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数学必修4教学案:1.5函数 的图象(教、学案)


1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象
一、教材分析 三角函数是中学数学的重要内容之一, 它既是解决生产实际问题的工具, 又是学习高等 数学及其它学科的基础.本节课是在学习了任意角的三角函数,正、余弦函数的图象和性质 后,进一步研究函数 y=Asin(ω x+φ )的简图的画法,由此揭示这类函数的图象与正弦曲线 的关系,以及 A、ω 、φ 的物理意义

,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的 性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映. 二、教学目标 1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数 图像各种变换的实质和内在规律。 2. 通过对函数 y = Asin(wx+4)(A>0,w>0)图象的探讨,让学生进一步掌握三角函数图 像各种变换的内在联系。 3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。 三、教学重点难点 重点:通过五点作图法正确找出函数 y=sin x 到 y=sin(ω x+φ )的图象变换规律。 难点:对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象平移量的理解. 四、学法分析

? 本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习 y ? A sin( x ? ? ) 的 图像, 应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生, 所以对本节的 学习应让学生能够多参与多思考, 培养他们的分析解决问题和解决问题的能力, 提高应用所 学知识的能力。 在教师的引导下,积极、主动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归.在 思维训练的过程中,感受数学知识的魅力,成为学习的主人. 五、教法分析 教学的目的是以知识为平台, 全面提升学生的综合能力. 本节课突出体现了以学生能力 的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学生层层深入,培养学生自主探索以发现问题、分 析问题和解决问题的能力,注重利用非智力因素促进学生的学习,实现数学知识价值、思维 价值和人文价值的高度统一。 六、课时安排:2 课时 七、教学程序及设计意图 (一)复习引入:在现实生活中,我们常常会遇到形如 y=Asin(ω x+ ? )的函数解析 式(其中 A,ω , ? 都是常数) 下面我们讨论函数 y=Asin(ω x+ ? ),x∈R 的简图的画法 (二)讲解新课:
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例 1、 画出函数 y=sin(x+ 解:列表 x -

? ? ),x∈R,y=sin(x- ),x∈R 的简图 3 4 ? 6 ? 2
1

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? 3 ? sin(x+ ) 3
x+

? 3
0 0

2? 3

?
0

7? 6 3? 2
–1

5? 3
2? 0

描点画图:

x

? 4 ? sin(x– ) 4
x- 通过比较,发现:

? 4
0 0

3? 4 ? 2
1

5? 4

?
0

7? 4 3? 2
–1

9? 4
2? 0

(1)函数 y=sin(x+ 位长度而得到
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? ? ),x∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单 3 3 ? ? ),x∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动 个单位 4 4

(2)函数 y=sin(x-
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长度而得到 一般地,函数 y=sin(x+ ? ),x∈R(其中 ? ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点 向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到 (用平移法注意讲
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清方向: “加左” “减右”) y=sin(x+ ? )与 y=sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换 称为相位变换
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? ? ),x∈R,y=sin(x- ),x∈R 3 4 图象上点的坐标和 y=sinx 的图象上点的坐标的关系, 获得 ? 对 y=sin(x+ ? )的图象的影响的
设计意图:引导学生学习 y=sin(x+ 具体认识。 例 2、画出函数 y=2sinx x?R;y= 解:画简图,我们用“五点法” ∵这两个函数都是周期函数,且周期为 2π ∴我们先画它们在[0,2π ]上的简图 列表:
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1 sinx 2

x?R 的图象(简图)

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x

0

? 2

?

3? 2

2?

sinx 2sinx
1 sinx 2

0 0 0

1 2
1 2

0 0 0

-1 -2 1 2

0 0 0

作图:

(1)y=2sinx,x∈R 的值域是[-2,2] 图象可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍而得(横坐标不变) (2)y=

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1 1 1 sinx,x∈R 的值域是[- , ] 2 2 2 1 倍而得(横坐标不变) 2
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图象可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的纵坐标缩短到原来的

设计意图:研究函数中 A 对图象的影响。 结论: 1.y=Asinx,x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的 2.它的值域[-A, A] 最大值是 A, 最小值是-A
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例 3、画出函数 y=sin2x x?R;y=sin

1 x 2

x?R 的图象(简图)

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解:函数 y=sin2x,x∈R 的周期 T=

2? =π 2

我们先画在[0,π ]上的简图,在[0, ?]上作图,列表:

2x x y=sin2x

0 0 0

? 2 ? 4
1

?

