinα =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα . ∴sin(α +β )cosα =2cos(α +β )sinα .
∴2·tanα =1,tanα =

π . 4 评述:角的变换是常用技巧.如 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α 等.
∴tan(α +β )=2tanα =1.∴α +β =


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