3? 2 3? 4

2? ? 0

? 2
0

-1

作图:

函数 y=sin

1 2? x,x∈R 的周期 T= =4π 1 2 2
0 0

我们画[0,4π ]上的简图,列表:
x 2

? 2
? 1

? 2? 0

3? 2

2? 4? 0

x sin
x 2

3? -1

0

(1)函数 y=sin2x,x∈R 的图象,可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的横坐标缩短到原 来的

1 倍(纵坐标不变)而得到的 2 1 (2)函数 y=sin x ,x∈R 的图象,可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的横坐标伸长到 2
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原来的 2 倍(纵坐标不变)而得到 设计意图:研究ω 对函数图象的影响。 结论:与 y=sinx 的图象作比较 函数 y=sinω x, x?R (ω >0 且ω ?1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短
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(ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变)

例 4、画出函数 y=3sin(2x+ 解:(五点法)由 T=

x
2x+

? 3

2? ,得 T=π 2 ? ? – 12 6
0

? ),x∈R 的简图 3
列表:

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3sin(2x+

? 3

? 2
3

? 3
π 0

7? 12 3? 2
–3

5? 6
2π 0

0

描点画图:

(三)小结:

作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间)的图象

沿 x 轴平

移|φ |个单位

横坐标 伸长或缩短 得 y=sinω x 的图象 沿 x 轴平 移|

得 y=sin(x+φ ) 的图象

横坐标伸

长或缩短

? |个单位 ?

得 y=sin(ω x+φ ) 的图象 纵坐标伸 长或缩短

得 y=sin(ω x+φ ) 的图象 纵坐标伸 长或缩短

得 y=Asin(ω x+φ )的图象,先在一个周期闭区间上 再扩充到 R 上
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八、小试牛刀,当堂检测 已知函数 y ? 2sin(3x ?

?
3

), x ? R

(1)作出简图;2)指出经过怎样的变换可得到 y ? sin x, x ? R 的图象. 设计意图:教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 九、发导学案、布置预习。 设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延 伸拓展训练。

十、板书设计 三角函数模型的简单应用 例 1. 例2 十一、教后反思 例 3. 例 4. 练习: 小结:

新理念下数学课堂教学的探索是一个长期的过程,充分挖掘数学的应用价 值、思维价值和人文价值,需要我们教育工作者的不断创新,与时俱进.

1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象
课前预习学案 一、预习目标

预习图像变换的过程,初步了解图像的平移。 二、预习内容 1.函数 y ? sin x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 )的图象,可以看作是正弦曲线上所有的 ( 点_________(当 ? >0 时)或______________(当 ? <0 时)平行移动 ? 个单位长度而得 到. 2.函数 y ? sin ?x, x ? R(其中 ? >0 且 ? ? 1 )的图象,可以看作是把正弦曲线 上 所有点的横坐标______________(当 ? >1 时)或______________(当 0< ? <1 时)到原 来的 倍(纵坐标不变)而得到. 3.函数 y ? A sin x, x ? R( A >0 且 A ? 1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵 坐标___________(当 A>1 时)或__________(当 0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的, 函数 y=Asinx 的值域为______________.最大值为______________, 最小值为 ______________. 4. 函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R 其中的(A>0, ? >0)的图象,可以看作用下面的方法 得到:先把正弦曲线上所有的点___________(当 ? >0 时)或___________(当 ? <0 时) 平行移动 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标 ____________ (当 ? >1 时)或 ____________(当 0< ? <1)到原来的1 倍(纵坐标不变) ,再把所得各点的纵横坐标
?
1 ?

____________(当 A>1 时)或_________(当 0<A<1 时到原来的 A 倍(横坐标不变)而 得到.
课内探究学案 一、学习目标

1.会用 “五点法” 作出函数 y ? Asm(wx ? ? ) 以及函数 y ? A cos(wx ? ? ) 的图象的图象。 2.能说出 ?、W、A 对函数 y ? A sin wx ? ? ) 的图象的影响. ( 3.能够将 y ? sin x 的图象变换到 y ? A sin(wx ? ? ) 的图象,并会根据条件求解析式.
学习重难点:

重点:由正弦曲线变换得到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象。

难点: ω ? 1 时, 当 函数 y1 ? A sin(ωx ? φ1 ) 与函数 y 2 ? A sin(ωx ? φ2 ) 的关系。
二、学习过程

1、复习巩固; 作业评讲——作出函数 y ? sin x 在一个周期内的简图并回顾作图方法?

2、自主探究;
问题一、函数图象的左右平移 ? 变 ? 换 y ? sin( x ? ) 数 y ? sin( x ? ) 和的简图,并指出 如在同一坐标系下,作出函 它们与 y ? sin x 图象之间的关系。

3

4

问题二、函数图象的纵向伸缩变换 如 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y ? 2 si nx 及

y?

1 sin x 2 的简图,并指出它们的图象与

y ? sin x 的关系。

问题三、函数图象的横向伸缩变换

1 y ? sin x 2 的简图,并指出它们与 y ? sin x 图象间的关系。 如作函数 y ? sin2 x 及

问题四、作出函数 y ? 2 sin( x ?

1 3

?
6

) 的图象

问题五、作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图

(2)由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,有两种主要途 径: “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。

(三)规律总结

①由正弦曲线变换到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象需要进行三种变换, 顺序可 任意改变;先平移变换后周期变换时平移 ? 个单位,先周期变换后平移变换时 平移 ? 个单位。
?

②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换 (平移的量只与 ? 有 关) 。 (四)当堂检测 1、请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程? ① y ? 1 sin(4 x ? ? )
2 3

② y ? 2 sin(1 x ? ? )
3 6

2、已知函数 y ? 1 sin(4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 2 sin(4 x ? 2? ) 的图
5 3

3

象,只需把C的所有点(

) B、横坐标缩短到原

A、横坐标伸长到原来的10倍,纵坐标不变。 来的 1 倍,纵坐标不变。
10

C、纵坐标伸长到原来的10倍,横坐标不变。

D、纵坐标缩短到原

来的 1 倍,横坐标不变。
10

3、已知函数 y ? 1 sin(4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 1 sin(x ? 2? ) 的图象,
5 3

5

3

只需把C的所有点(

) B、横坐标缩短到原来

A、横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变。 的 1 倍,纵坐标不变。
4

C、纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变。 的 1 倍,横坐标不变。
4

D、纵坐标缩短到原来

4、已知函数 y ? 1 sin(4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 1 sin 4 x 的图象,只
5 3

5

需把C的所有点(
6

) B、向右平移 ? 个单位
6

A、向左平移 ? 个单位长度 长度 C、向左平移 2? 个单位长度
3

D、向右平移 2? 个单位
3

长度 5、将正弦曲线上各点向左平移 ? 个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵
3

坐标不变,则所得图象解析式为(
x ? A、 ? sin( ? ) y 2 3
x ? B、 ? sin( ? ) y 2 6


x ? C、 ? sin( ? ) y 2 3

? D、 ? sin(2 x ? ) y 3

课后练习与提高

一、选择题 1、已知函数 y ? f(x),将f(x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍, 然后把所得的图形沿着 x 轴向左平移
? 1 个单位, 这样得到的曲线与 y ? sinx 的图象 2 2

相同,那么已知函数 y ? f(x) 的解析式为( A. f(x) ?

).

1 x ? sin( - ) 2 2 2
2 2 2

1 ? B. f(x) ? sin(2x ? ) 2 2 1 ? D. f(x) ? sin(2x - ) 2 2

1 x ? C. f(x) ? sin( ? )

2、把函数 y ? sinx 的图象向右平移

? 后,再把各点横坐标伸长到原来的 2 倍,所得 8

到的函数的解析式为( 1 ? A. y ? sin( x - )
2 8

).
1 ? B. y ? sin( x ? ) 2 8

? C. y ? sin(2x - )
8

? D. y ? sin(2x - )
4

? 3、函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述________变换而
3

得到(

).
1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3 1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3

A.向右平移 B.向左平移

C. 向右平移 D.向左平移

? 1 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 6 3

1 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 6 3 2 4

1 ? 4 、 函 数 y ? 3s i n ( - ) 的 周 期 是 _________ , 振 幅 是 __________ , 当 x

x=____________________ 时 , y m a x? __________ ; 当 x=____________________ 时 ,
y m i n __________. ?

? 5、已知函数 y ? Asin(?x ? ? )(A>0,? >0,0< ? ? ? )的两个邻近的最值点为( , ) 2
6

和(

2? ,2) ? ,则这个函数的解析式为____________________. 3

6、已知函数 y ? Asin(? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 且图象经过点(
5? ,) 0 ,求这个函数的解析式. 9

2? ,最小值是-2, 3

答案: 预习答案: 1、向左;向右 2、缩短;伸长 3、伸长;缩短;[-A,A];A;-A 4、向左;向右;缩短;伸长;伸长;缩短 当堂检测: 1、略 2、C 3、A 4、B 5、C 课后练习与提高 1、D 2、A 3、B

3? ? ? , 3 ; x ? 4k? ? (k ? Z ) ; 3 ; x ? 4k? ? (k ? Z ) , ? 3 2 2 4 ? 5. y ? 2sin(2 x ? ) 6 2? 2? 6. 解: T ? ? , ? ? 3, A ? 2, y ? sin(3x ? ? ) ? 3 5? 5? ( , 0) ? sin(3 ? ? ?) ? 0 ∵图象过 9 9
4、
即 sin(

5? ? ? ) ? 0 又 | ? |? ? 3

故函数解析式为 y ? 2sin(3x ?

?
3

).


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